Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Свойства квадрата

  • Длины всех сторон квадрата равны.
  • Все углы квадрата прямые.
  • Диагонали квадрата равны.
  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
  • Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружностиДиагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружностиДиагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружностиДиагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружностиДиагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружностиДиагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности
Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности.(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Ответ: Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Видео:17 задание ОГЭ по математикеСкачать

17 задание ОГЭ по математике

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Ответ: Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Видео:16 задание ОГЭ 2023 Окружность Квадрат#ShortsСкачать

16 задание  ОГЭ 2023 Окружность  Квадрат#Shorts

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Ответ: Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Видео:2092 найдите радиус окружности описанной около квадрата со стороной 27 корней из 2Скачать

2092 найдите радиус окружности описанной около квадрата со стороной 27 корней из 2

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Видео:18 задание из ОГЭ. Найти диагональ квадратаСкачать

18 задание из ОГЭ. Найти диагональ квадрата

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности
Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности(5)

Из формулы (5) найдем R:

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности
Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности(6)

или, умножая числитель и знаменатель на Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности, получим:

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности.(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Ответ: Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Видео:Задание 16 Часть 3Скачать

Задание 16  Часть 3

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности
Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности.(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружностиНайти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружностив (8), получим:

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Ответ: Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Видео:ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности(9)

где Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности− сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности. Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружностив (9), получим:

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Ответ: Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадратаСкачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадрата

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружностиДиагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружностиДиагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности(13)

Из (13) следует, что

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Нахождение радиуса описанной вокруг квадрата окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около квадрата. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Видео:SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Через сторону квадрата

Радиус R окружности, описанной около квадрата, равняется длине его стороны a, умноженной на квадратный корень из двух и деленной на два.

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Через диагональ квадрата

Радиус R описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали d.

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Видео:ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ВОСЕМНАДЦАТОГО ЗАДАНИЯ ОГЭ МАТЕМАТИКА 2018Скачать

ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ВОСЕМНАДЦАТОГО ЗАДАНИЯ ОГЭ МАТЕМАТИКА 2018

Примеры задач

Задание 1

Длина стороны квадрата равняется 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Применим первую формулу, рассмотренную выше:

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Задание 2

Вычислите длину диагонали квадрата, если радиус описанной вокруг него окружности составляет 6 см.

Как мы знаем, радиус описанной окружности равняется половине диагонали квадрата. Следовательно, общая длина диагонали равняется 12 см (6 см ⋅ 2).

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Радиус описанной окружности квадрата

Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

a — сторона квадрата

d — диагональ

Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):

Диагональ квадрата равна 2 найдите радиус описанной окружности

Калькулятор — вычислить, найти радиус описанной окружности квадрата

🌟 Видео

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.Скачать

Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

ОГЭ ЗАДАНИЕ 15 НАЙДИТЕ РАДИУС ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ ОКОЛО КВАДРАТА #математика #2023 #огэ #mathСкачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 15 НАЙДИТЕ РАДИУС ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ ОКОЛО КВАДРАТА #математика #2023 #огэ #math

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Задача 6 №27914 ЕГЭ по математике. Урок 132Скачать

Задача 6 №27914 ЕГЭ по математике. Урок 132
Поделиться или сохранить к себе: