Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Какое из следующих утверждений верно?

1) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

2) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

3) Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.» — неверно, площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

2) «Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.» — неверно, Сумма углов прямоугольного треугольника равна 180 градусам.

3) «Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности.» — верно, биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности.

Видео:Центром вписанной в треугольник окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центром вписанной в треугольник окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Задание 20. Какое из следующих утверждений верно?

1) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

2) Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

3) Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

1) Нет, площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

2) Нет, сумма углов в любом треугольнике 180 градусов.

3) Да, биссектрисы любого треугольника пересекаются в точке центра вписанной в него окружности.

Видео:Биссектрисы треугольника пересекаются в центре ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно илиСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно илиФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно илиВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или.

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникБиссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или
Равнобедренный треугольникБиссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или
Равносторонний треугольникБиссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или
Прямоугольный треугольникБиссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или.

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или.

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Произвольный треугольник
Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или
Равнобедренный треугольник
Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или
Равносторонний треугольник
Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или
Прямоугольный треугольник
Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или
Произвольный треугольник
Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или.

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или.

Равнобедренный треугольникБиссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Равносторонний треугольникБиссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникБиссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или– полупериметр (рис. 6).

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

с помощью формулы Герона получаем:

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности верно или

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

🎦 Видео

Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать

Пересечение биссектрис треугольника в одной точке,  Геометрия 7 класс

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Задача №255 [НЕДЕТСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ #1]Скачать

Задача №255 [НЕДЕТСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ #1]

#26. EGMO-2022, Problem 6Скачать

#26. EGMO-2022, Problem 6

Центром описанной окружности треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центром описанной окружности треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Центром окружности, описанной около треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центром окружности, описанной около треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

ЕГЭ. Вписанная окружность.Скачать

ЕГЭ. Вписанная окружность.

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

ВСЕ ТИПЫ 19 задания на ОГЭ по математике 2024 | Дядя АртёмСкачать

ВСЕ ТИПЫ 19 задания на ОГЭ по математике 2024 | Дядя Артём

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

#5str. Как проверять перпендикулярность?Скачать

#5str. Как проверять перпендикулярность?

Биссектрисы пересекаются в одной точке| Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич| Уроки геометрии 7-8Скачать

Биссектрисы пересекаются в одной точке| Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич| Уроки геометрии 7-8
Поделиться или сохранить к себе: