Cos 11п 4 на окружности

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

• 

Вот что мы видим на этом рисунке:

Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.

Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .

И синус, и косинус принимают значения от до .

Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

Обозначаем числа (2π), (π), (frac), (-frac), (frac)

Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен (1). Значит, длина окружности равняется (2π) (вычислили по формуле (l=2πR)). С учетом этого отметим (2π) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от (0) по числовой окружности расстояние равно (2π) в положительном направлении, а так как длина окружности (2π), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу (2π) и (0) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.

Теперь обозначим на числовой окружности число (π). (π) – это половина от (2π). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от (0) в положительном направлении половину окружности.

Отметим точку (frac) . (frac) – это половина от (π), следовательно чтобы отметить это число, нужно от (0) пройти в положительном направлении расстояние равное половине (π), то есть четверть окружности.

Обозначим на окружности точки (-) (frac) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

Нанесем (-π). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число (frac) . Для этого дробь (frac) переведем в смешанный вид (frac) (=1) (frac) , т.е. (frac) (=π+) (frac) . Значит, нужно от (0) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки (-2π),(-) (frac) .

Обозначаем числа (frac), (frac), (frac)

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями (x) и (y). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки (frac) , (frac) и (frac) .
(frac) – это половина от (frac) (то есть, (frac) (=) (frac) (:2)) , поэтому расстояние (frac) – это половина четверти окружности.

(frac) – это треть от (π) (иначе говоря, (frac) (=π:3)), поэтому расстояние (frac) – это треть от полукруга.

(frac) – это половина (frac) (ведь (frac) (=) (frac) (:2)) поэтому расстояние (frac) – это половина от расстояния (frac) .

Вот так они расположены друг относительно друга:

Замечание: Расположение точек со значением (0), (frac) ,(π), (frac) , (frac) , (frac) , (frac) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

Разные расстояние на окружности наглядно:

Обозначаем числа (frac), (-frac), (frac)

Обозначим на окружности точку (frac) , для этого выполним следующие преобразования: (frac) (=) (frac) (=) (frac) (+) (frac) (=π+) (frac) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние (π), а потом еще (frac) .

Отметим на окружности точку (-) (frac) . Преобразовываем: (-) (frac) (=-) (frac) (-) (frac) (=-π-) (frac) . Значит надо от (0) пройти в отрицательную сторону расстояние (π) и еще (frac) .

Нанесем точку (frac) , для этого преобразуем (frac) (=) (frac) (=) (frac) (-) (frac) (=2π-) (frac) . Значит, чтобы поставить точку со значением (frac) , надо от точки со значением (2π) пройти в отрицательную сторону расстояние (frac) .

Обозначаем числа (10π), (-3π), (frac) ,(frac), (-frac), (-frac)

Запишем (10π) в виде (5 cdot 2π). Вспоминаем, что (2π) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку (10π), нужно от нуля пройти расстояние равное (5) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке (0), просто сделаем пять оборотов.

Из этого примера можно сделать вывод:

Числам с разницей в (2πn), где (n∈Z) (то есть (n) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

То есть, чтобы поставить число со значением больше (2π) (или меньше (-2π)), надо выделить из него целое четное количество (π) ((2π), (8π), (-10π)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

Точке, которой соответствует (0), также соответствуют все четные количества (π) ((±2π),(±4π),(±6π)…).

Теперь нанесем на окружность (-3π). (-3π=-π-2π), значит (-3π) и (–π) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в (-2π)).

Кстати, там же будут находиться все нечетные (π).

Точке, которой соответствует (π), также соответствуют все нечетные количества (π) ((±π),(±3π),(±5π)…).

Сейчас обозначим число (frac) . Как обычно, преобразовываем: (frac) (=) (frac) (+) (frac) (=3π+) (frac) (=2π+π+) (frac) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа (frac) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное (π+) (frac) (т.е. половину окружности и еще четверть).

Отметим (frac) . Вновь преобразования: (frac) (=) (frac) (=) (frac) (+) (frac) (=5π+) (frac) (=4π+π+) (frac) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное (π+) (frac) – и мы найдем место точки (frac) .

Нанесем на окружность число (-) (frac) .
(-) (frac) (= -) (frac) (-) (frac) (=-10π-) (frac) . Значит, место (-) (frac) совпадает с местом числа (-) (frac) .

Обозначим (-) (frac) .
(-) (frac) (=-) (frac) (+) (frac) (=-5π+) (frac) (=-4π-π+) (frac) . Для обозначение (-) (frac) , на числовой окружности надо от точки со значением (–π) пройти в положительную сторону (frac) .

Таблица КОСИНУСОВ для углов от 0° до 360° градусов

КОСИНУС (COS α) острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к его гипотенузе…

Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)

α (радианы)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	√3π/2	2π
α (градусы)	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
cos α (Косинус)	1	√3/2	√2/2	1/2	0	-1	0	1

Полная таблица косинусов для углов от 0° до 360°

Угол в градусах	Cos (Косинус)
0°	1
1°	0.9998
2°	0.9994
3°	0.9986
4°	0.9976
5°	0.9962
6°	0.9945
7°	0.9925
8°	0.9903
9°	0.9877
10°	0.9848
11°	0.9816
12°	0.9781
13°	0.9744
14°	0.9703
15°	0.9659
16°	0.9613
17°	0.9563
18°	0.9511
19°	0.9455
20°	0.9397
21°	0.9336
22°	0.9272
23°	0.9205
24°	0.9135
25°	0.9063
26°	0.8988
27°	0.891
28°	0.8829
29°	0.8746
30°	0.866
31°	0.8572
32°	0.848
33°	0.8387
34°	0.829
35°	0.8192
36°	0.809
37°	0.7986
38°	0.788
39°	0.7771
40°	0.766
41°	0.7547
42°	0.7431
43°	0.7314
44°	0.7193
45°	0.7071
46°	0.6947
47°	0.682
48°	0.6691
49°	0.6561
50°	0.6428
51°	0.6293
52°	0.6157
53°	0.6018
54°	0.5878
55°	0.5736
56°	0.5592
57°	0.5446
58°	0.5299
59°	0.515
60°	0.5
61°	0.4848
62°	0.4695
63°	0.454
64°	0.4384
65°	0.4226
66°	0.4067
67°	0.3907
68°	0.3746
69°	0.3584
70°	0.342
71°	0.3256
72°	0.309
73°	0.2924
74°	0.2756
75°	0.2588
76°	0.2419
77°	0.225
78°	0.2079
79°	0.1908
80°	0.1736
81°	0.1564
82°	0.1392
83°	0.1219
84°	0.1045
85°	0.0872
86°	0.0698
87°	0.0523
88°	0.0349
89°	0.0175
90°	0

Таблица косинусов для углов от 91° до 180°

Угол	cos (Косинус)
91°	-0.0175
92°	-0.0349
93°	-0.0523
94°	-0.0698
95°	-0.0872
96°	-0.1045
97°	-0.1219
98°	-0.1392
99°	-0.1564
100°	-0.1736
101°	-0.1908
102°	-0.2079
103°	-0.225
104°	-0.2419
105°	-0.2588
106°	-0.2756
107°	-0.2924
108°	-0.309
109°	-0.3256
110°	-0.342
111°	-0.3584
112°	-0.3746
113°	-0.3907
114°	-0.4067
115°	-0.4226
116°	-0.4384
117°	-0.454
118°	-0.4695
119°	-0.4848
120°	-0.5
121°	-0.515
122°	-0.5299
123°	-0.5446
124°	-0.5592
125°	-0.5736
126°	-0.5878
127°	-0.6018
128°	-0.6157
129°	-0.6293
130°	-0.6428
131°	-0.6561
132°	-0.6691
133°	-0.682
134°	-0.6947
135°	-0.7071
136°	-0.7193
137°	-0.7314
138°	-0.7431
139°	-0.7547
140°	-0.766
141°	-0.7771
142°	-0.788
143°	-0.7986
144°	-0.809
145°	-0.8192
146°	-0.829
147°	-0.8387
148°	-0.848
149°	-0.8572
150°	-0.866
151°	-0.8746
152°	-0.8829
153°	-0.891
154°	-0.8988
155°	-0.9063
156°	-0.9135
157°	-0.9205
158°	-0.9272
159°	-0.9336
160°	-0.9397
161°	-0.9455
162°	-0.9511
163°	-0.9563
164°	-0.9613
165°	-0.9659
166°	-0.9703
167°	-0.9744
168°	-0.9781
169°	-0.9816
170°	-0.9848
171°	-0.9877
172°	-0.9903
173°	-0.9925
174°	-0.9945
175°	-0.9962
176°	-0.9976
177°	-0.9986
178°	-0.9994
179°	-0.9998
180°	-1

Таблица косинусов для углов от 180° до 270°

Угол	cos (косинус)
181°	-0.9998
182°	-0.9994
183°	-0.9986
184°	-0.9976
185°	-0.9962
186°	-0.9945
187°	-0.9925
188°	-0.9903
189°	-0.9877
190°	-0.9848
191°	-0.9816
192°	-0.9781
193°	-0.9744
194°	-0.9703
195°	-0.9659
196°	-0.9613
197°	-0.9563
198°	-0.9511
199°	-0.9455
200°	-0.9397
201°	-0.9336
202°	-0.9272
203°	-0.9205
204°	-0.9135
205°	-0.9063
206°	-0.8988
207°	-0.891
208°	-0.8829
209°	-0.8746
210°	-0.866
211°	-0.8572
212°	-0.848
213°	-0.8387
214°	-0.829
215°	-0.8192
216°	-0.809
217°	-0.7986
218°	-0.788
219°	-0.7771
220°	-0.766
221°	-0.7547
222°	-0.7431
223°	-0.7314
224°	-0.7193
225°	-0.7071
226°	-0.6947
227°	-0.682
228°	-0.6691
229°	-0.6561
230°	-0.6428
231°	-0.6293
232°	-0.6157
233°	-0.6018
234°	-0.5878
235°	-0.5736
236°	-0.5592
237°	-0.5446
238°	-0.5299
239°	-0.515
240°	-0.5
241°	-0.4848
242°	-0.4695
243°	-0.454
244°	-0.4384
245°	-0.4226
246°	-0.4067
247°	-0.3907
248°	-0.3746
249°	-0.3584
250°	-0.342
251°	-0.3256
252°	-0.309
253°	-0.2924
254°	-0.2756
255°	-0.2588
256°	-0.2419
257°	-0.225
258°	-0.2079
259°	-0.1908
260°	-0.1736
261°	-0.1564
262°	-0.1392
263°	-0.1219
264°	-0.1045
265°	-0.0872
266°	-0.0698
267°	-0.0523
268°	-0.0349
269°	-0.0175
270°	0

Таблица косинусов для углов от 270° до 360°

Угол	Cos (Косинус)
271°	0.0175
272°	0.0349
273°	0.0523
274°	0.0698
275°	0.0872
276°	0.1045
277°	0.1219
278°	0.1392
279°	0.1564
280°	0.1736
281°	0.1908
282°	0.2079
283°	0.225
284°	0.2419
285°	0.2588
286°	0.2756
287°	0.2924
288°	0.309
289°	0.3256
290°	0.342
291°	0.3584
292°	0.3746
293°	0.3907
294°	0.4067
295°	0.4226
296°	0.4384
297°	0.454
298°	0.4695
299°	0.4848
300°	0.5
301°	0.515
302°	0.5299
303°	0.5446
304°	0.5592
305°	0.5736
306°	0.5878
307°	0.6018
308°	0.6157
309°	0.6293
310°	0.6428
311°	0.6561
312°	0.6691
313°	0.682
314°	0.6947
315°	0.7071
316°	0.7193
317°	0.7314
318°	0.7431
319°	0.7547
320°	0.766
321°	0.7771
322°	0.788
323°	0.7986
324°	0.809
325°	0.8192
326°	0.829
327°	0.8387
328°	0.848
329°	0.8572
330°	0.866
331°	0.8746
332°	0.8829
333°	0.891
334°	0.8988
335°	0.9063
336°	0.9135
337°	0.9205
338°	0.9272
339°	0.9336
340°	0.9397
341°	0.9455
342°	0.9511
343°	0.9563
344°	0.9613
345°	0.9659
346°	0.9703
347°	0.9744
348°	0.9781
349°	0.9816
350°	0.9848
351°	0.9877
352°	0.9903
353°	0.9925
354°	0.9945
355°	0.9962
356°	0.9976
357°	0.9986
358°	0.9994
359°	0.9998
360°	1

Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите нужную часть таблицы, на выделенном фоне нажмите правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

Чему равен косинус 30? …

— Ищем в таблице соответствующее значение. Правильный ответ: 0.866

💥 Видео