Cos в равностороннем треугольнике

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Содержание
  1. Определение равностороннего треугольника
  2. Свойства равностороннего треугольника
  3. Свойство 1
  4. Свойство 2
  5. Свойство 3
  6. Свойство 4
  7. Свойство 5
  8. Свойство 6
  9. Пример задачи
  10. Теорема косинусов и синусов
  11. Формулировка и доказательство теоремы косинусов
  12. Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
  13. Косинусы углов треугольника
  14. Определение угла с помощью косинуса
  15. Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
  16. Примеры решения задач
  17. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  18. Типы треугольников
  19. По величине углов
  20. По числу равных сторон
  21. Вершины углы и стороны треугольника
  22. Свойства углов и сторон треугольника
  23. Теорема синусов
  24. Теорема косинусов
  25. Теорема о проекциях
  26. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  27. Медианы треугольника
  28. Свойства медиан треугольника:
  29. Формулы медиан треугольника
  30. Биссектрисы треугольника
  31. Свойства биссектрис треугольника:
  32. Формулы биссектрис треугольника
  33. Высоты треугольника
  34. Свойства высот треугольника
  35. Формулы высот треугольника
  36. Окружность вписанная в треугольник
  37. Свойства окружности вписанной в треугольник
  38. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  39. Окружность описанная вокруг треугольника
  40. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  41. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  42. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  43. Средняя линия треугольника
  44. Свойства средней линии треугольника
  45. Периметр треугольника
  46. Формулы площади треугольника
  47. Формула Герона
  48. Равенство треугольников
  49. Признаки равенства треугольников
  50. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  51. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  52. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  53. Подобие треугольников
  54. Признаки подобия треугольников
  55. Первый признак подобия треугольников
  56. Второй признак подобия треугольников
  57. Третий признак подобия треугольников

Видео:Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэСкачать

Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэ

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Cos в равностороннем треугольнике

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Cos в равностороннем треугольнике

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

Cos в равностороннем треугольнике

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Cos в равностороннем треугольнике

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Cos в равностороннем треугольнике

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Cos в равностороннем треугольнике

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:
Cos в равностороннем треугольнике

2. Радиус вписанной окружности:
Cos в равностороннем треугольнике

3. Радиус описанной окружности:
Cos в равностороннем треугольнике

4. Периметр:
Cos в равностороннем треугольнике

5. Площадь:
Cos в равностороннем треугольнике

Видео:Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать

Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Теорема косинусов и синусов

Cos в равностороннем треугольнике

О чем эта статья:

Видео:Геометрия Равносторонний треугольникСкачать

Геометрия  Равносторонний треугольник

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Cos в равностороннем треугольнике

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

Cos в равностороннем треугольнике

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

Cos в равностороннем треугольнике

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

cos 2 α + sin 2 α = 1основное тригонометрическое тождество.

BC 2 = a 2 = (b cos α — c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α — 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) — 2bc cos α + c 2

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:

Cos в равностороннем треугольнике

  • Когда b 2 + c 2 — a 2 > 0, угол α будет острым.
  • Когда b 2 + c 2 — a 2 = 0, угол α будет прямым.
  • Когда b 2 + c 2 — a 2

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

  • AD = b × cos α,
  • DB = c – b × cos α.

Cos в равностороннем треугольнике

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

  • h 2 = b 2 — (b × cos α) 2
  • h 2 = a 2 — (c – b × cos α) 2

Приравниваем правые части уравнений:

  • b 2 — (b × cos α) 2 = a 2 — (c — b × cos α) 2
  • a 2 = b 2 + c 2 — 2bc × cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

  • b 2 = a 2 + c 2 — 2ac × cos β;
  • c 2 = a 2 + b 2 — 2ab × cos γ.

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 — 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos γ

Cos в равностороннем треугольнике

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Видео:Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Cos в равностороннем треугольнике

Cos в равностороннем треугольнике

Cos в равностороннем треугольнике

Cos в равностороннем треугольнике

Cos в равностороннем треугольнике

Видео:Как построить равнобедренный или равносторонний треугольник по клеткам.Скачать

Как построить равнобедренный или равносторонний треугольник по клеткам.

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Cos в равностороннем треугольнике

Видео:ОГЭ 16🔴Скачать

ОГЭ 16🔴

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α

Видео:Высота равностороннего треугольника равна 13√3 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Высота равностороннего треугольника равна 13√3 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Cos в равностороннем треугольнике

    Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
    Из треугольника АВС найдем cos B:

Cos в равностороннем треугольнике

Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Cos в равностороннем треугольнике

Cos в равностороннем треугольнике

Cos в равностороннем треугольнике

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.

Cos в равностороннем треугольнике

  • Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.

Cos в равностороннем треугольнике

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:1747 В равностороннем треугольнике ABC высота CH равна 5 корней из 3Скачать

1747  В равностороннем треугольнике ABC высота CH равна 5 корней из 3

Типы треугольников

По величине углов

Cos в равностороннем треугольнике

Cos в равностороннем треугольнике

Cos в равностороннем треугольнике

По числу равных сторон

Cos в равностороннем треугольнике

Cos в равностороннем треугольнике

Cos в равностороннем треугольнике

Видео:Решаем геометрию ОГЭ по математике 2024! Задание №15.Скачать

Решаем геометрию ОГЭ по математике 2024! Задание №15.

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Cos в равностороннем треугольнике

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Ускорение зарядов в равностороннем треугольнике #электричество #физика #егэ #олимпиады #огэСкачать

Ускорение зарядов в равностороннем треугольнике #электричество #физика #егэ #олимпиады #огэ

Медианы треугольника

Cos в равностороннем треугольнике

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

Биссектрисы треугольника

Cos в равностороннем треугольнике

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функции

Высоты треугольника

Cos в равностороннем треугольнике

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

Окружность вписанная в треугольник

Cos в равностороннем треугольнике

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Площадь равностороннего треугольникаСкачать

Площадь равностороннего треугольника

Окружность описанная вокруг треугольника

Cos в равностороннем треугольнике

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Cos в равностороннем треугольнике

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Cos в равностороннем треугольнике

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Cos в равностороннем треугольнике

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Cos в равностороннем треугольнике

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Поделиться или сохранить к себе: