Десятиугольник вписанный в окружность

Десятиугольник: правильный, неправильный, свойства, примеры

Видео:4K Как построить десятиугольник, regular decagon constructionСкачать

4K Как построить десятиугольник, regular decagon construction

Содержание:

В десятиугольник представляет собой плоскую фигуру в форме многоугольника с 10 сторонами и 10 вершинами или точками. Декагоны могут быть правильными или неправильными, в первом случае все стороны и внутренние углы имеют одинаковую величину, а во втором стороны и / или углы отличаются друг от друга.

На рисунке 1 показаны примеры десятиугольника каждого типа, и, как мы видим, правильный десятиугольник очень симметричен.

Основными элементами каждого десятиугольника являются:

-Стороны, отрезки линии, которые при соединении образуют десятиугольник.

-Vertices или точки между каждой последовательной стороной.

-Внутренние и внешние углы между соседними сторонами.

-Диагональные, сегменты, соединяющие две непоследовательные вершины.

Вершины названы заглавными буквами, как показано на рисунке 1, где использовались первые буквы алфавита, но можно использовать любую букву.

Стороны обозначены двумя буквами вершин, между которыми они находятся, например, сторона AB — это сторона между вершинами A и B. То же самое сделано с диагоналями, поэтому у нас есть диагональ AF, которая соединяет точки A и F.

Для углов мы используем этот символ: ∠, похожий на наклонную L. Например, угол ∠ ABC — это угол, вершиной которого является B, а сторонами являются отрезки AB и BC.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Обычный десятиугольник

В правильном десятиугольнике все стороны имеют одинаковую меру, как и внутренние углы. Поэтому говорят, что это равносторонний (равные стороны) и равносторонний (равные углы). Это очень симметричная фигура

Видео:Построение пятиугольника циркулемСкачать

Построение пятиугольника циркулем

Внутренние углы правильного десятиугольника

Чтобы найти меру внутренних углов правильного многоугольника, включая правильный десятиугольник, используется следующая формула:

-I — мера угла в градусах.

-n — количество сторон многоугольника. В случае десятиугольника n = 10.

Подставляя n = 10 в предыдущую формулу, получаем следующее:

Говорят, что многоугольник выпуклый если его угловые размеры меньше 180 °, иначе многоугольник вогнутый. Поскольку любой внутренний угол правильного десятиугольника составляет 144º и меньше 180º, то это выпуклый многоугольник.

Видео:9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов любого многоугольника в градусах:

S = (n-2) x 180 °; n всегда больше 2

В этой формуле мы имеем:

-S — это сумма размеров внутренних углов.

-n — количество сторон. Для десятиугольника n = 10

Применяя формулу для n = 10, получаем:

S = (10 — 2) x 180º = 1440º

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Внешние углы

Между одной стороной и продолжением соседней стороны образуется внешний угол, посмотрим:

Сумма угла ∠ ABC плюс внешний угол составляет 180 °, то есть они равны дополнительный. Следовательно, внешний угол равен 180º-144º = 36º, как мы видим на рисунке.

Видео:Построение 10 угольника циркулемСкачать

Построение 10 угольника циркулем

Количество диагоналей

Как было сказано ранее, диагонали — это отрезки, соединяющие непоследовательные вершины. Сколько диагоналей мы можем нарисовать в десятиугольнике? Когда количество вершин невелико, их легко сосчитать, но когда это число увеличивается, вы можете потерять счет.

К счастью, есть формула, по которой можно узнать, сколько диагоналей многоугольника. п стороны:

Подставляем десятиугольник n = 10 и получаем:

D = 10 х (10 — 3) / 2 = 35

В правильном десятиугольнике все диагонали пересекаются в одной точке, которая является центром фигуры:

Видео:Построение пятиугольника циркулем и линейкойСкачать

Построение пятиугольника циркулем и линейкой

Центр

Центр многоугольника определяется как точка, равноудаленная от любой вершины. На рисунке выше центр совпадает с точкой пересечения всех диагоналей.

Видео:Геометрия - Построение десятиугольникаСкачать

Геометрия - Построение десятиугольника

Периметр

Если у правильного десятиугольника есть сторона a, его периметр P равен сумме всех сторон:

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)

Площадь

Зная длину к сбоку площадь правильного десятиугольника рассчитывается по формуле:

Приблизительная формула для площади:

И третий способ найти площадь — по длине апофемы LК. Это сегмент, который соединяет середину одной стороны с центром многоугольника.

В этом случае площадь можно рассчитать по формуле:

Видео:Построение девятиугольника циркулем, приближенноеСкачать

Построение девятиугольника циркулем, приближенное

Неправильный десятиугольник

Неправильный десятиугольник не является равносторонним или равноугольным, и обычно ему не хватает симметрии правильной фигуры, хотя некоторые десятиугольники могут иметь ось симметрии.

Они также могут быть выпуклыми или вогнутыми, если внутренние углы превышают 180º.

Неправильный десятиугольник на фиг. 1 вогнут, поскольку некоторые из его внутренних углов больше 180 °. Ясно, что существует множество комбинаций углов и сторон, которые приводят к неправильному десятиугольнику.

В любом случае верно, что:

-Внутренние углы неправильного десятиугольника также составляют в сумме 1440º.

-Также имеет 35 диагоналей.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Площадь неправильного десятиугольника по гауссовским определителям

В общем, не существует единой формулы для определения площади неправильного многоугольника, поскольку стороны и углы разные. Однако его можно найти, зная координаты вершин и вычисливГауссовские детерминанты:

-Позвоним (хп , Yп ) к координатам вершин, причем п варьируется от 1 до 10.

-Вы можете начать с любой вершины, до которой координаты (x1, Y1 ). Теперь нам нужно подставить значения каждой координаты в эту формулу:

Где детерминанты — это именно операции в скобках.

-Важно отметить, что последний определитель снова включает первую вершину вместе с последней. Для десятиугольника это будет выглядеть так:

Важный: Полоски имеют абсолютное значение и означают, что окончательный результат дается с положительным знаком. всегда.

Процедура может быть трудоемкой, если у фигуры много вершин, в случае с десятиугольником — 10 операций, поэтому желательно составить таблицу или список.

Видео:ПОСТРОИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК [construction a regular pentagon]Скачать

ПОСТРОИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК [construction a regular pentagon]

Упражнение решено

Вычислите площадь неправильного десятиугольника, показанного на рисунке. Координаты вершин — A, B, C… J, значения которых показаны слева.

Видео:Деление окружности на пять равных частей. Урок 7. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Деление окружности на пять равных частей. Урок 7. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Решение

-Делаем каждую из 10 операций:

  • 2×6 – 4×0 = 12 – 0 =12
  • 0×4 – 6×(-2) = 0 + 12 =12
  • (-2)×7- 4×(-5) = -14 + 20 = 6
  • (-5)×2 – 7×(-6) = -10 + 42 = 32
  • (-6)×(-4) – 2×(-4) = 24 + 8 =32
  • (-4)×(-2) – (-4)×(-2) = 8 – 8 =0
  • (-2)×0 – (-2)×(-1) =0 -2
  • (-1)×0 – 0×(2) = 0 – 0 = 0
  • 2×2 – 0×8 = 4 – 0 = 4
  • 8×4 -2×2 = 32 – 4 = 28

-Давайте добавим результаты:

12 + 12 + 6 + 32 + 32 + 0 + (-2) + 0 + 4 + 28 = 124

Положительный результат получается даже без столбцов абсолютного значения, но если он отрицательный, знак меняется.

-Предыдущий результат делится на 2, и это площадь многоугольника:

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Свойства Десятиугольника

Вот краткое изложение общих свойств десятиугольника, правильного или неправильного:

-У него 10 сторон и 10 вершин.

-Сумма внутренних углов 1440º.

-Есть 35 диагоналей.

-Периметр — это сумма всех сторон.

-Вы можете создавать треугольники внутри многоугольника, рисуя сегменты от одной вершины ко всем остальным. В десятиугольнике можно нарисовать 8 треугольников таким образом, как показано ниже:

Видео:Как начертить пятиугольник вписанный в круг или звездаСкачать

Как начертить пятиугольник вписанный в круг или звезда

Ссылки

  1. Александр, Д. 2013. Геометрия. 5-е. Издание. Cengage Learning.
  2. Decagon.com. Декагон. Получено с: decagono.com
  3. Открытый справочник по математике. Декагон. Получено с: mathopenref.com.
  4. Sangaku Maths. Элементы многоугольника и их классификация. Получено с: sangakoo.com.
  5. Википедия. Декагон. Получено с: es.wikipedia.com.

15 примеров сотрудничества

Яйцекладущие: характеристика, размножение, примеры, эмбриональное развитие

Видео:Деление окружности на 3, 4, 5, 6 и 7 равных частейСкачать

Деление окружности на 3, 4, 5, 6 и 7 равных частей

Построение правильных многоугольников. Решение задач

Разделы: Математика

Цели урока: закрепить знание формул стороны и площади правильного многоугольника, совершенствовать навык построения правильных многоугольников, научить строить правильный десятиугольник и правильный пятиугольник.

1. Проверка домашнего задания: пункт 108, №№ 1081, 1093, 1094(а,б).

Учебник Геометрия 7 — 9, Л.С. Атанасян.2003г.

а) Десятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружность180 Десятиугольник вписанный в окружность= 60Десятиугольник вписанный в окружность

б) Десятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружность180 Десятиугольник вписанный в окружность= 3 · 36Десятиугольник вписанный в окружность

в) Десятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружность180 Десятиугольник вписанный в окружность= 120Десятиугольник вписанный в окружность

г) Десятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружность180 Десятиугольник вписанный в окружность= 144Десятиугольник вписанный в окружность

д) Десятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружность· 180 Десятиугольник вписанный в окружность= 160Десятиугольник вписанный в окружность

Десятиугольник вписанный в окружность

Дано: Десятиугольник вписанный в окружностьАВС — правильный

Окр.(О;R) — описана около Десятиугольник вписанный в окружностьАВС

Окр.(О;r) — вписанна в Десятиугольник вписанный в окружностьАВС

1. АО — биссектриса Десятиугольник вписанный в окружностьА Десятиугольник вписанный в окружностьДесятиугольник вписанный в окружностьOАD = 30Десятиугольник вписанный в окружность

2. Десятиугольник вписанный в окружностьAOD — прямоугольный, т.к. OD = r проведён в точку касания (теорема о касательной к окружности).

3. В прямоугольном Десятиугольник вписанный в окружностьAOD катет r лежащий против угла в 30 Десятиугольник вписанный в окружностьравен половине гипотенузы R, т.е. R = 2r — ч.т.д.

Задача № 1094(а,б) (данное задание на закрепление знания формул:

S = Рr, an = 2RДесятиугольник вписанный в окружность, r = R Десятиугольник вписанный в окружность)

a4 = 2R Десятиугольник вписанный в окружность= 2 * 3 Десятиугольник вписанный в окружность* Десятиугольник вписанный в окружность= 2 * 3Десятиугольник вписанный в окружность* Десятиугольник вписанный в окружность= 6 см,

r = 3 Десятиугольник вписанный в окружность* Десятиугольник вписанный в окружность= 3 Десятиугольник вписанный в окружность* Десятиугольник вписанный в окружность= 3 см,

S = Рr = · 24 · 3 = 36 см 2

б) Решение: a3 = Десятиугольник вписанный в окружность= 8 см

Выразим r через an : r = ( an * ctgДесятиугольник вписанный в окружность)/2

r = 4* ctg Десятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружностьсм

S = (1/2)Рr = 16 Десятиугольник вписанный в окружностьсм 2 Ответ: 16 Десятиугольник вписанный в окружностьсм 2 .

2. Актуализация знаний учащихся (устный опрос):

1. Какой многоугольник называется правильным?

2. Какая окружность называется вписанной в многоугольник?

3. По какой формуле можно найти сторону правильного n-угольника? (записать на доске)

4. Какая точка называется центром правильного многоугольника?

5. Можно ли найти площадь правильного шестиугольника, зная только радиус вписанной в него окружности? Как это сделать? (показать на доске)

3. Изучение нового материала.

Строить правильные треугольники и четырёхугольники с помощью циркуля и линейки мы уже умеем. Рассмотрим способ построения правильного шестиугольника.

Задача № 1 из п.109 (работа с учебником).

Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку.

1. Строим окружность радиусом R равным данному отрезку.

2. На окружности произвольно выбираем точку A1 .

3. Не меняя раствора циркуля, на окружности откладываем точку A2 , так чтобы A1A2 = R.

4. Аналогично от точки A2 откладываем точку A3 и т. д. до точки A6 .

5. Соединяя последовательно построенные точки отрезками, получаем искомый правильный шестиугольник .

Доказательство: (можно провести устно)

1. Стороны 6 — угольника равны (по построению). (*)

2. Десятиугольник вписанный в окружностьО A1A2 = Десятиугольник вписанный в окружностьО A2A3 = Десятиугольник вписанный в окружностьО A3A4 = : = Десятиугольник вписанный в окружностьО A6A1 — по третьему признаку равенства Десятиугольник вписанный в окружность-ов.

Все они равносторонние. Десятиугольник вписанный в окружностьA1A2A3 = : = Десятиугольник вписанный в окружностьA6A1A2 = 120° (**)

3. Из (*) и (**) Десятиугольник вписанный в окружностьA1A2A3A4A5A6 — правильный 6 — угольник — ч.т.д.

11Задача № 1279. На рисунке 370 изображён правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса R, АС — биссектриса угла ОАВ. Докажите, что:

Десятиугольник вписанный в окружность

а) Десятиугольник вписанный в окружностьAВС

Десятиугольник вписанный в окружностьОАВ

б) АВ = АС = ОС = Десятиугольник вписанный в окружностьR

(т.к. данная задача является задачей повышенной трудности, то перед решением её у доски необходимо дать учащимся две — три минуты на обдумывание, если не будет идей, то задавать наводящие вопросы.)

1. Рассмотрим равнобедренный Десятиугольник вписанный в окружностьОАВ:

АО и ВО — биссектрисы углов правильного десятиугольника ( Десятиугольник вписанный в окружность= 144Десятиугольник вписанный в окружность)

Следовательно: Десятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружность= 72Десятиугольник вписанный в окружность, а значит Десятиугольник вписанный в окружность= 36Десятиугольник вписанный в окружность.

2. Десятиугольник вписанный в окружность= 72Десятиугольник вписанный в окружность, а т.к. АС — биссектриса этого угла, то Десятиугольник вписанный в окружность= 36Десятиугольник вписанный в окружность, т.е. Десятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружность(*)

3. Десятиугольник вписанный в окружность— общий для Десятиугольник вписанный в окружностьAВС и Десятиугольник вписанный в окружностьОАВ. (**)

4. Из (*) и (**) следует (по первому признаку подобия треугольников),

что Десятиугольник вписанный в окружностьAВС

Десятиугольник вписанный в окружностьОАВ — ч.т.д.

б) 1. В Десятиугольник вписанный в окружностьAВС: Десятиугольник вписанный в окружность= 36Десятиугольник вписанный в окружность, Десятиугольник вписанный в окружность= 72 Десятиугольник вписанный в окружность Десятиугольник вписанный в окружность Десятиугольник вписанный в окружность= 72Десятиугольник вписанный в окружность, значит АВ = АС.

2. В Десятиугольник вписанный в окружностьОАС: Десятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружность= 36 Десятиугольник вписанный в окружность Десятиугольник вписанный в окружностьАС = ОС

3. Обозначим АВ через х, ОС также равно х. АО = R , BC = R — x .

Из подобия Десятиугольник вписанный в окружностьAВС и Десятиугольник вписанный в окружностьОАВ следует: x 2 + Rх — R 2 = 0

(получили квадратное уравнение относительно х)

x1 = Десятиугольник вписанный в окружность— решений нет, т.к. длина отрезка не может быть отрицательной

x2 = Десятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружностьR — ч.т.д.

Исследование: зададимся вопросом — чему равен Десятиугольник вписанный в окружностьи Десятиугольник вписанный в окружность.

1. В Десятиугольник вписанный в окружностьОАВ проведём медиану ОК (она же высота и биссектриса).

АК = x/2= R·Десятиугольник вписанный в окружность

Десятиугольник вписанный в окружностьR = R·Десятиугольник вписанный в окружность

Итак: Десятиугольник вписанный в окружность = Десятиугольник вписанный в окружность

Десятиугольник вписанный в окружность

2. Десятиугольник вписанный в окружность= 2* Десятиугольник вписанный в окружность= 2* Десятиугольник вписанный в окружность* Десятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружность· Десятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружность

Десятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружность

11Задача № 1280. Докажите, что отрезок АК, изображённый на рисунке, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром О.

А и В Десятиугольник вписанный в окружностьОкр(О;R);

АОДесятиугольник вписанный в окружностьОВ;

Окр(С; r = СВ)Десятиугольник вписанный в окружностьАС = К

Доказать: АК = Десятиугольник вписанный в окружностьR (по предыдущей задачи)

Десятиугольник вписанный в окружность

1. АО = R, OC = Десятиугольник вписанный в окружность, AC = Десятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружность;

2. КС = Десятиугольник вписанный в окружность, АК = АС — КС = Десятиугольник вписанный в окружностьДесятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружностьR — ч.т.д.

Вывод: данный способ можно использовать для построения правильного десятиугольника.+

4. Закрепление изученного материала.

Задача № 1283: В данную окружность впишите правильный пятиугольник.

Мы рассмотрим иной способ построения, не тот который предлагают в ответе.

1. Строим окружность произвольного радиуса R и проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и СD.

2. Делим пополам радиус АО точкой Е.

3. Из Е радиусом ЕС проводим дугу CF, пересекая ею диаметр АВ в точке F.

4. Из С радиусом CF проводим дугу FG, пересекая ею данную окружность в точке G; CG(равная CF) есть одна сторона искомой фигуры.

5. Проводим тем же радиусом дугу из точки G как из центра, получаем ещё одну вершину Н искомой фигуры и т. д.

6. CGHKL — правильный пятиугольник.

Десятиугольник вписанный в окружность

1. Сторона правильного пятиугольника вписанного в Окр.(О;R) равна Десятиугольник вписанный в окружность Десятиугольник вписанный в окружность.

Десятиугольник вписанный в окружность

11 ОМ — биссектриса, медиана и высота равнобедренного Десятиугольник вписанный в окружностьОСG.

СМ = R Десятиугольник вписанный в окружностьa5 = 2СМ = 2 R Десятиугольник вписанный в окружность

Учитывая, что Десятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружность,

окончательно получаем: a5 = Десятиугольник вписанный в окружностьДесятиугольник вписанный в окружность.

2. У нас по построению

1) ЕО = Десятиугольник вписанный в окружность; ЕС = ЕF = Десятиугольник вписанный в окружность

2) OF = EF — EO = Десятиугольник вписанный в окружностьR

3) CG = CF = Десятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружность= Десятиугольник вписанный в окружностьДесятиугольник вписанный в окружность.

Итак, по построению CG = Десятиугольник вписанный в окружность Десятиугольник вписанный в окружность— ч.т.д.

5. Подведение итогов урока.

Домашнее задание: пункт 109, № 1282, №1284.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

10 Угольник вписанный в окружность

Десятиугольник вписанный в окружность

Десятиугольник, вписанный в окружность

Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD. Делим пополам радиус АО в точке Е. Из Е радиусом ЕС проводим дугу CF, пересекая ею диаметр АВ в точке F. OF есть сторона искомой фигуры. С помощью циркуля, сделаем на окружности десять последовательных засечек. Получим вершины искомой фигуры. Подобно построению пятиугольника, вписанного в окружность.

Десятиугольник вписанный в окружность

Десятиугольник, описанный около окружности

Имеем исходную окружность с центром в точке O. Так как сумма углов, составляющих центральный угол окружности, равна 360°. Делим данный угол на 10 частей (т.к. строим десятиугольник) с помощью транспортира, т.е. 360°:10=36°. Получаем 10 вершин: A, B, C, D, E, F, G, H, K, L. Соединяем эти вершины, получаем правильный десятиугольник.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома – страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8924 – Десятиугольник вписанный в окружность| 7231 – Десятиугольник вписанный в окружностьили читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Десятиугольник вписанный в окружность

  • Как начертить десятиугольник
  • Как начертить угол без транспортира
  • Как построить правильный восьмиугольник
  • – циркуль;
  • – линейка.

Десятиугольник вписанный в окружность

2 способ: Опять же, с помощью циркуля начертите окружность. Центр получившейся окружности обозначьте буквой О. Проведите два перпендикулярных диаметра данной окружности СD и АВ. Разделите один из 4-х радиусов на две равные части. Из рисунка видно, что радиус СО = СМ+МО, где СМ=МО.

Дальше поставьте ножку циркуля в точку М и начертите окружность радиусом, равным половине радиуса первоначальной окружности. С помощью линейки соедините центр маленькой окружности М с любой из 2-х точек (А или В) на перпендикулярном диаметре. На рисунке центр маленькой окружности соединен сточкой А. Длина, получившегося отрезка АМ будет равна длине стороны десятиугольника. Осталось только сделать раствор циркуля, равный длине отрезка АМ, поставить ножку циркуля в точку А и отметить следующую точку на окружности. Далее переместите ножку циркуля в новую точку и отметьте следующую. И так до тех пор, пока на окружности не появится 10 равноудаленных друг от друга точек.

Правильный десятиугольник
Десятиугольник вписанный в окружность
Сторон и вершин10
Символ Шлефли
Внутренний угол144°
СимметрияДиэдрическая ( D 10 > Десятиугольник вписанный в окружность), порядок 20.

Десятиуго́льник (правильный десятиугольник — декагон) — многоугольник с десятью углами и десятью сторонами.

Видео:Построение 7 угольника циркулем, приближенноеСкачать

Построение 7 угольника циркулем, приближенное

Содержание

Видео:Построение 8 угольника циркулемСкачать

Построение 8 угольника циркулем

Правильный десятиугольник [ править | править код ]

У правильного десятиугольника все стороны равной длины, и каждый внутренний угол составляет 144°.

Площадь правильного десятиугольника равна (t — длина стороны):

A = 5 2 t 2 c t g π 10 = 5 t 2 2 5 + 2 5 ≈ 7.694 t 2 . >t^ ctg >= > > >>>approx 7.694t^ .> Десятиугольник вписанный в окружность

Альтернативная формула A = 2.5 d t Десятиугольник вписанный в окружность, где d – расстояние между параллельными сторонами или диаметр вписанной окружности. В тригонометрических функциях он выражается так:

d = 2 t ( cos ⁡ 3 π 10 + cos ⁡ π 10 ) , >+cos >
ight),> Десятиугольник вписанный в окружность

и может быть представлен в радикалах как

d = t 5 + 2 5 . >>>.> Десятиугольник вписанный в окружность

Сторона правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность, равна 5 − 1 2 = 1 φ >-1> >= >> Десятиугольник вписанный в окружность, где φ Десятиугольник вписанный в окружность– золотое сечение.

Радиус описанной окружности десятиугольника равен

R = 5 + 1 2 t , >+1> >t,> Десятиугольник вписанный в окружность

а радиус вписанной окружности

r = 5 + 2 5 2 t . >>> >t.> Десятиугольник вписанный в окружность

Построение [ править | править код ]

По теореме Гаусса — Ванцеля правильный десятиугольник возможно построить, используя лишь циркуль и линейку.

Десятиугольник вписанный в окружность

Иначе его можно построить следующим образом:

  1. Построить сначала правильный пятиугольник.
  2. Соединить все его вершины с центром описанной окружности прямыми до пересечения с этой же окружностью на противоположной стороне. В этих точках пересечения и находятся остальные пять вершин десятиугольника.
  3. Соединить по порядку вершины пятиугольника и пять точек, найденные шагом ранее. Искомый десятиугольник построен.

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Разбиение правильного десятиугольника [ править | править код ]

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный 2 m Десятиугольник вписанный в окружность-угольник можно разбить на m ( m − 1 ) 2 >> Десятиугольник вписанный в окружностьромбов. Для декагона m = 5 Десятиугольник вписанный в окружность, так что он может быть разбит на 10 ромбов.

Разбиение правильного десятиугольника

Десятиугольник вписанный в окружность

Десятиугольник вписанный в окружность

Пространственный десятиугольник [ править | править код ]

Правильные пространственные десятиугольники
###
Десятиугольник вписанный в окружность

Пентаграммная антипризма с перекрёстом

Пространственный десятиугольник — это пространственный многоугольник с десятью рёбрами и вершинами, но не лежащими в одной плоскости. У пространственного зиг-заг десятиугольника вершины чередуются между двумя параллельными плоскостями.

У правильного пространственного десятиугольника все рёбра равны. В трёхмерном пространстве это зиг-заг пространственный декагон, он может быть обнаружен среди рёбер и вершин пентагональной антипризмы, пентаграммной антипризмы, пентаграммной перекрещивающейся антипризмы с той же D5d [2 + ,10] симметрией порядка 20.

Его также можно найти в некоторых выпуклых многогранниках с икосаэдрической симметрией. Многоугольники по периметру этих проекций (см. ниже) это пространственные десятиугольники.

Ортогональные проекции многогранников
Десятиугольник вписанный в окружностьДодекаэдрДесятиугольник вписанный в окружностьИкосаэдрДесятиугольник вписанный в окружностьИкосододекаэдрДесятиугольник вписанный в окружностьРомботриаконтаэдр

Многоугольники Петри [ править | править код ]

Правильный пространственный десятиугольник — это многоугольник Петри для многих многогранников высших размерностей, как показано на этих ортогональных проекциях на различных плоскостях Коксетера.

Поделиться или сохранить к себе: