О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
- Определение равнобедренного треугольника
- Признаки равнобедренного треугольника
- Свойства равнобедренного треугольника
- Примеры решения задач
- Свойства равнобедренного треугольника: теория и задача
- Определение равнобедренного треугольника
- Свойства равнобедренного треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Пример задачи
- Свойства равнобедренного треугольника
- 💥 Видео
Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. |
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
- Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!
Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Видео:Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Значит, ∠A = ∠C = 80°.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
Видео:✓ Свойства и признаки равнобедренного треугольника | Ботай со мной #008 | Борис ТрушинСкачать
Свойства равнобедренного треугольника: теория и задача
В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства равнобедренного треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать
Определение равнобедренного треугольника
Равнобедренным называют треугольник, в котором две стороны имеют одинаковую длину (называются боковыми). Оставшаяся третья сторона является основанием фигуры.
Видео:Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать
Свойства равнобедренного треугольника
Свойство 1
В равнобедренном треугольнике углы при основании (т.е. между боковыми сторонами и основанием) равны. Это значит, что α = β.
Если углы при основании треугольника равны, значит он является равнобедренным.
Свойство 2
В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, одновременно является и биссектрисой угла и медианой, проведенной к основанию.
BD – медиана и высота к основанию AC, а также биссектриса угла ABC.
Свойство 3
Центры вписанной и описанной вокруг равнобедренного треугольника окружностей лежат на одном отрезке, являющимся биссектрисой, медианой и высотой, проведенной к основанию.
- O1 и O2 – расположены на одном отрезке;
- R – радиус описанной окружности;
- r – радиус вписанной окружности.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать
Пример задачи
Дан равнобедренный треугольник, в котором длина основания в полтора раза больше боковой стороны. Периметр фигуры равняется 14 см. Найдите длины всех сторон.
Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи, приняв боковую сторону за a.
В таком случае, основание AC равняется 1,5a.
Периметр треугольника – это сумма всех его сторон:
AB + BC + AC = a + a + 1,5a = 3,5a = 14.
Т.е. a = 4.
Следовательно, боковая сторона равна 4 см, а основание – 6 см (4 см ⋅1,5).
Видео:Сила упругости. Закон Гука | Физика 7 класс #19 | ИнфоурокСкачать
Свойства равнобедренного треугольника
Используя свойства равнобедренного треугольника, можно на основании того, что треугольник — равнобедренный, сделать сразу несколько выводов.
Свойства равнобедренного треугольника
1) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2) В равнобедренном треугольнике
— и высота, проведенные к основанию, совпадают.
если в треугольнике ABC AC=BC, то:
CF — высота, медиана и биссектриса,
то есть, ∠ AFC=90º,
Треугольники ACF и BCF — равные прямоугольные треугольники.
💥 Видео
ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Свойства и признаки равнобедренного треугольникаСкачать
Свойства равнобедренного треугольника | Геометрия 7-9 класс #19 | ИнфоурокСкачать
Свойства равнобедренного треугольника #огэ #математика #shortsСкачать
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№32 - Повторение. Равнобедренный треугольник и его свойства.)Скачать
Свойства равнобедренного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК и его свойства. §9 геометрия 7 классСкачать
18. Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать
Геометрия 7 класс. Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Геометрия 7 класс - равнобедренный треугольник и его свойстваСкачать