Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в произвольный (любой), прямоугольный, равнобедренный или равносторонний треугольник. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Содержание
  1. Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
  2. Произвольный треугольник
  3. Прямоугольный треугольник
  4. Равнобедренный треугольник
  5. Равносторонний треугольник
  6. Примеры задач
  7. Все формулы для радиуса вписанной окружности
  8. Радиус вписанной окружности в треугольник
  9. Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
  10. Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
  11. Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник онлайн
  12. 1. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и боковая сторона
  13. 2. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и угол при основании
  14. 3. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и угол при основании
  15. 4. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и высота
  16. 5. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и высота
  17. 💥 Видео

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, вписанной в любой треугольник, равняется удвоенной площади треугольника, деленной на его периметр.

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равняется дроби, в числителе которого сумма катетов минус гипотенуза, в знаменателе – число 2.

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

где a и b – катеты, c – гипотенуза треугольника.

Равнобедренный треугольник

Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности вычисляется по формуле ниже:

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

где a – боковые стороны, b – основание треугольника.

Равносторонний треугольник

Радиус вписанной в правильный (равносторонний) треугольник окружности рассчитывается следующим образом:

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

где a – сторона треугольника.

Видео:Геометрия Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2+√2. Найдите радиус окружностиСкачать

Геометрия Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2+√2. Найдите радиус окружности

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.

Решение
Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Задание 2
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.

Решение
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:

Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

Все формулы для радиуса вписанной окружности

Видео:Геометрия Найдите отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольникСкачать

Геометрия Найдите отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Радиус вписанной окружности в треугольник

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

a , b , c — стороны треугольника

p — полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Видео:№694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенузаСкачать

№694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

a — сторона треугольника

r — радиус вписанной окружности

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

α — угол при основании

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

h — высота

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

1. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и боковая сторона

Пусть известны известны основание a и боковая сторона b равнобедренного треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной окружности через основание и боковую сторону.

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны a, b, c вычисляется из следующей формулы:

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник(1)

где полупериметр p вычисляется из формулы:

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник.(2)

Учитывая, что у равнобедренного треугольника боковые стороны равны (( small b=c )), имеем:

( small p=frac ) ( small =frac, )(3)
( small p-a=frac-a ) ( small =frac, )(4)
( small p-b=p-c=frac-b ) ( small =frac. )(5)

Подставляя (3)-(5) в (1), получим формулу вычисления радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник,
Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник.(6)

Пример 1. Известны основание a=13 и боковая сторона b=7 равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (6). Подставим значения ( small a,; b ) в (6):

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Ответ: Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

2. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и угол при основании

Пусть известны основание a и прилежащий к ней угол β равнобедренного треугольника (Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Из центра вписанной окружности проведем перпендикуляры OH и OE к сторонам a=BC и b=AC, соответственно (r=OH=OE). Соединим точки C и O. Полученные прямоугольные треугольники OCE и OCH равны по гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Тогда ( small angle OCE=angle OCH=frac. ) Для прямоугольного треугольника OCH можно записать:

( small frac=frac<large frac>=mathrmfrac .)

Откуда получим формулу радиуса вписанной в треугольник окружности:

( small r=frac cdot mathrmfrac .)(8)
( small r=frac cdot frac .)(9)

Пример 2. Известны основание ( small a=15 ) и ( small beta=30° ) равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанный в треугольник воспользуемся формулой (8) (или (9)). Подставим значения ( small a=15, ; beta=30° ) в (8):

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Ответ: Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Видео:ПЛОЩАДЬ КОЛЬЦА. Сделай выбор: на чьей ты стороне?Скачать

ПЛОЩАДЬ КОЛЬЦА. Сделай выбор: на чьей ты стороне?

3. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и угол при основании

Пусть известны боковая сторона b и угол при основании β равнобедренного треугольника (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Высота равнобедренного треугольника AH делит равнобедренный треугольник ABC на две равные части. Тогда для треугольника AHC справедливо равенство:

( small frac=frac<large frac>= cos beta .)
( small a=2b cdot cos beta .)(10)

Подставляя (10) в (8), получим формулу вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

( small r=frac cdot mathrmfrac=frac cdot mathrmfrac ) ( small =b cos beta cdot mathrmfrac )
( small r=b cdot cos beta cdot mathrmfrac )(11)

Учитывая формулы половинного угла тригонометрических функций, формулу (11) можно записать и так:

( small r=b cdot frac )(12)

Пример 3. Известны боковая сторона равнобедренного треугольника: ( small b=9 ) и угол при основании β=35°. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11) (или (12)).

Подставим значения ( small b=9 ,; beta=35° ) в (11):

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Ответ: Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

4. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и высота

Пусть известны боковая сторона b и высота h равнобедренного треугольника (Рис.4). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Формула радиуса вписанной окружности через площадь и полупериметр имеет следующий вид (см. статью на странице Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн) :

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник,(13)
Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник(14)

Так как треугольник AHC прямоугольный, то из Теоремы Пифагора имеем:

( small left( fracright)^2=b^2-h^2 )
( small a=2 cdot sqrt )(15)

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

( small S=frac cdot a cdot h. )(16)

Подставим (15) в (16):

( small S=h cdot sqrt )(17)

Учитывая, что для равнобедренного треугольника b=c, а также равенство (15), получим:

( small p=frac ) ( small =frac ) ( small =frac+b )( small =b+ sqrt )(18)

Подставляя, наконец, (17) и (18) в (13), получим формулу радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

( small r=frac ) ( small =frac<large h cdot sqrt><large b+ sqrt> )(19)

Пример 4. Боковая сторона и высота равнобедренного треугольника равны ( small b=7 ,) ( small h=5, ) соответственно. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник воспользуемся формулой (19). Подставим значения ( small b=7 ,) ( small h=5 ) в (19):

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Ответ: Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Видео:Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник. ЗадачаСкачать

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник. Задача

5. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и высота

Пусть известны основание a и высота h равнобедренного треугольника (Рис.5). Найдем формулу радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности.

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Из формулы (15) найдем b:

( small b^2-h^2=left( frac right)^2 )
( small b^2= frac +h^2 )
( small b= frac cdot sqrt)(20)

Подставляя (20) в (19), получим формулу радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник:

( small r=frac<large h cdot sqrt><large b+ sqrt>) ( small =frac<large h cdot sqrt<frac+h^2-h^2>><large frac cdot sqrt+ sqrt<frac+h^2-h^2>>) ( small = large frac< h cdot frac>< frac cdot sqrt+frac >)
( small r=large frac<a+ sqrt>)(21)

Пример 5. Основание и высота равнобедренного треугольника равны ( small a=7 ,) ( small h=9, ) соответственно. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник воспользуемся формулой (21). Подставим значения ( small a=7 ,) ( small h=9 ) в (21):

Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

Ответ: Чему равен радиус окружности вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник

💥 Видео

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Задание 24 Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольникСкачать

Задание 24  Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

№1105. Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со стороной а; б) в равнобедренныйСкачать

№1105. Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со стороной а; б) в равнобедренный

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. НайСкачать

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Най

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольникСкачать

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник

Планиметрия 28 | mathus.ru | Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольникСкачать

Планиметрия 28 | mathus.ru | Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник
Поделиться или сохранить к себе: