Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема

Свойства биссектрисы равностороннего треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы равностороннего треугольника, а также разберем пример решения задачи по данной теме.

Примечание: напомним, что равносторонним называется треугольник, в котором равны как все стороны, так и все углы.

Видео:ОГЭ 16🔴Скачать

ОГЭ 16🔴

Свойства биссектрисы равностороннего треугольника

Свойство 1

Любая биссектриса равностороннего треугольника одновременно является и медианой, и высотой, и серединным перпендикуляром.

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема

BD – биссектриса угла ABC, которая также является:

  • высотой, опущенной на сторону AC;
  • медианой, делящей сторону AC на два равных отрезка (AD = DC);

Свойство 2

Все три биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой.

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема

Свойство 3

Биссектрисы равностороннего треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема

Свойство 4

Точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника является центром описанной и вписанной окружностей.

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема

  • r – радиус вписанной окружности;
  • R – радиус описанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 5

Биссектриса равностороннего треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) прямоугольных треугольника.

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема

Примечание: Три биссектрисы равностороннего треугольника делят его на 6 равновеликих прямоугольных треугольников.

Свойство 6

Любая из внешних биссектрис угла равностороннего треугольника параллельна стороне, лежащей напротив данного угла.

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема

  • AD и AE – внешние биссектрисы, параллельные BC;
  • BK и BL – внешние биссектрисы, параллельные AC;
  • CM и CN – внешние биссектрисы, параллельные AB.

Свойство 7

Длину биссектрисы ( la ) равностороннего треугольника можно выразить через его сторону.

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема

где a – сторона треугольника.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Пример задачи

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен 4 см. Найдите длину его стороны.

Решение

Согласно Свойствам 3 и 4, рассмотренным выше, радиус вписанной окружности составляет 1/3 часть от биссектрисы равностороннего треугольника. Следовательно, вся ее длина равняется 12 см (4 см ⋅ 3).

Теперь мы можем найти сторону треугольника с помощью формулы ниже (получена из Свойства 7):

Видео:Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать

Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16

Теорема о биссектрисе треугольника. Доказательство

Теорема 1. Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на две отрезки, пропорциональные сторонам, прилежащим к данной вершине. То есть если биссектриса при вершине A делит в точке D сторону BC на отрезки BD и CD (Рис.1), то имеет место следующее соотношение:

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема(1)
Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема

Доказательство (метод площадей 1). Из вершины A опущена биссектриса AD. Построим вершину треугольника AH. Найдем площади треугольников ABD и ACD:

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема,(3)
Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема.(4)

Построим следующее соотношение

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема.(5)

С другой стороны, площадь треугольников ABD и ACD можно найти используя следующие формулы:

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема.(6)
Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема.(7)

Построим следующее соотношение используя формулы (6) и (7):

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема.(8)

Из формул (5) и (8) получим соотношение (1).Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема

Доказательство (метод площадей 2). С одной стороны, аналогично вышеизложенному имеем соотношение (5). Далее из точки D проведем вершины L и M для треугольников ABD и ACD (Рис.2).

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема

Тогда площади треугольников ABD и ACD можно найти из формул:

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема,(9)
Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема.(10)

Построим следующее соотношение

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема.(11)

Из формул (5) и (11) получим соотношение (1).Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема

Доказательство (через теорему синусов). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.3):

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема

Применяя теорему синусов для треугольников ABD и ACD можем записать:

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема,(12)
Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема.(13)

Поделив (12) на (13) и учитывая, что ( small sin(180°-delta)=sin delta , ) (см. статью Формулы приведения тригонометрических функций онлайн) получим равенство (1).Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема

Доказательство (через подобие треугольников). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.4). Проведем перпендикуляры из вершин B и C на луч AD и обозначим точки пересечения через L и K.

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема

Рассмотрим треугольники ABL и ACK. Эти треугольники подобны по двум углам (( small ∠ ALB= ∠ AKC ,;; ∠ BAL= ∠ CAK ) ). Тогда имеем:

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема(14)

Рассмотрим, далее, треугольники BLD и CKD. Они также подобны поскольку ( small ∠ BLD= ∠ CKD ,) а углы BDL и CDK равны так как они вертикальные. Тогда имеет место следующее соотношение:

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема(15)

Из равенств (14) и (15) получаем:

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема.Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема

Пример. Даны стороны треугольника ABC: AB=18, AC=6, BC=20. Найти отрезки, полученные делением биссектрисей большой стороны треугольника.

Решение. Поскольку напротив самой большой стороны треугольника находится вершина A, то бисскетриса AD делит сторону BC на отрезки BD и CD. Тогда имеем:

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема.(16)

Обозначим BD=x. Тогда CD=BC−x=20−x. Подставляя данные в уравнение (16), получим:

Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема
Биссектрисы в равностороннем треугольнике теорема.(17)

Методом перекресного умножения упростим (17) и решим:

Видео:Задание 9 ОГЭ от ФИПИСкачать

Задание 9 ОГЭ от ФИПИ

Please wait.

Видео:Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т6. Второе свойство равнобедренного треугольника.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т6. Второе свойство равнобедренного треугольника.

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6dc66d052c9c1667 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

🎦 Видео

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Геометрия Равносторонний треугольникСкачать

Геометрия  Равносторонний треугольник

Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольникаСкачать

Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольника

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольникаСкачать

Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольника

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.

Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать

Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.

Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник. 7 класс.

№119. В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK=16см отрезок EF— биссектриса,Скачать

№119. В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK=16см отрезок EF— биссектриса,

7 фактов про равносторонний треугольникСкачать

7 фактов про равносторонний треугольник
Поделиться или сохранить к себе: