В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать
Определение равностороннего треугольника
Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.
Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.
Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать
Свойства равностороннего треугольника
Свойство 1
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.
Свойство 2
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.
CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.
Свойство 3
В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.
Свойство 4
Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.
Свойство 5
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.
- R – радиус описанной окружности;
- r – радиус вписанной окружности;
- R = 2r.
Свойство 6
В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:
1. Высоту/медиану/биссектрису:
2. Радиус вписанной окружности:
3. Радиус описанной окружности:
4. Периметр:
5. Площадь:
Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около равностороннего треугольника. Задача 2Скачать
Пример задачи
Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.
Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:
Видео:НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать
Высота равностороннего треугольника
Какими свойствами обладает высота равностороннего треугольника? Как найти высоту равностороннего треугольника через его сторону, радиусы вписанной или описанной окружностей?
(свойство высоты равностороннего треугольника)
В равностороннем треугольнике высота, проведённая к любой стороне, является также его медианой и биссектрисой.
Доказательство :
Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.
Так как AB=BC, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.
Проведём высоту BF.
По свойству равнобедренного треугольника, BF является также его медианой и биссектрисой
(то есть, AF=FC, ∠ABF=∠CBF).
Аналогично, рассмотрев треугольник ABC как равнобедренный с основанием BC и треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, доказываем, что высоты AK и CD являются также его медианами и биссектрисами
(то есть, BK=KC, ∠BAK=∠CAK; AD=BD, ∠ACD=∠BCD).
Что и требовалось доказать .
(свойство высот равностороннего треугольника)
Все три высоты равностороннего треугольника равны между собой.
Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.
AK, BF и CD — его высоты.
В прямоугольных треугольниках ABF, BCD и CAK:
гипотенузы AB, BC и CA равны по условию,
∠BAF=∠CBD=∠ACK (как углы равностороннего треугольника).
Следовательно, треугольники ABF, BCD и CAK равны (по гипотенузе и острому углу).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: BF=CD=AK.
Что и требовалось доказать .
Из теорем 1 и 2 следует, что в равностороннем треугольнике все высоты, медианы и биссектрисы равны между собой.
1) Найдём высоту равностороннего треугольника через его сторону.
В треугольнике ABC AB=BC=AC=a.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABF.
Отсюда формула высоты равностороннего треугольника через его сторону:
(2-й способ: из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора
2) Выразим высоту равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.
Точка O — центр правильного треугольника — является также центром его вписанной и описанной окружностей. Как центр вписанной окружности O — точка пересечения биссектрис треугольника. В правильном треугольнике биссектрисы и медианы совпадают. Следовательно, также является O точкой пересечения медиан.
А так как медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то BO:OF=2:1, то есть
BO — радиус описанной окружности, OF — вписанной: BO=R, OF=r.
Следовательно, высота равностороннего треугольника равна трём радиусам вписанной окружности:
и в полтора раза больше радиуса описанной окружности:
Видео:Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту треугольникаСкачать
Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника
Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.
Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
Пусть сторона правильного треугольника равна .
Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .
Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .
Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.
. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .
. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .
Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.
. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .
📽️ Видео
Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать
2050 высота правильного треугольника равна 90 найдите радиус окружностиСкачать
Высота равностороннего треугольника равна 13√3 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
ОГЭ 16🔴Скачать
Равносторонний треугольник в окружностиСкачать
Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать
ЕГЭ 2017 | Задание 3 | Высота правильного треугольника равна ... ✘ Школа ПифагораСкачать
ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать
Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать
Все высоты равностороннего треугольника равны. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
2053 радиус окружности описанной около правильного треугольника равен 56Скачать
№488. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см;Скачать
Формулы для равностороннего треугольника.Скачать
ОГЭ 2020 задание 17Скачать
Задание 9 ОГЭ от ФИПИСкачать
