Ключевые слова:биссектриса, треугольник, угол
Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части.
Биссектриса угла (вместе с ее продолжением) есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла (или их продолжений).
Биссектриса угла треугольника — это отрезок биссектрисы этого угла, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.
- Любая из трех биссектрисс внутренних углов треугольника называется биссектрисой треугольника.
- Биссектриса угла треугольника может обозначать одно из двух: луч — биссектриса этого угла или отрезок биссектрисы этого угла до ее пересечения со стороной треугольника.
Свойства биссектрис
- Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
- Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.
- Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.
- Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то $$frac= frac$$.
- Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центродной из трех вневписанных окружностей этого треугольника.
- Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.
- Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.
Формулы
Обозначения:
la — биссектриса, проведенная к стороне a,
a,b,c — стороны треугольника против вершин A,B,C соответственно,
al,a 2 — отрезки, на которые биссектриса lc делит сторону c,
$$alpha,beta,gamma$$ — внутренние углы треугольника при вершинах a, b, c соответственно,
ha — высота треугольника, опущенная на сторону a.
- Определение и свойства биссектрисы угла треугольника
- Определение биссектрисы угла треугольника
- Свойства биссектрисы треугольника
- Свойство 1 (теорема о биссектрисе)
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Пример задачи
- Элементы треугольника. Биссектриса
- Свойства биссектрисы
- Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника
- 📺 Видео
Видео:8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы углаСкачать
Определение и свойства биссектрисы угла треугольника
В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.
Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать
Определение биссектрисы угла треугольника
Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.
Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.
Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.
Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Свойства биссектрисы треугольника
Свойство 1 (теорема о биссектрисе)
Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):
Свойство 2
Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.
Свойство 3
Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).
Свойство 4
Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):
BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC
Свойство 5
Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.
- CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
- CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
- ∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Пример задачи
Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.
Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.
Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.
Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):
Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29
Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.
Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Элементы треугольника. Биссектриса
Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.
Видео:Свойства биссектрисы треугольникаСкачать
Свойства биссектрисы
1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.
2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон ()
3. Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.
4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать
Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника
(доказательство формулы – здесь)
, где
— длина биссектрисы, проведённой к стороне ,
— стороны треугольника против вершин соответственно,
— длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону ,
Приглашаю посмотреть видеоурок, в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.
Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1
Возможно, вам будет интересен и этот небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
📺 Видео
Свойство биссектрисы треугольникаСкачать
Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Формула для биссектрисы треугольникаСкачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Свойства биссектрисыСкачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Теорема о биссектрисе угла треугольника | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин |Скачать
Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать
Свойство биссектрисы внешнего угла треугольникаСкачать
Свойство биссектрисы треугольникаСкачать
Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать
Свойства биссектрисы #shortsСкачать