С помощю этого онлайн калькулятора можно найти уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельной данной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения плоскости, введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
- Предупреждение
- Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной заданной плоскости − теория, примеры и решения
- Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости
- Определение уравнения плоскости
- Общее уравнение плоскости
- Нормальное уравнение плоскости
- Уравнение плоскости в отрезках
- Взаимное расположение плоскостей
- 🔥 Видео
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной заданной плоскости − теория, примеры и решения
| Ax+By+Cz+D=0 | (1) |
Наша задача найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и параллельной плоскости (1)(Рис.1).
 |
Все параллельные плоскости имеют коллинеарные нормальные векторы. Поэтому для построения параллельной к (1) плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) нужно взять в качестве нормального вектора искомой плоскости, нормальный вектор n=(A, B, C) плоскости (1). Далее нужно найти такое значение D, при котором точка M0(x0, y0, z0) удовлетворяла уравнению плоскости (1):
 | (2) |
Решим (2) относительно D:
| D=−(Ax0+By0+Cz0) | (3) |
Подставляя значение D из (3) в (1), получим:
| Ax+By+Cz−(Ax0+By0+Cz0)=0 | (4) |
Уравнение (4) можно представить также в следующем виде:
| A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0 | (5) |
Уравнение (5) является уравнением плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и параллельной плоскости (1).
Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1, −6, 2) и параллельной плоскости :
 | (6) |
Запишем коэффициенты нормального вектора плоскости (6):
 | (7) |
Подставляя координаты точки M0 и координаты нормального вектора в (3), получим:
  | (8) |
Подставляя значения A, B, C, D в уравнение плоскости (1), получим:
 |
Уравнение плоскости можно представить в более упрощенном виде, умножив на 4:
 |
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1, −6, 2) и параллельной плоскости (6) имеет следующий вид:
Видео:Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать
Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости
В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.
Видео:Уравнение плоскости через 2 точки параллельно векторуСкачать
Определение уравнения плоскости
Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.
Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными х , у и z . Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.
Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.
Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.
Видео:Уравнение плоскости через 3 точкиСкачать
Общее уравнение плоскости
Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.
Всякая плоскость в прямоугольной системе координат O x y z в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 , где А , В , С и D – некоторые действительные числа, которые одновременно не равны нулю. Всякое уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 , определяет плоскость в трехмерном пространстве
Уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам А , В , С и D конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.
Важно понимать, что уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , будет точно так же определять плоскость. В уравнении λ — это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства A x + B y + C z + D = 0 и λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 равнозначны.
Общим уравнениям плоскости x — 2 · y + 3 · z — 7 = 0 и — 2 · x + 4 · y — 2 3 · z + 14 = 0 удовлетворяют координаты одних и тех же точек, расположенных в трехмерном пространстве. Это значит, что они задают одну и ту же плоскость.
Дадим пояснения к рассмотренной выше теореме. Плоскость и ее уравнение неразделимы, так как каждому уравнению A x + B y + C z + D = 0 соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат, а каждой плоскости, расположенной в трехмерном пространстве, соответствует ее уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 .
Уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 может быть полным и неполным. Все коэффициенты А , B , С и D в полном уравнении отличны от нуля. В противном случае, общее уравнение плоскости считается неполным.
Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.
Рассмотрим положение в пространстве плоскости, заданной уравнением 4 · y — 5 · z + 1 = 0 .
Она параллельна оси абсцисс и располагается перпендикулярно по отношению к плоскости O y z . Уравнение z = 0 определяет координатную плоскость O y z , а общее уравнение плоскости вида 3 · x — y + 2 · z = 0 соответствует плоскости, которая проходит через начало координат.
Важное уточнение: коэффициенты А , В и С в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.
Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.
Видео:1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать
Нормальное уравнение плоскости
Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 , которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора n → = ( A , B , C ) равна единице, т.е. n → = A 2 + B 2 + C 2 = 1 , а D ≤ 0 .
Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , где p – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а cos α , cos β , cos γ — это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.
n → = ( cos α , cos β , cos γ ) , n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат O х у z удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости n → = ( cos α , cos β , cos γ ) . Если p равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.
Плоскость задана общим уравнением плоскости вида — 1 4 · x — 3 4 · y + 6 4 · z — 7 = 0 . D = — 7 ≤ 0 , нормальный вектор этой плоскости n → = — 1 4 , — 3 4 , 6 4 имеет длину, равную единице, так как n → = — 1 4 2 + — 3 4 2 + 6 4 = 1 . Соответственно, это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости.
Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.
Видео:2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1Скачать
Уравнение плоскости в отрезках
Плоскость отсекает на координатных осях O х , O у и O z отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами a , b и с . Уравнение плоскости в отрезках имеет вид x a + y b + z c = 1 . Знак чисел а , b и с показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.
Построим в прямоугольной системе координат плоскость, которая задана уравнением формулы плоскости в отрезках x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .
Точки удалены от начала координат в отрицательном направлении на 5 единиц по оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении по оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении по оси аппликат. Отмечаем точки и соединяем их прямыми линиями.
Плоскость полученного треугольника является плоскостью, соответствующей уравнению плоскости в отрезках, имеющего вид x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .
Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.
Видео:4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать
Взаимное расположение плоскостей
Данный калькулятор предназначен для определения взаимного расположения двух плоскостей в пространстве онлайн.
Две плоскости могут иметь три варианта взаимного расположения относительно друг друга. Во-первых, плоскости могут быть параллельны. Во-вторых, они могут быть перпендикулярны. В таком случае угол между плоскостями равен 90 градусам. В-третьих, плоскости могут пересекаться, образовывая при этом два острых и два тупых угла.
Таким образом, с помощью данного калькулятора определяется следующее: пересекаются или нет плоскости, и, если они пересекаются, то перпендикулярны ли они.
Чтобы ответить на вопрос о взаимном расположении плоскостей, необходимо ввести уравнения заданных плоскостей в калькулятор и нажать кнопку «Вычислить».
🔥 Видео
17. Показать что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости в которой они расположеныСкачать
3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскостиСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Видеоурок "Уравнение плоскости по трем точкам"Скачать
Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать
Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать
№976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 3y-6 = 0 и 2х+у-4 = 0.Скачать
Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать
Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку M (3;2;4).Скачать
Уравнение плоскости. Практика. Урок 5. Геометрия 11 классСкачать
9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать
