Что такое биссектриса окружности

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Что такое биссектриса окружностиСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Что такое биссектриса окружностиФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Что такое биссектриса окружностиВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Что такое биссектриса окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Что такое биссектриса окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Что такое биссектриса окружности

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Что такое биссектриса окружности

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Что такое биссектриса окружности

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Что такое биссектриса окружности

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:3 свойства биссектрисы #shortsСкачать

3 свойства биссектрисы #shorts

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Что такое биссектриса окружности

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Что такое биссектриса окружности.

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Что такое биссектриса окружности

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникЧто такое биссектриса окружности
Равнобедренный треугольникЧто такое биссектриса окружности
Равносторонний треугольникЧто такое биссектриса окружности
Прямоугольный треугольникЧто такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Что такое биссектриса окружности.

Что такое биссектриса окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Что такое биссектриса окружности.

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Что такое биссектриса окружности

Произвольный треугольник
Что такое биссектриса окружности
Равнобедренный треугольник
Что такое биссектриса окружности
Равносторонний треугольник
Что такое биссектриса окружности
Прямоугольный треугольник
Что такое биссектриса окружности
Произвольный треугольник
Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Что такое биссектриса окружности.

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Что такое биссектриса окружности.

Равнобедренный треугольникЧто такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Равносторонний треугольникЧто такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникЧто такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Видео:Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать

Построение биссектрисы угла. 7 класс.

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Что такое биссектриса окружности

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Что такое биссектриса окружности– полупериметр (рис. 6).

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

с помощью формулы Герона получаем:

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Что такое биссектриса окружности

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Что такое биссектриса окружности

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Что такое биссектриса окружности

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Биссектриса угла. Геометрия 7 класс.Скачать

Биссектриса угла. Геометрия 7 класс.

Что такое биссектриса угла в геометрии

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Общее понятие

Биссектрисой угла является такой луч, который выходит из вершины угла, проходит между его сторонами, и делит этот угол на две равных части.

Если рассмотреть рисунок, то мы видим луч (BD) , который начинается в точке (B) и разделяет угол (CBA) на два равных по значению угла. В данном случае луч (BD) является биссектрисой угла (CBA) .

Что такое биссектриса окружности

Видео:Построение биссектрисы углаСкачать

Построение биссектрисы угла

Свойства биссектрис

Рассмотрим основные свойства биссектрис:

  1. Биссектриса угла делит его на две равных части.
  2. Все точки, что находятся на биссектрисе, равноудалены от обеих сторон угла, из вершины которого берет начало биссектриса.
  3. На пересечении биссектрис всех трех углов треугольника находится центр окружности, вписанной в этот треугольник.
  4. Биссектрисы двух смежных углов образовывают прямой угол.

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Пример решения геометрической задачи с применением свойств биссектрисы

Свойства биссектрисы позволяют решать ряд геометрических задач. Рассмотрим одну из них.

Задача . Найти угол, образованный биссектрисами двух смежных углов.

Что такое биссектриса окружности

Обозначим смежные углы (∠ac) и (∠ce) , а биссектрисы – (d) и (b) . Угол (∠ed) обозначим (x) . Так как угол (∠ae) является развернутым и равен (180^0) , запишем:
(∠ad=180-x; \ ∠ce=2x;\ ∠ac=180-2x.\)

Теперь найдем угол (∠ab) , который получается в результате деления на два равных сегмента биссектрисой (b) угла (∠ac) :
(∠ab==90-x) .
Далее вычислим искомый угол (∠bd) :
(∠bd=∠ad-∠ab=(180-x)-(90-x)=90^0.)

Не нашли нужную информацию?

Закажите подходящий материал на нашем сервисе. Разместите задание – система его автоматически разошлет в течение 59 секунд. Выберите подходящего эксперта, и он избавит вас от хлопот с учёбой.

Гарантия низких цен

Все работы выполняются без посредников, поэтому цены вас приятно удивят.

Доработки и консультации включены в стоимость

В рамках задания они бесплатны и выполняются в оговоренные сроки.

Вернем деньги за невыполненное задание

Если эксперт не справился – гарантируем 100% возврат средств.

Тех.поддержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры работают в выходные и праздники, чтобы оперативно отвечать на ваши вопросы.

Тысячи проверенных экспертов

Мы отбираем только надёжных исполнителей – профессионалов в своей области. Все они имеют высшее образование с оценками в дипломе «хорошо» и «отлично».

Что такое биссектриса окружности

Гарантия возврата денег

Эксперт получил деньги, а работу не выполнил?
Только не у нас!

Что такое биссектриса окружности

Деньги хранятся на вашем балансе во время работы над заданием и гарантийного срока

Что такое биссектриса окружности

Гарантия возврата денег

В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем возврат полной уплаченой суммы

Видео:СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Отзывы студентов о нашей работе

Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности

Что такое биссектриса окружности

«Всё сдал!» — безопасный онлайн-сервис с проверенными экспертами

Используя «Всё сдал!», вы принимаете пользовательское соглашение
и политику обработки персональных данных
Сайт работает по московскому времени:

Что такое биссектриса окружности

Принимаем к оплате Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности Что такое биссектриса окружности

Видео:Построение биссектрисы в треугольникеСкачать

Построение биссектрисы в треугольнике

Как связаны биссектриса и окружность

В геометрии могут объединиться даже очень различные на первый взгляд фигуры, такие как окружность и треугольник. У каждой есть свои особенности, которые позволяют отличать их от прочих фигур, даже если они очень похожи: например, круг и окружность – это совсем не одно и тоже.

Что такое биссектриса окружностиРазница между кругом и окружностью состоит в отношении к плоскости. Если упрощенно, то под плоскостью понимают поверхность, на которой и строятся фигуры. Саму плоскость тоже можно считать фигурой. Окружность – это совокупность всех точек на плоскости, которые образуют фигуру, а круг – это часть плоскости, которую ограничивает окружность. Поэтому может быть сектор или сегмент круга – но понятие дуги относится только к окружности.

Одним из важнейших понятий, связанных с окружностью, является радиус – расстояние от центра окружности до любой её точки. Чтобы произвести вычисление радиуса, нужно знать длину окружности, её площадь или диаметр. Проще всего посчитать радиус через диаметр – просто разделить длину диаметра на два.

Зная длину, тоже можно вычислить радиус – если формула длины – это L=2πR, то радиус вычисляется по формуле R= L/2π.

Окружность можно как вписать в любой треугольник, так и начертить вокруг любого треугольника так, чтобы все вершины треугольника касались окружности. Чтобы описать окружность вокруг треугольника, надо найти точку пересечения всех углов треугольника – она будет центром описываемой окружности. Чтобы, напротив, вписать круг в треугольник, надо к середине каждой стороны провести перпендикулярную прямую. Точка их пересечения и будет центром вписанного круга.

Что такое биссектриса окружностиОсновное свойство вписанного в окружность треугольника состоит в том, что вычислить его площадь очень просто – для этого надо знать радиус окружности и длины сторон треугольника. Для этого используется формула: P/2*R, где P – периметр, а R – радиус окружности.

Значение биссектрисы – луча, исходящего из вершины угла и делящего его напополам, – не ограничивается тем, что с её помощью можно вписать круг в треугольник. Назовем основные свойства биссектрисы треугольника, которые существенно облегчают процесс решения геометрических задач.

Во-первых, биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам. Во-вторых, в правильном треугольнике биссектриса является медианой и высотой, а в равнобедренном треугольнике совпадает с медианой и с высотой только в том случае, если проведена от вершины к основанию. В-третьих, как уже упоминалось, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

При решении задач, связанных с треугольниками или окружностями, важно отличать биссектрису от медианы или высоты, а радиус или диаметр – от хорды.

📸 Видео

Окружность касается сторон параллелограмма и биссектрисы.Скачать

Окружность касается сторон параллелограмма и биссектрисы.

Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Построение биссектрисы углаСкачать

Построение биссектрисы угла

8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы углаСкачать

8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы угла

Урок по теме СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ УГЛА 8 КЛАСС ГЕОМЕТРИЯСкачать

Урок по теме СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ УГЛА 8 КЛАСС ГЕОМЕТРИЯ

Биссектриса углаСкачать

Биссектриса угла

Геометрия. 8 класс. Урок 8 "Биссектриса как ГМТ. Вписанная и вневписанная окружности треугольника"Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 8 "Биссектриса как ГМТ. Вписанная и вневписанная окружности треугольника"

Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

Свойства биссектрисыСкачать

Свойства биссектрисы

БИССЕКТРИСА И ЕЁ СВОЙСТВА | ГЕОМЕТРИЯСкачать

БИССЕКТРИСА И ЕЁ СВОЙСТВА | ГЕОМЕТРИЯ
Поделиться или сохранить к себе: