Дан остроугольный треугольник авс (4 видео)

Сборник «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ» под редакцией И. В. Ященко, 2020 год. Вариант 2, задача 16

Дан остроугольный треугольник . Биссектриса внутреннего угла при вершине пересекает биссектрису внешнего угла при вершине в точке , а биссектриса внутреннего угла при вершине пересекает биссектрису внешнего угла при вершине в точке .

а) Докажите, что угол в два раза больше угла .

б) Найдите , если , .

а) Биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Значит,

Отрезок виден из точек и под прямым углом, значит точки лежат на одной окружности, тогда (опирается на дугу )

– равнобедренный. Найдём . В пункте (а) мы доказали, что точки лежат на одной окружности. Пусть

Рассмотрим В нём и – высоты; Пусть – середина ; – равнобедренный, – медиана и высота . Тогда из :

Из найдём Найдём . Из , , получим:

Найдём , зная, что

По формуле косинуса двойного угла,

; так как – острый,

Несложно доказать, что точка лежит на прямой (хотя при решении это и не понадобилось)

Содержание

Решение задач повышенной сложности по планиметрии методом построения вспомогательной окружности и теоремы Птолемея
1. Метод проведения вспомогательной окружности.
2. Применение теоремы Птолемея
Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия.
теория по математике 📈 планиметрия
Виды треугольников по углам
Виды треугольников по сторонам
Медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника
Медиана
Биссектриса
Высота
Средняя линия
🎥 Видео

Видео:№154. Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.Скачать

Решение задач повышенной сложности по планиметрии методом построения вспомогательной окружности и теоремы Птолемея

Разделы: Математика

Классы: 10 , 11

1. Метод проведения вспомогательной окружности.

Проведение вспомогательной окружности около четырехугольника позволяет установить равенство вписанных углов, либо использовать свойства четырехугольника, вписанного в окружность и свойства описанной окружности.

Задача 1. В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и С. Пусть К и L – основания перпендикуляров, опущенных из вершины В на эти биссектрисы.

Докажите, что прямая КL параллельна АС. [3]

Задача 2. Внутри острого угла, равного , взята точка М, удаленная от сторон угла на расстояния k и n.

Найти расстояние от вершины угла до точки М. [3]

Задача 3. Дан остроугольный треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС во внешнюю сторону построены равные прямоугольники АВМN и LВСК так, что АВ = КС.

Докажите, что прямые АL, NК и МС пересекаются в одной точке. [3]

Задача 4. В треугольнике NMF медиана МА делит угол М так, что NMА = 20° и АMF= 30°. Из точки А опущены перпендикуляры АК и АС на стороны NM и MF соответственно.

Вычислить площадь треугольника АКС, если АК = 5 и КС = 7. [2]

Задача 5. Пусть А₁ , В₁ , С₁ – точки касания вписанной окружности остроугольного треугольника АВС со сторонами ВС, АС, АВ соответственно. Обозначим через Н₁ и Н ортоцентры треугольников ВС₁А₁ и СА₁В₁ соответственно.

Доказать, что четырехугольник ВН₁НС — вписанный. [3]

2. Применение теоремы Птолемея

Теорема Птолемея: В любом вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, т.е. АС•ВD=AB•CD+BC•AD.

Задача 1. В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС). На дуге АВ взята произвольная точка К и соединена хордами с вершинами треугольника.

Доказать, что АК • КС = АВ 2 – КВ 2 . [3]

Задача 2. Длины катетов прямоугольного треугольника равны а и в. На его гипотенузе во внешнюю сторону треугольника построен квадрат, одна из сторон которого совпадает с гипотенузой.

Найдите расстояние от вершины прямого угла треугольника до центра квадрата. [3]

Задача 3. В равнобочной трапеции основание АD равно диагонали АС. Известно, что САD = СDМ, где М – середина ВС.

Найти углы трапеции. [1]

Задача 4. Вокруг равностороннего треугольника АВС описана окружность радиуса R и на дуге ВС окружности взята точка М так, что дуга ВС делится этой точкой в отношении 1:3, считая от вершины В.

Найти расстояние АМ. [1]

Задача 5. Доказать, что в равнобочной трапеции произведение длин оснований равно разности квадратов диагонали и боковой стороны. [2]

1. И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике для 10 кл. М., Просвещение, 1989 г.

2. О.Ю. Черкасов. Планиметрия на вступительном экзамене, “Московский лицей”, 1996г.

3. Задачи математических конкурсов и олимпиад 2007-2010 гг.

Видео:№196. Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провестиСкачать

Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия.

теория по математике 📈 планиметрия

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек на плоскости, которые не лежат на одной прямой, и трех последовательно соединяющих их отрезков.

Точки называют вершинами треугольника, а отрезки – сторонами. Вершины треугольника обозначают заглавными латинскими буквами.

Виды треугольников по углам

Треугольники классифицируются по углам: остроугольные; тупоугольные; прямоугольные.

Остроугольные	Тупоугольные	Прямоугольные
Остроугольным треугольником называется треугольник, у которого все три угла острые. На рисунке показан такой остроугольный треугольник АВС.	Тупоугольным называется треугольник, у которого есть тупой угол. В треугольнике может быть только один тупой угол. На рисунке показан треугольник такого вида, где угол М – тупой.	Прямоугольным называется треугольник, у которого есть угол, равный 90 0 (прямой угол). На рисунке угол С равен 90 0 . Такой угол в любом прямоугольном треугольнике – единственный.

Виды треугольников по сторонам

Треугольники классифицируются по сторонам: разносторонний; равнобедренный; равносторонний.

Разносторонний	Равнобедренный	Равносторонний
Треугольник называется разносторонним, если у него длины всех сторон разные. На рисунке показан такого вида треугольник АВС.	Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. На рисунке показан равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ=ВС.	Треугольник называется равносторонним, если у него все стороны равны. На рисунке показан такой треугольник, у него АВ=ВС=АС.

Видео:7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольникиСкачать

Медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника

Медиана

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

В любом треугольнике можно провести три медианы, так как сторон – три. На рисунке показаны медианы треугольника АВС: AF, EC, BD.

По данному рисунку также видно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке – точке О. Это справедливо для любого треугольника.

Биссектриса

Биссектрисой треугольника называется луч, исходящий из вершины угла треугольника и делящий его пополам.

В любом треугольнике можно провести три биссектрисы, так как углов – три. На рисунке показаны биссектрисы треугольника ЕDC: DD₁, EE₁ и CC₁.

По рисунку также видно, что биссектрисы имеют одну точку пересечения. Это справедливо для любого треугольника.

Высота

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне.

На рисунке показаны высоты треугольника АВС: АН₁, ВН₂ и СН₃.

По рисунку видно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Это также справедливо для любого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке показаны три средние линии треугольника АВС: MN, KN и MK.

Средняя линия обладает следующими свойствами: она параллельна противоположной стороне; она равна половине противоположной стороны. Так, на данном рисунке MN параллельна АС, KN параллельна АВ, MK параллельна ВС. Также MN=0,5АС, KN=0,5АВ и MK=0,5ВС. Например, если известно, что сторона АС=20 см, то средняя линия МN равна половине АС, то есть МN=10 см. Или, например, если средняя линия МК=12 см, то сторона ВС будет в два раза больше, то есть ВС=24 см.

Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.

При построении прямой АО образовалась точка пересечения этой прямой с окружностью, обозначим её буквой Е и соединим с точкой В и с точкой С. Получим вписанные углы АВЕ и АСЕ, опирающиеся на диаметр АЕ, следовательно угол АВЕ и АСЕ равны по 90 0 .

Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Составим отношение сторон:

A E A B . . = A B A F . . откуда по свойству пропорции АВ 2 =АЕ ∙ АF

Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.

Составим отношение сторон:

A E A D . . = A C A F . . ; откуда выразим AD= A E ∙ A F А C . . = A E ∙ A F A C . .

Теперь рассмотрим наши два полученных равенства: АВ 2 =АЕ ∙ АF и AD= A E ∙ A F A C . .

Видим, что 36 2 =АЕ ∙ АF (подставили вместо АВ значение 36), также у нас известно, что АС=54. Найдем из второго равенства AD= A E ∙ A F A C . . = 36 2 54 . . = 24

Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник АВС. Найти длину его средней линии, параллельной стороне АС.

Для решения задачи надо вспомнить свойство средней линии: она параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, чтобы найти длину средней линии, надо сторону треугольника разделить пополам. Найдем сторону треугольника, которой параллельна средняя линия, т.е. АС, сосчитав клетки, получим, что АС равна 8. Значит, средняя линия равна 8:2=4.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

В треугольнике АВС известно, что угол ВАС равен 84 0 , АD – биссектриса. Найдите угол ВАD. Ответ дайте в градусах.

Ключевое слово в данной задаче – биссектриса. Вспоминаем, что она делит угол пополам. Нам надо найти величину угла ВАD, следовательно он равен половине угла ВАС, то есть 84 0 :2=42 0

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить