Делит ли медиана треугольника напополам (8 видео)

Медиана угла

Определение медианы

Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с
серединой противоположной стороны. Медиана делит противолежащую сторону пополам.
Основание медианы — это точка пересечения медианы со стороной треугольника.

На рисунке 1 изображены три медианы, делящие каждая свою противолежащую
сторону пополам. Медианы BF, AH, CE соответственно делят пополам свои
противолежащие стороны AC, CB, AB.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Медиана делит площадь треугольника пополам

Медиана делит площадь треугольника пополам

Два треугольника называются равновеликими. Если они имеют одинаковую площадь.

Теорема 1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Пусть ВМ – медиана треугольника АВС. Докажем, что

Проведем высоту BH треугольника АВС. Тогда

Так как ВМ – медиана треугольника АВС, то АМ=МС, поэтому

Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников.

Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Из теоремы, в частности следует, что если точку пересечения медиан треугольника соединить со всеми его вершинами, то треугольник разобьется на три равновеликие части.

Задача 1 Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 3 и 4. Найти площадь треугольника.

Пусть в треугольнике АВС медианы АМ и ВЕ равны 3 и 4 соответственно, , К – точка пересечения медиан.

Так как треугольник АВК прямоугольный с прямым углом ВКА, то .

Так как медиан делят треугольник на 6 равновеликих частей, то .

Задача 2 Медианы треугольника равны 6, 8 и 10, найти площадь треугольника.

Пусть медианы АM, BE и CD данного треугольника соответственно равны 6, 8 и 10, К – точка их пересечения. Отложим на продолжении луча ВЕ за точку Е отрезок EF=KE. Соединим точки С, F и A.

Рассмотрим треугольник KAF.

то

Далее, , так как CKAE – параллелограмм (по признаку параллелограмма: ели диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, до данный четырехугольник параллелограмм), получаем .

Так как , то есть , то по обратной теореме Пифагора (если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный) треугольник KAF – прямоугольный и .

Вычислим площадь треугольника AKF:

Теперь сравним площади треугольников AKF и АВС: так как AE – медиана треугольника AKF, то

, ,

Отметим, что задачу можно решить по-другому, если воспользоваться тем фактом, что:

площадь треугольника, образованного медианами данного треугольника составляет от площади самого треугольника.

Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Вопросы для самопроверки:

1. Какие треугольники называются равновеликими?

2. Площадь треугольника равна S. Чему равна площадь каждого из треугольников, на которые его разбивает медиана, проведенная к какой-либо стороне этого треугольника?

3. На сколько равновеликих частей разбивают треугольник проведенные в нем три медианы?

4. Площадь треугольника равна S. Цент тяжести этого треугольника соединили с его вершинами. Чему равна площадь каждого из получившихся треугольников?

5. Площадь треугольника равна 48, чему равна площадь треугольника, составленного из медиан этого треугольника?

6. Площадь треугольника, составленного из медиан некоторого треугольника равна 24, чему равна площадь треугольника?

Задачи для самостоятельного решения:

1. Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 8. Найти площадь треугольника.

2. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 найти площадь треугольника.

3. Треугольник АВС, стороны которого 13 см, 14 см и 15 см, разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку М пересечения медиан треугольника с вершинами треугольника. Найти площадь треугольника ВМС.

4. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей, равна 5. Найдите площадь треугольника.

Видео:Медиана треугольника делит пополам угол ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать