Видео:№196. Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провестиСкачать
Ваш ответ
Видео:№199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВССкачать
решение вопроса
Видео:№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежногоСкачать
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,277
- гуманитарные 33,618
- юридические 17,900
- школьный раздел 606,667
- разное 16,822
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Введение (стр. 4 )
 | Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 |
lх3 = 
у1 + 
у2 + 
у3.
C = 
– матрица перехода от нового проективного репера к старому. Определитель матрицы С отличен от нуля, так как точки A1¢, A2¢, A3¢ неколлинеарные, то есть не лежат на одной прямой, векторы их порождающие 
¢, 
¢, 
¢ линейно независимы.
2. Система векторов ¢, ¢, ¢, 
¢ не согласована относительно репера R¢, то есть вектор ¢, порождающий точку E¢, не равен сумме векторов, порождающих точки A1¢, A2¢, A3¢: ¢ ¹ ¢ + ¢ + ¢.
Нам нужно получить согласованную систему векторов относительно R¢. Для этого вместо векторов ¢, ¢, ¢ возьмем векторы 
= k1¢, 
= k2¢, 
= k3¢, согласованные относительно репера R¢ и порождающие точки A1¢, A2¢, A3¢ соответственно. Тогда будем иметь:
¢ = k1¢ + k2¢ + k3¢ (7)
Равенство (7) запишем в координатной форме:
k1 + 
k2 + 
k3 = 
,
k1 + 
k2 + 
k3 = 
, (8)
k1 + k2 + k3 = 
.
На (8) смотрим как на систему с неизвестными k1, k2, k3. Система (8) неоднородная, и так как определитель этой системы отличен от нуля, то k1, k2, k3 из этой системы определяются однозначно, причем k1, k2, k3 не равны нулю одновременно. Матрица
C1 = 
является матрицей перехода от репера R к реперу R¢для второго случая.
Замечание. Используя формулы (6) легко записать формулы преобразования проективных координат на проективной прямой. Они имеют следующий вид:
lх1 = у1 + у2,
lх2 = у1 + у2, (9)
Составить формулы преобразования проективных координат при переходе от репера R = <A1, A2, A3, E> к реперу R¢ = <A1¢, A2¢, A3¢, E¢>, если в репере R: A1¢(1, 0, –1), A2¢(2, 1, 0), А3¢(0, 0, 1); а) E¢(3, 1, 0), б) E¢(1, 1, 2).
а) Пусть , , система векторов, согласованная относительно репера R.
Пусть далее ¢, ¢, ¢ – векторный базис репера R¢.
p(¢) = A1¢, ¢; p(¢) = A2¢, ¢; p(¢) = A3¢, ¢. Найдем сумму векторов:
¢ + ¢ + ¢ = . Видим, что сумма ¢ + ¢ + ¢ есть вектор, порождающий точку Е¢: p(¢ + ¢ + ¢) = Е¢. Значит, в случае а) система векторов <¢, ¢, ¢> согласована относительно репера R¢ и мы воспрользуемся формулами перехода (6).
Подставив в правые части формул (6) координаты точек A1¢, A2¢, A3¢, мы получим искомые формулы преобразования проективных координат:
б) В этом случае сумма векторов ¢ + ¢ + ¢ = не порождает точку Е¢, то есть система векторов <¢, ¢, ¢> не согласована относительно репера R¢. Значит, нужно найти базис, определяющий репер R¢.
Обозначим 
– вектор, порождающий точку Е¢, p() = Е¢ и найдем векторы
= k1¢, = k2¢, = k3¢, такие, что
k1¢ + k2¢ + k3¢ = ¢ (10)
Подставим в равенство (10) разложения векторов ¢, ¢, ¢, ¢ по векторам базиса <, , >, где <, , > – векторный базис проективного репера R:
¢ = – , ¢ = 2 + , ¢ = , ¢ = + + 2.
Подставляем ¢, ¢, ¢, ¢ в (10), получим:
+ + 2 = k1( – ) + k2(2 + ) + k3.
(k1 + 2k2) + k2 + (k3 – k1) = + + 2.
То есть, = –¢, = ¢, = ¢. Матрица перехода в формулах (5) имеет вид:
.
Значит, искомые формулы преобразования координат будут следущими:
Задачи для самостоятельного решения.
1. Написать формулы преобразования координат при переходе от системы R = <A1, A2, A3, E> к системе R¢ = <A1¢, A2¢, A3¢, E¢>, если:
2. Написать формулы преобразования координат при переходе от системы координат R = <A1, A2, A3, E> к системе R¢ = <A1, A2, A3, E¢>, если E¢ в исходной системе координат имеет координаты
(–1, 2, 3).
3. Написать формулы преобразования координат, если точки A1¢, A2¢, A3¢, E¢, определяющие репер R¢, имеют относительно старой системы координат R = <A1, A2, A3, E> следующие координаты: A1¢(1, 1, 0), A2¢(0, –1, 2), A3¢(1, 1, 1), E¢(2, 3, –5).
4. На плоскости даны 2 системы координат: R = <A1, A2, A3, E> и R¢ = <A1¢, A2¢, A3¢, E¢>, точки A1¢, A2¢, A3¢, E¢ имеют в координатной системе R следующие координаты:
а) Найти координаты точки М в системе R¢, если известны ее координаты в системе R: М(1, 1, 1).
б) Найти уравнение прямой в репере R¢, если известно ее уравнение с репере R: х1 + 2х2 = 0.
в) Найти уравнение прямой в системе R, если известно ее уравнение с системе R¢: у1 + 2у2 = 0.
5. Вершины координатного треугольника и единичная точка проективного репера R¢ имеют на расширенной плоскости следующие аффинные координаты: А1¢(0, 3), А2¢(4, 0), А3¢(4, 3), E¢(3, 2)
а) проективные координаты точки М, если ее аффинные кординаты М(1, 1);
б) аффинные координаты точки Р, если ее проективные координаты Р(4, 3, –6).
в) проективные координаты несобственной точки оси абсцисс;
г) проективные координаты несобственной точки оси ординат;
д) проективные координаты несобственной точки прямой х – 2у + 1 = 0;
е) однородные координаты точки К, если ее проективные координаты K(5, 5, –7).
6. Единичная точка Е проективного репера R = <A1, A2, A3, E> на расширенной плоскости является точкой пересечения медиан координатного треугольника A1A2A3. Найти координаты несобственных точек сторон координатного треугольника и координаты несобственных точек его медиан относительно репера R.
7. В прямоугольных декартовых координатах дано уравнение кривой х2 – 2ху + у2 + 4х + 4у – 8 = 0.
а) уравнение данной кривой в однородных координатах;
б) несобственные точки кривой, доказав при этом, что данная кривая является параболой;
в) направляющий вектор оси параболы;
г) координаты вершины и уравнение оси параболы в неоднородных координатах.
Видео:6 и 7 кл.Провести через точки не лежащие на прямой а.,прямые параллельные данной прямойСкачать
§5. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.
На проективной плоскости и в пространстве справедлив принцип двойственности. Сформулируем принцип двойственности для проективной плоскости.
Если на проективной плоскости справедливо некоторое предложение А, в котором идет речь о точках прямых и их взаимной принадлежности, то будет справедливо предложение А¢, которое получается из утверждения А путем замены слова «точка» на слово «прямая»: «прямая» – «точка»; «лежит на» – «проходит через», «проходит через» – «лежит на».
Предложение А: Через любые две точки проективной плоскости проходит единственная прямая.
Двойственное ему предложение А¢: Любые две прямые пересекаются в одной точке.
Рассмотрим далее теорему Дезарга и проиллюстрируем на ней применение принципа двойственности. Возьмём на проективной плоскости три различные точки A, B, C, не лежащие на одной прямой (рис. 27).
Фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх прямых, соединяющих попарно эти точки, называется трёхвершинником.
Точки A, B, C называются вершинами, а прямые AB, BC, AC – сторонами трёхвершинника.
Трёхвершинник с вершинами A, B, C обозначается так: ABC.
Пусть даны два трёхвершинника ABC и A¢B¢C¢, такие, что ни одна из вершин или сторон одного трёхвершинника не совпадает с соответствующим элементом другого (рис 28). Тогда имеет место теорема Дезарга:
 |
Теорема. Если три прямые (AA¢), (BB¢), (CC¢), проходят через одну точку, то точки пересечения прямых а Ç a¢, b Ç b¢, c Ç c¢ лежат на одной прямой.
Доказательство теоремы Дезарга мы не приводим. Сформулируем теорему обратную теореме Дезарга:
Даны два трехвершинника и никакие их вершины и стороны не совпадают. Тогда, если точки пересечения соответственных сторон а Ç a¢, b Ç b¢, c Ç c¢ этих трехвершинников лежат на одной прямой, то прямые (AA¢), (BB¢), (CC¢), проходящие через соответственные вершины трёхвершинников, пересекаются в одной точке.
Дополняя евклидову плоскость несобственными точками, мы получим расширенную плоскость, которая является моделью проективной плоскости. Значит, для решения задач евклидовой геометрии можем использовать факты проективной геометрии, в частности, теорему Дезарга.
На чертеже ограниченных размеров заданы две пары прямых: р и q, пересекающиеся в недоступной точке А, и u и v, пересекающиеся в недоступной точке В. Построить доступную часть прямой АВ.
 |
Точку пересечения двух прямых будем называть недоступной, если прямые пересекаются за пределами чертежа.
На евклидовой плоскости даны параллелограмм NKLМ, прямая n и точка А, не принадлежащая ни прямой n, ни сторонам параллелограмма. Пользуясь одной линейкой, проведите прямую через данную точку параллельно прямой n. Построим сначала произвольную прямую, параллельную прямой n. Для этого строим два трёхвершинника XYN и X¢Y¢L, где Х = n Ç NK, Y = n Ç NМ. Прямые (ХХ¢), (YY¢), (NL) пересекаются в одной точке. Следовательно, трёхвершинники XYN и X¢Y¢L удовлетворяют теореме Дезарга и прямые XN и X¢L , YN и Y¢L, XY и X¢Y¢ пересекаются на одной прямой. Но стороны трёхвершинников XN и X¢L, YN и Y¢L параллельны. Следовательно, XY || X¢Y¢, т. е. n || X¢Y¢.Обозначим прямую, параллельную прямой n через l. Имеем теперь две параллельные прямые n, l и точку А. Для построения прямой, параллельной данной, найдём точку В. Для этого, построим конфигурацию Дезарга так, что одну пару соответственных сторон составили прямые l и n, другая – пересекались в точке А, а третья – в искомой точке. Возьмем на отрезке RА произвольную точку Р и построим точку Р¢ = S¢Р Ç АR¢. Два трёхвершинника RQР и R¢Q¢Р¢ удовлетворяют теореме Дезарга, прямые RQ и R¢Q¢, RP и R¢P¢, QR и Q¢R¢ пересекаются на одной прямой, т. е. A, B, D¥ = n Ç l принадлежат одной прямой. D¥ Î (AB), следовательно прямая AB || n. На евклидовой плоскости трапеция вписана в четырёхугольник так, что её параллельные стороны параллельны одной из его диагоналей. Докажите, что непараллельные стороны трапеции пересекаются на другой диагонали. |
Трапеция EFQM вписана в четырёхугольник ABCD так, что FQ || EМ, FQ || AC. Следовательно, трёхвершинники AFE и СQМ удовлетворяют теореме Дезарга.
Следовательно, точки B = AF Ç CQ, D = AE Ç CM и точка О пересечения непараллельных сторон трапеции и FE и QM лежат на одной прямой, то есть точка О лежит на прямой BD.
Два треугольника АВС и DВС пересечены тремя параллельными прямыми p, q, r, r = (АD), p Ç (АВ) = М, p Ç (DВ) = Р, q Ç (АС) = N, q Ç (DC) = Q. Доказать, что прямые (МN), (РQ), (ВС) принадлежат одному пучку.
Рассмотрим два трехвершинника МАN и РDQ (см. рис. 29). По теореме Дезарга, (МN) Ç (РQ) = О, О
ВС, следовательно, (МN) Ç (РQ) Ç (ВС) = О. То есть (МN), (РQ), (ВС) принадлежат одному пучку.
Задачи для самостоятельного решения
1. На чертеже ограниченных размеров заданы точка А и пара прямых p и q, пересекающихся за пределами чертежа (в недоступной точке В). Построить доступную часть прямой (АВ).
2. С помощью одной линейки через данную точку А провести прямую параллельную двум заданным параллельным прямым p и q.
3. На евклидовой плоскости даны параллелограмм ABCD, точка М, принадлежащая одной из сторон параллелограмма и прямая n. Пользуясь одной линейкой, провести прямую через точку М параллельно прямой n.
4. Даны прямая n и не лежащие на ней точки M и N. Пользуясь одной линейкой, построить точку пересечения прямой n с MN, не строя прямой MN.
6. Трапеция ABCD пересечена прямыми p и q, параллельными основанию AB, p Ç (AD) = M, p Ç (AC) = P, q Ç (BD) = N, q Ç (BC) = Q. Доказать, что точка (MN) Ç (PQ) лежит на (AB).
7. Используя теорему Дезарга, доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Видео:6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать
теорема Менелая
презентация к уроку по геометрии (11 класс) на тему
теорема Менелая в задачах
Видео:№124. Прямая PQ параллельна плоскости α. Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярныеСкачать
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| применение теоремы Менелая к задачам | 1.29 МБ |
| kopiya_teorema_menelaya.pptx | 1.29 МБ |
Бесплатный марафон подготовки к ЕГЭ на зимних каникулах
Учи.Дома запускает бесплатный марафон в котором каждый день. В течении 5 дней утром ты будешь получать одно задание по выбранному предмету, а вечером его решение. Твоя задача, успеть выполнение задание до того как получишь ответ.
Бесплатно, онлайн, подготовка к ЕГЭ
Предварительный просмотр:
Видео:Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать
Подписи к слайдам:
Изучить теорему. Знать её применение. Уметь решать задачи на изученную теорему. Задачи:
В курсе геометрии 7-х –9-х классов были рассмотрены важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не вошли в основной курс. Из школьного курса нам известны теоремы о замечательных точках в треугольнике: три биссектрисы (медианы, высоты) пересекаются в одной точке. Эти свойства являются следствиями теоремы Менелая . Введение
Биография ученого Менела́й Александри́йский — древнегреческий математик и астроном, создатель системы геометрии и тригонометрии на сфере – первой неевклидовой геометрии. Время его жизни и деятельности определяется приведёнными в « Алмагесте » Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвёл в Риме в первом году царствования Траяна, то есть в 98 году н. э. Его работы: главным сочинением Меналая является « Сферика » в трёх книгах, сочинения «О вычислении хорд» в 6 книгах, «Начала геометрии» в 3 книгах, «Книга о треугольнике», «Книга о заходах знаков зодиака», «Книга о подразделении составных тел», посвящённая определению удельных весов тел, книга по гидростатике .
Труд « Сферика » стал вершиной достижений греков в сферической геометрии. Менелай первым ввел в геометрический обиход и исследовал простейший сферический многоугольник – треугольник. Он перенес на сферу евклидову теорию плоских треугольников и в числе прочего получил условие, при котором три точки на сторонах сферического треугольника или их продолжениях лежат на одной прямой. Интересно, что соответствующая теорема для плоскости в то время была уже широко известна, однако в историю геометрии она вошла именно как теорема Менелая . Биография ученого
Самым замечательным считается обыкновенная теорема Менелая Александрийского, которая прежде называлась правилом шести количеств. Содержание ее состоит в следующем. Если все стороны треугольника пересечь прямой, то произведение их трех отрезков, из числа не имеющих общих концов, равно произведению таких же трех остальных отрезков. Менелай выражал свою теорему в виде пропорции a 1 : b 1 = b 2 b 3 : a 2 a 3 , в которой буквы a 1 , a 2 и а 3 и, соответственно, буквы b 1 , b 2 и b 3 обозначают не имеющие общих концов отрезки трех сторон треугольника. Словесным выражением этой пропорции было предложение: а 1 находится к b 1 в таком же сложном отношении , в каком находятся b 2 к а 2 и b 3 к a 3 . Биография ученого
Пусть на сторонах AB , BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1 , A 1 , B 1 . Точки A 1 , B 1 , C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство: Теорема Менелая
Доказательство. Предположим, что точки A 1 , B 1 , C 1 принадлежат одной прямой a . Через вершину C треугольника ABC проведем прямую, параллельную a и обозначим через D точку её пересечения с AB . Из подобия треугольников ADC и AC 1 B 1 следует выполнимость равенства: Аналогично, из подобия треугольников BDC и BC 1 A 1 следует выполнимость равенства: Теорема Менелая Перемножая эти равенства, получим равенство: из которого следует требуемое равенство.
Докажем обратное . Пусть на сторонах AB , BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки С 1 , А 1 , В 1 , для которых выполняется равенство . Предположим, что прямая A 1 B 1 пересекает прямую AB в некоторой точке С` . По доказанному, выполняется равенство: Учитывая первое равенство, получаем равенство : , из которого следует совпадение точек C` и C 1 и, значит, точки A 1 , B 1 , C 1 принадлежат одной прямой . Теорема Менелая
Теорема Менелая Если некоторая прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках X и Y соответственно, а продолжение стороны АС – в точке Z , то
Задача 1 . В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3 BN ;на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС . Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F . Найдите отношение . Задачи на теорему Менелая
Решение. По условию задачи МА = AC , NC =3 BN . Пусть МА = АС = b , BN = k , NC = 3 k . Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая : Ответ: 2 : 3 .
В треугольнике АВС точка М – середина стороны АС, точка Р лежит на стороне ВС. Отрезок АР пересекает ВМ в точке О. Оказалось, что ВО=ВР. Найти отношение ОМ:РС.
1 способ . Сделаем дополнительное построение: проведем через точку С прямую, параллельную ВМ; точку пересечения этой прямой с прямой АР обозначим через К. Рассмотрим треугольники ОВР и КСР. Углы ОРВ и КРС равны как вертикальные, углы ВОР и СКР равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВМ и СК секущей АК. Поскольку по условию треугольник ОВР равнобедренный, угол ВОР = углу ОРВ, значит, и угол СРК= углу СКР. Значит, треугольник СКР – равнобедренный, т.е. СР=КС. Но, (например, по т. Фалеса) ОМ – средняя линия треугольника САК, она в 2 раза меньше, чем СК. Получаем, что ОМ:РС = ОМ:СК = 1:2 2 способ. По т. Менелая для треугольника МВС и прямой АР выполняется равенство: Тогда, используя условия АМ=МС и ВО=ВР получим, что МО:РС=1:2. Ответ: 1:2.
Задача 2 . Пусть AD — медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка К так, что АК : KD = 3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.
Решение . Пусть AD = DC = a , KD = т; тогда АК = 3 т. Пусть Р — точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем: Итак, Ответ : 3:2.
Задача 3. Дан параллелограмм ABCD . Точка M делит отрезок AD в отношении р , а точка N делит отрезок DC в отношении q . Прямые ВМ и AN пересекаются в точке S . Вычислите отношение AS : SN .
Решение. если MD = b , то AM = pb ; если NC = a , то ND = aq . Пусть В 1 – точка пересечения прямых ВМ и CD .
, тогда Прямая ВВ 1 пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника AND . По теореме Менелая : Откуда Ответ :
Задача 4 . В треугольнике АВС точки К и L принадлежат соответственно сторонам АВ и ВС. АК : ВК = 1 : 2, CL : BL = 2 : 1. Q — точка пересечения отрезков AL и СК . S = 1. Найдите площадь треугольника АВС.
Решение . 1) В треугольнике МВС прямая AL пересекает две стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : (1) В треугольнике АВМ прямая КС пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : (2) то есть MC = 4. p , AM = p . 2) Еще раз перепишем равенство (1): то есть 3) Треугольники BQC и МВС имеют общий угол, значит, Тогда = .
4) Треугольники АВС и МВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, значит, = = Ответ : 1,75.
Задача 5. Дано: окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках А1 и А2. Доказать: что прямая А1А2 проходит через точку пересечения общих внутренних или внешних касательных к окружностям S1 и S2. S1 S2 A2 A1 S
Доказательство. Пусть О, О1 и О2 – центры окружностей S, S1 и S2; X – точка пересечения прямых О1О2 и А1А2. Применяя теорему Менелая к треугольнику ОО1О2 и точкам А1, А2 и Х, получаем: а значит, О1Х : О2Х = R1 : R2, где R1 и R2 – радиусы окружностей S1 и S2. Следовательно, Х – точка пересечения общих внешних или внутренних касательных к окружностям S1 и S2. X S A1 A2 O1 O2 S1 S2 О
Задача 6 . На стороне PQ треугольника PQR взята точка N , а на стороне Р R — точка L , причем NQ = LR . Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении т : п , считая от точки Q . Найдите
Решение. По условию NQ = LR , Пусть NA = LR = а, QF = km , LF = kn . Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая : Ответ : n : m .
Задача 7 . В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС =4. А 1 и С 1 — точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р — точка пересечения отрезков АА 1 и СС 1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ 1 Найдите АР: РА 1 .
Решение . Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В 1 , так как треугольник АВС — разносторонний. Пусть С1В = х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см. рисунок) 8- x + 5 – x = 4, x Значит, В треугольнике АВА 1 , прямая С 1 С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : Ответ : 70 : 9 .
Задача 8. В треугольник АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 12, АС = 9, А 1 и С 1 — точки касания, лежащие соответственно на сторонах ВС и АВ. Q — точка пересечения отрезков АА 1 и ВВ 1 . Q лежит на высоте ВВ 1 . Найдите отношение BQ : QB 1
Решение. Треугольник АВС — разносторонний, значит, точка В 1 не совпадает с точкой касания. 1) Пусть С 1 В = х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см. рисунок): (13 – х ) + (12 – х ) = 9, х = 8. Значит, С 1 В = 8, АС 1 = 5. 2) По формуле Герона: S = S = 3) Из треугольника ABB 1 (прямоугольного) по теореме Пифагора : 4) В треугольнике ABB 1 прямая CC 1 пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая :
Задача 9 . Точки P и Q расположены на стороне ВС треугольника АВС так, что BP : PQ : QC = 1 : 2 : 3. Точка R делит сторону АС этого треугольника таким образом, что AR : RC = 1 : 2. Чему равно отношение площади четырехугольника PQST к площади треугольника АВС, где S и T — точки пересечения прямой В R с прямыми А Q и А P соответственно.
Решение. Обозначим BP = x , AR = y ; тогда PQ = 2x , QC = 3x , RC = 2y. Вычислим, какую часть площадь четырехугольника PQST составляет от площади треугольника APQ , а значит, и от площади треугольника ABC . Для этого нам понадобятся отношения, в которых точки S и T делят прямые AQ и AP соответственно. Применим к треугольнику ACQ и секущей SR теорему Менелая : Аналогично, применив теорему Менелая к треугольнику ACP и секущей TR , получим: Далее:
C другой стороны, применив лемму о площадях к треугольникам APQ и ABC , получим, что Ответ: .
Задача 10 . В треугольнике АВС длина высоты В D равна 6, длина медианы С E равна 5, расстояние от точки пересечения В D с С E до стороны АС равно 1. Найти длину стороны АВ.
Решение . Пусть точка О – точка пересечения прямых BD и CE . Расстояние от точки О до середины AC (равное по условию единице) есть длина отрезка OD. Итак, OD = 1 и OB = 5. Применим к треугольнику ABD и секущей OE теорему Менелая : Применив теперь теорему Менелая к треугольнику ACE и секущей OD , получим, что откуда OE = 2 CO , и с учетом OE + CO = CE = 5 получаем, что CO = . К прямоугольному треугольнику COD применим теорему Пифагора: Значит, AD = 4CD = . Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник ABD , в нем также воспользуемся теоремой Пифагора: Ответ: .
В треугольнике АВС отрезки АД и ВМ, проведенные из вершин А и В соответственно к сторонам ВС и ФС, пересекаясь в точке Р, делятся в отношении АР:РД =3:2 и ВР:РМ=4:5. В каком отношении точки Д и М делят стороны треугольника, считая от С? В треугольнике АВС точка Д делит сторону ВС в отношении ВД:ДС=3:4. Точка М делит сторону АС в отношении АМ:МС=2:5. Отрезки АД и ВМ пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АКМ, если площадь треугольника ВКД равна 45. В треугольнике АВС точка К делит сторону АВ в отношении АК:КВ=1:2, а точка Р делит сторону ВС в отношении СР:РВ=2:1. Прямые АР и СК пересекаются в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника ВМС равна 4. Дополнительные задачи
Прямая КР делит сторону АВ треугольника АВС в отношении АК:КВ=2:1, а сторону ВС — в отношении ВР:РС=3:1. Медиана ВВ1 пересекает прямую КР в точке М. При этом площадь четырехугольника В1МРС равна 17. Найдите площадь треугольника АВС. В треугольнике АВС на основании АС взяты точки Р и Т, так что АР
Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать
Подписи к слайдам:
Изучить теорему. Знать её применение. Уметь решать задачи на изученную теорему. Задачи:
В курсе геометрии 7-х –9-х классов были рассмотрены важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не вошли в основной курс. Из школьного курса нам известны теоремы о замечательных точках в треугольнике: три биссектрисы (медианы, высоты) пересекаются в одной точке. Эти свойства являются следствиями теоремы Менелая . Введение
Биография ученого Менела́й Александри́йский — древнегреческий математик и астроном, создатель системы геометрии и тригонометрии на сфере – первой неевклидовой геометрии. Время его жизни и деятельности определяется приведёнными в « Алмагесте » Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвёл в Риме в первом году царствования Траяна, то есть в 98 году н. э. Его работы: главным сочинением Меналая является « Сферика » в трёх книгах, сочинения «О вычислении хорд» в 6 книгах, «Начала геометрии» в 3 книгах, «Книга о треугольнике», «Книга о заходах знаков зодиака», «Книга о подразделении составных тел», посвящённая определению удельных весов тел, книга по гидростатике .
Труд « Сферика » стал вершиной достижений греков в сферической геометрии. Менелай первым ввел в геометрический обиход и исследовал простейший сферический многоугольник – треугольник. Он перенес на сферу евклидову теорию плоских треугольников и в числе прочего получил условие, при котором три точки на сторонах сферического треугольника или их продолжениях лежат на одной прямой. Интересно, что соответствующая теорема для плоскости в то время была уже широко известна, однако в историю геометрии она вошла именно как теорема Менелая . Биография ученого
Самым замечательным считается обыкновенная теорема Менелая Александрийского, которая прежде называлась правилом шести количеств. Содержание ее состоит в следующем. Если все стороны треугольника пересечь прямой, то произведение их трех отрезков, из числа не имеющих общих концов, равно произведению таких же трех остальных отрезков. Менелай выражал свою теорему в виде пропорции a 1 : b 1 = b 2 b 3 : a 2 a 3 , в которой буквы a 1 , a 2 и а 3 и, соответственно, буквы b 1 , b 2 и b 3 обозначают не имеющие общих концов отрезки трех сторон треугольника. Словесным выражением этой пропорции было предложение: а 1 находится к b 1 в таком же сложном отношении , в каком находятся b 2 к а 2 и b 3 к a 3 . Биография ученого
Пусть на сторонах AB , BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1 , A 1 , B 1 . Точки A 1 , B 1 , C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство: Теорема Менелая
Доказательство. Предположим, что точки A 1 , B 1 , C 1 принадлежат одной прямой a . Через вершину C треугольника ABC проведем прямую, параллельную a и обозначим через D точку её пересечения с AB . Из подобия треугольников ADC и AC 1 B 1 следует выполнимость равенства: Аналогично, из подобия треугольников BDC и BC 1 A 1 следует выполнимость равенства: Теорема Менелая Перемножая эти равенства, получим равенство: из которого следует требуемое равенство.
Докажем обратное . Пусть на сторонах AB , BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки С 1 , А 1 , В 1 , для которых выполняется равенство . Предположим, что прямая A 1 B 1 пересекает прямую AB в некоторой точке С` . По доказанному, выполняется равенство: Учитывая первое равенство, получаем равенство : , из которого следует совпадение точек C` и C 1 и, значит, точки A 1 , B 1 , C 1 принадлежат одной прямой . Теорема Менелая
Теорема Менелая Если некоторая прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках X и Y соответственно, а продолжение стороны АС – в точке Z , то
Задача 1 . В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3 BN ;на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС . Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F . Найдите отношение . Задачи на теорему Менелая
Решение. По условию задачи МА = AC , NC =3 BN . Пусть МА = АС = b , BN = k , NC = 3 k . Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая : Ответ: 2 : 3 .
В треугольнике АВС точка М – середина стороны АС, точка Р лежит на стороне ВС. Отрезок АР пересекает ВМ в точке О. Оказалось, что ВО=ВР. Найти отношение ОМ:РС.
1 способ . Сделаем дополнительное построение: проведем через точку С прямую, параллельную ВМ; точку пересечения этой прямой с прямой АР обозначим через К. Рассмотрим треугольники ОВР и КСР. Углы ОРВ и КРС равны как вертикальные, углы ВОР и СКР равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВМ и СК секущей АК. Поскольку по условию треугольник ОВР равнобедренный, угол ВОР = углу ОРВ, значит, и угол СРК= углу СКР. Значит, треугольник СКР – равнобедренный, т.е. СР=КС. Но, (например, по т. Фалеса) ОМ – средняя линия треугольника САК, она в 2 раза меньше, чем СК. Получаем, что ОМ:РС = ОМ:СК = 1:2 2 способ. По т. Менелая для треугольника МВС и прямой АР выполняется равенство: Тогда, используя условия АМ=МС и ВО=ВР получим, что МО:РС=1:2. Ответ: 1:2.
Задача 2 . Пусть AD — медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка К так, что АК : KD = 3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.
Решение . Пусть AD = DC = a , KD = т; тогда АК = 3 т. Пусть Р — точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение . Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей РВ имеем: Итак, Ответ : 3:2.
Задача 3. Дан параллелограмм ABCD . Точка M делит отрезок AD в отношении р , а точка N делит отрезок DC в отношении q . Прямые ВМ и AN пересекаются в точке S . Вычислите отношение AS : SN .
Решение. если MD = b , то AM = pb ; если NC = a , то ND = aq . Пусть В 1 – точка пересечения прямых ВМ и CD .
, тогда Прямая ВВ 1 пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника AND . По теореме Менелая : Откуда Ответ :
Задача 4 . В треугольнике АВС точки К и L принадлежат соответственно сторонам АВ и ВС. АК : ВК = 1 : 2, CL : BL = 2 : 1. Q — точка пересечения отрезков AL и СК . S = 1. Найдите площадь треугольника АВС.
Решение . 1) В треугольнике МВС прямая AL пересекает две стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : (1) В треугольнике АВМ прямая КС пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : (2) то есть MC = 4. p , AM = p . 2) Еще раз перепишем равенство (1): то есть 3) Треугольники BQC и МВС имеют общий угол, значит, Тогда = .
4) Треугольники АВС и МВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, значит, = = Ответ : 1,75.
Задача 5. Дано: окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках А1 и А2. Доказать: что прямая А1А2 проходит через точку пересечения общих внутренних или внешних касательных к окружностям S1 и S2. S1 S2 A2 A1 S
Доказательство. Пусть О, О1 и О2 – центры окружностей S, S1 и S2; X – точка пересечения прямых О1О2 и А1А2. Применяя теорему Менелая к треугольнику ОО1О2 и точкам А1, А2 и Х, получаем: а значит, О1Х : О2Х = R1 : R2, где R1 и R2 – радиусы окружностей S1 и S2. Следовательно, Х – точка пересечения общих внешних или внутренних касательных к окружностям S1 и S2. X S A1 A2 O1 O2 S1 S2 О
Задача 6 . На стороне PQ треугольника PQR взята точка N , а на стороне Р R — точка L , причем NQ = LR . Точка пересечения отрезков QL и NR делит QL в отношении т : п , считая от точки Q . Найдите
Решение. По условию NQ = LR , Пусть NA = LR = а, QF = km , LF = kn . Прямая NR пересекает две стороны треугольника PQL и продолжение третьей. По теореме Менелая : Ответ : n : m .
Задача 7 . В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС =4. А 1 и С 1 — точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р — точка пересечения отрезков АА 1 и СС 1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ 1 Найдите АР: РА 1 .
Решение . Точка касания окружности со стороной АС не совпадает с В 1 , так как треугольник АВС — разносторонний. Пусть С1В = х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см. рисунок) 8- x + 5 – x = 4, x Значит, В треугольнике АВА 1 , прямая С 1 С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая : Ответ : 70 : 9 .
Задача 8. В треугольник АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 12, АС = 9, А 1 и С 1 — точки касания, лежащие соответственно на сторонах ВС и АВ. Q — точка пересечения отрезков АА 1 и ВВ 1 . Q лежит на высоте ВВ 1 . Найдите отношение BQ : QB 1
Решение. Треугольник АВС — разносторонний, значит, точка В 1 не совпадает с точкой касания. 1) Пусть С 1 В = х , тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (см. рисунок): (13 – х ) + (12 – х ) = 9, х = 8. Значит, С 1 В = 8, АС 1 = 5. 2) По формуле Герона: S = S = 3) Из треугольника ABB 1 (прямоугольного) по теореме Пифагора : 4) В треугольнике ABB 1 прямая CC 1 пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая :
Задача 9 . Точки P и Q расположены на стороне ВС треугольника АВС так, что BP : PQ : QC = 1 : 2 : 3. Точка R делит сторону АС этого треугольника таким образом, что AR : RC = 1 : 2. Чему равно отношение площади четырехугольника PQST к площади треугольника АВС, где S и T — точки пересечения прямой В R с прямыми А Q и А P соответственно.
Решение. Обозначим BP = x , AR = y ; тогда PQ = 2x , QC = 3x , RC = 2y. Вычислим, какую часть площадь четырехугольника PQST составляет от площади треугольника APQ , а значит, и от площади треугольника ABC . Для этого нам понадобятся отношения, в которых точки S и T делят прямые AQ и AP соответственно. Применим к треугольнику ACQ и секущей SR теорему Менелая : Аналогично, применив теорему Менелая к треугольнику ACP и секущей TR , получим: Далее:
C другой стороны, применив лемму о площадях к треугольникам APQ и ABC , получим, что Ответ: .
Задача 10 . В треугольнике АВС длина высоты В D равна 6, длина медианы С E равна 5, расстояние от точки пересечения В D с С E до стороны АС равно 1. Найти длину стороны АВ.
Решение . Пусть точка О – точка пересечения прямых BD и CE . Расстояние от точки О до середины AC (равное по условию единице) есть длина отрезка OD. Итак, OD = 1 и OB = 5. Применим к треугольнику ABD и секущей OE теорему Менелая : Применив теперь теорему Менелая к треугольнику ACE и секущей OD , получим, что откуда OE = 2 CO , и с учетом OE + CO = CE = 5 получаем, что CO = . К прямоугольному треугольнику COD применим теорему Пифагора: Значит, AD = 4CD = . Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник ABD , в нем также воспользуемся теоремой Пифагора: Ответ: .
В треугольнике АВС отрезки АД и ВМ, проведенные из вершин А и В соответственно к сторонам ВС и ФС, пересекаясь в точке Р, делятся в отношении АР:РД =3:2 и ВР:РМ=4:5. В каком отношении точки Д и М делят стороны треугольника, считая от С? В треугольнике АВС точка Д делит сторону ВС в отношении ВД:ДС=3:4. Точка М делит сторону АС в отношении АМ:МС=2:5. Отрезки АД и ВМ пересекаются в точке К. Найдите площадь треугольника АКМ, если площадь треугольника ВКД равна 45. В треугольнике АВС точка К делит сторону АВ в отношении АК:КВ=1:2, а точка Р делит сторону ВС в отношении СР:РВ=2:1. Прямые АР и СК пересекаются в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника ВМС равна 4. Дополнительные задачи
Прямая КР делит сторону АВ треугольника АВС в отношении АК:КВ=2:1, а сторону ВС — в отношении ВР:РС=3:1. Медиана ВВ1 пересекает прямую КР в точке М. При этом площадь четырехугольника В1МРС равна 17. Найдите площадь треугольника АВС. В треугольнике АВС на основании АС взяты точки Р и Т, так что АР Мне нравится
🔥 Видео
Параллельные прямые. 6 класс.Скачать
Параллельность прямой к плоскостиСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
ОГЭ Задание 26 Свойства площадейСкачать
№243. Через вершину С треугольника ABC проведена прямая, параллельная его биссектрисе АА1Скачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
№57. Начертите неразвернутый угол MON и отметьте точку Р внутри угла и точку Q — вне его.Скачать
МЕРЗЛЯК-6. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ПАРАГРАФ-45Скачать
Перпендикулярные прямыеСкачать
Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.Скачать
10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать
