Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Ключевые слова: прямая, окружность, секущая, касательная, угол между хордами, касательными и секущими

  • Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательнойк окружности,
    а их общая точка называется точкой касанияпрямой и окружности.
  • Расстояние то точки окружности до ее центра называется радиусомокружности.
  • Отрезок, соединяющий любые точки окружности, называется хордой.
  • Хорда, проходящая через центр окружности называется диаметром.
  • Прямая, проходящая через люьые точки окружности, называется секущей.

Углы между прямыми и отрезками окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности
Чем является отрезок ab в данной окружностиЧем является отрезок ab в данной окружностиЧем является отрезок ab в данной окружностиЧем является отрезок ab в данной окружностиЧем является отрезок ab в данной окружности
Угол между пересекающимися хордами $$gamma =frac$$Угол между секущими, пересекающимися вне окружности $$gamma =frac$$Угол между касательной и секущей $$gamma =frac$$Угол между касательными $$gamma =frac= pi — alpha$$Угол между касательной и хордой $$gamma =frac$$

Соотношения между прямыми и отрезками окружности

Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением:

Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

9 класс, 6 урок, Уравнение окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Чем является отрезок ab в данной окружностиЧем является отрезок ab в данной окружностиЧем является отрезок ab в данной окружностиЧем является отрезок ab в данной окружности
Чем является отрезок ab в данной окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Чем является отрезок ab в данной окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Чем является отрезок ab в данной окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Чем является отрезок ab в данной окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Чем является отрезок ab в данной окружностиТеорема о бабочке

Чем является отрезок ab в данной окружности

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьЧем является отрезок ab в данной окружности
КругЧем является отрезок ab в данной окружности
РадиусЧем является отрезок ab в данной окружности
ХордаЧем является отрезок ab в данной окружности
ДиаметрЧем является отрезок ab в данной окружности
КасательнаяЧем является отрезок ab в данной окружности
СекущаяЧем является отрезок ab в данной окружности
Окружность
Чем является отрезок ab в данной окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругЧем является отрезок ab в данной окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусЧем является отрезок ab в данной окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаЧем является отрезок ab в данной окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрЧем является отрезок ab в данной окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяЧем является отрезок ab в данной окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяЧем является отрезок ab в данной окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеЧем является отрезок ab в данной окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыЧем является отрезок ab в данной окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныЧем является отрезок ab в данной окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиЧем является отрезок ab в данной окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыЧем является отрезок ab в данной окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Чем является отрезок ab в данной окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыЧем является отрезок ab в данной окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыЧем является отрезок ab в данной окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиЧем является отрезок ab в данной окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныЧем является отрезок ab в данной окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиЧем является отрезок ab в данной окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыЧем является отрезок ab в данной окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружностиСкачать

№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Чем является отрезок ab в данной окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыЧем является отрезок ab в данной окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиЧем является отрезок ab в данной окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиЧем является отрезок ab в данной окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаЧем является отрезок ab в данной окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Чем является отрезок ab в данной окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Пересекающиеся хорды
Чем является отрезок ab в данной окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Чем является отрезок ab в данной окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Чем является отрезок ab в данной окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Чем является отрезок ab в данной окружности
Пересекающиеся хорды
Чем является отрезок ab в данной окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Чем является отрезок ab в данной окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Видео:На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=75 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=75 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Тогда справедливо равенство

Чем является отрезок ab в данной окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Чем является отрезок ab в данной окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Чем является отрезок ab в данной окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Чем является отрезок ab в данной окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Чем является отрезок ab в данной окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Чем является отрезок ab в данной окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Чем является отрезок ab в данной окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Чем является отрезок ab в данной окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Отрезок

Видео:Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CDСкачать

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD

Определение отрезка

Определение 1. Отрезок (или отрезок прямой )− это часть прямой, ограниченная двумя точками.

Определение 2. Отрезок − это множество, состоящая из двух различных точек данной прямой и всех точек, лежащих между ними.

Точки, ограничивающие отрезки называются концами отрезка, а точки, которые находятся между концами отрезка называются внутренними точками.

Чем является отрезок ab в данной окружности

На рисунке 1 отрезок выделен красным цветом. Точки A и B концы отрезка, а точки между ними − внутренние точки.

Видео:№645. Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к касательнойСкачать

№645. Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к касательной

Обозначение отрезков

Отрезки обозначаются с помощью его конечных точек. Отрезок на рисунке 1 обозначается так: AB или BA. Порядок следования имен конечных букв не имеет значения.

Видео:Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.Скачать

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.

Сравнение отрезков

Для сравнения отрезков нужно:

  • Взять любую прямую и отметить на ней какую-нибудь точку.
  • Отложить на прямой оба отрезка из отмеченной точки на прямой на одну и ту же сторону.

Если два других конца совместяться, то отрезки равны. Если же конец одного отрезка находится внутри другого, то длина первого отрезка меньше второго.

Чем является отрезок ab в данной окружности

Пусть даны два отрезка AB и CD (Рис.2). Требуется сравнить эти отрезки, т.е. определить какой из них больше. Отложим эти отрезки на прямой a. Как видим, точка D находится внутри отрезка AB. Значит отрезок CD меньше отрезка AB. Это обозначается так: CD Определение 3. Точка отрезка,делящая его на два равных отрезка называется серединой отрезка.

Чем является отрезок ab в данной окружности

На рисунке 3 ( small M ) является серединой отрезка ( small AB ) поскольку ( small AM = MB ).

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Длина отрезка

Для определения длины отрезка его нужно сравнить с другим отрезком, принятым за единицу измерения.

В качестве единицы измерения можно взять, например, сантиметр. В этом случае для определения длины отрезка узнают, сколько раз в данном отрезке укладывается сантиметр. Этот показатель и является длиной отрезка выраженная в сантиметрах. Если длина отрезка AB равна трем сантиметрам, то пишут AB=3см.

Если отрезок, принятый за единицу измерения не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке, то его обычно делят на 10 равных частей и определяют сколько раз одна такая часть укладывается в остатке. Одна десятая часть сантиметра называется миллиметром. В итоге получаем длину отрезка в сантиметрах и миллиметрах.

Чем является отрезок ab в данной окружности

На Рис.4 1см укладывается в отрезке AB 4 раза и в остатке укладывается ровно 8 одну десятую часть сантиметра. Поэтому можно писать: AB=4см 8мм или AB=4.8см.

Видео:№143. Какие из отрезков, изображенных на рисунке 90, являются: а) хордами окружности; б) диаметрамиСкачать

№143. Какие из отрезков, изображенных на рисунке 90, являются: а) хордами окружности; б) диаметрами

Направленный отрезок

Если для отрезка определить направление, то такой отрезок называется направленным отрезком. Направленный отрезок имеет начальную точку и конечную точку. В конечной точке направленного отрезка рисуют стрелку (Рис.5)

Чем является отрезок ab в данной окружности

Для обозначения направленных отрезков сначала пишется начальная точка, а затем конечная точка. На рисунке 2 верхний направленный отрезок обозначают так: ( small overrightarrow ) а нижний отрезок так: ( small overrightarrow ) Направленный отрезок называют вектором.

💡 Видео

№641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными изСкачать

№641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из

ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ. Контрольная № 3 Геометрия 9 класс.Скачать

ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ. Контрольная № 3 Геометрия 9 класс.

Отрезок, луч, прямаяСкачать

Отрезок, луч, прямая

Составить уравнение окружности. Геометрия. Задачи по рисункам.Скачать

Составить уравнение окружности. Геометрия. Задачи по рисункам.

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

№146. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, еслиСкачать

№146. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если

11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать

11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.
Поделиться или сохранить к себе: