Биссектриса равнобедренного треугольника является

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы равнобедренного треугольника (внутренней и внешней), а также разберем пример решения задачи по данной теме.

Примечание: напомним, что равнобедренным называется треугольник, в котором две стороны равны (боковые), а третья является основание фигуры.

Видео:Биссектриса равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника

Свойство 1

В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны между собой.

• AB = BC, т.к. являются боковыми сторонами равнобедренного △ABC;
• AF = CG, т.к. это биссектрисы, проведенные к боковым сторонам треугольника (или биссектрисы углов BAC и ACB, которые также равны между собой).

Обратная формулировка: если две из трех биссектрис в треугольнике равны, значит он является равнобедренным.

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, одновременно является и медианой и высотой.

• BH – биссектриса угла ABC, проведенная к основанию AC;
• BH – медиана, значит она делит AC пополам, т.е. AH = HC;
• BH – высота, следовательно, она перпендикулярна AC.

Свойство 3

Если известны стороны равнобедренного треугольника, то длину биссектрисы, проведенную к основанию, можно посчитать по формуле:

Примечание: данная формула следует из теоремы Пифагора ( l и a – катеты прямоугольного треугольника, b – его гипотенуза).

Свойство 4

Внешняя биссектриса угла равнобедренного треугольника, расположенного напротив его основания, параллельна этому основанию.

• BD – внешняя биссектриса ∠ABC треугольника;
• BD параллельна основанию AC.

Примечание: к равнобедренному треугольнику применимы и другие свойства биссектрисы, приведенные в нашей публикации – “Определение и свойства биссектрисы угла треугольника”.

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

Пример задачи

Биссектриса равнобедренного треугольника с боковой стороной 25 см равняется 20 см. Найдите периметр фигуры.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в Свойстве 3, чтобы найти длину основания.
a 2 = b 2 – l 2 = 25 2 – 20 2 = 225 .

Извлекаем квадратный корень из найденного значения и получаем 15 см.
Следовательно, основание треугольника равно 30 см (15 см ⋅ 2).

Периметр фигуры равен сумме всех ее сторон, т.е.: 25 см + 25 см + 30 см = 80 см.

Видео:Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Видео:Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Видео:Биссектриса равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

Видео:Любая биссектриса равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Биссектриса равнобедренного треугольника

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 156.

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 156.

Биссектриса равнобедренного треугольника обладает особенным свойством, которое определяет стиль решения задач на нахождение элементов равнобедренного треугольника. Чтобы лучше понять смысл решения подобных задач, поговорим о биссектрисе равнобедренного треугольника.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Определения

Равнобедренный треугольник – это треугольник, две стороны которого равны между собой. Третья сторона зовется основанием, углы при основании равны.

Биссектриса треугольника – это отрезок, который делить угол треугольника на две равные части. Каждая точка биссектрисы равноудалена от каждой из сторон треугольника, т.е. если из любой точки биссектрисы опустить перпендикуляры на каждую из сторон угла, то эти перпендикуляры окажутся равны между собой. Точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности и зовется инцентром треугольника.

Видео:Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольникаСкачать

Биссектриса равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник уникален равенством двух сторон и двух углов. Именно этим обеспечивается основное свойство биссектрисы равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, совпадает с высотой и медианой.

В равнобедренном треугольнике только биссектриса, проведенная к основанию, совпадает с высотой и медианой. Две другие биссектрисы будут отличатся от соответствующих медиан и высот, проведенным к этим же сторонам. Это стоит запомнить раз и навсегда, чтобы не допускать нелепых ошибок.

При решении задач, нужно понимать, что это свойство можно применять не только в равнобедренном, но и в равностороннем треугольнике.

Ведь, если выбрать любую из сторон равностороннего треугольника и принять ее за основание, то две другие стороны будут равны, а, значит, равносторонний треугольник может считаться равнобедренным треугольником, у которого любая сторона может выступать в роли основания.

А раз любую сторону можно принимать за основание, то и каждая биссектриса будет совпадать с каждой соответствующей медианой и высотой. Ведь каждая биссектриса будет проведена к стороне, которую можно считать основанием.

Именно на этом свойстве основано равенство двух треугольников, которые получаются в равнобедренном треугольнике в результате проведения биссектрисы. Ведь в таких треугольниках одна сторона, та самая биссектриса, будет общей.

Рис. 3. Равнобедренный тупоугольный треугольник

Биссектриса совпадает с высотой, а, значит, два малых треугольника будут прямоугольными, а биссектриса дает два равных угла. То есть, два треугольника будут равны по катету и прилежащему острому углу, что соответствует одному из признаков равенства прямоугольных треугольников.

Использование двух малых треугольников часто встречается на практике. Например, если известны основание треугольника и его боковая сторона, а нужно найти биссектрису, сделать это можно гораздо проще, нежели в других треугольниках.

Биссектриса совпадает с медианой и высотой, а, значит, станет катетом малого прямоугольного треугольника, тогда значение биссектрисы можно найти как значение катета через теорему Пифагора.

Видео:№420. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольникаСкачать

Что мы узнали?

Мы вспомнили, что такое равнобедренный треугольник. Поговорили о свойствах биссектрисы равнобедренного треугольника, отдельно выделили свойства биссектрис равностороннего треугольника. Отметили наиболее применяемый и простой способ нахождения биссектрисы равнобедренного треугольника.

📹 Видео

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т6. Второе свойство равнобедренного треугольника.Скачать

№133. Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольникаСкачать

Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. ЗадачаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать