- п.1. Решение неравенств с синусом
- п.2. Решение неравенств с косинусом
- п.3. Решение неравенств с тангенсом
- п.4. Решение неравенств с котангенсом
- п.5. Примеры
- Cos больше 0 на окружности
- Шаг 1. Введите неравенство
- Решение
- Где учитесь?
- Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
- А теперь подробно о тригонометрическом круге:
- 🎥 Видео
п.1. Решение неравенств с синусом
Алгоритм решения неравенства (sinxgt a)
Шаг 1. В числовой окружности на оси синусов отметить точку с ординатой (a). Провести горизонталь (y=a), отметить точки её пересечения с окружностью.
Шаг 2. Решить уравнение (sinx=a). Про решение простейших тригонометрических уравнений – см. §19 данного справочника. Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.
Шаг 3. Дуга числовой окружности над проведенной горизонталью – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: ((arcsina+2pi k; pi-arcsin a+2pi k))
$$ sin xgt frac12 $$ 1. Проводим горизонталь (y=frac12), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое). 2. Решаем уравнение (sinx=frac12) begin x=(-1)^kfracpi6+pi k= left[ begin fracpi6+2pi k\ frac+2pi k end right. end Подписываем точку справа (fracpi6) и точку слева (frac). 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: ((fracpi6; frac)). Добавляем к концам интервала полный период. Ответ: (left(fracpi6;+2pi k; frac+2pi kright)) |
Алгоритм решения неравенства (sinxgeq a) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).
Алгоритм решения неравенства (sinxlt a) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу под горизонталью (y=a). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания. Поэтому угол слева пишут отрицательным (отсчитывая период назад).
Наконец, в неравенстве (sinxleq a) всё будет то же, что и в (sinxlt a). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).
$$ sin xleq -frac<sqrt> $$ 1. Проводим горизонталь (y=-frac<sqrt>), отмечаем точки пересечения (закрашенные, т.к. неравенство нестрогое). 2. Решаем уравнение (sinx=-frac<sqrt>) begin x=(-1)^kleft(-fracpi4right)+pi k= left[ begin -frac+2pi k\ -frac+2pi k end right. end Подписываем точку справа (-frac) и точку слева (-frac). 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем отрезок: (left[-frac;-fracright]). Добавляем к концам отрезка полный период. Ответ: (left[-frac+2pi k;-frac+2pi kright]) |
п.2. Решение неравенств с косинусом
Алгоритм решения неравенства (cosxgt a)
Шаг 1. В числовой окружности на оси косинусов отметить точку с абсциссой (a). Провести вертикаль (x=a), отметить точки её пересечения с окружностью.
Шаг 2. Решить уравнение (cosx=a). Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.
Шаг 3. Дуга числовой окружности справа от проведенной вертикали – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: ((-arccosa+2pi k; arccosa+2pi k))
$$ cosxgt frac<sqrt> $$ 1. Проводим вертикаль (x=frac<sqrt>), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое). 2. Решаем уравнение (cosx=frac<sqrt>) begin x=pmfracpi6+2pi k end Подписываем точку снизу (-fracpi6) и точку сверху (frac). 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: (left(-fracpi6;fracpi6right)). Добавляем к концам интервала полный период. Ответ: (left(-fracpi6;+2pi k; frac+2pi kright)) |
Алгоритм решения неравенства (cosxgeq a) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).
Алгоритм решения неравенства (cosxlt a) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу слева от вертикали (x=a). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания, сверху вниз. Значение угла снизу должно быть больше, чем угла сверху.
Наконец, в неравенстве (cosxleq a) всё будет то же, что и в (cosxlt a). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).
п.3. Решение неравенств с тангенсом
Алгоритм решения неравенства (tgxgt a)
Шаг 1. На оси тангенсов (касательной к числовой окружности в точке (1,0)) отметить точку с ординатой (a). Провести луч из начала координат через отмеченную точку, отметить точку её пересечения с окружностью.
Шаг 2. Решить уравнение (tgx=a). Полученное базовое решение является значением точки пересечения.
Шаг 3. Дуга числовой окружности от отмеченной точки до (fracpi2) (в которой (tgxrightarrow +infty)) – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: (left(arctga+pi k; fracpi2+pi kright))
$$ tg xgt -frac<sqrt> $$ 1. На оси тангенсов отмечаем точку (-frac<sqrt>). Проводим луч из начала координат через эту точку. 2. Решаем уравнение (tgx=-frac<sqrt>) begin x=-fracpi6+pi k end Подписываем точку снизу (-fracpi6.) Верхней границей интервала будет (fracpi2), угол, в котором (tgxrightarrow +infty .) 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: (left(-fracpi6;fracpi2right)). Добавляем к концам интервала период для тангенса. Строго говоря, на числовой окружности длиной (2pi) получим две дуги для тангенса с периодом (pi). Ответ: (left(-fracpi6;+pi k; frac+pi kright)) |
Алгоритм решения неравенства (tgxlt a) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу от точки (-fracpi2) (в которой (tgxrightarrow -infty)) до найденного арктангенса.
Для нестрогих неравенств будут получаться полуинтервалы, в которых точки (pmfracpi2) ((tgxrightarrow pminfty)) будут ограничены круглой скобкой, а найденные арктангенсы – квадратной.
п.4. Решение неравенств с котангенсом
Решение неравенств с котангенсом аналогично решению с тангенсом. Для решения используется ось котангенсов (касательная к числовой окружности в точке (0;1)).
В неравенствах вида (ctgxgt a) пределу (ctgxrightarrow +infty) соответствует угол 0.
В неравенствах вида (ctgxlt a) пределу (ctgxrightarrow -infty) соответствует угол (pi).
п.5. Примеры
Пример 1. Решите неравенства:
a) (sinxleq frac<sqrt>) $$ xinleft[-frac+2pi k; frac+2pi kright] $$ | б) (cosxlt -frac) $$ xinleft(frac+2pi k; frac+2pi kright) $$ |
в) (sinxgt -frac<sqrt>) $$ xinleft(-frac+2pi k; frac+2pi kright] $$ | г) (tgxgeq 1) $$ xinleft.left(-frac+pi k; frac+pi kright.right] $$ |
Пример 2*. Решите неравенства:
a) (cosxgt -1) Справа от вертикали (x=-1) расположена вся числовая окружность, кроме точки (pi). |
Ответ: (xne pi+2pi k)
(4cdot fracleq 3)
(2+2cosxleq 3)
(cosxleqfrac12)
Ответ: (left[fracpi3+2pi k; frac+2pi kright])
в) (-sqrtlt tgxleq 5)
(-arctgsqrt+pi klt xleq arctg5+pi k)
(-fracpi3+pi klt xleq arctg5+pi k)
Ответ: (left.left(-frac+pi k; arctg5+pi kright.right])
г) (tgleft(x-fracpi4right)gtsqrt)
(arctgsqrt+pi klt x-fracpi4ltfracpi2+pi k)
(fracpi4+fracpi3+pi klt xltfracpi4+fracpi2+pi k)
(frac+pi klt xltfrac+pi k)
Ответ: (left(frac+pi k; frac+pi kright))
Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать
Cos больше 0 на окружности
Видео:Как решать тригонометрические неравенства?Скачать
Шаг 1. Введите неравенство
Укажите решение неравенства: cos(x)>0 (множество решений неравенства)
Решение
Дано неравенство:
$$cos > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$cos = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$cos = 0$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Получим:
$$cos = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = pi n + operatorname$$
$$x = pi n — pi + operatorname$$
Или
$$x = pi n + frac$$
$$x = pi n — frac$$
, где n — любое целое число
$$x_ = pi n + frac$$
$$x_ = pi n — frac$$
$$x_ = pi n + frac$$
$$x_ = pi n — frac$$
Данные корни
$$x_ = pi n + frac$$
$$x_ = pi n — frac$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_ 0$$
$$cos<left (pi n + frac + — frac right )> > 0$$
Тогда
$$x pi n + frac wedge x
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать
Где учитесь?
Для правильного составления решения, укажите:
Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать
Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.
Вот что мы видим на этом рисунке:
Видео:Формулы приведения - как их легко выучить!Скачать
А теперь подробно о тригонометрическом круге:
Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.
Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.
Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.
Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .
Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .
Всё это легко увидеть на нашем рисунке.
Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :
Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:
Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).
Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.
Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.
Легко заметить, что
Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:
где — целое число. То же самое можно записать в радианах:
Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,
🎥 Видео
ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИСкачать
10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенстваСкачать
Решить неравенство cosСкачать
Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать
Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэСкачать
Тригонометрия. Значения синуса и косинуса углов 0°,90°,180°, 270 °, 360° . 10-11 классСкачать
🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать
Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Решение неравенства cos t меньше 1/2Скачать
Решение неравенства cos t больше 1/2Скачать
Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать
В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте Ро(1;0) на угол...Скачать
✓ Тригонометрия: с нуля и до ЕГЭ | #ТрушинLive #030 | Борис ТрушинСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #окружностьСкачать
Решить тригонометрические неравенства sinxСкачать