Биссектриса и подобные треугольники

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Содержание
  1. Определение биссектрисы угла треугольника
  2. Свойства биссектрисы треугольника
  3. Свойство 1 (теорема о биссектрисе)
  4. Свойство 2
  5. Свойство 3
  6. Свойство 4
  7. Свойство 5
  8. Пример задачи
  9. Подобные треугольники
  10. Определение
  11. Признаки подобия треугольников
  12. Свойства подобных треугольников
  13. Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников
  14. Подобие треугольников — признаки и свойства с доказательствами и примерами решения
  15. Подобные треугольники
  16. Первый признак подобия треугольников
  17. Пример №1
  18. Теорема Менелая
  19. Теорема Птолемея
  20. Второй и третий признаки подобия треугольников
  21. Пример №4
  22. Прямая Эйлера
  23. Обобщенная теорема Фалеса
  24. Пример №5
  25. Подобные треугольники
  26. Пример №6
  27. Пример №7
  28. Признаки подобия треугольников
  29. Пример №8
  30. Пример №9
  31. Cредние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  32. Пример №10
  33. Пример №11
  34. Свойство биссектрисы треугольника
  35. Пример №12
  36. Пример №13
  37. Применение подобия треугольников к решению задач
  38. Пример №14
  39. Пример №15
  40. Подобие треугольников
  41. Определение подобных треугольники
  42. Пример №16
  43. Вычисление подобных треугольников
  44. Подобие треугольников по двум углам
  45. Пример №17
  46. Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними
  47. Пример №18
  48. Подобие треугольников по трем сторонам
  49. Подобие прямоугольных треугольников
  50. Пример №19
  51. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  52. Пример №20
  53. Теорема Пифагора и ее следствия
  54. Пример №21
  55. Теорема, обратная теореме Пифагора
  56. Перпендикуляр и наклонная
  57. Применение подобия треугольников
  58. Свойство биссектрисы треугольника
  59. Пример №22
  60. Метрические соотношения в окружности
  61. Метод подобия
  62. Пример №23
  63. Пример №24
  64. Справочный материал по подобию треугольников
  65. Теорема о пропорциональных отрезках
  66. Подобие треугольников
  67. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
  68. Признак подобия треугольников по трем сторонам
  69. Признак подобия прямоугольных треугольников
  70. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
  71. Теорема Пифагора и ее следствия
  72. Перпендикуляр и наклонная
  73. Свойство биссектрисы треугольника
  74. Метрические соотношения в окружности
  75. Подробно о подобных треугольниках
  76. Пример №25
  77. Пример №26
  78. Обобщённая теорема Фалеса
  79. Пример №27
  80. Пример №28
  81. Второй и трети и признаки подобия треугольников
  82. Пример №29
  83. Применение подобия треугольников
  84. Пример №30 (свойство биссектрисы треугольника).
  85. Пример №31
  86. 📺 Видео

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

Биссектриса и подобные треугольники

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

Биссектриса и подобные треугольники

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Биссектриса и подобные треугольники

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Биссектриса и подобные треугольники

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Биссектриса и подобные треугольники

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

Биссектриса и подобные треугольники

  • CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
  • CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
  • DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Видео:Подобные треугольники, их свойства. Биссектриса.Скачать

Подобные треугольники, их свойства.  Биссектриса.

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Биссектриса и подобные треугольники

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Биссектриса и подобные треугольники

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Видео:Решение задач на тему "Подобные треугольники". 8 классСкачать

Решение задач на тему "Подобные треугольники". 8 класс

Подобные треугольники

Видео:Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnline

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Биссектриса и подобные треугольники

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Биссектриса и подобные треугольники

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Биссектриса и подобные треугольники II признак подобия треугольников

Биссектриса и подобные треугольники

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Биссектриса и подобные треугольники

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Свойства подобных треугольников

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  • Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Биссектриса и подобные треугольники
  • Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Видео:Задание 26 Свойство биссектрисы треугольника Подобные треугольникиСкачать

Задание 26  Свойство биссектрисы треугольника  Подобные треугольники

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Биссектриса и подобные треугольники

2. Треугольники Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия – Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Видео:8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольниковСкачать

8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольников

Подобие треугольников — признаки и свойства с доказательствами и примерами решения

Содержание:

Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках

Теорема 11.1 (теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Пусть дан угол АОВ (рис. 112). Известно, что Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Докажем, что Биссектриса и подобные треугольники

Предположим, что Биссектриса и подобные треугольникиПусть серединой отрезка Биссектриса и подобные треугольникиявляется некоторая точка Биссектриса и подобные треугольникиТогда отрезок Биссектриса и подобные треугольники— средняя линия треугольника Биссектриса и подобные треугольники

Отсюда
Биссектриса и подобные треугольникиЗначит, через точку Биссектриса и подобные треугольникипроходят две прямые, параллельные прямой Биссектриса и подобные треугольникичто противоречит аксиоме параллельности прямых. Мы получили противоречие. Следовательно, Биссектриса и подобные треугольники

Предположим, что Биссектриса и подобные треугольникиПусть серединой отрезка Биссектриса и подобные треугольникиявляется некоторая точка Биссектриса и подобные треугольникиТогда отрезок Биссектриса и подобные треугольники— средняя линия трапеции Биссектриса и подобные треугольникиОтсюда Биссектриса и подобные треугольникиЗначит, через точку Биссектриса и подобные треугольникипроходят две прямые, параллельные прямой Биссектриса и подобные треугольникиМы пришли к противоречию. Следовательно, Биссектриса и подобные треугольники
Аналогично можно доказать, что Биссектриса и подобные треугольникии т. д.

Определение. Отношением двух отрезков называют отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения.

Фалес Милетский
(ок. 625 — ок. 547 до н. э.)

Биссектриса и подобные треугольники
Древнегреческий философ, ученый, купец и государственный деятель. Родом из Милета — порта в Малой Азии на побережье Эгейского моря.

Если, например, АВ = 8 см, CD = 6 см, то отношение отрезка АВ к отрезку CD равно Биссектриса и подобные треугольникиЗаписывают: Биссектриса и подобные треугольники
Если Биссектриса и подобные треугольникито говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны соответственно отрезкам Биссектриса и подобные треугольники

Аналогично можно говорить о пропорциональности большего количества отрезков. Например, если Биссектриса и подобные треугольникито говорят, что отрезки АВ, CD, MN пропорциональны соответственно отрезкам Биссектриса и подобные треугольники

Теорема 11.2 (теорема о пропорциональных отрезках). Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Биссектриса и подобные треугольники

Доказательство этой теоремы выходит за рамки школьного курса геометрии. Мы приведем доказательство для частного случая.

Пусть стороны угла MON пересечены параллельными прямыми Биссектриса и подобные треугольники(рис. 113). Докажем, что: Биссектриса и подобные треугольники
Докажем первое из этих равенств (остальные два можно доказать аналогично).

Пусть для отрезков ОА и АВ существует такой отрезок длиной Биссектриса и подобные треугольники, который укладывается целое число раз в каждом из них. Имеем: Биссектриса и подобные треугольники— некоторые натуральные числа.

Тогда отрезки ОА и АВ можно разделить соответственно на Биссектриса и подобные треугольникиравных отрезков, каждый из которых равен Биссектриса и подобные треугольники.

Биссектриса и подобные треугольники

Через концы полученных отрезков проведем прямые, параллельные прямой Биссектриса и подобные треугольники
(рис. 114). По теореме Фалеса эти прямые делят отрезки Биссектриса и подобные треугольникисоответственно на Биссектриса и подобные треугольникиравных отрезков. Пусть каждый из этих отрезков равен Биссектриса и подобные треугольникиОтсюда Биссектриса и подобные треугольникиБиссектриса и подобные треугольники

Имеем: Биссектриса и подобные треугольникиОтсюда Биссектриса и подобные треугольникиТогда Биссектриса и подобные треугольники

Почему же приведенные рассуждения нельзя считать полным доказательством теоремы? Дело в том, что не для любых двух отрезков существует отрезок, который укладывается в каждом из них целое число раз. В частности, для отрезков ОА и АВ такой отрезок может и не существовать. Доказательство для этого случая выходит за пределы рассматриваемого курса.

Если рисунок 113 дополнить прямой Биссектриса и подобные треугольникипараллельной прямой Биссектриса и подобные треугольники(рис. 115), то, рассуждая аналогично, получим, например, что Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Теорема 11.2 остается справедливой, если вместо сторон угла взять две любые прямые.

Теорема 11.3. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Доказательство. На рисунке 116 медианы Биссектриса и подобные треугольникитреугольника АВС пересекаются в точке М. Докажем, что медиана Биссектриса и подобные треугольникитакже проходит через точку М и Биссектриса и подобные треугольники
Проведем Биссектриса и подобные треугольникиПоскольку Биссектриса и подобные треугольникито по теореме Фалеса Биссектриса и подобные треугольникито есть Биссектриса и подобные треугольникиПоскольку Биссектриса и подобные треугольники

По теореме о пропорциональных отрезках Биссектриса и подобные треугольники

Таким образом, медиана Биссектриса и подобные треугольникипересекая медиану Биссектриса и подобные треугольникиделит ее в отношении 2:1, считая от вершины В.
Аналогично можно доказать (сделайте это самостоятельно), что медиана Биссектриса и подобные треугольникитакже делит медиану Биссектриса и подобные треугольникив отношении 2:1, считая от вершины В (рис. 117).

Биссектриса и подобные треугольники

А это означает, что все три медианы треугольника АВС проходят через одну точку. Мы доказали, что эта точка делит медиану Биссектриса и подобные треугольникив отношении 2:1.

Аналогично можно доказать, что эта точка делит в отношении 2 : 1 также медианы Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники

На рисунке 118 изображен треугольник АВС. Точка D принадлежит стороне АС. В этом случае говорят, что стороны АВ и ВС прилежат соответственно к отрезкам AD и DC.

Теорема 11.4 (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Доказательство. На рисунке 119 отрезок BD — биссектриса треугольника АВС. Докажем, что Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Через точку С проведем прямую СЕ, параллельную прямой BD. Пусть проведенная прямая пересекает прямую АВ в точке Е. Углы 1 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых BD и СЕ и секущей ВС; утлы 3 и 4 равны как соответственные при параллельных прямых BD и СЕ и секущей АЕ. Поскольку BD — биссектриса треугольника АВС, то Биссектриса и подобные треугольникиОтсюда Биссектриса и подобные треугольникиТогда треугольник СВЕ — равнобедренный с равными сторонами ВС и BE. По теореме о пропорциональных отрезках Биссектриса и подобные треугольникиПоскольку BE = ВС, то Биссектриса и подобные треугольники

Пример:

Разделите данный отрезок на три равных отрезка.

Решение:

Через конец А данного отрезка АВ проведем луч АС, не принадлежащий прямой АВ (рис. 120). Отметим на луче АС произвольную точку А1. Затем отметим точки Биссектриса и подобные треугольникитак, чтобы Биссектриса и подобные треугольники Биссектриса и подобные треугольникиПроведем отрезок А2В. Через точки A1 и А2 проведем прямые, параллельные прямой Биссектриса и подобные треугольникиОни пересекут отрезок АВ в точках В1 и В2 соответственно. По теореме Фалеса Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

Подобные треугольники

На рисунке 128 вы видите уменьшенное изображение обложки учебника по геометрии. Вообще в повседневной жизни часто встречаются объекты, имеющие одинаковую форму, но разные размеры (рис. 129).

Биссектриса и подобные треугольники

Геометрические фигуры, которые имеют одинаковую форму, называют подобными. Например, подобными являются любые две окружности, два квадрата, два равносторонних треугольника (рис. 130).

Биссектриса и подобные треугольники

На рисунке 131 изображены треугольники Биссектриса и подобные треугольникиу которых равны углы: Биссектриса и подобные треугольники

Стороны Биссектриса и подобные треугольникилежат против равных углов Биссектриса и подобные треугольникиТакие стороны называют соответственными. Соответственными также являются стороны Биссектриса и подобные треугольники

Определение. Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Например, на рисунке 132 изображены треугольники Биссектриса и подобные треугольникиу которых Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиПо определению эти треугольники подобны. Пишут: Биссектриса и подобные треугольники(читают: «треугольник АВС подобен треугольнику Биссектриса и подобные треугольники»).

Число 2, которому равно отношение соответственных сторон, называют коэффициентом подобия. Говорят, что треугольник АВС подобен треугольнику Биссектриса и подобные треугольникис коэффициентом подобия, равным 2.
Пишут: Биссектриса и подобные треугольники
Поскольку Биссектриса и подобные треугольникито можно также сказать, что треугольник Биссектриса и подобные треугольникиподобен треугольнику АВС с коэффициентом Биссектриса и подобные треугольникиПишут: Биссектриса и подобные треугольники

Из определения равных треугольников следует, что любые два равных треугольника подобны с коэффициентом подобия, равным 1.

Если Биссектриса и подобные треугольники

Докажите это свойство самостоятельно.

Биссектриса и подобные треугольники

Лемма 1 о подобных треугольниках. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

1 Леммой называют вспомогательную теорему, которую используют для доказательства других теорем.

Доказательство. На рисунке 133 изображен треугольник АВС, отрезок Биссектриса и подобные треугольникипараллелен стороне АС. Докажем, что Биссектриса и подобные треугольники

Углы Биссектриса и подобные треугольникиравны как соответственные при параллельных прямых Биссектриса и подобные треугольникии секущих АВ и СВ соответственно. Следовательно, углы рассматриваемых треугольников соответственно равны.

Покажем, что стороны ВА и ВС пропорциональны соответственно сторонам Биссектриса и подобные треугольники
Из теоремы о пропорциональных отрезках (теорема 11.2) следует, что Биссектриса и подобные треугольникиОтсюда Биссектриса и подобные треугольники

Проведем Биссектриса и подобные треугольникиПолучаем: Биссектриса и подобные треугольникиПо определению четырехугольник Биссектриса и подобные треугольники— параллелограмм. Тогда Биссектриса и подобные треугольникиОтсюда Биссектриса и подобные треугольники
Таким образом, мы доказали, что Биссектриса и подобные треугольники
Следовательно, в треугольниках Биссектриса и подобные треугольникиуглы соответственно равны и соответственные стороны пропорциональны. Поэтому по определению эти треугольники подобны.

Пример:

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Решение:

Пусть треугольник Биссектриса и подобные треугольникиподобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия k. Тогда Биссектриса и подобные треугольникиоткудаБиссектриса и подобные треугольники

Пусть Р1 — периметр треугольника Биссектриса и подобные треугольникиР — периметр треугольника АВС. Имеем: Биссектриса и подобные треугольникито есть Биссектриса и подобные треугольники

Первый признак подобия треугольников

Если для треугольников Биссектриса и подобные треугольникивыполняются условия Биссектриса и подобные треугольникито по определению эти треугольники подобны.

Можно ли по меньшему количеству условий определять подобие треугольников? На этот вопрос отвечают признаки подобия треугольников.

Теорема 13.1 (первый признак подобия треугольников: по двум углам). Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Биссектриса и подобные треугольники, у которых Биссектриса и подобные треугольникиДокажем, что Биссектриса и подобные треугольники

Если Биссектриса и подобные треугольникито треугольники Биссектриса и подобные треугольникиравны по второму признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, Биссектриса и подобные треугольникиОтложим на стороне ВА отрезок Биссектриса и подобные треугольникиравный стороне Биссектриса и подобные треугольникиЧерез точку Биссектриса и подобные треугольникипроведем прямую Биссектриса и подобные треугольникипараллельную стороне АС (рис. 140).

Биссектриса и подобные треугольники

Углы Биссектриса и подобные треугольники— соответственные при параллельных прямых Биссектриса и подобные треугольникии секущей Биссектриса и подобные треугольникиОтсюда Биссектриса и подобные треугольникиАле Биссектриса и подобные треугольникиПолучаем, что Биссектриса и подобные треугольникиТаким образом, треугольники Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиравны по второму признаку равенства треугольников. По лемме о подобных треугольниках Биссектриса и подобные треугольникиСледовательно, Биссектриса и подобные треугольники

Пример №1

Средняя линия трапеции Биссектриса и подобные треугольникиравна 24 см, а ее диагонали пересекаются в точке О. Найдите основания трапеции, если АО : ОС = 5:3.

Решение:

Рассмотрим треугольники AOD и СОВ (рис. 141). Углы AOD и ВОС равны как вертикальные, углы CAD и АСВ равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС. Следовательно, треугольники AOD и СОВ подобны по двум углам.
Тогда Биссектриса и подобные треугольники
Пусть ВС = Зх см, тогда AD = 5х см.
Поскольку средняя линия трапеции равна 24 см, то ВС + AD = 48 см.
Имеем: Зх + 5х = 48. Отсюда х = 6.
Следовательно, ВС = 18 см, AD = 30 см.
Ответ: 18 см, 30 см.

Биссектриса и подобные треугольники

Пример №2 (свойство пересекающихся хорд)

Докажите, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М, то AM • МВ = DM • МС (рис. 142).

Решение:

Рассмотрим треугольники АСМ и DBM. Углы 3 и 4 равны как вертикальные, углы 1 и 2 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АСМ и DBM подобны по первому признаку подобия треугольников.

Тогда Биссектриса и подобные треугольники
Отсюда AM • МВ = DM • МС.

Пример №3 (свойство касательной и секущей)

Докажите, что если через точку А к окружности проведены касательная AM (М — точка касания) и прямая (секущая), пересекающая окружность в точках В и С (рис. 143), то Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Решение:

Рассмотрим треугольники AMВ и АСМ. У них угол А общий. По свойству угла между касательной и хордой (см. ключевую задачу 1 п. 9) Биссектриса и подобные треугольникиУгол МСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу МВ, поэтому Биссектриса и подобные треугольникиОтсюда Биссектриса и подобные треугольникиСледовательно, треугольники АМВ и АСМ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда Биссектриса и подобные треугольники
Отсюда Биссектриса и подобные треугольники

Теорема Менелая

Точки, принадлежащие одной прямой, называют коллинеарными. Две точки коллинеарны всегда.

В этом рассказе вы узнаете об одной знаменитой теореме, которая служит критерием коллинеарности трех точек. Эта теорема носит имя древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского ( Биссектриса и подобные треугольникивв. н. э.).

Теорема Менелая. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки Биссектриса и подобные треугольники а на продолжении стороны АС — точку Биссектриса и подобные треугольники Для того чтобы точки Биссектриса и подобные треугольникиБиссектриса и подобные треугольники лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Биссектриса и подобные треугольники

Доказательство. Сначала докажем необходимое условие коллинеарности: если точки Биссектриса и подобные треугольникилежат на одной прямой, то выполняется равенство (*).
Из вершин треугольника АВС опустим перпендикуляры AM, BN и СР на прямую Биссектриса и подобные треугольники(рис. 153, а). Поскольку Биссектриса и подобные треугольникито треугольники АМС1 и BNC1 подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Биссектриса и подобные треугольники
Из подобия треугольников BNA1 и СРА1 получаем: Биссектриса и подобные треугольники
Из подобия треугольников Биссектриса и подобные треугольникиследует равенство Биссектриса и подобные треугольники

Перемножив почленно левые и правые части пропорции
Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольникиполучаем равенство

Биссектриса и подобные треугольникиБиссектриса и подобные треугольники

Теперь докажем достаточное условие коллинеарности: если выполняется равенство (*), то точки Биссектриса и подобные треугольникилежат на одной прямой.
Пусть прямая Биссектриса и подобные треугольникипересекает сторону ВС треугольника АВС в некоторой точке A2 (рис. 153, б). Поскольку точки Биссектриса и подобные треугольникилежат на одной прямой, то из доказанного выше можно записать: Биссектриса и подобные треугольники

Сопоставляя это равенство с равенством (*), приходим к выводу, что Биссектриса и подобные треугольникито есть точки Биссектриса и подобные треугольникиделят отрезок ВС в одном и том же отношении, а значит, эти точки совпадают. Отсюда следует, что прямая Биссектриса и подобные треугольникипересекает сторону ВС в точке Биссектриса и подобные треугольники
Заметим, что теорема остается справедливой и тогда, когда точки Биссектриса и подобные треугольникилежат не на сторонах треугольника АВС, а на их продолжениях (рис. 154).

Биссектриса и подобные треугольники

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.

Клавдий Птолемей
(ок. 100 — ок. 178)

Биссектриса и подобные треугольники

Древнегреческий математик и астроном. Автор геоцентрической модели мира. Разработал математическую теорию движения планет, позволяющую вычислять
их положение. Создал прообраз современной системы координат.

Доказательство. На рисунке 158 изображен вписанный в окружность четырехугольник ABCD. Докажем, что Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

На диагонали АС отметим точку К так, что Биссектриса и подобные треугольникиУглы 3 и 4 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АВК и DBC подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Биссектриса и подобные треугольникито есть Биссектриса и подобные треугольники

Поскольку Биссектриса и подобные треугольникиУглы 5 и 6 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому Биссектриса и подобные треугольникиОтсюда Биссектриса и подобные треугольникито есть Биссектриса и подобные треугольники

Сложив равенства (1) и (2), получаем:

Биссектриса и подобные треугольникиБиссектриса и подобные треугольники

Второй и третий признаки подобия треугольников

Теорема 14.1 (второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Биссектриса и подобные треугольникив которых Биссектриса и подобные треугольникиДокажем, что Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Если k = 1, то Биссектриса и подобные треугольникиБиссектриса и подобные треугольникиа следовательно, треугольники Биссектриса и подобные треугольники Биссектриса и подобные треугольникиравны по первому признаку равенства треугольников, поэтому эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1, то есть Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиНа сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки Биссектриса и подобные треугольникитак, что Биссектриса и подобные треугольники(рис. 160). Тогда Биссектриса и подобные треугольники

Покажем, что Биссектриса и подобные треугольникиПредположим, что это не так. Тогда на стороне ВС отметим точку М такую, что Биссектриса и подобные треугольники
Имеем: Биссектриса и подобные треугольникитогда Биссектриса и подобные треугольникито есть Биссектриса и подобные треугольники
Следовательно, буквами М и С2 обозначена одна и та же точка. Тогда Биссектриса и подобные треугольники
По лемме о подобных треугольниках получаем, что Биссектриса и подобные треугольники

Треугольники Биссектриса и подобные треугольникиравны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда Биссектриса и подобные треугольники

Теорема 14.2 (третий признак подобия треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Биссектриса и подобные треугольникив которых Биссектриса и подобные треугольникиДокажем, что Биссектриса и подобные треугольники

Если k = 1, то треугольники Биссектриса и подобные треугольникиравны по третьему признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1. На сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки Биссектриса и подобные треугольникитакие, что Биссектриса и подобные треугольники(рис. 161). Тогда Биссектриса и подобные треугольники

В треугольниках Биссектриса и подобные треугольникиугол В общий, прилежащие к нему стороны пропорциональны. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников эти треугольники подобны, причем коэффициент подобия равен k. Тогда Биссектриса и подобные треугольники

Учитывая, что по условию Биссектриса и подобные треугольникиполучаем: Биссектриса и подобные треугольники
Следовательно, треугольники Биссектриса и подобные треугольникиравны по третьему признаку равенства треугольников. С учетом того, что Биссектриса и подобные треугольникиполучаем: Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Пример №4

Докажите, что отрезок, соединяющим основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Решение:

На рисунке 162 отрезки Биссектриса и подобные треугольники— высоты треугольника АВС. Докажем, что Биссектриса и подобные треугольники
В прямоугольных треугольниках Биссектриса и подобные треугольникиострый угол В общий. Следовательно, треугольники Биссектриса и подобные треугольникиподобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Биссектриса и подобные треугольники

Тогда Биссектриса и подобные треугольникиУгол В — общий для треугольников Биссектриса и подобные треугольникиСледовательно, треугольники АВС и Биссектриса и подобные треугольникиподобны по второму признаку подобия треугольников.

Прямая Эйлера

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника — это центр окружности, описанной около треугольника. Обозначим эту точку буквой О.

Точка пересечения биссектрис треугольника — это центр вписанной окружности. Обозначим эту точку буквой J.

Точку пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, называют ортоцентром треугольника. Обозначим эту точку буквой Н.

Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника. Обозначим эту точку буквой М.

Точки О, J, Н, М называют замечательными точками треугольника.

Использование такого эмоционального эпитета вполне обосновано. Ведь эти точки обладают целым рядом красивых свойств. Разве не замечательно уже хотя бы то, что они существуют в любом треугольнике?

Рассмотрим одну из многих теорем о замечательных точках треугольника.

Теорема. В любом треугольнике центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой.

Эту прямую называют прямой Эйлера.

Леонард Эйлер (1707-1783)
Выдающийся математик, физик, механик, астроном.

Биссектриса и подобные треугольники

Доказательство. Для равнобедренного треугольника доказываемое утверждение очевидно.
Если данный треугольник АВС прямоугольный Биссектриса и подобные треугольникито его ортоцентр — это точка С, центр описанной окружности — середина гипотенузы АВ. Тогда понятно, что все три точки, о которых идет речь в теореме, принадлежат медиане, проведенной к гипотенузе.

Докажем теорему для остроугольного разностороннего треугольника.

Лемма. Если Н — ортоцентр треугольника ABC, Биссектриса и подобные треугольники — перпендикуляр, опущенный из центра О описанной окружности на сторону ВС, то АН = Биссектриса и подобные треугольники(рис. 167).

Биссектриса и подобные треугольники

Доказательство. Выполним дополнительное построение, уже знакомое вам из решения ключевой задачи пункта 2: через каждую вершину треугольника АВС проведем прямую, параллельную противолежащей стороне. Получим треугольник Биссектриса и подобные треугольники(рис. 167). В указанной ключевой задаче было показано, что ортоцентр Н треугольника АВС является центром описанной окружности треугольника Биссектриса и подобные треугольники. Для этой окружности угол Биссектриса и подобные треугольникиявляется центральным, а угол Биссектриса и подобные треугольники— вписанным. Поскольку оба угла опираются на одну и ту же дугу, то Биссектриса и подобные треугольникиУглы ВАС и Биссектриса и подобные треугольникиравны как противолежащие углы параллелограмма Биссектриса и подобные треугольникипоэтому Биссектриса и подобные треугольникиПоскольку Биссектриса и подобные треугольникито равнобедренные треугольники Биссектриса и подобные треугольникиподобны с коэффициентом подобия 2. Поскольку отрезки АН и Биссектриса и подобные треугольники— соответственные высоты подобных треугольников, то АН = Биссектриса и подобные треугольники
Докажем теперь основную теорему.

Биссектриса и подобные треугольники

Поскольку точка М1 — середина стороны ВС, то отрезок AM1 — медиана треугольника АВС (рис. 168). Пусть М — точка пересечения отрезков Биссектриса и подобные треугольникиПоскольку Биссектриса и подобные треугольникито Биссектриса и подобные треугольникиУглы Биссектриса и подобные треугольникиравны как вертикальные. Следовательно, треугольники Биссектриса и подобные треугольникиподобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Биссектриса и подобные треугольникиЗначит, точка М делит медиану Биссектриса и подобные треугольникив отношении 2:1, считая от вершины А. Отсюда точка М — центроид треугольника АВС.
Доказательство для случая тупоугольного треугольника аналогично.

Обратим внимание на то, что мы не только установили факт принадлежности точек О, М, Н одной прямой, но и доказали равенство НМ = 2МО,
которое является еще одним свойством замечательных точек треугольника.

Напомню:

Теорема Фалеса

  • Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Теорема о пропорциональных отрезках

  • Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Свойство медиан треугольника

  • Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Свойство биссектрисы треугольника

  • Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Подобные треугольники

  • Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Лемма о подобных треугольниках

  • Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Первый признак подобия треугольников: по двум углам

  • Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними

  • Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников: по трем сторонам

  • Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним, что отношением отрезков Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиназывают отношение их длин, то есть Биссектриса и подобные треугольники

Говорят, что отрезки Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникипропорциональные отрезкам Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Например, если Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольникито Биссектриса и подобные треугольникидействительно Биссектриса и подобные треугольники

Понятие пропорциональности применили и к большему количеству отрезков. Например, три отрезка Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникипропорциональны трем отрезкам Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиесли

Биссектриса и подобные треугольники

Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Доказательство:

Пусть параллельные прямые Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникипересекают стороны угла Биссектриса и подобные треугольники(рис. 123). Докажем, что

Биссектриса и подобные треугольники

1) Рассмотрим случай, когда длины отрезков Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиявляются рациональными числами (целыми или дробными). Тогда существует отрезок длины Биссектриса и подобные треугольникикоторый можно отложить целое число раз и на отрезке Биссектриса и подобные треугольникии на отрезке Биссектриса и подобные треугольники

Пусть Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники— рациональные числа. Запишем их в виде дробей с одинаковыми знаменателями: Биссектриса и подобные треугольникиПоэтому Биссектриса и подобные треугольники

Имеем: Биссектриса и подобные треугольники

2) Разделим отрезок Биссектриса и подобные треугольникина Биссектриса и подобные треугольникиравных частей длины Биссектриса и подобные треугольникиа отрезок Биссектриса и подобные треугольники— на Биссектриса и подобные треугольникиравных частей длины Биссектриса и подобные треугольникиПроведем через точки деления прямые, параллельные прямой Биссектриса и подобные треугольники(рис. 123). По теореме Фалеса они разобьют отрезок Биссектриса и подобные треугольникина Биссектриса и подобные треугольникиравных отрезков длины Биссектриса и подобные треугольникипричем Биссектриса и подобные треугольникибудет состоять из Биссектриса и подобные треугольникитаких отрезков, а Биссектриса и подобные треугольники— из Биссектриса и подобные треугольникитаких отрезков.

Имеем: Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

3) Найдем отношение Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиБудем иметь:

Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники

Следовательно, Биссектриса и подобные треугольники

Учитывая, что в пропорции средние члены можно поменять местами, из доказанного равенства приходим к следующему.

Следствие 1. Биссектриса и подобные треугольники

Следствие 2. Биссектриса и подобные треугольники

Доказательство:

Поскольку Биссектриса и подобные треугольникито Биссектриса и подобные треугольники

Прибавим к обеим частям этого равенства по единице:

Биссектриса и подобные треугольникито есть Биссектриса и подобные треугольники

Учитывая, что Биссектриса и подобные треугольники

будем иметь: Биссектриса и подобные треугольники

Откуда Биссектриса и подобные треугольники

Рассмотрим, как построить один из четырех отрезков, образующих пропорцию, если известны три из них.

Пример №5

Дано отрезки Биссектриса и подобные треугольникиПостройте отрезок Биссектриса и подобные треугольники

Решение:

Поскольку Биссектриса и подобные треугольникито Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Для построения отрезка Биссектриса и подобные треугольникиможно использовать как обобщенную теорему Фалеса, так и одно из ее следствий. Используем, например, следствие 1.

1) Строим неразвернутый угол с вершиной Биссектриса и подобные треугольники(рис. 124). Откладываем на одной его стороне отрезок Биссектриса и подобные треугольникиа на другой — отрезки Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники

2) Проведем прямую Биссектриса и подобные треугольникиЧерез точку Биссектриса и подобные треугольникипараллельно Биссектриса и подобные треугольникипроведем прямую, точку пересечения которой со стороной Биссектриса и подобные треугольникиугла обозначим через Биссектриса и подобные треугольникито есть Биссектриса и подобные треугольники

3) По следствию 1 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Биссектриса и подобные треугольникиоткуда Биссектриса и подобные треугольникиСледовательно, Биссектриса и подобные треугольники

Построенный отрезок Биссектриса и подобные треугольникиназывают четвертым пропорциональным отрезков Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникитак как для этих отрезков верно равенство: Биссектриса и подобные треугольники

Отношения и пропорции в геометрии использовались с давних времен. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, детали гробницы Менеса в Накаде и знаменитых пирамид в Гизе (III тысячелетие до н. э.), персидские дворцы, древнеиндийские достопримечательности и другие памятники древности.

Биссектриса и подобные треугольники

В седьмой книге «Начал» Евклид изложил арифметическую теорию учения об отношениях, которую применил только к соразмерным величинам и целым числам. Эта теория создана на основе практики действий с дробями и применялась для исследования свойств целых чисел.

В пятой книге Евклид изложил общую теорию отношений и пропорций, которую примерно за 100 лет до него разработал древнегреческий математик, механик и астроном Евдокс (408 г. — 355 г. до н. э.). Эта теория легла в основу учения о подобии фигур, изложенного Евклидом в шестой книге «Начал», где также была решена и задача о делении отрезка в данном отношении.

Пропорциональность отрезков прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна еще вавилонским ученым, хотя многие историки-математики заслугу данного открытия приписывают Фалесу Милетскому.

Подобные треугольники

В повседневной жизни нам встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный мяч и металлический шарик, картина и ее фотоснимок, самолет и его модель, географические карты разного масштаба. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются все квадраты, все окружности, все отрезки.

Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

Это значит, что если треугольники Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиподобны (рис. 127), то

Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Пусть значение каждого из полученных отношений соответствующих сторон равно Биссектриса и подобные треугольникиЧисло Биссектриса и подобные треугольникиназывают коэффициентом подобия треугольника Биссектриса и подобные треугольникик треугольнику Биссектриса и подобные треугольникиили коэффициентом подобия треугольников Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники

Подобие треугольников принято обозначать символом Биссектриса и подобные треугольникиВ нашем случае Биссектриса и подобные треугольникиЗаметим, что из соотношения Биссектриса и подобные треугольникиследует соотношение

Биссектриса и подобные треугольники

Пример №6

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон этих треугольников.

Доказательство:

Пусть Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники

Тогда Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Пример №7

Стороны треугольника Биссектриса и подобные треугольникиотносятся как 4 : 7 : 9, а большая сторона подобного ему треугольника Биссектриса и подобные треугольникиравна 27 см. Найдите две другие стороны второго треугольника.

Решение:

Так как по условию Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникито Биссектриса и подобные треугольники

Обозначим Биссектриса и подобные треугольникиПо условию Биссектриса и подобные треугольникитогда Биссектриса и подобные треугольники(см). Имеем: Биссектриса и подобные треугольникиБиссектриса и подобные треугольники

Ответ. 12 см, 21 см.

Заметим, что подобные треугольники легко создавать с помощью современных компьютерных программ, в частности графических редакторов. Для этого достаточно построенный треугольник растянуть или сжать, «потянув» за один из угловых маркеров.

Одинаковые по форме, но разные по величине фигуры использовались еще в вавилонской и египетской архитектурах. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамзеса II есть стена, покрытая сеткой квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в V-IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и других. Обобщил эти сведения Евклид в шестой книге «Начал». Начинается теория подобия следующим определением:

«Подобные прямолинейные фигуры — суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны».

Видео:Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?  | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

Признаки подобия треугольников

Подобие треугольников, как и равенство треугольников, можно установить с помощью признаков.

Прежде чем их рассмотреть, сформулируем и докажем лемму, то есть вспомогательное утверждение, являющееся верным и используемое для доказательства одной или нескольких теорем.

Лемма. Прямая, параллельная стороне треугольника, отрезает от него подобный ему треугольник.

Доказательство:

Пусть прямая Биссектриса и подобные треугольникипересекает стороны Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникитреугольника Биссектриса и подобные треугольникисоответственно в точках Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники(рис. 129). Докажем, что Биссектриса и подобные треугольники

1) Биссектриса и подобные треугольники— общий для обоих треугольников, Биссектриса и подобные треугольники(как соответственные углы при параллельных прямых Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникии секущей Биссектриса и подобные треугольники(аналогично, но для секущей Биссектриса и подобные треугольникиСледовательно, три угла треугольника Биссектриса и подобные треугольникиравны трем углам треугольника Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Биссектриса и подобные треугольники

3) Докажем, что Биссектриса и подобные треугольники

Через точку Биссектриса и подобные треугольникипроведем прямую, параллельную Биссектриса и подобные треугольникии пересекающую Биссектриса и подобные треугольникив точке Биссектриса и подобные треугольникиТак как Биссектриса и подобные треугольники— параллелограмм, то Биссектриса и подобные треугольникиПо обобщенной теореме Фалеса: Биссектриса и подобные треугольники

Прибавим число 1 к обеим частям этого равенства. Получим:

Биссектриса и подобные треугольники

Но Биссектриса и подобные треугольникиСледовательно, Биссектриса и подобные треугольники

4) Окончательно имеем: Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиа значит, Биссектриса и подобные треугольники

Теорема 1 (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиу которых Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники(рис. 130). Докажем, что Биссектриса и подобные треугольники

1) Отложим на стороне Биссектриса и подобные треугольникитреугольника Биссектриса и подобные треугольникиотрезок Биссектриса и подобные треугольникии проведем через Биссектриса и подобные треугольникипрямую, параллельную Биссектриса и подобные треугольники(рис. 131). Тогда Биссектриса и подобные треугольники(по лемме).

Биссектриса и подобные треугольники

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса Биссектриса и подобные треугольникиНо Биссектриса и подобные треугольники(по построению). Поэтому Биссектриса и подобные треугольникиПо условию Биссектриса и подобные треугольникиследовательно, Биссектриса и подобные треугольникиоткуда Биссектриса и подобные треугольники

3) Так как Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникито Биссектриса и подобные треугольники(по двум сторонам между ними).

AAjBjCj (по двум сторонам и углу между ними).

4) Но Биссектриса и подобные треугольникиследовательно, Биссектриса и подобные треугольники

Следствие 1. Два прямоугольных треугольника подобны, если катеты одного пропорциональны катетам другого.

Следствие 2. Если угол при вершине одного равнобедренного треугольника равен углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 2 (признак подобия треугольников по двум углам). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиу которых Биссектриса и подобные треугольники(рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: Биссектриса и подобные треугольники

2) Биссектриса и подобные треугольникино Биссектриса и подобные треугольникиПоэтому Биссектриса и подобные треугольники

3) Тогда Биссектриса и подобные треугольники(по стороне и двум прилежащим углам).

4) Следовательно, Биссектриса и подобные треугольники

Следствие 1. Равносторонние треугольники подобны.

Следствие 2. Если угол при основании одного равнобедренного треугольника равен углу при основании другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Следствие 3. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 3 (признак подобия треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиу которых Биссектриса и подобные треугольники(рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: Биссектриса и подобные треугольники

2) Тогда Биссектриса и подобные треугольникино Биссектриса и подобные треугольникипоэтому

Биссектриса и подобные треугольникиУчитывая, что

Биссектриса и подобные треугольникиимеем: Биссектриса и подобные треугольники

3) Тогда Биссектриса и подобные треугольники(по трем сторонам).

4) Следовательно, Биссектриса и подобные треугольники

Пример №8

Стороны одного треугольника равны 9 см, 15 см и 18 см, а стороны другого относятся как 3:5:6. Подобны ли эти треугольники?

Решение:

Обозначим стороны второго треугольника Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиНо Биссектриса и подобные треугольникизначит, треугольники подобны (по трем сторонам).

Пример №9

Стороны параллелограмма равны 15 см и 10 см, а высота, проведенная к большей стороне, — 8 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне.

Решение:

Пусть Биссектриса и подобные треугольники— параллелограмм (рис. 132). Биссектриса и подобные треугольники— высота параллелограмма. Проведем Биссектриса и подобные треугольники— вторую высоту параллелограмма.

Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники(как прямоугольные с общим острым углом). Тогда Биссектриса и подобные треугольникито есть Биссектриса и подобные треугольникиоткуда Биссектриса и подобные треугольники

Cредние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных друг другу прямоугольных треугольника, каждый из которых подобный данному треугольнику.

Доказательство:

Пусть Биссектриса и подобные треугольники— прямоугольный треугольник Биссектриса и подобные треугольники— высота треугольника (рис. 145). Докажем, что Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

1) У прямоугольных треугольников Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиугол Биссектриса и подобные треугольники— общий. Поэтому Биссектриса и подобные треугольники(по острому углу).

2) Аналогично Биссектриса и подобные треугольники-общий, Биссектриса и подобные треугольникиОткуда Биссектриса и подобные треугольники

3) У треугольников Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники

Поэтому Биссектриса и подобные треугольники(по острому углу).

Отрезок Биссектриса и подобные треугольникиназывают проекцией катета Биссектриса и подобные треугольникина гипотенузу Биссектриса и подобные треугольникиа отрезок Биссектриса и подобные треугольникипроекцией катета Биссектриса и подобные треугольникина гипотенузу Биссектриса и подобные треугольники

Отрезок Биссектриса и подобные треугольникиназывают средним пропорциональным (или средним геометрическим) отрезков Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники, если Биссектриса и подобные треугольники

Теорема (о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике). 1) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу. 2) Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145.

1) Биссектриса и подобные треугольники(по лемме). Поэтому Биссектриса и подобные треугольникиили Биссектриса и подобные треугольники

2) Биссектриса и подобные треугольники(по лемме). Поэтому Биссектриса и подобные треугольникиили Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники(по лемме). Поэтому Биссектриса и подобные треугольникиили Биссектриса и подобные треугольники

Пример №10

Биссектриса и подобные треугольники— высота прямоугольного треугольника Биссектриса и подобные треугольники

с прямым углом Биссектриса и подобные треугольникиДокажите, что Биссектриса и подобные треугольники

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145. Так как

Биссектриса и подобные треугольникито Биссектриса и подобные треугольникиа так как Биссектриса и подобные треугольникито

Биссектриса и подобные треугольникиПоэтому Биссектриса и подобные треугольникиоткуда Биссектриса и подобные треугольники

Пример №11

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Рассмотрим рисунок 145, где Биссектриса и подобные треугольникиБиссектриса и подобные треугольники

1) Биссектриса и подобные треугольники

2) Биссектриса и подобные треугольникито есть Биссектриса и подобные треугольникиТак как Биссектриса и подобные треугольникито Биссектриса и подобные треугольники

3) Биссектриса и подобные треугольникиТак как Биссектриса и подобные треугольникито Биссектриса и подобные треугольники

4) Биссектриса и подобные треугольники

При решении задач этого параграфа советуем использовать таблицу квадратов натуральных чисел.

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Доказательство:

Пусть Биссектриса и подобные треугольники— биссектриса треугольника Биссектриса и подобные треугольники(рис. 147). Докажем, что Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

1) Проведем через точку Биссектриса и подобные треугольникипрямую, параллельную Биссектриса и подобные треугольникии продлим биссектрису Биссектриса и подобные треугольникидо пересечения с этой прямой в точке Биссектриса и подобные треугольникиТогда Биссектриса и подобные треугольники(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникии секущей Биссектриса и подобные треугольники

2) Биссектриса и подобные треугольники— равнобедренный (так как Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникито Биссектриса и подобные треугольникиа значит, Биссектриса и подобные треугольники

3) Биссектриса и подобные треугольники(как вертикальные), поэтому Биссектриса и подобные треугольники(по двум углам). Следовательно, Биссектриса и подобные треугольники

Но Биссектриса и подобные треугольникитаким образом Биссектриса и подобные треугольники

Из пропорции Биссектриса и подобные треугольникиможно получить и такую: Биссектриса и подобные треугольники

Пример №12

В треугольнике Биссектриса и подобные треугольники Биссектриса и подобные треугольники— биссектриса треугольника. Найдите Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники

Решение:

Рассмотрим Биссектриса и подобные треугольники(рис. 147). Пусть Биссектриса и подобные треугольники

тогда Биссектриса и подобные треугольникиТак как Биссектриса и подобные треугольникиимеем уравнение: Биссектриса и подобные треугольникиоткуда Биссектриса и подобные треугольники

Следовательно, Биссектриса и подобные треугольники

Ответ. 6 см, 3 см.

Пример №13

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 24 см, а боковая сторона относится к основанию как 3 : 2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

Пусть в треугольнике Биссектриса и подобные треугольникимедиана (рис. 148).

Биссектриса и подобные треугольники

Тогда Биссектриса и подобные треугольникиявляется также высотой и биссектрисой. Поскольку точка Биссектриса и подобные треугольники— центр вписанной окружности — является точкой пересечения биссектрис треугольника, то Биссектриса и подобные треугольники— радиус окружности.

Учитывая, что Биссектриса и подобные треугольникиобозначим Биссектриса и подобные треугольникиТак как Биссектриса и подобные треугольники— середина Биссектриса и подобные треугольникито Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники— биссектриса треугольника Биссектриса и подобные треугольникипоэтому Биссектриса и подобные треугольники

Пусть Биссектриса и подобные треугольникиТогда Биссектриса и подобные треугольникиИмеем: Биссектриса и подобные треугольникиоткуда Биссектриса и подобные треугольники

Применение подобия треугольников к решению задач

Рассмотрим некоторые интересные свойства геометрических фигур, которые легко получить из подобия треугольников, и применим подобие к решению практических задач.

1. Пропорциональность отрезков хорд.

Теорема 1 (о пропорциональности отрезков хорд). Если хорды Биссектриса и подобные треугольники и Биссектриса и подобные треугольники пересекаются в точке Биссектриса и подобные треугольникито

Биссектриса и подобные треугольники

Доказательство:

Пусть хорды Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникипересекаются в точке Биссектриса и подобные треугольники(рис. 150). Рассмотрим Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиу которых Биссектриса и подобные треугольники(как вертикальные), Биссектриса и подобные треугольники(как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).

Биссектриса и подобные треугольники

Тогда Биссектриса и подобные треугольники(по двум углам), а значит, Биссектриса и подобные треугольникиоткуда

Биссектриса и подобные треугольники

Следствие. Если Биссектриса и подобные треугольники— центр окружности, Биссектриса и подобные треугольники— ее радиус, Биссектриса и подобные треугольники— хорда, Биссектриса и подобные треугольникито Биссектриса и подобные треугольникигде Биссектриса и подобные треугольники

Доказательство:

Проведем через точку Биссектриса и подобные треугольникидиаметр Биссектриса и подобные треугольники(рис. 151). Тогда Биссектриса и подобные треугольникиБиссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Пример №14

AL — биссектриса треугольника Биссектриса и подобные треугольникиДокажите формулу биссектрисы: Биссектриса и подобные треугольники

Доказательство:

Опишем около треугольника Биссектриса и подобные треугольникиокружность и продлим Биссектриса и подобные треугольникидо пересечения с окружностью в точке Биссектриса и подобные треугольники(рис. 152).

1) Биссектриса и подобные треугольники(как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу Биссектриса и подобные треугольники Биссектриса и подобные треугольники(по условию). Поэтому Биссектриса и подобные треугольники(по двум углам).

2) Имеем: Биссектриса и подобные треугольникиоткуда Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Но по теореме о пропорциональности отрезков хорд:

Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольникито есть Биссектриса и подобные треугольники

2. Пропорциональность отрезков секущей и касательной.

Теорема 2 (о пропорциональности отрезков секущей и касательной). Если из точки Биссектриса и подобные треугольникилежащей вне круга, провести секущую, пересекающую окружность в точках Биссектриса и подобные треугольники и Биссектриса и подобные треугольникии касательную Биссектриса и подобные треугольникигде Биссектриса и подобные треугольники — точка касания, то Биссектриса и подобные треугольники

Доказательство:

Рассмотрим рис. 153. Биссектриса и подобные треугольники(как вписанный угол), Биссектриса и подобные треугольники, то

есть Биссектриса и подобные треугольникиПоэтому Биссектриса и подобные треугольники(по двум углам),

значит, Биссектриса и подобные треугольникиОткуда Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Следствие 1. Если из точки Биссектриса и подобные треугольникипровести две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиа другая — в точках Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникито Биссектриса и подобные треугольники

Так как по теореме каждое из произведений Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиравно Биссектриса и подобные треугольникито следствие очевидно.

Следствие 2. Если Биссектриса и подобные треугольники— центр окружности, Биссектриса и подобные треугольники— ее радиус, Биссектриса и подобные треугольники— касательная, Биссектриса и подобные треугольники— точка касания, то Биссектриса и подобные треугольникигде Биссектриса и подобные треугольники

Доказательство:

Проведем из точки Биссектриса и подобные треугольникичерез центр окружности Биссектриса и подобные треугольникисекущую (рис. 154), Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники— точки ее пересечения с окружностью. Тогда по теореме:

Биссектриса и подобные треугольникино Биссектриса и подобные треугольникипоэтому Биссектриса и подобные треугольники

3. Измерительные работы на местности.

Предположим, что нам необходимо измерить высоту некоторого предмета, например высоту ели Биссектриса и подобные треугольники(рис. 155). Для этого установим на некотором расстоянии от ели жердь Биссектриса и подобные треугольникис планкой, которая вращается вокруг точки Биссектриса и подобные треугольникиНаправим планку на верхнюю точку Биссектриса и подобные треугольникиели, как показано на рисунке 155. На земле отметим точку Биссектриса и подобные треугольникив которой планка упирается в поверхность земли.

Биссектриса и подобные треугольники

Рассмотрим Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиу них общий, поэтому Биссектриса и подобные треугольники(по острому углу).

Тогда Биссектриса и подобные треугольникиоткуда Биссектриса и подобные треугольники

Если, например, Биссектриса и подобные треугольникито Биссектриса и подобные треугольники

4. Задачи на построение.

Пример №15

Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

На рисунке 156 изображены два данных угла и данный отрезок. Построим треугольник, у которого два угла соответственно равны двум данным углам, а медиана, проведенная из вершины третьего угла, равна данному отрезку.

Биссектриса и подобные треугольники

1) Строим некоторый треугольник, подобный искомому. Для этого построим произвольный треугольник Биссектриса и подобные треугольникиу которого углы Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиравны данным (рис. 157).

2) Проводим медиану Биссектриса и подобные треугольникитреугольника Биссектриса и подобные треугольникии откладываем на прямой Биссектриса и подобные треугольникиотрезок Биссектриса и подобные треугольникиравный данному.

3) Через точку Биссектриса и подобные треугольникипроводим прямую, параллельную Биссектриса и подобные треугольникиОна пересекает стороны угла Биссектриса и подобные треугольникив некоторых точках Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники(рис. 157).

4) Так как Биссектриса и подобные треугольникито Биссектриса и подобные треугольникиЗначит, два угла треугольника Биссектриса и подобные треугольникиравны данным.

Докажем, что Биссектриса и подобные треугольники— середина Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники(по двум углам). Поэтому Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники(по двум углам). Поэтому Биссектриса и подобные треугольники

Получаем, что Биссектриса и подобные треугольникито есть Биссектриса и подобные треугольникиНо Биссектриса и подобные треугольники(по построению), поэтому Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники

Следовательно, Биссектриса и подобные треугольники— медиана треугольника Биссектриса и подобные треугольникии треугольник Биссектриса и подобные треугольники— искомый.

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольников

Подобие треугольников

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора, а второе — деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, а второе больше напоминает драгоценный камень.

Иоганн Кеплер, немецкий астроном и математик

В этой главе вы начнете знакомиться с подобием фигур. Отношение подобия является одной из важнейших характеристик евклидовой геометрии. Проявления подобия часто встречаются и в повседневной жизни. Например, авиамодели самолетов подобны реальным машинам, а репродукции классических картин подобны оригиналам.

В основе теории подобия лежит обобщение теоремы Фалеса. Благодаря свойствам подобных треугольников устанавливаются важные геометрические соотношения. В частности, с помощью подобия будет доказана знаменитая теорема Пифагора. Правда, такое доказательство не является классическим, ведь во времена Пифагора некоторые геометрические факты, которые мы будем рассматривать, еще не были открыты. Но сегодня даже обычный школьник может овладеть знаниями, неизвестными великому Пифагору.

Определение подобных треугольники

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним некоторые понятия, связанные с делением и пропорциями, которые понадобятся нам для дальнейших рассуждений.

Отношением отрезков длиной Биссектриса и подобные треугольникиназывается частное их длин, т.е. число Биссектриса и подобные треугольники

Иначе говоря, отношение Биссектриса и подобные треугольникипоказывает, сколько раз отрезок Биссектриса и подобные треугольникии его части укладываются в отрезке Биссектриса и подобные треугольникиДействительно, если отрезок Биссектриса и подобные треугольникипринять за единицу измерения, то данное отношение будет равняться длине отрезка Биссектриса и подобные треугольники

Отрезки длиной Биссектриса и подобные треугольникипропорциональны отрезкам длиной Биссектриса и подобные треугольникиесли Биссектриса и подобные треугольники

Например, отрезки длиной 8 см и 12 см пропорциональны отрезкам длиной 10 см и 15 см, поскольку Биссектриса и подобные треугольники

Сформулируем обобщенную теорему Фалеса для неравных отрезков, которые отсекаются параллельными прямыми на сторонах угла.

Теорема (о пропорциональных отрезках)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки: Биссектриса и подобные треугольники

Утверждение теоремы иллюстрирует рисунок 90.

Биссектриса и подобные треугольники

Приведем рассуждения, на которых основывается доказательство этой теоремы.

Отношение Биссектриса и подобные треугольникипоказывает, сколько раз отрезок Биссектриса и подобные треугольникиукладывается в отрезке Биссектриса и подобные треугольникиа отношение Биссектриса и подобные треугольникисколько раз отрезок Биссектриса и подобные треугольникиукладывается в отрезке Биссектриса и подобные треугольникиТеорема Фалеса устанавливает соответствие между процессами измерения отрезков Биссектриса и подобные треугольникиДействительно, прямые, параллельные Биссектриса и подобные треугольники«переводят» равные отрезки на одной стороне угла в равные отрезки на другой его стороне: отрезок Биссектриса и подобные треугольники«переходит» в отрезок Биссектриса и подобные треугольникидесятая часть отрезка Биссектриса и подобные треугольники— в десятую часть отрезка Биссектриса и подобные треугольникии т.д. Поэтому если отрезок Биссектриса и подобные треугольникиукладывается в отрезке Биссектриса и подобные треугольникираз, то отрезок Биссектриса и подобные треугольникиукладывается в отрезке Биссектриса и подобные треугольникитакже Биссектриса и подобные треугольникираз.

Полное доказательство этой теоремы представлено в Приложении 1.
Замечание.
Поскольку Биссектриса и подобные треугольникито Биссектриса и подобные треугольникии следствие данной теоремы можно записать в виде Биссектриса и подобные треугольникиНа такое равенство мы также будем ссылаться как на теорему о пропорциональных отрезках.

Пример №16

Даны отрезки Биссектриса и подобные треугольникиПостройте отрезок Биссектриса и подобные треугольники

Решение:

Построим произвольный неразвернутый угол Биссектриса и подобные треугольникии отложим на одной его стороне отрезки Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиа на другой стороне — отрезок Биссектриса и подобные треугольники(рис. 91).

Биссектриса и подобные треугольники

Проведем прямую Биссектриса и подобные треугольникии прямую, которая параллельна Биссектриса и подобные треугольникипроходит через точку Биссектриса и подобные треугольникии пересекает другую сторону угла в точке Биссектриса и подобные треугольникиПо теореме о пропорциональных отрезках Биссектриса и подобные треугольникиоткуда Биссектриса и подобные треугольникиСледовательно, отрезок Биссектриса и подобные треугольники— искомый.

Заметим, что в задаче величина Биссектриса и подобные треугольникиявляется четвертым членом пропорции Биссектриса и подобные треугольникиПоэтому построенный отрезок называют четвертым пропорциональным отрезком.

Вычисление подобных треугольников

Равные фигуры представляются в нашем воображении как фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры. Но в повседневной жизни часто встречаются вещи, у которых одинаковая форма, но разные размеры: например, чайное блюдце и тарелка, одинаковые модели обуви разных размеров и т. п. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Например, подобными друг другу являются любые два квадрата, любые две окружности. Введем для начала понятие о подобных треугольниках. Определение

Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

На рисунке 92 изображены подобные треугольники Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Подобие этих треугольников кратко обозначают так: Биссектриса и подобные треугольникиВ этой записи, как и в записи равенства треугольников, названия треугольников будем записывать так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает:

Биссектриса и подобные треугольники

Число Биссектриса и подобные треугольникиравное отношению соответствующих сторон подобных треугольников, называют коэффициентом подобия.

Очевидно, что два равных треугольника являются подобными с коэффициентом подобия 1.

Опорная задача

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите.

Решение:

Пусть Биссектриса и подобные треугольникис коэффициентом подобия Биссектриса и подобные треугольникиЭто означает, что Биссектриса и подобные треугольникит.е. Биссектриса и подобные треугольникиИмеем:

Биссектриса и подобные треугольники

Отметим также, что отношение соответствующих линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и т.п.) подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите это самостоятельно.

Подобие треугольников по двум углам

Для доказательства подобия двух треугольников, как и для доказательства их равенства, не обязательно проверять все соотношения сторон и углов согласно определению — достаточно проверить лишь некоторые из них. Какие именно? Ответ на этот вопрос дают три признака подобия треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникив которых Биссектриса и подобные треугольники, (рис. 99).

Биссектриса и подобные треугольники

Докажем подобие этих треугольников. Из теоремы о сумме углов треугольника очевидно следует, что Биссектриса и подобные треугольникиОтложим на луче Биссектриса и подобные треугольникиотрезок Биссектриса и подобные треугольникиравный Биссектриса и подобные треугольникии проведем прямую Биссектриса и подобные треугольникипараллельную Биссектриса и подобные треугольникиТогда Биссектриса и подобные треугольникикак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Биссектриса и подобные треугольникипо второму признаку, откуда Биссектриса и подобные треугольникиПо теореме о пропорциональных отрезках Биссектриса и подобные треугольникиследовательно Биссектриса и подобные треугольникиАналогично доказываем что Биссектриса и подобные треугольникиТаким образом по определению подобных треугольников Биссектриса и подобные треугольникиТеорема доказана.

Пример №17

Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них на отрезки длиной 4 см и 7 см. Меньшее основание трапеции равно 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть в трапеции Биссектриса и подобные треугольникидиагонали пересекаются в точке Биссектриса и подобные треугольники(рис. 100).

Биссектриса и подобные треугольники

Рассмотрим треугольники Биссектриса и подобные треугольникиВ них углы при вершине Биссектриса и подобные треугольникиравны как вертикальные, Биссектриса и подобные треугольники Биссектриса и подобные треугольникикак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Биссектриса и подобные треугольникии секущей Биссектриса и подобные треугольникиТогда Биссектриса и подобные треугольникипо двум углам. Отсюда следует, что Биссектриса и подобные треугольникиПо скольку по условию Биссектриса и подобные треугольникизначит, Биссектриса и подобные треугольникиБиссектриса и подобные треугольникиТогда Биссектриса и подобные треугольники
Средняя линия трапеции равна полусумме ее основании, т.е. Биссектриса и подобные треугольники

Ответ: 11 см.

Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники Биссектриса и подобные треугольникив которых Биссектриса и подобные треугольники(рис. 101).

Биссектриса и подобные треугольники

Докажем подобие этих треугольников. Отложим на луче Биссектриса и подобные треугольникиотрезок Биссектриса и подобные треугольникиравный Биссектриса и подобные треугольникии проведем прямую Биссектриса и подобные треугольникипараллельную Биссектриса и подобные треугольникиТогда Биссектриса и подобные треугольникикак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Биссектриса и подобные треугольникипо двум углам. Отсюда Биссектриса и подобные треугольникиа поскольку Биссектриса и подобные треугольникиТогда Биссектриса и подобные треугольникипо первому признаку равенства треугольников, следовательно, Биссектриса и подобные треугольники Биссектриса и подобные треугольникипо двум углам. Теорема доказана.

Пример №18

Прямая, пересекающая стороны Биссектриса и подобные треугольникитреугольника Биссектриса и подобные треугольникиделит каждую из них в отношении Биссектриса и подобные треугольникиначиная от вершины Биссектриса и подобные треугольникиДокажите, что эта прямая параллельна Биссектриса и подобные треугольники

Решение:

Биссектриса и подобные треугольники

Пусть прямая Биссектриса и подобные треугольникипересекает стороны Биссектриса и подобные треугольникитреугольника Биссектриса и подобные треугольникив точках Биссектриса и подобные треугольникисоответственно (рис. 102). Поскольку по условию задачи Биссектриса и подобные треугольникиТогда треугольники Биссектриса и подобные треугольникиподобны по двум сторонам и углу между ними. Из подобия треугольников следует, что Биссектриса и подобные треугольникиНо эти углы являются соответственными при прямых Биссектриса и подобные треугольникии секущей Биссектриса и подобные треугольникиСледовательно, Биссектриса и подобные треугольникипо признаку параллельности прямых.

Подобие треугольников по трем сторонам

Теорема (признак подобия треугольников по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть в треугольниках Биссектриса и подобные треугольникиБиссектриса и подобные треугольники(рис. 103).

Биссектриса и подобные треугольники

Докажем подобие этих треугольников. Как и в предыдущих теоремах, отложим на луче Биссектриса и подобные треугольникиотрезок Биссектриса и подобные треугольникиравный отрезку Биссектриса и подобные треугольникии проведем прямую Биссектриса и подобные треугольникипараллельную Биссектриса и подобные треугольникиТогда Биссектриса и подобные треугольникикак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Биссектриса и подобные треугольникипо двум углам. Отсюда Биссектриса и подобные треугольникиа поскольку Биссектриса и подобные треугольникито Биссектриса и подобные треугольникиУчитывая, что Биссектриса и подобные треугольникиимеем Биссектриса и подобные треугольникиАналогично доказываем, что Биссектриса и подобные треугольникиБиссектриса и подобные треугольникиТогда Биссектриса и подобные треугольникипо третьему признаку равенства треугольников, следовательно, Биссектриса и подобные треугольники Биссектриса и подобные треугольникипо двум углам. Теорема доказана.

Таким образом, для доказательства всех трех признаков подобия треугольников использован один и тот же подход, а доказательство каждого из признаков подобия основывается на соответствующем признаке равенства треугольников.

В ходе доказательства признаков подобия треугольников мы показали также, что прямая, которая параллельна стороне треугольника и пересекает две другие стороны, отсекает от данного треугольника подобный.

Видео:25 Биссектриса, ромб, подобные треугольникиСкачать

25 Биссектриса, ромб, подобные треугольники

Подобие прямоугольных треугольников

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Признаки подобия прямоугольных треугольников являются следствиями соответствующих признаков подобия произвольных треугольников. Наиболее важным признаком подобия прямоугольных треугольников является следующий.

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны.

Действительно, поскольку в прямоугольном треугольнике один угол прямой, этот признак следует из признака подобия треугольников по двум углам.

Другие признаки подобия прямоугольных треугольников сформулируйте и докажите самостоятельно (задачи № 395, 413).

Пример №19

В треугольнике Биссектриса и подобные треугольникис острым углом Биссектриса и подобные треугольникипроведены высоты Биссектриса и подобные треугольники(рис. 110). Докажите, что Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Решение:

Рассмотрим прямоугольные треугольники Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиПоскольку они имеют общий острый угол Биссектриса и подобные треугольникиони подобны. Из этого следует, что соответствующие катеты и гипотенузы этих треугольников пропорциональны, т.е. Биссектриса и подобные треугольники

Рассмотрим теперь треугольники Биссектриса и подобные треугольникиУ них также общий угол Биссектриса и подобные треугольники, а по только что доказанному стороны, прилегающие к этому углу, пропорциональны. Следовательно, Биссектриса и подобные треугольникипо двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Подобие треугольников позволяет установить ряд соотношений между длинами некоторых отрезков в треугольнике и окружности (такие соотношения называют метрическими). Сначала введем несколько вспомогательных понятий.

Отрезок Биссектриса и подобные треугольникиназывается средним пропорциональным между отрезками Биссектриса и подобные треугольникиесли Биссектриса и подобные треугольники

В прямоугольном треугольнике Биссектриса и подобные треугольникис катетами Биссектриса и подобные треугольникии гипотенузой Биссектриса и подобные треугольникипроведем высоту Биссектриса и подобные треугольникии обозначим ее Биссектриса и подобные треугольники(рис. 111).

Биссектриса и подобные треугольники

Отрезки Биссектриса и подобные треугольникина которые эта высота делит гипотенузу, называют проекциями катетов на гипотенузу. Проекции катетов Биссектриса и подобные треугольникина гипотенузу Биссектриса и подобные треугольникиобозначают Биссектриса и подобные треугольникисоответственно.

Теорема (метрические соотношения в прямоугольном треугольнике) В прямоугольном треугольнике:

1) высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу:

Биссектриса и подобные треугольники

2) катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:

Биссектриса и подобные треугольники

3) высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу:

Биссектриса и подобные треугольники

По признаку подобия прямоугольных треугольников Биссектриса и подобные треугольники(у этих треугольников общий острый угол Биссектриса и подобные треугольники Биссектриса и подобные треугольники(у этих треугольников общий острый угол Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники(острые углы этих треугольников равны острым углам треугольника Биссектриса и подобные треугольникиИз подобия треугольников Биссектриса и подобные треугольникиимеем: Биссектриса и подобные треугольникиоткуда Биссектриса и подобные треугольникиАналогично из подобия треугольников Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиполучаем Биссектриса и подобные треугольникиИ наконец, из подобия треугольников Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиимеем Биссектриса и подобные треугольникиоткуда Биссектриса и подобные треугольникиТеорема доказана.

В ходе доказательства теоремы мы установили интересный факт: высота прямоугольного треугольника делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Среди всех видов треугольников такое свойство имеет лишь прямоугольный.

Пример №20

Найдите периметр прямоугольного треугольника, в котором катет равен 15 см, а его проекция на гипотенузу равна 9 см.

Решение:

Пусть в треугольнике Биссектриса и подобные треугольники Биссектриса и подобные треугольники(рис. 112).

Биссектриса и подобные треугольники

Из метрического соотношения в треугольнике Биссектриса и подобные треугольникиполучаем: Биссектриса и подобные треугольникиоткуда Биссектриса и подобные треугольникитогда Биссектриса и подобные треугольникиИз соотношения Биссектриса и подобные треугольникиимеем: Биссектриса и подобные треугольникиоткуда Биссектриса и подобные треугольникиСледовательно, Биссектриса и подобные треугольникиБиссектриса и подобные треугольники

Ответ: 60 см.

Теорема Пифагора и ее следствия

Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему Пифагора.

Теорема (Пифагора)

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Биссектриса и подобные треугольники

Согласно доказанным метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике с катетами Биссектриса и подобные треугольникии гипотенузой Биссектриса и подобные треугольники(рис. 117) Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Складывая эти равенства почленно, имеем:

Биссектриса и подобные треугольники

Соотношение между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника было известно задолго до Пифагора. Но именно Пифагору удалось доказать его, опираясь на понятие площади (к этому доказательству мы вернемся в следующей главе). Всего же на сегодня известно более 150 способов доказательства теоремы Пифагора. С некоторыми из них вы сможете познакомиться в п. 18.3.

Доказательство, которое мы рассмотрели, является по сути алгебраическим. Собственно, важность теоремы Пифагора заключается, в частности, в том, что она значительно расширяет возможности применения алгебры в геометрии.

С ее помощью можно найти любую сторону прямоугольного треугольника, зная две другие стороны. Например, если Биссектриса и подобные треугольникито

Биссектриса и подобные треугольники

Теорема Пифагора позволяет использовать для решения геометрических задач и другие алгебраические приемы, например составление уравнений.

Пример №21

Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к наибольшей стороне.

Решение:

Пусть Биссектриса и подобные треугольники— высота треугольника Биссектриса и подобные треугольникив котором Биссектриса и подобные треугольники(рис. 118).

Биссектриса и подобные треугольники

Поскольку Биссектриса и подобные треугольники— наибольшая сторона треугольника, то точка Биссектриса и подобные треугольникилежит на этой стороне (докажите это самостоятельно). Примем длину отрезка Биссектриса и подобные треугольникиравной Биссектриса и подобные треугольникисм, тогда Биссектриса и подобные треугольникиПо теореме Пифагора из прямоугольного треугольника Биссектриса и подобные треугольникиимеем: Биссектриса и подобные треугольникиа из прямоугольного треугольника Биссектриса и подобные треугольникиимеем: Биссектриса и подобные треугольникит.е. Биссектриса и подобные треугольникиПриравнивая два выражения для Биссектриса и подобные треугольникиполучаем:

Биссектриса и подобные треугольники

Таким образом, Биссектриса и подобные треугольники

Тогда из треугольника Биссектриса и подобные треугольникипо теореме Пифагора имеем: Биссектриса и подобные треугольники

Ответ: 12 см.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Наряду с теоремой Пифагора не менее важной является обратная теорема. Эту теорему можно рассматривать как признак прямоугольного треугольника.

Теорема (обратная теореме Пифагора)

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный: если Биссектриса и подобные треугольники

Пусть в треугольнике Биссектриса и подобные треугольники(рис. 119, а) Биссектриса и подобные треугольникиДокажем, что угол Биссектриса и подобные треугольникипрямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник Биссектриса и подобные треугольникис прямым углом Биссектриса и подобные треугольникив котором Биссектриса и подобные треугольники(рис. 119, б). По теореме Пифагора Биссектриса и подобные треугольникиа с учетом равенства двух сторон рассматриваемых треугольников Биссектриса и подобные треугольникиТогда Биссектриса и подобные треугольникипо трем сторонам, откуда Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Из доказанной теоремы, в частности, следует, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — прямоугольный: Биссектриса и подобные треугольникиОб этом знали еще древние египтяне: для построения прямых углов на местности они делили бечевку на 12 равных частей, связывали ее концы, а потом с помощью кольев натягивали ее так, чтобы получился прямоугольный треугольник (рис. 120). Именно поэтому прямоугольные треугольники со сторонами, пропорциональными числам 3, 4 и 5, называют египетскими треугольниками. Вообще, тройки чисел Биссектриса и подобные треугольникидля которых выполняется равенство Биссектриса и подобные треугольникипринято называть пифагоровыми тройками, а треугольники, длины сторон которых являются пифагоровыми тройками,— пифагоровыми треугольниками. Попробуйте самостоятельно составить несколько пифагоровых троек чисел (поможет в этом решение задачи № 443).

Перпендикуляр и наклонная

Пусть точка Биссектриса и подобные треугольникине лежит на прямой Биссектриса и подобные треугольники Биссектриса и подобные треугольники— перпендикуляр к этой прямой (рис. 121). Любой отрезок, соединяющий точку Биссектриса и подобные треугольникис точкой прямой Биссектриса и подобные треугольникии не совпадающий с перпендикуляром, называют наклонной к прямой Биссектриса и подобные треугольникиНа рисунке 121 отрезок Биссектриса и подобные треугольники— наклонная к прямой Биссектриса и подобные треугольникиточка Биссектриса и подобные треугольники— основание наклонной. При этом отрезок Биссектриса и подобные треугольникипрямой Биссектриса и подобные треугольникиограниченный основаниями перпендикуляра и наклонной, называют проекцией наклонной Биссектриса и подобные треугольникина данную прямую.

Биссектриса и подобные треугольники

Понятия наклонной и ее проекции взаимосвязаны с понятием перпендикуляра к прямой: невозможно указать проекцию данной наклонной, не построив перпендикуляр. Очевидно, что перпендикуляр и наклонная, проведенные из одной точки, вместе с проекцией наклонной образуют прямоугольный треугольник, в котором наклонная является гипотенузой.

Сформулируем свойства перпендикуляра, наклонных и проекций.

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

  1. любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую (рис. 122, а):
  2. равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные (рис. 122, б);
  3. большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию (рис. 122, в).

Все эти свойства следуют из теоремы Пифагора (самостоятельно объясните почему). Но некоторые из них можно также получить и из других свойств прямоугольного треугольника.

Биссектриса и подобные треугольники

Видео:8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы углаСкачать

8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы угла

Применение подобия треугольников

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника)

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Биссектриса и подобные треугольники

По данным рисунка 123 это означает, что

Биссектриса и подобные треугольники

Пусть Биссектриса и подобные треугольники— биссектриса треугольника Биссектриса и подобные треугольникиДокажем, что Биссектриса и подобные треугольники

В случае, если Биссектриса и подобные треугольникиутверждение теоремы очевидно, поскольку биссектриса Биссектриса и подобные треугольникиявляется одновременно и медианой. Рассмотрим случай, когда Биссектриса и подобные треугольники

Проведем перпендикуляры Биссектриса и подобные треугольникик прямой Биссектриса и подобные треугольники(рис. 124). Прямоугольные треугольники Биссектриса и подобные треугольникиподобны, поскольку их острые углы при вершине Биссектриса и подобные треугольникиравны как вертикальные. Из подобия этих треугольников имеем: Биссектриса и подобные треугольники

С другой стороны, прямоугольные треугольники Биссектриса и подобные треугольникитакже подобны, поскольку имеют равные острые углы при вершине Биссектриса и подобные треугольникиОтсюда следует что Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Сравнивая это равенство с предыдущем Биссектриса и подобные треугольникичто и требовалось доказать.

Пример №22

Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его биссектриса делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см.

Решение:

Пусть Биссектриса и подобные треугольники— биссектриса прямоугольного треугольника Биссектриса и подобные треугольникис гипотенузой Биссектриса и подобные треугольники Биссектриса и подобные треугольники(рис. 125).

Биссектриса и подобные треугольники

По свойству биссектрисы треугольника Биссектриса и подобные треугольники

Тогда если Биссектриса и подобные треугольникии по теореме Пифагора имеем:

Биссектриса и подобные треугольники

Следовательно, Биссектриса и подобные треугольники

тогда Биссектриса и подобные треугольники

Ответ: 84 см.

Метрические соотношения в окружности

Теорема (о пропорциональности отрезков хорд)

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

По данным рисунка 126 это означает, что Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Пусть хорды Биссектриса и подобные треугольникипересекаются в точке Биссектриса и подобные треугольникиПроведем хорды Биссектриса и подобные треугольникиТреугольники Биссектриса и подобные треугольникиподобны по двум углам: Биссектриса и подобные треугольникикак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, а углы при вершине Биссектриса и подобные треугольникиравны как вертикальные. Из подобия треугольников следует, что Биссектриса и подобные треугольникит.е. Биссектриса и подобные треугольники

Теорема (о пропорциональности отрезков секущей и касательной)

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки.

По данным рисунка 127 это означает, что Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Пусть из точки Биссектриса и подобные треугольникик окружности проведены секущая, которая пересекает окружность в точках Биссектриса и подобные треугольникии касательная Биссектриса и подобные треугольники— точка касания). Проведем хорды Биссектриса и подобные треугольникиТреугольники Биссектриса и подобные треугольникиподобны по двум углам: у них общий угол Биссектриса и подобные треугольникиа углы Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольникиизмеряются половиной дуги Биссектриса и подобные треугольники(см. опорную задачу № 230). Следовательно, из подобия треугольников получаем: Биссектриса и подобные треугольникит.е. Биссектриса и подобные треугольники

Следствие

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно.

По данным рисунка 128 это означает, что Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Метод подобия

Подобие треугольников дает ключ к решению задач на доказательство и вычисление, которые содержат соотношения между произведениями некоторых отрезков. Для этого соответствующие равенства превращают в пропорции, благодаря которым можно доказать подобие соответствующих треугольников.

Пример №23

Диагонали четырехугольника Биссектриса и подобные треугольникипересекаются в точке Биссектриса и подобные треугольникиДокажите, что Биссектриса и подобные треугольники

Решение:

Перепишем данное равенство в виде пропорции Биссектриса и подобные треугольникиЭлементы этой пропорции являются соответствующими сторонами треугольников Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники(рис. 129). Поскольку Биссектриса и подобные треугольникикак вертикальные, то эти треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними поэтому Биссектриса и подобные треугольникиНо углы Биссектриса и подобные треугольникивнутренние накрест лежащие при прямых Биссектриса и подобные треугольникии секущей Биссектриса и подобные треугольникиСледовательно, по признаку параллельности прямых Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Подобие треугольников может использоваться не только как инструмент геометрических доказательств или вычислений, но и как средство для решения задач на построение. Метод подобия для решения задач на построение заключается в построении вспомогательной фигуры, подобной искомой.

Пример №24

Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

Анализ

Обратим внимание на то, что два данных угла (пусть они равны Биссектриса и подобные треугольникиопределяют форму искомого треугольника, а длина данной биссектрисы (пусть она равна Биссектриса и подобные треугольники— его размеры.

При этом искомый треугольник будет подобен любому треугольнику с углами Биссектриса и подобные треугольникиОтсюда следует план построения: строим сначала произвольный треугольник с углами Биссектриса и подобные треугольникипроводим в нем биссектрису и, пользуясь подобием треугольников, строим искомый треугольник (рис. 130).

Биссектриса и подобные треугольники

Построение:

1.Построим треугольник Биссектриса и подобные треугольникив котором Биссектриса и подобные треугольники

2.Построим биссектрису угла Биссектриса и подобные треугольники

3.Отложим на построенной биссектрисе отрезок Биссектриса и подобные треугольники

4.Проведем через точку Биссектриса и подобные треугольникипрямую, параллельную Биссектриса и подобные треугольникиПусть Биссектриса и подобные треугольники— точки ее пересечения со сторонами угла Биссектриса и подобные треугольникиТреугольник Биссектриса и подобные треугольникиискомый.

Поскольку по построению Биссектриса и подобные треугольникикак соответственные углы при параллельных прямых. Значит, в треугольнике Биссектриса и подобные треугольники Биссектриса и подобные треугольники— биссектриса и Биссектриса и подобные треугольникипо построению, Биссектриса и подобные треугольники

Исследование

Задача имеет единственное решение при условии Биссектриса и подобные треугольникии ни одного, если Биссектриса и подобные треугольники

Итак, при решении задач на построение методом подобия следует придерживаться следующего плана.

1. Выделить из условий задачи те, которые определяют форму искомой фигуры.

2. Построить по этим данным фигуру, подобную искомой.

3. Используя условия задачи, определяющие размеры искомой фигуры, построить эту фигуру.

Среди задач на построение, связанных с подобием, одной из наиболее интересных является задача деления отрезка на две части таким образом, чтобы одна из них была средним пропорциональным между второй частью и всем отрезком. Такое деление отрезка называют делением в среднем и крайнем отношениях, или золотым сечением. Подробнее о таком делении вы можете узнать в Приложении 2.

Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Справочный материал по подобию треугольников

Теорема о пропорциональных отрезках

Биссектриса и подобные треугольники

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки:

Биссектриса и подобные треугольники

Подобие треугольников

Биссектриса и подобные треугольники
Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Признак подобия треугольников по двум углам

Биссектриса и подобные треугольники

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Биссектриса и подобные треугольники

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по трем сторонам

Биссектриса и подобные треугольники

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия прямоугольных треугольников

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны

Биссектриса и подобные треугольники

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Биссектриса и подобные треугольники

Высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу: Биссектриса и подобные треугольники

Катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу: Биссектриса и подобные треугольникии Биссектриса и подобные треугольники

Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу: Биссектриса и подобные треугольники

Теорема Пифагора и ее следствия

Теорема Пифагора

Биссектриса и подобные треугольники

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Биссектриса и подобные треугольники

Теорема, обратная теореме Пифагора

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный:

если Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Перпендикуляр и наклонная

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

  • любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую
  • равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные
  • большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию

Биссектриса и подобные треугольникиБиссектриса и подобные треугольникиБиссектриса и подобные треугольники

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Метрические соотношения в окружности

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны:

Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки:

Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно:

Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Теории подобия треугольников посвящен шестой раздел «Начал» Евклида. Интересно, что, например, в геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников, которые не были бы равны. Оказывается, что аксиома параллельных прямых в евклидовой геометрии равносильна предположению о существовании подобных, но неравных треугольников. Центральное место в евклидовой геометрии занимает теорема Пифагора. Пифагор Самосский (ок. 580-500 гг. до н. э.) долгое время жил в Египте Евклид и Вавилоне, потом поселился в городе Кротон (греческая

колония на юге Италии) и основал там так называемый пифагорийский союз. Считается, что именно от пифагорейцев происходит слово «математика» (греческое «матема» означает «наука», «познание»). Свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 были известны древним египтянам и китайским ученым. Пифагор начал исследовать другие прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Рассмотрев равнобедренный прямоугольный треугольник с единичными катетами, он увидел, что длина его гипотенузы не выражается целым числом — так были открыты иррациональные числа. Вскоре Пифагору удалось доказать, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе,— именно так выглядела теорема Пифагора в классической формулировке. По легенде, в честь своего открытия он принес богам в жертву сто быков.

Сегодня нельзя с уверенностью сказать, какие из открытий пифагорейцев принадлежат самому Пифагору, а какие — его ученикам. Вообще, школа Пифагора существовала достаточно закрыто и обособленно от общества. Это породило ненависть к пифагорейцам, и школа была разгромлена, а сам Пифагор вынужден был спасаться бегством, но в дороге был убит. После смерти Пифагора его ученики разбрелись по всей Греции и стали распространять его учение, которое дошло и до наших дней.

Пифагорейский союз был одновременно и философской школой, и научным сообществом, и религиозным братством, и даже политической партией. Исследования пифагорейцев охватывали и арифметику, и философию, и музыку, и астрономию.

Подробно о подобных треугольниках

Вы знаете, что в равных треугольниках равны соответственные стороны и углы. Посмотрите на рисунок 243. Углы Биссектриса и подобные треугольникиравны соответственным углам Δ ABC: Биссектриса и подобные треугольники. Но стороны Биссектриса и подобные треугольникив два раза больше соответственных сторон Δ ABC: Биссектриса и подобные треугольники. Следовательно, треугольник Биссектриса и подобные треугольникине равен треугольнику ABC. Треугольники Биссектриса и подобные треугольникии ABC — подобные.

Биссектриса и подобные треугольники

Поскольку Биссектриса и подобные треугольники= 2АВ, составим отношение этих сторон: Биссектриса и подобные треугольники

Аналогично получим: Биссектриса и подобные треугольники. Каждое из этих отношений равно числу 2. Следовательно, их можно приравнять: Биссектриса и подобные треугольники

Из этого двойного равенства составим три пропорции: Биссектриса и подобные треугольники

Именно поэтому говорят, что соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны. Их называют сходственными.

Два треугольника называются подобными, если в них соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Число, которому равно отношение сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. Его обозначают буквой h.

Записываем: Биссектриса и подобные треугольникии говорим: «Треугольник Биссектриса и подобные треугольникиподобен треугольнику ABC*. Знак Биссектриса и подобные треугольникизаменяет слово «подобный». Если коэффициент подобия треугольников известен, то записываем:

Биссектриса и подобные треугольники

Для подобных треугольников, как и для равных треугольников, имеет значение порядок записи вершин. Для треугольников на рисунке 243 запись Биссектриса и подобные треугольники— неверна.

Пример №25

Два треугольника на рисунке 244 подобны. Найдите длину их неизвестных сторон.

Биссектриса и подобные треугольники

Решение:

В данных треугольниках: ے A = ے ,N ےB = ے K, ے C= ے P. Составим отношение сходственных сторон: Биссектриса и подобные треугольники

Подставим известные длины сторон: Биссектриса и подобные треугольники

Приравняем первое и третье отношения, а затем — второе и третье.

Получаем: Биссектриса и подобные треугольники, отсюда АВ = 5,6 см; Биссектриса и подобные треугольники

Для того чтобы составить отношение сходственных сторон подобных треугольников:

  1. определите соответственно равные углы треугольников;
  2. выясните, какие их стороны являются сходственными;
  3. запишите равенство трёх дробей, в их числителях — стороны одного треугольника, а в знаменателях — сходственные стороны другого.

Может ли коэффициент подобия быть равным 1? Да, может. В этом случае подобные треугольники имеют равные стороны, следовательно, они равны.

Равенство треугольников — это частный случай подобия треугольников с коэффициентом k = 1.

Пример №26

Отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Докажите это.

Решение:

Пусть треугольники АВС и Биссектриса и подобные треугольники(рис. 245) подобны с коэффициентом k.

Биссектриса и подобные треугольники

Докажем, что Биссектриса и подобные треугольники

Поскольку Биссектриса и подобные треугольникито Биссектриса и подобные треугольники

Запишем периметры подобных треугольников АВС и Биссектриса и подобные треугольникиБиссектриса и подобные треугольники

1. Слово «подобный» означает «имеющий общие черты с кем-либо, чем-либо; похожий на кого-либо, что-либо». Этот термин часто используют в быту, науке, производстве. Например, эскиз треугольной косынки в масштабе 1: 10 и её выкройка в натуральную величину — это подобные треугольники. А вот выкройка и сама косынка — равные треугольники.

2. Древнегреческие математики вместо термина «подобный» употребляли слово «похожий». В отечественной математической литературе русский термин «подобие» используется с 1739 г. Знак ввёл в 1679 г. немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646 — 1716).

Биссектриса и подобные треугольники

3. На рисунке 246 вы видите подобные треугольники АВС и НТР. Они расположены так, что их стороны параллельны, а прямые АН, ВТ и CP, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке О. Говорят, что такие подобные треугольники ABC и НТР имеют перспективное расположение.

Понятие перспективы известно с древности, но собственно научная теория начинает интенсивно развиваться только в эпоху Возрождения. Посредством перспективы художники достигали эффекта объёмности своих холстов. Первым, кому это удалось сделать, был выдающийся флорентийский художник Джотто ди Бон-доне (1266 — 1337). Одновременно начинается поиск научных основ перспективы. Здесь первенство принадлежит также флорентийцу Филиппо Брунеллески (1377 — 1446). Учение о перспективе развивали и активно использовали в своём творчестве выдающиеся художники Леонардо да Винчи (Италия, 1452 — 1519), Альбрехт Дюрер (Германия, 1471 — 1528) и другие. Со временем из первых геометрических ростков учения о перспективе возникла новая наука — проективная геометрия. Её основателем был французский геометр, архитектор и инженер Жерар Дезарг (1591 — 1661), а развил до уровня стройной математической теории французский математик Жан Виктор Понселе (1788 — 1867).

Обобщённая теорема Фалеса

В теореме Фалеса утверждается, что параллельные прямые отсекают на сторонах угла соответственно равные отрезки. Обобщённым является случай, когда параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки (рис. 253). Соответствующая теорема называется обобщённой теоремой Фалеса. Приведём её без доказательства.

Теорема (обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Обобщённую теорему Фалеса иначе называют теоремой о пропорциональных отрезках.

Следствие. Прямая, параллельная любой стороне треугольника, отсекает от него подобный треугольник.

Биссектриса и подобные треугольники

Действительно, в треугольниках ABC и MNC (рис. 254) общий угол С. Его пересекают параллельные прямые АВ и MN. С секущей АС они образуют равные соответственные углы CAB и CMN. Третьи углы треугольников также равны. Докажем пропорциональность сторон треугольников.

Биссектриса и подобные треугольники

Из обобщенной теоремы Фалеса, Биссектриса и подобные треугольники

поэтому Биссектриса и подобные треугольники

Проводим прямую NK || АС, аналогично получаем: Биссектриса и подобные треугольники. Но КА = MN, поэтому Биссектриса и подобные треугольники

Итак, в треугольниках ABC и MNC соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: Биссектриса и подобные треугольники‘ Данные треугольники подобны по определению.

Для того чтобы доказать подобие треугольников:

  1. докажите равенство соответственных углов данных треугольников;
  2. докажите пропорциональность сходственных сторон данных треугольников;
  3. сделайте вывод: треугольники подобны по определению.

1. Может возникнуть вопрос: Как доказать обобщённую теорему Фалеса? Разделим отрезок АВ на п равных отрезков (рис. 255).

Биссектриса и подобные треугольники

Пусть длина каждого из них равна d. Тогда АВ = dn. Отложим от точки В на луче ВМ отрезки длиной d. Через все точки деления проведём прямые, параллельные ВС. Из теоремы Фалеса следует, что эти прямые отсекают равные отрезки и на стороне АС данного угла. Обозначим их длины Биссектриса и подобные треугольникиНа отрезке АС их будет одинаковое количество п, поэтому АС = Биссектриса и подобные треугольникиn. Пусть на отрезке ВМ помещается целое количество m таких отрезков (рис. 255). На отрезке CN их также будет m. Тогда ВМ = dm, a CN = Биссектриса и подобные треугольникиm. Найдём отношение отрезков на двух сторонах угла:

Биссектриса и подобные треугольники

Мы видим, что два отношения равны одному и тому же числу Биссектриса и подобные треугольники

Следовательно, их можно приравнять: Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Пусть на отрезке ВМ помещаются т отрезков длиной dn остаётся отрезок меньшей длины, чем d (рис. 256). Это означает, что отрезок из m частей длиной d меньше отрезка ВМ, а отрезок из m + 1 частей длиной d — больше этого отрезка. Пришли к неравенству: dm ے А = ے Ау Тогда стороны АВ и АС будут лежать соответственно на лучах Биссектриса и подобные треугольники. Прямые ВС и Биссектриса и подобные треугольникиcообразуют с секущей Биссектриса и подобные треугольникиравные соответственные углы: Биссектриса и подобные треугольникиИз признака параллельности прямых следует, что, Биссектриса и подобные треугольники

По следствию из обобщённой теоремы Фалеса, прямая ВС параллельная стороне Биссектриса и подобные треугольники, отсекает от треугольника Биссектриса и подобные треугольникиподобный треугольник. Поэтому Биссектриса и подобные треугольники

Следствие. Равносторонние треугольники подобны. Действительно, в равносторонних треугольниках все углы — по 60′. Поэтому треугольники подобны по двум углам.

Пример №27

В трапеции ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О (рис. 274). Докажите, что ∆АОВ

Биссектриса и подобные треугольники

Решение:

Рассмотрим треугольники АОВ и COD. В них: ے АОВ = ے COD как вертикальные, ے ОАВ = ے OCD как внутренние разносторонние при параллельных прямых АВ и CD и секущей АС. Следовательно, ∆АОВ

∆COD по двум углам.

Для того чтобы доказать подобие двух треугольников:

  1. выделите их на рисунке;
  2. докажите равенство двух пар соответственных углов;
  3. сделайте вывод: треугольники подобны по двум углам.

1. На свойствах подобных треугольников базируется принцип построения номограммы — специального чертежа, при помощи которого, не выполняя расчётов, можно найти корни некоторого уравнения. Рассмотрим задачу.

Пример №28

К заданному отрезку АВ в его концах и с М одной стороны от него проведены два перпендикуляра AM = а и BN = by а также отрезки MB и NA, пересекающиеся в точке О. Расстояние от О до АВ равно х. Найдите зависимость х от а и b.

Решение:

Пусть точка К (рис. 275) — основание перпендикуляра, проведённого из точки О к прямой АВ. По условию задачи, Биссектриса и подобные треугольники. Тогда:

Биссектриса и подобные треугольникиБиссектриса и подобные треугольники

Получили уравнение, выражающее искомую зависимость. Для его приближённого решения можно на листе в клеточку или миллиметровой бумаге построить (аналогично рис. 275) отрезки о и b заданной длины и измерить расстояние х— это и будет искомый корень уравнения. Такие номограммы можно использовать в задачах по физике, в частности в разделе «Оптика».

Второй и трети и признаки подобия треугольников

Вы уже знаете, что равенство треугольников можно установить по двум сторонам и углу между ними либо по трём сторонам. Признаки подобия треугольников аналогичны. Но в данном случае нужно определить не равенство, а пропорциональность соответственных сторон двух треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними).

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано: Биссектриса и подобные треугольники

Доказать: Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольникиБиссектриса и подобные треугольники

Доказательство. Пусть Биссектриса и подобные треугольники. Отложим на стороне Биссектриса и подобные треугольникитреугольника Биссектриса и подобные треугольникиотрезок Биссектриса и подобные треугольники= АВ = с (рис. 288). Через точку В2 проведём прямую Биссектриса и подобные треугольникиИмеем треугольник Биссектриса и подобные треугольники, который по следствию из теоремы Фалеса, подобен треугольнику Биссектриса и подобные треугольники.

Следовательно, Биссектриса и подобные треугольникиОтсюда Биссектриса и подобные треугольники

Подставим в эту пропорцию известные длины сторон и сократим полученные дроби.

Имеем: Биссектриса и подобные треугольники. Отсюда Биссектриса и подобные треугольникиИз равенства треугольников Биссектриса и подобные треугольникиподобия треугольников Биссектриса и подобные треугольникиследует, что Биссектриса и подобные треугольники.

Пример №29

В каждом из треугольников ABC и /?5Г(рис. 291) медиана, проведённая к большей стороне, равна половине этой стороны. Подобны ли заданные треугольники, если АС = 9, АК= 7,5, RT = б, MR = 5?

Биссектриса и подобные треугольники

Решение:

Медианы СK и ТМ отсекают от треугольников АВС и RSТсоответственно ∆АСК и ∆RTM. В каждом из них известны три стороны: АС= 9, АК= КС— 7,5; RT= 6, RM= МТ= 5.

Выясним, пропорциональны ли сходственные стороны этих треугольников: Биссектриса и подобные треугольники

Следовательно, AACK ARTM по трём сторонам. Из подобия этих треугольников следует, что ے A = ے R.

Рассмотрим ∆АВС и ∆RST. У них: ے A= ے R, Биссектриса и подобные треугольники

∆RSTno двум сторонам и углу между ними.

Решая задачи, помните:

  1. если на рисунке нет нужной пары треугольников, то для их получения проведите вспомогательные отрезки;
  2. иногда необходимо доказать подобие нескольких треугольников.

1. Вы, наверное, заметили, что признаки подобия и признаки равенства треугольников имеют много общего.

Пользуясь таблицей 19, сформулируйте попарно признак равенства и признак подобия треугольников. Чем отличаются соответствующие признаки?

Биссектриса и подобные треугольники

2. Используя признаки подобия треугольников, можно доказать, что точка пересечения высот треугольника Н, точка пересечения его медиан М и центр описанной окружности Олежат на одной прямой (рис. 292).

Биссектриса и подобные треугольники

Эту прямую называют прямой Эйлера в честь великого математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707 — 1783). Он родился в Базеле (Швейцария), в 1727 — 1741 гг. работал в Петербурге, затем — в Берлине, а с 1766 г. — снова в Петербурге. С его работами связаны выдающиеся достижения во всех областях математики, в механике, физике, астрономии. Теорему о прямой, получившей его имя, Л. Эйлер сформулировал, доказал и опубликовал в 1765 г.

Применение подобия треугольников

Проведём высоту CD к гипотенузе ЛВ в прямоугольном треугольнике АБС (рис. 300). Она делит гипотенузу на отрезки AD и BD, которые называются проекциями катетов на гипотенузу.

Если стороны треугольника обозначены А малыми буквами (рис. 300), то проекции катетов а и b на гипотенузу с обозначают соответственно: Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Существуют ли зависимости между проекциями катетов на гипотенузу и сторонами прямоугольного треугольника? Да, существуют.

Одна из этих зависимостей очевидна: Биссектриса и подобные треугольники. Другие зависимости требуют доказательства.

Отрезок x называется средним пропорциональным между отрезками а и b, если выполняется равенство а : х = х : b.

Из определения следует, что Биссектриса и подобные треугольники. То есть квадрат среднего пропорционального между двумя отрезками равен произведению этих отрезков. В прямоугольном треугольнике можно выделить три средних пропорциональных: высоту, проведённую к гипотенузе, и оба катета.

Теорема (о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике).

В прямоугольном треугольнике:

  1. высота, проведённая к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу;
  2. катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Дано: ∆АСВ (рис. 301), ے C= 90°, СH— высота.

Доказать: Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Доказательство.

1) Биссектриса и подобные треугольникипо двум углам.

Действительно, они имеют по прямому углу и ے ACH— ے CBH

Из подобия треугольников следует: Биссектриса и подобные треугольникиОтсюда Биссектриса и подобные треугольники= Биссектриса и подобные треугольники.

2) Каждый из треугольников АНС и СНВ подобен заданному треугольнику АСВ. Это следует из равенства их соответственных углов. Тогда получим:

Биссектриса и подобные треугольники

Следствие. Проекции катетов на гипотенузу относятся, как квадраты катетов.

Действительно, по теореме о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике, квадраты катетов соответственно равны Биссектриса и подобные треугольники(рис. 302).

Биссектриса и подобные треугольники

Поэтому Биссектриса и подобные треугольники

Вы знаете, что биссектриса треугольника делит его угол пополам. Существует ли зависимость между отрезками, на которые биссектриса делит противолежащую сторону треугольника? Да, существует.

Пример №30 (свойство биссектрисы треугольника).

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Докажите это.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 303) проведена биссектриса AL АС

Надо доказать, что Биссектриса и подобные треугольники

Биссектриса и подобные треугольники

Из точек А и В проводим перпендикуляры AM и BN к прямой CL.

Биссектриса и подобные треугольникиno двум углам. В них: Биссектриса и подобные треугольники, поскольку CL — биссектриса ے С. Отсюда Биссектриса и подобные треугольники Биссектриса и подобные треугольникипо двум углам.

В них: ے AML = ے BNL = 90°, ے ALM— ے BLN как вертикальные.

Отсюда Биссектриса и подобные треугольники(2)

Из равенств (1) и (2) получим: Биссектриса и подобные треугольники

Подобие треугольников используют не только в задачах на доказательство или вычисление, но и на построение.

Пример №31

Постройте треугольник по двум углам А и С и биссектрисе I угла В.

Биссектриса и подобные треугольникиБиссектриса и подобные треугольники

Решение:

Анализ (рис. 304). Углы А и С определяют треугольники, подобные искомому, а биссектриса — размеры искомого треугольника.

Пусть Биссектриса и подобные треугольники— искомый. Опустим требование задачи, что I — биссектриса ے B, то есть Биссектриса и подобные треугольники= I. Тогда можно построить вспомогательный Биссектриса и подобные треугольникипо двум заданным углам А и С. Через точку Биссектриса и подобные треугольникина биссектрисе ے В ( Биссектриса и подобные треугольники= I) проходит прямая Биссектриса и подобные треугольники, отсекающая от треугольника ABC подобный ему треугольник. Следовательно, вершины Биссектриса и подобные треугольники, искомого треугольника являются точками пересечения прямой С, со сторонами ВА и несоответственно вспомогательного Биссектриса и подобные треугольникиАВС.

Построение.

  1. Строим вспомогательный ∆ABC двум углам А и С.
  2. Проводим биссектрису BL угла В.
  3. На луче BL откладываем отрезок Биссектриса и подобные треугольники= I.
  4. Через точку Биссектриса и подобные треугольники, проводим прямую Биссектриса и подобные треугольники.

Доказательство.

По построению, в треугольнике Биссектриса и подобные треугольники: ے At = ے A, ے CX = ے C, BLy — биссектриса угла В и Биссектриса и подобные треугольники= I. Следовательно, Биссектриса и подобные треугольники, — искомый.

Дано:

Способ применения подобия треугольников в задачах на построение называют методом подобия.

Для того чтобы решить задачу на построение треугольника методом подобия:

  1. выделите из условия задачи те данные, которые определяют форму искомого треугольника;
  2. постройте по этим данным вспомогательный треугольник, подобный искомому;
  3. постройте искомый треугольник, используя те заданные условия, которые определяют его размеры.

1. Важные свойства имеет биссектриса внешнего угла треугольника.

Если треугольник равнобедренный, то биссектриса внешнего угла параллельна основанию (рис. 305). Если треугольник не равнобедренный, то биссектриса его внешнего ума пересекает противолежащую сторону в точке, расстояния от которой до вершин этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника.

Пусть ABC — заданный треугольник (рис. 306), биссектриса его внешнего угла КВС пересекает продолжение стороны АС в точке D. Докажем, что DC: DA= ВС: ВА. Выполним вспомогательное построение: проведём СМ || BD. Две параллельные прямые пересекают стороны угла А, поэтому, по обобщённой теореме Фалеса, А С : CD = А М: MB, либо AD: CD=AB: MB.

Биссектриса и подобные треугольникиБиссектриса и подобные треугольники

Но МВ= СВ, поскольку ∆ВСМ— равнобедренный.

Действительно, в нём ے 3 = ے 4, так как ے 1 = ے 2 (BD— биссектриса ے KBC);

ے 1 = ے 3 как соответственные (BD II СМ, АВ — секущая);

ے 2 = ے 4 как внутренние накрест лежащие (BD || СМ, ВС — секущая).

Следовательно, AD : CD = АВ : СВ, то есть DC: DA = ВС: ВА.

Рассмотрите самостоятельно случаи, когда треугольник ABC— остроугольный

2. Значительный вклад в развитие теории геометрических построений сделал известный украинский математик Александр Степанович Смогоржевский.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Трапеция и ее свойства
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📺 Видео

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрияСкачать

ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрия

ОГЭ Задание 26 Свойство биссектрисы треугольника Подобные треугольникиСкачать

ОГЭ Задание 26 Свойство биссектрисы треугольника Подобные треугольники

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольник

8 класс, 19 урок, Пропорциональные отрезкиСкачать

8 класс, 19 урок, Пропорциональные отрезки
Поделиться или сохранить к себе: