Диагонали в правильном треугольнике

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Видео:№224. Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60°Скачать

№224. Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60°

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Диагонали в правильном треугольнике

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Диагонали в правильном треугольнике

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

Диагонали в правильном треугольнике

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Диагонали в правильном треугольнике

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Диагонали в правильном треугольнике

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Диагонали в правильном треугольнике

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:
Диагонали в правильном треугольнике

2. Радиус вписанной окружности:
Диагонали в правильном треугольнике

3. Радиус описанной окружности:
Диагонали в правильном треугольнике

4. Периметр:
Диагонали в правильном треугольнике

5. Площадь:
Диагонали в правильном треугольнике

Видео:как найти диагональ.Скачать

как найти диагональ.

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Видео:Как найти диагональ... Диагональни топишСкачать

Как найти диагональ... Диагональни топиш

Свойства равностороннего треугольника

Основные свойства равностороннего треугольника непосредственно следуют из свойств равнобедренного треугольника, частным случаем которого он является.

Свойства равностороннего треугольника

Диагонали в правильном треугольнике

Диагонали в правильном треугольнике2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:

AK — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;

BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;

CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.

Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой:

Если a — сторона треугольника, то

Диагонали в правильном треугольнике

3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин:

Диагонали в правильном треугольнике

5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан

до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности:

Диагонали в правильном треугольнике

Диагонали в правильном треугольнике

Диагонали в правильном треугольнике

6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности:

Диагонали в правильном треугольнике

Диагонали в правильном треугольнике

7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.

8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.

Диагонали в правильном треугольнике

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна .

Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .
Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .

Диагонали в правильном треугольнике

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Диагонали в правильном треугольнике

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .

📽️ Видео

Диагонали в многоугольниках. Есть ли зависимость между количеством вершин и диагоналей в n-угольникеСкачать

Диагонали в многоугольниках. Есть ли зависимость между количеством вершин и диагоналей в n-угольнике

Диагонали правильных многоугольниковСкачать

Диагонали правильных многоугольников

Диагонали многоугольникаСкачать

Диагонали многоугольника

Все о правильном шестиугольнике за 1 минуту! #егэ2023 #математикапрофиль2023 #школаСкачать

Все о правильном шестиугольнике за 1 минуту! #егэ2023 #математикапрофиль2023 #школа

Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать

Геометрия - Построение правильного треугольника

№225. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°.Скачать

№225. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°.

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.

Задача о вычислении диагонали четырёхугольной призмыСкачать

Задача о вычислении диагонали четырёхугольной призмы

Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его угловСкачать

Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов

ЕГЭ Задание 8 Правильная шестиугольная призмаСкачать

ЕГЭ Задание 8 Правильная шестиугольная призма

Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольник

егэ векторы решу егэ все задания №2 профильСкачать

егэ векторы решу егэ все задания №2 профиль

Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnlineСкачать

Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: