Больший катет в прямоугольном треугольнике (5 видео)

Катеты прямоугольного треугольника — свойства, основные формулы и примеры решений

Содержание

Понятия и определения
Свойства прямоугольного треугольника
Теорема Пифагора и углы
Тригонометрические формулы
Типовые примеры
Как найти стороны прямоугольного треугольника
Онлайн калькулятор
Найти гипотенузу (c)
Найти гипотенузу по двум катетам
Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу
Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу
Найти гипотенузу по двум углам
Найти катет
Найти катет по гипотенузе и катету
Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу
Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу
Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу
Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу
Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
теория по математике 📈 планиметрия
Свойства прямоугольного треугольника
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Теорема Пифагора
Египетский треугольник
Пифагоровы тройки
📸 Видео

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Понятия и определения

Знак треугольника в первом веке ввёл в обиход древнегреческий философ и учёный Герон. Его свойства изучали Платон и Евклид. По их мнению, вся поверхность прямолинейного вида состоит из множеств различных треугольников. В геометрии под ними понимается область, лежащая в плоскости, ограниченной тремя отрезками, соединяющимися в трёх точках, не принадлежащих одной прямой.

Линии, образующие область, называются сторонами, а точки соприкосновения отрезков — вершинами. Основными элементами многоугольника являются:

Медиана — отрезок, соединяющий середину с противолежащим углом. В треугольнике три медианы, которые пересекаются в одной точке. Называется она центроидом и определяет центр тяжести объекта.
Высота — линия, опущенная из вершины на противоположную сторону, образующую с ней прямой угол. Место пересечения высот называют ортоцентром.
Биссектриса — прямая, проведённая из угла таким образом, что делит его на две равные части. Если в треугольник вписать окружность, соприкасающуюся с его сторонами, то её центр совпадёт с точкой пересечения биссектрис. Называют это место — инцентр.

В зависимости от видов углов, треугольники разделяют на остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. Но каким бы ни был тип фигуры, существует закономерность, что сумма всех углов всегда равна 180 градусам. Поэтому как минимум два угла должны быть острыми.

Различают треугольники и по числу равных сторон. Так, если они все равны, фигура называется равносторонней. Когда же по величине совпадают только две стороны, то многоугольник является равнобедренным. Его главное свойство в том, что углы равны. Частным случаем равнобедренного многоугольника является правильный треугольник (разносторонний).

Чтобы не возникала путаница, существуют стандартные обозначения величин. Вершины подписываются заглавными буквами A, B, C, а углы — греческими символами: α, β, γ. Стороны же обозначают прописными буквами латинского алфавита: a, b, c.

Видео:Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольникеСкачать

Свойства прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это симметричный многоугольник, сумма двух углов которого равняется 90 градусов. Так как общая сумма всех трёх углов составляет 180 градусов, то соответственно третий угол равен 90 градусам. Стороны, образующие его, называют катетами, а оставшийся отрезок гипотенузой.

К основным свойствам фигуры относят следующее:

гипотенуза многоугольника всегда больше любого из его катетов;
сторона, располагающаяся напротив угла в 30 градусов, составляет половину гипотенузы;
два катета являются высотами треугольника;
середина окружности, описанная вокруг фигуры, совпадает с гипотенузой, при этом медиана, опущенная из прямого угла на гипотенузу, одинаковая с радиусом круга;
численное значение гипотенузы, возведённое в квадрат, равно сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).

Эти основные признаки при решении геометрических задач помогают определить класс треугольника и рассчитать его величины. Большое значение при этом имеет вычисление значений катетов.

Так, если известна гипотенуза, то найти катеты, зная угол, не составит труда. Определив же длину катетов, вычислить оставшуюся сторону можно по теореме Пифагора. Периметр фигуры определяют сложением двух катетов и гипотенузы, а площадь находят перемножением катетов и делением полученного ответа на два.

Зная катеты, довольно просто вычислить угол. Нужно всего лишь запомнить, что соотношение сторон между собой равно тангенсу противолежащего угла и котангенсу, находящемуся рядом. При этом, зная любой из углов, найти второй можно простым вычитанием известного значения из девяноста. Высота же у прямоугольника равна косинусу прилежащего угла.

Формула для нахождения биссектрисы и медианы довольно сложная. Для нахождения первой величины используют преобразование радикала из суммы квадратов катетов к двум, а второй — подстановку радикала вместо стороны, лежащей напротив прямого угла.

Видео:Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора и углы

Эта теорема занимает одно из центральных мест в математике. Алгебраическая формулировка её гласит, что в прямоугольнике квадрат длины гипотенузы по своему значению равен сумме квадратов двух прилегающих к ней сторон, то есть катетов. Например, если обозначить гипотенузу буквой c, а катеты а и b, то математически её можно записать в виде формулы: a 2 +b 2 = c 2 .

Существует несколько доказательств этой теоремы. Самое простое из них — это использование подобия треугольников. В его основе лежат аксиомы. Пусть имеется геометрическая фигура ABC, у которой вершина C является прямой, то есть её угол равен 90 градусов. Если из точки С опустить высоту, а место пересечения с противолежащей стороной обозначить H, то получится два треугольника. Один будет состоять из вершин AHC, а другой BHC. Эти новые фигуры подобны ABC по двум углам. Следующие выражения будут верными:

Приведённые записи эквивалентны равенствам: BC 2 = AB * HB; AC 2 = AB * AH. Сложив первую и вторую формулу, получается: BC 2 + AC 2 = AB * (HB + AH) = AB 2 . Что и следовало доказать.

Используя это фундаментальное правило и свойство, что катет, расположенный напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, проводят множество расчётов, связанных с вычислением длин сторон. Для доказательства, что AC = BC/2, приводят следующие рассуждения.

Так как вершина B равна 30 градусам, то, согласно правилу, разворот С должен составлять C =30*2 = 60 градусов. К имеющемуся треугольнику можно приложить точно такую же фигуру, делая сторону AB центром симметрии. Тогда для многоугольника BCD будет справедливо, что B = D = 60º. Исходя из этого можно утверждать, что DC = BC. Но, так как AC = ½ DC, то соответственно AC = ½ BC.

Но не всегда известны все данные, необходимые для нахождения длины катета по приведённым теоремам. Поэтому для вычисления катетов используются и тригонометрические соотношения.

Видео:КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

Тригонометрические формулы

Для нахождения длины катета прямоугольного треугольника используют простые формулы. Для их применения нужно знать значение любой из сторон и величину разворота произвольной вершины. Существует четыре способа, позволяющих найти катет с использованием тригонометрических правил:

В основе лежит аксиома, что синус находится из отношения противолежащего катета к гипотенузе. Например, пусть известно что длина гипотенузы составляет 100 сантиметров, а вершина A имеет разворот равный 30 градусам. Используя тригонометрические таблицы, можно утверждать, что синус угла A составляет ½. Учитывая преобразованное выражение, находят катет: a = 100 / 2 =50 (см). Таким образом, синус острого угла численно равен отношению одного из катетов, деленного на гипотенузу: sin A = BC/AB.
Используется правило, что косинус в прямоугольнике представляет собой отношение прилежащего катета к прямому углу и гипотенузе: cosA = AC/AB. Например, пусть разворот вершины C равен 60 градусам, а гипотенуза равна 100 сантиметрам. Согласно тригонометрической таблице, угол в 60 градусов равен ½. Подставив это значение в формулу, можно найти значение катета: a=cos∠C*a; b=½*100=50 сантиметров.
Тангенс угла можно вычислить, разделив значение длины противолежащего катета к прилежащему. Математическая формула этого утверждения имеет вид: tg = BC/AC. Катет многоугольника может быть найден как b = tg * a. Например, известно, что у фигуры один из углов равен 45 градусов, а длина гипотенузы составляет 100 сантиметров. Так как тангенс 45 градусов равен единице, то ответом на задачу будет: a = 1*100 = 100 сантиметров.
Котангенс определяется из соотношения прилежащего катета к противолежащему. Фактически это величина, обратная тангенсу: ctg = AC/BC. Например, пусть разворот угла A составляет 30 градусов, а длина катета, находящегося напротив него, равняется 50 сантиметрам. Котангенс 30 градусов соответствует корню из трёх. Подставив в формулу известные данные, можно вычислить неизвестный катет: b =50√3 сантиметров.

Зная, как выглядят тригонометрические формулы и содержание двух теорем, вычислить значение катета можно будет в большинстве поставленных задач.

Видео:Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?Скачать

Типовые примеры

Для решения задач на нахождение катета не нужно обладать какими-то особенными знаниями. Нужно просто внимательно проанализировать условие. Например, пусть известно, что в прямоугольнике один катет длиннее другого на пять сантиметров. При этом площадь фигуры равняется 84 сантиметрам в квадрате. Необходимо определить длины сторон и периметр.

Так как в условии дана площадь, то при решении необходимо отталкиваться от неё. Известно, что площадь прямоугольного треугольника находится по формуле: S = AC*CB/2. Это выражение является частным случаем общей формулы для нахождения площади любого треугольника, где: AC — это высота, а CB — основание. Если принять, что AC равно X, то, согласно условию, длина CB будет составлять x+5.

Исходя из этого, площадь треугольника будет равна: S = (x*(x+5))/2. Подставив вместо S заданное значение, можно получить квадратное уравнение: x2 + 5x — 84 = 0. Решать его лучше методом детерминанта. Корнями уравнения будут -12 и 7. Так как -12 не удовлетворяет условию задачи, то верным ответом будет семь.

Длина второго катета равняется семи сантиметрам. Первого: AC = 7−5 = 2 см. Зная оба катета, по теореме Пифагора можно найти гипотенузу: c = (22 + 72)½ = (4+49)½ = 531/2 = 7,3 см. Найдя длины всех сторон, можно без усилий найти периметр обыкновенным сложением: P = 2+7+7,3 = 16,3 см. Задача решена.

Довольно интересные, но в то же время простые задачи на нахождение сторон и углов при известной длине гипотенузы и значения разворота одной из вершин. Пусть имеется прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза BC равняется пяти сантиметрам, а угол между ней и катетом составляет 60 градусов. Нужно определить все остальные стороны и углы.

Так как известна гипотенуза и острый угол, то, воспользовавшись тригонометрическими формулами, можно найти длины катетов: AC=BC*sin60 = 5*(3) ½ /2; AB=BC*cos60 = 5/2. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов, так как один из них прямой, а второй задан и составляет 60 градусов, то третий находится путём вычитания C = 180 — (90 + 60) = 30.

Видео:Нахождение катета прямоугольного треугольникаСкачать

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Видео:Как найти катет в теореме Пифагора #математика #огэ #shortsСкачать

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

для гипотенузы (с):
- длины катетов a и b
- длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
для катета:
- длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
- длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
- длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
- длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

Видео:7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать

Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.

теория по математике 📈 планиметрия

Если в треугольнике есть угол, равный 90 градусов, то такой треугольник называется прямоугольным. Стороны прямоугольного треугольника называются – катеты и гипотенуза. Катеты – это стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза – сторона, которая располагается напротив прямого угла.

На рисунке треугольник АВС – прямоугольный, угол С равен 90º, стороны АС и ВС – катеты, а сторона АВ – гипотенуза.

Видео:№485. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна с.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике гипотенуза является наибольшей стороной.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30 0 , равен половине гипотенузы. И обратно, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 0 .

Например, пусть угол А=30 0 , а гипотенуза АВ=28 см, то катет ВС будет равен 14 см, так как лежит напротив угла А=30 0 . Или, например, если катет ВС=6 см, а гипотенуза АВ равна 12 см, то угол А (лежащий напротив катета ВС), равен 30 0 .

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна всегда 90 градусов.
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине.

На рисунке изображен прямоугольный треугольник АВС, где CD – медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству – медиана CD=0,5АВ, то есть AD=DB=CD.

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Существует 4 признака равенства прямоугольных треугольников:

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Чтобы быстрее запомнить данные признаки, можно использовать их краткую трактовку:

по катетам;
по катету и прилежащему острому углу;
по гипотенузе и острому углу;
по гипотенузе и катету.

Видео:Геометрия Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а больший катет – 16 см. НайдитеСкачать

Теорема Пифагора

Древнегреческий философ, ученый, математик – Пифагор Самосский вывел теорему, которая до сих применима для решения задач. Теорема названа в честь него – «теорема Пифагора».

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На рисунке в прямоугольном треугольнике АВ 2 =АС 2 +ВС 2

Например, если в данном треугольнике катеты равны 9 и 12 см, то можно найти длину гипотенузы, используя теорему: АВ 2 =9 2 +12 2 =81+144=225=15 2 , значит АВ=15 см.

Египетский треугольник

Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 см называют Египетским треугольником.

Пифагоровы тройки

Тройки чисел, которые удовлетворяют теореме Пифагора, называют Пифагоровы тройки, а сами числа – Пифагоровы числа. Например, такими являются числа 16, 12 и 20 – это числа, которые при подстановке в формулу теоремы, дают нам верное равенство: 16 2 +12 2 =20 2 , 256+144=400, 400=400.