Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Окружность, вписанная в треугольник

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Содержание
  1. «Снятие эмоционального напряжения у детей и подростков с помощью арт-практик и психологических упражнений»
  2. Описание презентации по отдельным слайдам:
  3. Краткое описание документа:
  4. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  5. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  6. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  7. Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
  8. Дистанционные курсы для педагогов
  9. Другие материалы
  10. Вам будут интересны эти курсы:
  11. Оставьте свой комментарий
  12. Автор материала
  13. Дистанционные курсы для педагогов
  14. Подарочные сертификаты
  15. Построение с помощью циркуля и линейки — описание, алгоритмы и задачи
  16. Построение отрезка, равного данному
  17. Деление отрезка пополам
  18. Построение угла, равного данному
  19. Построение перпендикулярных прямых
  20. Пример 1
  21. Пример 2
  22. Построение параллельных (непересекающихся) прямых
  23. Построение правильного треугольника, вписанного в окружность
  24. Построение правильного четырехугольника вписанного в окружность
  25. Вариант 1
  26. Вариант 2
  27. Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника
  28. Построение правильного шестиугольника, вписанного в окружность
  29. Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  30. Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  31. Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  32. Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  33. 🎥 Видео

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Описание презентации по отдельным слайдам:

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Окружность, вписанная в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если все стороны треугольника касаются окружности. A B C O

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

A B C D F E M N O K r r r Как вписать в окружность треугольник В треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника. Проведём биссектрисы треугольника: АK, ВM, СN. Построим перпендикуляры ОD, OE, OF, которые равны между собой, т.к. равны соответствующие треугольники. Получаем ОD= OE= OF=r.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник 1.Строим две биссектрисы треугольника. Точка пересечения — центр вписанной окружности. 2. Строим перпендикуляр на основание из точки пересечения. 3. Этот перпендикуляр является радиусом вписанной окружности. 4. Строим вписанную окружность.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Задача №1 Построить вписанную окружность в: 1. остроугольный треугольник; 2. тупоугольный треугольник; 3. прямоугольный треугольник. Самостоятельная работа Построить вписанную окружность в: 1. остроугольный равнобедренный треугольник; 2. тупоугольный равнобедренный треугольник; 3. прямоугольный равнобедренный треугольник.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Положение центра вписанной окружности

Краткое описание документа:

Презентация по геометрии для урока в 8 классе создана для наглядного изучения вопроса о том, как вписать окружность в треугольник. В ней просто и доходчиво доказывается, что центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис треугольника. Важная часть презентации — это то, что в ней показан алгоритм построения окружности, вписанной в треугольник. В презентации есть три задачи для закрепления нового материала. Также даны задачи для самостоятельной работы, решение которых поможет ребятам ещё лучше разобраться в новой теме. Последний слайд обращает внимание ребят на положение центра окружности, вписанной в треугольник.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 325 человек из 69 регионов

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 698 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 482 649 материалов в базе

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Дистанционные курсы для педагогов

Другие материалы

  • 13.05.2015
  • 3535
  • 13.05.2015
  • 764
  • 13.05.2015
  • 601
  • 13.05.2015
  • 3371
  • 13.05.2015
  • 1210
  • 13.05.2015
  • 619
  • 13.05.2015
  • 701

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 13.05.2015 6220 —> —> —> —>
  • PPTX 227.7 кбайт —> —>
  • Рейтинг: 5 из 5
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Сазонова Татьяна Фёдоровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

  • На сайте: 7 лет
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 30144
  • Всего материалов: 17

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Дистанционные курсы
для педагогов

548 курсов от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Ускоренный просмотр онлайн-лекций не мешает их пониманию

Время чтения: 3 минуты

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Первый мониторинг вузов РФ по новым показателям пройдёт в 2023 году

Время чтения: 2 минуты

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Федеральный перечень учебников будет дополнен новыми учебниками

Время чтения: 3 минуты

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Построение равностронего треугольника.Скачать

Построение равностронего треугольника.

Построение с помощью циркуля и линейки — описание, алгоритмы и задачи

Построение с помощью циркуля и линейки – древнейший способ расчета в евклидовой геометрии. Известен со времен Древней Греции. Данная тема изучается в средних и старших классах на уроках геометрии.

Рассмотрим все случаи построения на конкретных примерах.

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Построение отрезка, равного данному

Есть отрезок СD. Задача — начертить равнозначный данному отрезок той же величины.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Строится луч, имеющий начало в т. A. Циркуль отмеряет существующий отрезок CD. Циркулем откладывается отрезок, равнозначный первому отрезку, на том же начерченном луче от его начала (A).

Для подобного чертежа ножку с иглой закрепляют в начале луча A, а с помощью части с грифелем проводится дуга до места соприкосновения с лучом. Данную точку можно обозначить т. B.

Отрезок AB будет равнозначен отрезку СD. Задача решена.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Деление отрезка пополам

Имеется отрезок AB.

Сначала следует нарисовать окружность с радиусом больше половины отрезка AB с центром в т. A.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Далее чертится круг с тем же радиусом с серединой в т. B. В местах пересечения окружностей имеем т. C и т. D.

Сквозь эти точки требуется провести прямую линию. Получаем т. E, которая будет серединой отрезка AB.

Видео:Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать

Геометрия - Построение правильного треугольника

Построение угла, равного данному

Имеется угол ABC.

Вблизи угла проводится луч ED. Далее чертится окружность с серединой в т. B. В итоге имеем точки M и N.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Оставив раствор циркуля прежним, рисуют круг с серединой в т. E. В точке соприкосновения имеем т. K.

Поменяв раствор циркуля на длину расстояния между т. M и т. N, нужно провести окружность с серединой в т. K. В итоге получается т. F. После чертится прямая из т. E через т. F. Образуется угол DEF, который будет равнозначен углу ABC. Задача решена.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Построение перпендикулярных прямых

Пример 1

Точка O находится на прямой a.

Есть прямая и точка, находящаяся на ней. Нанести линию, идущую через существующую точку и находящуюся под прямым углом к имеющейся прямой.

Шаг 1. Чертим круг с рандомным радиусом r с серединой в т. O. Окружность соприкасается с прямой в т. A и т. B.

Шаг 2. Из имеющихся точек строится круг с радиусом AB. Точки С и D являются точками соприкосновения окружностей.

Приложив линейку, чертят прямую, сквозь т. O и одну из т. C или т. D, к примеру отрезок OC.

Доказательство, что прямая OC лежит перпендикулярно a.

Намечаются два отрезка — AC и CB. Получившиеся треугольники будут равны, согласно третьему признаку равенства треугольников. Значит, прямая CO перпендикулярна AB.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Пример 2

Точка O находится вне прямой а.

Нарисовать окружность с радиусом r из т. O. Она должна проходить сквозь прямую a. A и B — точки её соприкосновения с прямой.

Оставив прежний радиус, рисуем окружности с серединой в т. A и т. B. Точка O1 — место их соприкосновения.

Рисуем линию, соединяющая т. O и т. O1.

Доказательство выглядит следующим образом.

Две прямые ОО1 и AB пересекаются в т. C. Согласно третьему признаку равенства всех треугольников AOB = BO1A. Из данного вывода следует, что угол OAC = O1AC. Одноименные треугольники также будут равны (согласно первому признаку равенства всех треугольников).

Исходя из этого, выводим, что угол OCA = O1CA, а, учитывая смежность углов, приходим к пониманию, что они прямые. А это означает, что OC – перпендикулярный отрезок, опущенный из т. O на прямую a. Задача решена.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Построение параллельных (непересекающихся) прямых

Имеется прямая и т. А, не лежащая на этой прямой.

Нужно отметить прямую, проходящую через т. A, и параллельную имеющейся прямой.

Берется рандомная точка на имеющейся прямой и именуется B. С помощью циркуля строится окружность радиуса AB с серединой в т. B. В месте пересечения окружности и данной прямой отмечается т. C.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Оставив прежний радиус, рисуется еще одна окружность, теперь уже с центром в т. C. При правильных расчетах дуга должна пройти через т. B.

C тем же радиусом AB строится окружность с серединой в т. A. Точку соприкосновения второй и третьей окружностей назовем D. Третья окружность, учитывая верность расчетов, также пройдет через т. B.

Проводится прямая через т. A и т. D, которая станет параллельной первой. В итоге, получились две параллельные прямые, BC и AD.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)

Построение правильного треугольника, вписанного в окружность

Правила построения правильного треугольника, вписанного в окружность:

Отметить отрезок AB, чья длина будет равняться а.

Взять циркуль. Часть с иголкой расположить на т. А, а часть с карандашом на т. B. Прочертить окружность. В итоге, радиус круга будет равнозначен длине отрезка AB.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Далее иглу размещают на т. B, а часть с грифелем на т. A. Чертится круг. В итоге, его радиус будет равнозначен длине отрезка AB.

На чертеже окружности пересеклись в двух точках. Далее нужно соединить т. A и т. B и одну из вышеупомянутых точек. В результате получится равносторонний треугольник.

Стороны такого треугольника равнозначны радиусам двух окружностей, которые равны длине а. Задача решена.

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Построение правильного четырехугольника вписанного в окружность

Вариант 1

Исходя из данности, что диагонали любого квадрата пересекаются в середине окружности и находятся по отношению к его осям под углом 45 градусов, производят следующие действия. Пользуясь линейкой и уголком с углами 45 градусов (см. рисунок), размечают вершины т. 1 и т. 3.

Сквозь данные точки чертят отрезки, стороны четырехугольника, расположенные по горизонтали. Это т. 4 и т. 1, т. 3 и т. 2. В конце линейкой и уголком по его катету проводятся линии, расположенные по вертикали (высоты), отрезок т.1 — т. 2 и отрезок т. 4 — т. 3.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Вариант 2

Так как вершины правильного четырехугольника разделяют наполовину дуги окружностей, между точками диаметра (см. рисунок), то для достижения результата делают следующее: отмечают на точках перпендикулярных диаметров т. A, т. B и т. C и рисуют дуги до их соприкосновения.

После чертят прямые через места соприкосновения дуг, которые выделены на фигуре линиями. Точки соприкосновения с окружностью будут являться вершинами — это т. 1 и т. 3, т. 4 и т. 2. Данные вершины полученного квадрата соединяют друг с другом.

Задача выполнена двумя способами.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника

Поместить на окружность т. 1, считая ее за вершину пятиугольника. Разделить отрезок AO пополам. Чтобы произвести подобную операцию, из т. A чертят дугу до места соприкосновения с окружностью в т. M и т. B.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Расположив конкретные точки на прямой, получаем т. K, и после совмещаем с т. 1. Радиусом, длина которого – отрезок А1, сделать изгиб из т. K до места соприкосновения с линией АО в т. H. После совместить т. 1 и т. H, образуя одну из пяти сторон пятиугольника.

Взять циркуль, величина раствора которого будет равна отрезку т.1 — т. H, нарисовать изгиб из т. 1 до соприкосновения с кругом. Так находят вершины 2 и 5. Отметив точки на вершинах 2 и 5, получают вершины 3 и 4. В конце все точки совмещают друг с другом.

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Построение правильного шестиугольника, вписанного в окружность

Решение подобной задачи строится на свойствах, где сторона шестиугольника равнозначна радиусу круга.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Для расчета разделяют круг на шесть ровных частей и последовательно совмещают все полученные точки (см. рисунок). Задача решена.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольникСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Алгоритм построения вписанной окружности в треугольникФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Алгоритм построения вписанной окружности в треугольникВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникАлгоритм построения вписанной окружности в треугольник
Равнобедренный треугольникАлгоритм построения вписанной окружности в треугольник
Равносторонний треугольникАлгоритм построения вписанной окружности в треугольник
Прямоугольный треугольникАлгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Произвольный треугольник
Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник
Равнобедренный треугольник
Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник
Равносторонний треугольник
Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник
Прямоугольный треугольник
Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник
Произвольный треугольник
Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник.

Равнобедренный треугольникАлгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Равносторонний треугольникАлгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникАлгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Видео:Треугольник, вписанный в окружность геометрия 7 классСкачать

Треугольник, вписанный в окружность геометрия 7 класс

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник– полупериметр (рис. 6).

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

с помощью формулы Герона получаем:

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

Алгоритм построения вписанной окружности в треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

🎥 Видео

Построение угла, равного данному. 7 класс.Скачать

Построение угла, равного данному. 7 класс.

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

7 класс, 23 урок, Примеры задач на построениеСкачать

7 класс, 23 урок, Примеры задач на построение
Поделиться или сохранить к себе: