Биссектриса угла в окружности

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Биссектриса угла в окружностиСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Биссектриса угла в окружностиФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Биссектриса угла в окружностиВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Построение биссектрисы углаСкачать

Построение биссектрисы угла

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Биссектриса угла в окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Биссектриса угла в окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Биссектриса угла в окружности

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Биссектриса угла в окружности

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Биссектриса угла в окружности

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Биссектриса угла в окружности

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать

Построение биссектрисы угла. 7 класс.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Биссектриса угла в окружности

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Биссектриса угла в окружности.

Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Биссектриса угла в окружности

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникБиссектриса угла в окружности
Равнобедренный треугольникБиссектриса угла в окружности
Равносторонний треугольникБиссектриса угла в окружности
Прямоугольный треугольникБиссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Биссектриса угла в окружности.

Биссектриса угла в окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Биссектриса угла в окружности.

Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Биссектриса угла в окружности

Произвольный треугольник
Биссектриса угла в окружности
Равнобедренный треугольник
Биссектриса угла в окружности
Равносторонний треугольник
Биссектриса угла в окружности
Прямоугольный треугольник
Биссектриса угла в окружности
Произвольный треугольник
Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Биссектриса угла в окружности.

Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Биссектриса угла в окружности.

Равнобедренный треугольникБиссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

Равносторонний треугольникБиссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникБиссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

Видео:Построение биссектрисы углаСкачать

Построение биссектрисы угла

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Биссектриса угла в окружности

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Биссектриса угла в окружности– полупериметр (рис. 6).

Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

с помощью формулы Герона получаем:

Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Биссектриса угла в окружности

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Биссектриса угла в окружности

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Биссектриса угла в окружности

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Биссектриса угла в окружности

Биссектриса угла в окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Биссектриса углаСкачать

Биссектриса угла

Свойство биссектрисы угла

Теорема

Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Доказательство

1) Дано: Биссектриса угла в окружностиВАС, АМ — биссектриса, МК Биссектриса угла в окружностиАВ, MLБиссектриса угла в окружностиАС.

Доказать: MK = ML

Доказательство:

Биссектриса угла в окружности

Рассмотрим Биссектриса угла в окружностиАМК и Биссектриса угла в окружностиAML: МКБиссектриса угла в окружностиАВ, MLБиссектриса угла в окружностиАС, поэтому рассматриваемые треугольники прямоугольные. АМ — общая гипотенуза, Биссектриса угла в окружности1 = Биссектриса угла в окружности2, т.к. луч АМ — биссектриса, следовательно, Биссектриса угла в окружностиАМК = Биссектриса угла в окружностиAML, по гипотенузе и острому углу, а в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, поэтому MK = ML.

2) Дано: Биссектриса угла в окружностиВАС, MK = ML, МК Биссектриса угла в окружностиАВ, MLБиссектриса угла в окружностиАС.

Доказать: АМ — биссектриса Биссектриса угла в окружностиВАС

Доказательство:

Биссектриса угла в окружности

Рассмотрим Биссектриса угла в окружностиАМК и Биссектриса угла в окружностиAML: МКБиссектриса угла в окружностиАВ, MLБиссектриса угла в окружностиАС, поэтому рассматриваемые треугольники прямоугольные. АМ — общая гипотенуза, MK = ML по условию, следовательно, Биссектриса угла в окружностиАМК = Биссектриса угла в окружностиAML, по гипотенузе и катету, а в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, поэтому Биссектриса угла в окружности1 = Биссектриса угла в окружности2 , а это означает, что луч АМ — биссектриса Биссектриса угла в окружностиВАС. Теорема доказана.

Следствие 1

Геометрическим местом точек плоскости, лежащих внутри неразвёрнутого угла и равноудалённых от сторон угла, является биссектриса этого угла.

Следствие 2

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

В самом деле, обозначим буквой О точку пересечения биссектрис АА1 и ВВ1 треугольника АВС и проведем перпендикуляры ОК, OL и ОМ соответственно к прямым АВ, ВС и СА.

Биссектриса угла в окружности

По доказанной теореме ОК = ОМ и ОК = OL. Поэтому ОМ = OL, т.е. точка О равноудалена от сторон угла АСВ и, значит, лежит на биссектрисе СС1 этого угла. Следовательно, все три биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О, что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Биссектриса углаСкачать

Биссектриса угла

Как связаны биссектриса и окружность

В геометрии могут объединиться даже очень различные на первый взгляд фигуры, такие как окружность и треугольник. У каждой есть свои особенности, которые позволяют отличать их от прочих фигур, даже если они очень похожи: например, круг и окружность – это совсем не одно и тоже.

Биссектриса угла в окружностиРазница между кругом и окружностью состоит в отношении к плоскости. Если упрощенно, то под плоскостью понимают поверхность, на которой и строятся фигуры. Саму плоскость тоже можно считать фигурой. Окружность – это совокупность всех точек на плоскости, которые образуют фигуру, а круг – это часть плоскости, которую ограничивает окружность. Поэтому может быть сектор или сегмент круга – но понятие дуги относится только к окружности.

Одним из важнейших понятий, связанных с окружностью, является радиус – расстояние от центра окружности до любой её точки. Чтобы произвести вычисление радиуса, нужно знать длину окружности, её площадь или диаметр. Проще всего посчитать радиус через диаметр – просто разделить длину диаметра на два.

Зная длину, тоже можно вычислить радиус – если формула длины – это L=2πR, то радиус вычисляется по формуле R= L/2π.

Окружность можно как вписать в любой треугольник, так и начертить вокруг любого треугольника так, чтобы все вершины треугольника касались окружности. Чтобы описать окружность вокруг треугольника, надо найти точку пересечения всех углов треугольника – она будет центром описываемой окружности. Чтобы, напротив, вписать круг в треугольник, надо к середине каждой стороны провести перпендикулярную прямую. Точка их пересечения и будет центром вписанного круга.

Биссектриса угла в окружностиОсновное свойство вписанного в окружность треугольника состоит в том, что вычислить его площадь очень просто – для этого надо знать радиус окружности и длины сторон треугольника. Для этого используется формула: P/2*R, где P – периметр, а R – радиус окружности.

Значение биссектрисы – луча, исходящего из вершины угла и делящего его напополам, – не ограничивается тем, что с её помощью можно вписать круг в треугольник. Назовем основные свойства биссектрисы треугольника, которые существенно облегчают процесс решения геометрических задач.

Во-первых, биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам. Во-вторых, в правильном треугольнике биссектриса является медианой и высотой, а в равнобедренном треугольнике совпадает с медианой и с высотой только в том случае, если проведена от вершины к основанию. В-третьих, как уже упоминалось, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

При решении задач, связанных с треугольниками или окружностями, важно отличать биссектрису от медианы или высоты, а радиус или диаметр – от хорды.

🔥 Видео

Урок по теме СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ УГЛА 8 КЛАСС ГЕОМЕТРИЯСкачать

Урок по теме СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ УГЛА 8 КЛАСС ГЕОМЕТРИЯ

8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы углаСкачать

8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы угла

Построение биссектрисы в треугольникеСкачать

Построение биссектрисы в треугольнике

Биссектриса угла. Геометрия 7 класс.Скачать

Биссектриса угла. Геометрия 7 класс.

Построить биссектрису угла. Построение с помощью циркуля и линейки.Скачать

Построить биссектрису угла. Построение с помощью циркуля и линейки.

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Геометрия 8 класс (Урок№29 - Свойство биссектрисы угла.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№29 - Свойство биссектрисы угла.)

Построение биссектрисы углаСкачать

Построение биссектрисы угла

Свойство биссектрисы углаСкачать

Свойство биссектрисы угла

Геометрия Биссектриса угла B треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этогоСкачать

Геометрия Биссектриса угла B треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого

Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Биссектриса углаСкачать

Биссектриса угла

Построение угла равного данномуСкачать

Построение угла равного данному

Построение биссектрисы угла, построение окружностей треугольникаСкачать

Построение биссектрисы угла, построение окружностей треугольника

построение биссектрисы углаСкачать

построение биссектрисы угла
Поделиться или сохранить к себе: