Биссектриса равностороннего треугольника найти сторону

Задание 9. Биссектриса равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите его сторону.

В равностороннем треугольнике все стороны равны, а биссектриса является также медианой и высотой h (см. рисунок).

Из рисунка видно, что сторону равностороннего треугольника можно найти из прямоугольного треугольника, в котором один катет является высотой h, второй – половина основания, равная a/2, к которому проведена высота, а роль гипотенузы будет играть сторона треугольника, равная a. Таким образом, по теореме Пифагора, можно записать равенство:

,

откуда выразим сторону треугольника:

Подставим вместо h=12√3, получим квадрат стороны треугольника:

и сторона равна

.

Задание 10. В треугольнике ABC известно, что AC = 7, BC = 24, угол С равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Радиус описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника лежит в центре его гипотенузы. В задаче даны катеты прямоугольного треугольника с длинами 7 и 24 соответственно. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы, получим:

.

Таким образом, радиус описанной окружности равен

.

Свойства биссектрисы равностороннего треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы равностороннего треугольника, а также разберем пример решения задачи по данной теме.

Примечание: напомним, что равносторонним называется треугольник, в котором равны как все стороны, так и все углы.

Свойства биссектрисы равностороннего треугольника

Свойство 1

Любая биссектриса равностороннего треугольника одновременно является и медианой, и высотой, и серединным перпендикуляром.

BD – биссектриса угла ABC, которая также является:

• высотой, опущенной на сторону AC;
• медианой, делящей сторону AC на два равных отрезка (AD = DC);

Свойство 2

Все три биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой.

Свойство 3

Биссектрисы равностороннего треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойство 4

Точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника является центром описанной и вписанной окружностей.

• r – радиус вписанной окружности;
• R – радиус описанной окружности;
• R = 2r.

Свойство 5

Биссектриса равностороннего треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) прямоугольных треугольника.

Примечание: Три биссектрисы равностороннего треугольника делят его на 6 равновеликих прямоугольных треугольников.

Свойство 6

Любая из внешних биссектрис угла равностороннего треугольника параллельна стороне, лежащей напротив данного угла.

• AD и AE – внешние биссектрисы, параллельные BC;
• BK и BL – внешние биссектрисы, параллельные AC;
• CM и CN – внешние биссектрисы, параллельные AB.

Свойство 7

Длину биссектрисы ( l_a ) равностороннего треугольника можно выразить через его сторону.

где a – сторона треугольника.

Пример задачи

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен 4 см. Найдите длину его стороны.

Решение

Согласно Свойствам 3 и 4, рассмотренным выше, радиус вписанной окружности составляет 1/3 часть от биссектрисы равностороннего треугольника. Следовательно, вся ее длина равняется 12 см (4 см ⋅ 3).

Теперь мы можем найти сторону треугольника с помощью формулы ниже (получена из Свойства 7):

Решение №2224 Биссектриса равностороннего треугольника равна 17√3. Найдите сторону этого треугольника.

Биссектриса равностороннего треугольника равна 17√3. Найдите сторону этого треугольника.

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (50 вариантов)

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а биссектриса является так же высотой.

∠АВН = ∠СВН = 60°/2 = 30°
∠ВНС = 90°

В прямоугольном треугольнике ΔНВС, через косинус угла ∠СВН найдём искомую сторону ВС .
Косинус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

|:√3

ВС = 2·17 = 34