Арктангенс это в треугольнике

Обратная тригонометрическая функция: Арктангенс (arctg)
Содержание
  1. Определение
  2. График арктангенса
  3. Свойства арктангенса
  4. Арктангенс в прямоугольном треугольнике
  5. Арктангенс в прямоугольном треугольнике
  6. Соотношения в прямоугольном треугольнике
  7. Обратные тригонометрические функции арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg) и арккотангенс (arcctg)
  8. Сумма углов треугольника
  9. Теорема синусов
  10. Теорема косинусов
  11. Площадь треугольника
  12. Площадь круга
  13. Длина дуги окружности
  14. Перевод градусов в угловые градусы минуты и секунды
  15. Перевод градусов в угловые градусы минуты и секунды
  16. Перевод градусов в радианы
  17. Перевод радианов в градусы
  18. Определение наклона линии в градусах
  19. Определение уклона линии в долях, процентах и промилле
  20. Обратная тригонометрическая функция: Арктангенс (arctg)
  21. Определение
  22. График арктангенса
  23. Свойства арктангенса
  24. Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
  25. Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
  26. Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg
  27. Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса
  28. Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg
  29. Арктангенс, арккотангенс – свойства, графики, формулы
  30. Арктангенс, arctg
  31. Определение и обозначения
  32. График функции арктангенс
  33. Арккотангенс, arcctg
  34. Определение и обозначения
  35. График функции арккотангенс
  36. Четность
  37. Свойства – экстремумы, возрастание, убывание
  38. Таблица арктангенсов и арккотангенсов
  39. Формулы
  40. Формулы суммы и разности
  41. Выражения через логарифм, комплексные числа
  42. Выражения через гиперболические функции
  43. Производные
  44. Интегралы
  45. Разложение в степенной ряд
  46. Обратные функции

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

Определение

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция.

Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x , где x – любое число (x∈ℝ).

Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y :

Примечание: tg -1 x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.

Например:

arctg 1 = tg -1 1 = 45° = π/4 рад

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

График арктангенса

Функция арктангенса пишется как y = arctg (x) . График в общем виде выглядит следующим образом:

Арктангенс это в треугольнике

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функции

Свойства арктангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.

Видео:Находим арктангенс. Алгебра 10 классСкачать

Находим арктангенс. Алгебра 10 класс

Арктангенс в прямоугольном треугольнике

Видео:Что такое Арксинус, Арккосинус, Арктангенс и Арккотангес?Скачать

Что такое Арксинус, Арккосинус, Арктангенс и Арккотангес?

Арктангенс в прямоугольном треугольнике

Арктангенс это в треугольнике

Пример вычислений теорема Пифагора

Арктангенс это в треугольнике

Соотношения в прямоугольном треугольнике

Арктангенс это в треугольнике

Пример вычислений соотношения в прямоугольном треугольнике

Арктангенс это в треугольнике

Обратные тригонометрические функции арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg) и арккотангенс (arcctg)

— арксинус (arcsin) возвращает угол по его синусу

— арккосинус (arccos) возвращает угол по его косинусу

— арктангенс (arctg) возвращает угол по его тангенсу

— арккотангенс (arcctg) возвращает угол по его арктангенсу

Пример вычислений обратные тригонометрические функции

Арктангенс это в треугольнике

Сумма углов треугольника

Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам

Арктангенс это в треугольнике

Теорема синусов

Для любого треугольника соблюдается выражение

Арктангенс это в треугольнике

Пример вычислений теорема синусов

Арктангенс это в треугольнике

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника, равен сумме квадратов двух других его сторон, минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

Арктангенс это в треугольнике

Пример вычислений теорема косинусов

Арктангенс это в треугольнике

Площадь треугольника

Площадь треугольника можно определить по формулам

Арктангенс это в треугольнике

также удобно использовать формулу Герона Арктангенс это в треугольнике,
где p-полупериметр треугольника Арктангенс это в треугольнике

Пример вычислений площадь треугольника

Арктангенс это в треугольнике

или по формуле Герона

Арктангенс это в треугольнике

Площадь круга

Арктангенс это в треугольнике

Длина дуги окружности

Длина дуги окружности вычисляется по формулам

Арктангенс это в треугольникеесли угол задан в угловых градусах минутах и секундах

Арктангенс это в треугольникеесли угол задан в радианах

Пример вычислений длина дуги окружности

угол задан в угловых градусах минутах и секундах

Арктангенс это в треугольнике

угол задан в радианах

Арктангенс это в треугольнике

Перевод градусов в угловые градусы минуты и секунды

Перевод угловых градусов минут и секунд в градусы выполняется согласно выражения

Арктангенс это в треугольнике

Пример вычислений
перевести в градусы угол, который задан в угловых градусах минутах и секундах

Арктангенс это в треугольнике
Арктангенс это в треугольнике

Перевод градусов в угловые градусы минуты и секунды

Перевод градусов в угловые градусы минуты и секунды выполняется согласно выражения

Арктангенс это в треугольнике

Пример вычислений
перевести в угловые градусы минуты и секунды угол, который задан в градусах

Арктангенс это в треугольнике
Арктангенс это в треугольнике

Перевод градусов в радианы

Перевод градусов в радианы выполняется по формуле

Арктангенс это в треугольнике

Пример вычислений
перевести в радианы угол, который задан в угловых градусах минутах и секундах

Арктангенс это в треугольнике
Арктангенс это в треугольнике

Перевод радианов в градусы

Перевод радианов в градусы выполняется по формуле

Арктангенс это в треугольнике

Пример вычислений
перевести в угловые градусы минуты и секунды угол, который задан в радианах

Арктангенс это в треугольнике
Арктангенс это в треугольнике

Определение наклона линии в градусах

Определение наклона линии в градусах выполняется с использованием соотношений в прямоугольном треугольнике
Пример вычислений
Определить наклон пандуса длиной 14м и высотой 3,5м

Арктангенс это в треугольнике

Определение уклона линии в долях, процентах и промилле

При инженерно-строительных работах, наклон линии задают не градусом наклона, а тангенсом этого градуса — безразмерной величиной, которая называется уклоном. Уклон может выражаться относительным числом, в процентах (сотые доли числа) и промилле (тысячные доли числа)

Пример вычислений
Определить уклон отмостки длиной 2,5м и высотой 0,30м

Видео:Зачем нужны синусы и косинусы?Скачать

Зачем нужны синусы и косинусы?

Обратная тригонометрическая функция: Арктангенс (arctg)

Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

Определение

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция.

Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x , где x – любое число (x∈ℝ).

Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y :

Примечание: tg -1 x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.

Например:

arctg 1 = tg -1 1 = 45° = π/4 рад

Видео:Преобразование выражений, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. 2 ч. 10 класс.Скачать

Преобразование выражений, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. 2 ч. 10 класс.

График арктангенса

Функция арктангенса пишется как y = arctg (x) . График в общем виде выглядит следующим образом:

Арктангенс это в треугольнике

Видео:Введение в арктангенс (видео 2)| Обратные тригонометрические функции | МатематикаСкачать

Введение в арктангенс (видео 2)| Обратные тригонометрические функции | Математика

Свойства арктангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.

Видео:Занятие 4. Арксинус и арккосинус. Основы тригонометрииСкачать

Занятие 4. Арксинус и арккосинус. Основы тригонометрии

Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a , тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π 3 , то значение косинуса отсюда равно 1 2 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 1 2 получим π на 3 . Такое тригонометрическое выражение записывается как a r cos ( 1 2 ) = π 3 .

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π 3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 1 2 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид a r c cos 1 2 = 60 °

Видео:Обратные тригонометрические функции, y=arctgx и y=arcctgx, их свойства и графики. 10 класс.Скачать

Обратные тригонометрические функции, y=arctgx и  y=arcctgx, их свойства и графики. 10 класс.

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0 , ± 30 , ± 45 , ± 60 , ± 90 , ± 120 , ± 135 , ± 150 , ± 180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin ( — π 2 ) = — 1 , sin ( — π 3 ) = — 3 2 , sin ( — π 4 ) = — 2 2 , sin ( — π 6 ) = — 1 2 , sin 0 = 0 , sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от — 1 и заканчивая 1 , также значения от – π 2 до + π 2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

в р а д и а н а х

α— 1— 3 2— 2 2— 1 201 22 23 2
a r c sin α к а к у г о л— π 2— π 3— π 4— π 60π 6π 4π 3
в г р а д у с а х— 90 °— 60 °— 45 °— 30 °0 °30 °45 °60 °
a r c sin α к а к ч и с л о— π 2— π 3— π 4— π 60π 6π 4π 3

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0 = 1 , cos π 6 = 3 2 , cos π 4 = 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 2 = 0 , cos 2 π 3 = — 1 2 , cos 3 π 4 = — 2 2 , cos 5 π 6 = — 3 2 , cos π = — 1

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

a r c cos ( — 1 ) = π , arccos ( — 3 2 ) = 5 π 6 , arcocos ( — 2 2 ) = 3 π 4 , arccos — 1 2 = 2 π 3 , arccos 0 = π 2 , arccos 1 2 = π 3 , arccos 2 2 = π 4 , arccos 3 2 = π 6 , arccos 1 = 0

в р а д и а н а х

α— 1— 3 2— 2 2— 1 201 22 23 21
a r c cos α к а к у г о лπ5 π 63 π 42 π 3π 2π 3π 4π 60
в г р а д у с а х180 °150 °135 °120 °90 °60 °45 °30 °0 °
a r c cos α к а к ч и с л оπ5 π 63 π 42 π 3π 2π 3π 4π 60

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α— 3— 1— 3 303 313
a r c t g a к а к у г о лв р а д и а н а х— π 3— π 4— π 60π 6π 4π 3
в г р а д у с а х— 60 °— 45 °— 30 °0 °30 °45 °60 °
a r c t g a к а к ч и с л о— π 3— π 4— π 60π 6π 4π 3

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля — Синус, косинус, тангенс и котангенс острого углаСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля — Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g

Для точного значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g противоположных чисел вида a r c sin ( — α ) = — a r c sin α , a r c cos ( — α ) = π — a r c cos α , a r c t g ( — α ) = — a r c t g α , a r c c t g ( — α ) = π — a r c c t g α .

Рассмотрим решение нахождения значений a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0 , 2857 , ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0 , 2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Арктангенс это в треугольнике

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0 , 2863 используется та самая поправка в 0 , 0006 , так как ближайшим числом будет 0 , 2857 . Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Арктангенс это в треугольнике

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Арктангенс это в треугольнике

Таким образом находятся значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g .

Видео:Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.Скачать

Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном a r c sin α = — π 12 необходимо найти значение a r c cos α , тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

a r c cos α = π 2 − a r c sin α = π 2 − ( − π 12 ) = 7 π 12 .

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π 10 , а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π 10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0 , 9511 , после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

Арктангенс это в треугольнике

При поиске значения арктангенса 0 , 9511 определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Арктангенс это в треугольнике

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

Видео:10 класс, 21 урок, Обратные тригонометрические функцииСкачать

10 класс, 21 урок, Обратные тригонометрические функции

Арктангенс, арккотангенс – свойства, графики, формулы

Арктангенс это в треугольнике

Видео:Обратные тригонометрические функции, y=arcsinx и y=arccosx, их свойства и графики. 10 класс.Скачать

Обратные тригонометрические функции, y=arcsinx и y=arccosx, их свойства и графики. 10 класс.

Арктангенс, arctg

Определение и обозначения

Арктангенс обозначается так:
.

График функции арктангенс

График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.

Видео:Вычисление аркфункцийСкачать

Вычисление аркфункций

Арккотангенс, arcctg

Определение и обозначения

Арккотангенс обозначается так:
.

График функции арккотангенс

График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.

Видео:Геометрия 8. Урок 11- Синус, Косинус, Тангенс и Котангенс угла в прямоугольном треугольнике.Скачать

Геометрия 8. Урок 11- Синус, Косинус, Тангенс и Котангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Четность

Функция арктангенс является нечетной:
arctg(– x ) = arctg(–tg arctg x ) = arctg(tg(–arctg x )) = – arctg x

Функция арккотангенс не является четной или нечетной:
arcctg(– x ) = arcctg(–ctg arcctg x ) = arcctg(ctg(π–arcctg x )) = π – arcctg x ≠ ± arcctg x .

Видео:Преобразование выражений, содержащих арккосинус, арксинус, арктангенс и арккотангенс. 1ч. 10 класс.Скачать

Преобразование выражений, содержащих арккосинус, арксинус, арктангенс и арккотангенс. 1ч. 10 класс.

Свойства – экстремумы, возрастание, убывание

Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x . (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.

y = arctg xy = arcctg x
Область определения и непрерывность– ∞– ∞
Множество значений
Возрастание, убываниемонотонно возрастаетмонотонно убывает
Максимумы, минимумынетнет
Нули, y = 0x = 0нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0y = 0y = π/ 2
π
0

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Таблица арктангенсов и арккотангенсов

В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

xarctg xarcctg x
град.рад.град.рад.
– ∞– 90°180°π
– 60°150°
– 1– 45°135°
– 30°120°
0090°
30°60°
145°45°
60°30°
+ ∞90°0

Формулы

Формулы суммы и разности

при

при 0,;xy > 1″ style=»width:122px;height:18px;vertical-align:-10px;background-position:-138px -570px»>

при 1″ style=»width:122px;height:18px;vertical-align:-10px;background-position:-261px -570px»>

при -1″ style=»width:76px;height:18px;vertical-align:-10px;background-position:-550px -570px»>

при 0,;xy

при

Выражения через логарифм, комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

Производные

Производные высших порядков:
Пусть . Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов:
;
.
Символ означает мнимую часть стоящего следом выражения.

Аналогично для арккотангенса. Пусть . Тогда
;
.

Интегралы

Делаем подстановку x = tg t и интегрируем по частям:
;
;
;

Выразим арккотангенс через арктангенс:
.

Разложение в степенной ряд

При |x| ≤ 1 имеет место следующее разложение:
;
.

Обратные функции

Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс, соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
tg(arctg x ) = x
ctg(arcctg x ) = x .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса:
arctg(tg x ) = x при
arcctg(ctg x ) = x при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 14-07-2014 Изменено: 23-12-2018

Поделиться или сохранить к себе: