Дана трапеция ABCD с основаниями АD и BС. Окружности, построенные на боковых сторонах этой трапеции, как на диаметрах, пересекаются в точках Р и К.
а) Докажите, что прямые РК и ВС перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка РК, если известно, что АD = 20, BC = 6, AB = 16, DC = 14.
а) Отрезок PK — общая хорда окружностей, поэтому она перпендикулярна их линии центров, то есть средней линии трапеции. Значит, она перпендикулярна и основаниям трапеции.
б) Радиусы окружностей равны 
и 
а расстояние между центрами равно 
Длина общей хорды в два раза больше высоты треугольника со сторонами 
проведенной к большей стороне. Значит,
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | |
|---|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 | |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. Содержание Видео:№571. Дана трапеция ABCD, в которой ∠A=90°, ∠D = 45°, ВС = 4 см, CD = 3√2 см. Вычислите площадиСкачать  Задача 11237 .Условие
Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD. а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм. б) Найдите AD, если ∠BAD=60° и BC=2. Решение
а) б)Δ OAH — равносторонний, углы при основании 60 градусов ⇒ АН=R ⇒ AK=KH=R/2 Δ ОАК подобен Δ OTD OQ- cредняя линия трапеции АВСD. OQ=(BC+AD)/2=(2+2+2R)/2=2+R Видео:№387. Найдите углы В и D трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ∠A=36°, ∠C= 117°.Скачать  Дана трапеция с основаниями ад и вс окружности построенныеНапомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства. $$ 4.^$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям — подобны. $$ 4.^$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`). $$ 4.^$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22). $$ 4.^$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23). $$ 4.^$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24). $$ 4.^$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме (рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`). $$ 4.^$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26). $$ 4.^$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27). $$ 4.^$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` — диагональ, `c` — боковая сторона, `a` и `b` основания. Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`. $$ 4.^$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`). $$ 4.^$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая. Докажем, например, утверждение $$ 4.^$$ . Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б): `ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`, `ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`). Проводим `CK«||«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:
В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем
Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны. `AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.^$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` — его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б). По построению `ACKD` — параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@` (т. к. угол `BDK` — это угол между диагоналями трапеции). Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`. Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` — высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.^$$ `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`, откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah` и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`, то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`. Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна
Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).
Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции. Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.^$$ около этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.^$$ Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда $$ 4.^$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований. $$ 4.^$$. Если `S_1` и `S_2` — площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`. $$ 4.^$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` — какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` — смотрящий на неё вписанный угол. 🎬 ВидеоЕГЭ Задание 16 Трапеция и две окружностиСкачать  Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD Точки M и N являются серединами сторон AB и CD ЕГЭСкачать  №799. Дана равнобедренная трапеция ABCD. Перпендикуляр, проведенный из вершины В к большему основаниСкачать  Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать  10.20.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать  Геометрия Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром OСкачать  ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать  Геометрия В трапеции ABCD основания AD и BC. Диагональ AC разбивает ее на два равнобедренныхСкачать  Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать  8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать  Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать  Задание второй части реального варианта ЕГЭ 2015 Планиметрия #3Скачать  №552. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите:Скачать  Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать  Последнее ДВИ МГУ Дана трапеция ABCD с основаниямиСкачать  СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать  Средняя линия описанной трапеции. ВЫ ТОЧНО ПОПАЛИ!Скачать  №42. Даны параллелограмм ABCD и трапеция ABEK с основанием ЕК, не лежащие в одной плоскости,Скачать  |
