Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Please wait.
Содержание
  1. We are checking your browser. mathvox.ru
  2. Why do I have to complete a CAPTCHA?
  3. What can I do to prevent this in the future?
  4. Презентация по математике на тему «Описанная окружность четырехугольника» (8 класс)
  5. Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся
  6. Описание презентации по отдельным слайдам:
  7. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  8. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  9. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  10. Дистанционные курсы для педагогов
  11. Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
  12. Материал подходит для УМК
  13. Другие материалы
  14. Вам будут интересны эти курсы:
  15. Оставьте свой комментарий
  16. Автор материала
  17. Дистанционные курсы для педагогов
  18. Подарочные сертификаты
  19. Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения
  20. Описанная и вписанная окружности треугольника
  21. Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности
  22. Вписанные и описанные четырехугольники
  23. Окружность, вписанная в треугольник
  24. Описанная трапеция
  25. Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника
  26. Обобщенная теорема Пифагора
  27. Формула Эйлера для окружностей
  28. Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника
  29. 🌟 Видео

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Нахождение радиуса описанной окружности около правильного четырехугольникаСкачать

Нахождение радиуса описанной окружности около правильного четырехугольника

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d422b0e98b216f4 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Презентация по математике на тему «Описанная окружность четырехугольника» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Описание презентации по отдельным слайдам:

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Дорогу осилит идущий, геометрию – думающий Девиз урока:

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Найдите Х №1 75 x 285 О

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Найдите Х x 45 № 2 90 О

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Найдите Х О Х № 3 90 А В С

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Окружность, описанная около треугольника АВС. Треугольник, вписанный в окружность. А В С

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника. Около любого треугольника можно описать окружность.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Тема урока: Описанная окружность четырехугольника

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Цели урока: Узнать: — Определение окружности, описанной около четырехугольника; — Свойство четырехугольника, вписанного в окружность; Научиться: — описывать окружность около четырехугольника; — решать задачи по данной теме.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Окружность называется описанной около четырехугольника, если она проходит через все его вершины.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

˂ А+ ˂ С = 180°, ˂ В + ˂ Д = 180° Если четырехугольник является вписанным в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180 градусов

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Цели урока: Узнать: — Определение окружности, описанной около четырехугольника; — Свойство четырехугольника, вписанного в окружность; Научиться: — описывать окружность около четырехугольника; — решать задачи по данной теме.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

1. Окружность называется описанной около четырехугольника, если проходит через все его вершины. 2. Если четырехугольник является вписанным в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180 градусов. 3. Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180 градусов, то около него можно описать окружность. 4.Если четырехугольник вписан в окружность, то существует точка, равноудаленная от всех вершин (центр описанной окружности) 5. Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника, достаточно найти точку пересечения серединных перпендикуляров двух соседних сторон четырехугольника.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Взаимопроверка № 160 1) Да 2) Нет 3) Нет 4) Да № 161 А В С D О

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

№ 1 а) нет б) да № 2 ˂ С = 61 ˂ D = 96 № 3 ˂ В – 33 ˂ С – 147 ˂ D – 147

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Рефлексия Оценка «3» — 9 – 12 баллов Оценка «4» — 13 – 15 баллов Оценка «5» — 16 – 17 баллов

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Домашнее задание п. 10 стр. 61 – 62. № 327,331,335, 346

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 954 человека из 80 регионов

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 309 человек из 67 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 505 386 материалов в базе

Материал подходит для УМК

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

«Геометрия», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.

Другие материалы

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

  • 27.05.2019
  • 319
  • 21

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

  • 20.05.2019
  • 555
  • 5

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

  • 19.05.2019
  • 12373
  • 752

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

  • 15.05.2019
  • 230
  • 0

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

  • 15.05.2019
  • 183
  • 0

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

  • 15.05.2019
  • 456
  • 5

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

  • 15.05.2019
  • 197
  • 2

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

  • 11.05.2019
  • 1270
  • 8

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 02.06.2019 1107
  • PPTX 346.5 кбайт
  • 110 скачиваний
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Сычкина Елена Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

  • На сайте: 5 лет
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 1740
  • Всего материалов: 4

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

День памяти жертв холокоста включен в примерный план воспитательной работы

Время чтения: 1 минута

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

В Госдуме предложили создать в школах «ящики доверия» для обращений к психологу

Время чтения: 1 минута

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Школы Москвы будут самостоятельно принимать решение о длительности карантина

Время чтения: 1 минута

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Минпросвещения намерено решить вопрос с третьей сменой в школах в 2023 году

Время чтения: 1 минута

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Все школы Ненецкого АО перевели на удаленку

Время чтения: 1 минута

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Школы Пскова перевели на дистанционное обучение

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Содержание:

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

2. Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточногде Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— радиус вписанной окружности треугольника,

3. Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточногде R — радиус описанной окружности Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно
Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Найдем радиус Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточновневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноПо свойству касательной Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноИз подо­бия прямоугольных треугольников АОЕ и Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(по острому углу) следуетЧтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноТак как Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточното Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнооткуда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Пример:

Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы: Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Видео:Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать

Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 класс

Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

На рисунке 90 изображена окружность с ради­усом R и центром Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноописанная около треугольни ка АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

На рисунке 92 изображена окружность с цент­ром О и радиусом Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточновписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
Так как Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои по свойству касательной к окружности Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточното центр вписанной окружности равно­удален от сторон треугольника.

Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точ­ку пересечения любых двух из них.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточногде Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— полупериметр треугольника, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Пусть дан треугольник АВС со сторонами Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точ­ку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноРадиусы Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнопроведенные в точки касания, будут высотами этих тре­угольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Следствие:

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
(рис. 95).

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— иско­мый радиус. Поскольку Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(как прямо­угольные с общим острым углом СВК), то , Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно
Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнооткуда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(см. рис. 95) Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноиз Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнооткуда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноДальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнокак вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное меж­ду гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнооткуда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно
Ответ: Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточносм.
Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружно­сти, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, про­веденной к основанию, или на ее продолжении».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Полезно запомнить!
Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноа высоту, проведенную к основанию, — Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточното получится пропорция Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно.
Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окруж­ности, описанной около равнобедренного треугольника:

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре­угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнопо теореме Пифагора Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(см), откуда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— общий) следует:Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. Тогда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноЧтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(см).
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(см. рис. 97) Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, из Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнооткуда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно‘ откуда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно= 3 (см).

Способ 4 (формула Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно). Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноИз формулы площади треугольника Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноследует: Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно
Ответ: 3 см.

Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в тре­угольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноего вписанной окружности.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноПоскольку ВК — высота и медиана, то Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноИз Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, откуда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно.
В Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнокатет ОК лежит против угла в 30°, поэтому Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноВысоту равностороннего треугольника можно найти по формуле Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. Откуда

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Ответ: Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточното Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноЗначит, сторона равностороннего
треугольника в Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнораз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноразделить на Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточногде с — гипотенуза.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточногде с — гипотенуза.
Теорема доказана.

Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, где Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— искомый радиус, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— катеты, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— гипотенуза треугольника.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои гипотенузой Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнокасается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим: Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноЧетырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. Тогда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноТак как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноНо Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, т. е. Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, откуда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Следствие: Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно где р — полупериметр треугольника.

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Формула Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнов сочетании с формулами Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнодает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

Пример. Дан прямоугольный треугольник, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноНайти Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно.

Решение:

Так как Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточното Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно
Из формулы Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноследует Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. По теореме Виета (обратной) Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— посторонний корень.
Ответ: Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно= 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— квадрат, то Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно
По свойству касательных Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно
Тогда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноПо теореме Пифагора

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Следовательно, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно
Радиус описанной окружности Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнозначения Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнополучим Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноПо теореме Пифагора Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, т. е. Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноТогда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнорадиус вписанной в него окружности Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноНайти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточногипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточновписанной окружности, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— высота Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнопо катету и гипотенузе.
Площадь Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноравна сумме удвоенной площади Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои площади квадрата CMON, т. е.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Способ 2 (алгебраический). Из формулы Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноследует Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноЧтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноВозведем части равенства в квадрат: Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноТак как Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноЧтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Способ 3 (алгебраический). Из формулы Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноследует, что Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноИз формулы Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноследует, что Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Видео:Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shorts

Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноДуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноАналогично доказывается, что Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточното около него можно описать окружность.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноили внутри нее в положении Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточното в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноне была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнокоторый касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточночто противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Для описанного многоугольника справедлива формула Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, где S — его площадь, р — полупериметр, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноТак как у ромба все стороны равны , то Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнооткуда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноИскомый радиус вписанной окружности Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнонайдем площадь данного ромба: Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноС другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноПоскольку Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(см), то Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноОтсюда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(см).

Ответ: Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточносм.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноделит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).
Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноНеобходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнотрапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноТогда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноПо свойству описанного четырехугольника Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноОтсюда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноТак как Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнокак внутренние односторонние углы при Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои секущей CD, то Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(рис. 131). Тогда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— прямоугольный, радиус Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноявляется его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноили Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноВысота Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноописанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноТак как по свой­ству описанного четырехугольника Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточното Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноЧтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноНайти величину угла ВАС (рис. 132, а).
Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнокак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноВ прямоугольном треугольнике ABM Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнооткуда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточното Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноТак как АВ = AM + МВ, то Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнооткуда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнот. е. Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. После преобразований получим: Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноАналогично: Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноЧтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноЧтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно
Ответ: Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноЧтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноЧтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Замечание. Если Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(рис. 141), то Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноПусть в трапеции ABCD основания Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— боковые стороны, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. Известно, что в равнобедренной трапеции Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноЧтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноОтсюда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноОтвет: Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнобоковой стороной с, высотой h, средней линией Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои радиусом Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточновписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143
Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнокак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточното около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно» . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнопроведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(рис. 148). Тогда теорема Пифагора Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноможет звучать так: сумма квадратов гипотенуз Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнотреугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— соответствующие линейные элемен­ты Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточното можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:
Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Действительно, из подобия указанных треугольников Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнооткуда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Пример:

Пусть Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(см. рис. 148). Найдем Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноПо обобщенной теореме Пифагора Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноотсюда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно
Ответ: Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно= 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, и Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). ТогдаЧтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточногде b — боковая сторона, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноРадиус вписанной окружности Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноТак как Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточното Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноИскомое расстояние Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно
А теперь найдем d по формуле Эйлера: Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнооткуда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноКак видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

  1. Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
  2. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
  3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно
  4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно
  5. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
  6. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
  7. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточногде Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— полупериметр, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— радиус вписанной окружности.

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— центр окружности, описанной около треугольника Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, поэтому Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно.

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточносуществует точка Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнобудет центром описанной окружности, а отрезки Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— ее радиусами.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

На рисунке 299 изображен произвольный треугольник Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. Проведем серединные перпендикуляры Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточносторон Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточносоответственно. Пусть точка Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— точка пересечения этих прямых. Поскольку точка Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнопринадлежит серединному перпендикуляру Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, то Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. Так как точка Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнопринадлежит серединному перпендикуляру Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, то Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. Значит, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноЧтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, т. е. точка Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноравноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, отрезки Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— радиусы, проведенные в точки касания, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточносуществует точка Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнобудет центром окружности радиуса г, которая касается сторон Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

На рисунке 301 изображен произвольный треугольник Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. Проведем биссектрисы углов Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— точка их пересечения. Так как точка Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнопринадлежит биссектрисе угла Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, то она равноудалена от сторон Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(теорема 19.2). Аналогично, так как точка Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнопринадлежит биссектрисе угла Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, то она равноудалена от сторон Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. Следовательно, точка Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточноравноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, где Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— радиус вписанной окружности, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— катеты, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— гипотенуза.

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Решение:

В треугольнике Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно(рис. 302) Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, точка Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— центр вписанной окружности, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— точки касания вписанной окружности со сторонами Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточносоответственно.

Отрезок Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно.

Так как точка Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— центр вписанной окружности, то Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— биссектриса угла Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточнои Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. Тогда Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно— равнобедренный прямоугольный, Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно. Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

Чтобы найти центр описанной окружности четырехугольника достаточно

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположение точек и прямых
  • Сравнение и измерение отрезков и углов
  • Первый признак равенства треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🌟 Видео

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

Найти расстояние от центра описанной около треугольника окружности до его ортоцентраСкачать

Найти расстояние от центра описанной около треугольника окружности до его ортоцентра

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадратаСкачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадрата

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Где искать центр описанной окружности #геометрия #огэ #егэ #математикаСкачать

Где искать центр описанной окружности #геометрия #огэ #егэ #математика

Геометрия Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 смСкачать

Геометрия Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 см
Поделиться или сохранить к себе: