Аксиома треугольника метрическое пространство (6 видео)

Содержание

Пространство (R^n)
Метрическое пространство.
Метрическое пространство R n .
Сходимость последовательности точек в метрическом пространстве.
Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве.
Предельные точки. Замкнутые множества.
Компакт в метрическом пространстве.
Граница множества.
Прямые, лучи и отрезки в R n .
Аксиома треугольника метрическое пространство
🔥 Видео

Видео:Аксиомы метрикиСкачать

Пространство (R^n)

Видео:Метрические пространства | вводим понятие метрикиСкачать

Метрическое пространство.

Будем множество (X) называть метрическим пространством, если каждой паре элементов (x) и (y) этого множества поставлено в соответствие неотрицательное число (p(x,y)), называемое расстоянием между элементами (x) и (y), такое, что для любых элементов (x, y, z) множества (X) выполнены следующие условия:

(rho(x,y) = 0 Leftrightarrow x = y)
(rho(x,y) = rho(y,x));
(rho(x,y) leq rho(x,z) + rho(z,y)) (неравенство треугольника).

Элементы метрического пространства будем называть точками, функцию (rho(x,y)), определенную на множестве пар точек метрического пространства (X), (rho) — метрикой, а условия 1)-3) — аксиомами метрики.

Например, определяя расстояние между вещественными числами (alpha) и (beta) при помощи формулы (rho(alpha,beta)=|beta — alpha|), получаем метрическое пространство, которое обозначается через (R).

Рассмотрим множество пар вещественных чисел (x = (x_,x_)). Если (x = (x_,x_)), а (y = (y_,y_)), то полагая
$$
rho(x,y) = ((x_ — y_)^ + (x_ — y_)^)^nonumber
$$
получаем метрическое пространство, которое обозначается через (R^). Для проверки аксиом 1)-3) воспользуемся тем, что между множеством точек евклидовой плоскости и множеством пар вещественных чисел можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором евклидово расстояние между точками плоскости совпадает с введенным выше расстоянием между соответствующими этим точкам парами вещественных чисел (декартовыми координатами точек). При такой геометрической интерпретации пространства (R^) доказательство неравенства треугольника следует из того, что длина любой стороны треугольника не превышает суммы длин двух других его сторон.

На одном и том же множестве можно различными способами определять расстояние между элементами и получать тем самым различные метрические пространства. На множестве пар вещественных чисел можно расстояние между точками определить также и следующим образом:
$$
tilde(x,y) = max (|x_ — y_|,|x_ — y_|).label
$$

Аксиомы метрики 1) и 2), очевидно, выполняются. Проверим неравенство треугольника.

(circ) Из eqref следует, что
$$
|x_-y_| leq tilderho(x,y),qquad |x_-y_| leq tilde(x,y),nonumber
$$
а поэтому
$$
|x_-y_|leq |x_-z_|+|z_-y_|leq tilde(x,z)+tilde(z,y),qquad i=1,2.nonumber
$$
Следовательно,
$$
tilde(x,y) = max(|x_ — y_|, |x_ — y_|) leq tilde(x,z) + tilde(z,y).quadbulletnonumber
$$

Если рассмотреть множество всевозможных упорядоченных троек вещественных чисел (x = (x_, x_, x_)) и для (x = (x_, x_, x_)) и (y = (y_, y_, y_)) определить расстояние (rho(x,y)) при помощи формулы
$$
rho(x,y) = ((x_ — y_)^ + (x_ — y_)^ + (x_ — y_)^)^,nonumber
$$
то получим метрическое пространство (R^).

Если в евклидовом пространстве выбрать декартову прямоугольную систему координат, то между этим пространством и пространством (R^) устанавливается взаимно однозначное соответствие, при котором расстояние между любыми двумя точками евклидового пространства совпадает с расстоянием между соответствующими им точками пространства (R^). Проверка аксиом метрики проводится так же, как и в (R^).

Видео:Линейная алгебра. Алексей Савватеев и Александр Тонис. Лекция 13.2. Метрические пространстваСкачать

Метрическое пространство R n .

Точками пространства (R^) являются упорядоченные совокупности из (n) вещественных чисел
$$
x = (x_, ldots, x_),quad y=(y_, ldots, y_),quad z = (z_, ldots, z_).nonumber
$$
Расстояние между точками (x) и (y) определяется формулой
$$
rho(x,y) = left(sum_^(x_ — y_)^right)^.label
$$

Свойства 1) и 2) расстояния, очевидно, выполняются. Сложнее проверить, что справедливо неравенство треугольника.

Докажем сначала неравенство Коши
$$
left(sum_^a_b_right)^ leq sum_^a_i^sum_^b_i^,nonumber
$$
справедливое для любых вещественных чисел (a_, b_,dots, a_, b_).

(circ) Рассмотрим квадратный трехчлен
$$
P(xi) = sum_^(a_ + xi b_)^ = A + 2Bxi + C xi^,label
$$

Так как квадратный трехчлен (P(xi)) принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен, а именно, (B^ — AC leq 0). Подставляя в неравенство значения коэффициентов (A), (B) и (C), получаем неравенство Коши. (bullet)

Полагая в неравенстве eqref (a_ = x_ — z_, b_ = z_ — y_), получаем неравенство
$$
left(sum_ <substack>^<substack>(x_ — y_)^right)^ leq left(sum_ <substack>^<substack>(x_ — z_)^right)^ + left(sum_ <substack>^<substack>(z_ — y_)^right)^,nonumber
$$
то есть неравенство треугольника для расстояния (rho(x,y)), определяемого формулой eqref.

На множестве всех упорядоченных совокупностей из (n) вещественных чисел расстояние между элементами можно определить и другими способами. Например, можно положить
$$
tilde(x,y) = max_<substack<i=overline>>|x_ — y_|,qquad hat(x,y) = sum_ <substack>^<substack>|x_ — y_|.nonumber
$$
Неравенство треугольника в этих случаях проверяется так же, как в случае (n = 2). Расстояние, определяемое формулой eqref, будем называть евклидовым.

В этой главе, посвященной функциям многих переменных, используется только метрическое пространство (R^). Но те свойства пространства (R^), при доказательстве которых существенны лишь свойства расстояния, будут справедливы и для произвольного метрического пространства. Поэтому в некоторых случаях доказательства будут проводиться для произвольного метрического пространства.

Видео:Метрические пространства | абстрактное определение метрического пространстваСкачать

Сходимость последовательности точек в метрическом пространстве.

Пусть (<x^>) — последовательность точек метрического пространства (X). Говорят, что последовательность точек (<x^>) сходится к точке (a) (имеет предел (a)) и пишут (displaystylelim_x^ = a), если
(displaystylelim_<substack>rho(x^, a) = 0). Последовательность точек (<x^>) называется ограниченной, если (exists C in R) и (exists a in X) такие, что для любого (k in mathbb) выполнено неравенство (rho(x^,a) leq C).

Докажем несколько простых свойств сходящихся последовательностей.

Если последовательность (<x^>) имеет предел, то она ограничена.

(circ) Пусть (displaystylelim_<substack>x^ = a), тогда (displaystylelim_<substack>rho(x^, a) = 0). Поэтому числовая последовательность (<rho(x^, a)>) ограничена, то есть (exists C in R) такое, что для любого (k in mathbb) выполнено неравенство (rho(x^, a) leq C). (bullet)

Последовательность (<x^>) не может сходиться к двум различным точкам.

(circ) Пусть (displaystylelim_<substack>x^ = a) и (displaystylelim_<substack>x^ = b). В силу неравенства треугольника для любого (k in mathbb) выполнено неравенство
$$
0 leq rho(a, b) leq rho(a, x^) + rho(x^, b).nonumber
$$
Так как числовые последовательности (rho(a, x^)) и (rho(x^, b)) бесконечно малые, то (rho(a, b) = 0). Поэтому (a = b). (bullet)

Для того чтобы последовательность точек (<x^>) метрического пространства (R^), где (x^ = (x_^, ldots, x_^)), сходилась к пределу (a = (a_, ldots, a_)), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
$$
lim_<substack>x_^ = a_,quad i = overline.nonumber
$$

Наоборот, если при любом (i = overline) выполнено условие (displaystylelim_<substack>|x_^ — a_| = 0), то
$$
rho(x^, a) = left(sum_ <substack>^<substack>(x_^ — a_)^right)^ rightarrow 0,quad при k rightarrow infty.quadbulletnonumber
$$

Последовательность точек (<x^>) метрического пространства (X) называется фундаментальной, если (forall varepsilon > 0 exists N in mathbb) такое, что (forall k geq N) и (forall m geq N) выполнено неравенство (rho(x^, x^) Лемма 4.

Если последовательность точек (<x^>) метрического пространства (X) сходится, то она фундаментальна.

(circ) Пусть (displaystylelim_x^ = a). Тогда (forall varepsilon > 0 exists N in mathbb) такое, что (forall k geq N) и (forall m geq N) выполнены неравенства (rho(x^, a) Теорема 1.

Пространство (R^) полное.

(circ) Пусть (<x^>) — фундаментальная последовательность точек в (R^). Если
$$
x^ = (x_^, ldots, x_^),nonumber
$$
то числовые последовательности (<x_^>) фундаментальны при (i = overline). В самом деле, (forall varepsilon > 0) (exists N) такое, что для любых (k, m geq N) выполнено неравенство (rho(x^, x^)

Видео:7 класс, 27 урок, Об аксиомах геометрииСкачать

Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве.

Шар радиуса (r) с центром в точке (a) определяется как множество (S_(a) = <x: x in X, rho(x, a) Пример 1.

Шар в метрическом пространстве — открытое множество.

(triangle) Действительно, пусть
$$
S_(a) = <x: rho(x, a) Рис. 23.1

Открытые множества в метрическом пространстве обладают следующими свойствами:

все пространство (X) и пустое множество (varnothing) — открытые множества;
объединение любого множества открытых множеств — открытое множество;
пересечение конечного числа открытых множеств — открытое множество.

(circ) Свойство 1) очевидно. Докажем свойство 2). Пусть (G = displaystylebigcup_ <substack>G_), где (G_) — открытые множества. Пусть точка (a in G). Тогда существует (overline in Lambda) такое, что (a in G_<overline>). Но множество (G_<overline>) открытое. Поэтому существует шар (S_(a) subset G_<overline>). Тем более, (S_(a) subset G). Итак, (a) — внутренняя точка множества (G). В силу произвольности точки (a) множество (G) открытое.

Докажем 3). Пусть (G = displaystylebigcap_ <substack>^G_), где (G_) — открытые множества. Возьмем любую точку (a in G). Тогда (a in G_) при (i = overline). Так как множества (G_) открытые, то существуют шары (S_<varepsilon_>(a) subset G_). Пусть (varepsilon = displaystylemin_<substack<i-overline>>varepsilon_). Тогда (S_(a) subset G_), (i = overline). Поэтому
$$
S_(a) subset bigcap_ <substack>^G_ = G,nonumber
$$
и, следовательно, (G) есть открытое множество. (bullet)

Видео:[Функциональный анализ] 1 Метрические пространства (семинар)Скачать

Предельные точки. Замкнутые множества.

Пусть (X) — метрическое пространство. Окрестностью точки (x^in X) будем называть любое множество (O(x^)), для которого точка (x^) является внутренней. Например, шар (S_(x^)) является окрестностью (шаровой) точки (x^).

Точка (x^) называется предельной точкой множества (M subset X), если в любой окрестности точки (x^) есть точки множества (M), отличные от точки (x^). Предельная точка множества (M) может принадлежать множеству (M), а может и не принадлежать. Например, все точки интервала ((a, b)) будут его предельными точками. Концы интервала (a) и (b) — тоже его предельные точки, но концы не принадлежат интервалу.

Точка множества (M), не являющаяся предельной точкой множества (M), называется изолированной точкой множества (M). Если (x^) есть изолированная точка множества (M), то существует такая окрестность (O(x^)), в которой нет точек множества (M), отличных от точки (x^). Каждая точка множества (M) является или предельной точкой множества (M), или изолированной точкой множества (M).

Множество (M subset X) называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Например, отрезок [(a, b)] замкнут в (R), а интервал ((a, b)) не является замкнутым множеством в (R).

Множество, которое получается, если присоединить к множеству (M) все его предельные точки, называется замыканием (M) и обозначается (overline).

Для того чтобы множество (F) в метрическом пространстве (X) было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение (X setminus F) было открытым.

(circ) Необходимость. Пусть множество (F subset X) содержит все свои предельные точки. Докажем, что его дополнение (G = X setminus F) есть открытое множество. Если это не так, то существует точка (a in G), не являющаяся внутренней точкой множества (G). Тогда в любой окрестности (O(a)) точки (a) есть точки, не принадлежащие (G), то есть принадлежащие множеству (F). Поэтому (a) есть предельная точка множества (F). Так как (F) замкнуто, то (a in F). С другой стороны, (a in G = X setminus F) и, следовательно, (a notin F). Полученное противоречие доказывает, что все точки (G = X setminus F) внутренние, то есть (G) — открытое множество.

Достаточность. Пусть теперь (X setminus F = G) — открытое множество. Покажем, что (F) замкнуто. Пусть (a) — предельная точка (F). Предположим, что (a notin F). Тогда (a in G), а так как (G) — открытое множество, то найдется окрестность (O(a) subset G). Но тогда (O(a) bigcap F = varnothing), следовательно, (a) не может быть предельной точкой множества (F). Поэтому множество (F) содержит все свои предельные точки, то есть (F) замкнуто. (bullet)

Замкнутые множества обладают следующими свойствами:

все пространство (X) и пустое множество (varnothing) замкнуты;
пересечение любого множества замкнутых множеств замкнуто;
объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

(circ) Свойство 1) очевидно, так как (X) и (varnothing) являются друг для друга дополнениями и открыты.

Докажем 2). Пусть (F = displaystylebigcap_ <substack>F_), где (F_) — замкнутые множества.

В силу закона двойственности (легко проверяемого)
$$
X setminus F = bigcup_ <substack>(X setminus F_).nonumber
$$
Однако в силу теоремы 3 множества (X setminus F_) открыты как дополнения замкнутых множеств. Их объединение (X setminus F) есть открытое множество. В силу той же теоремы 3 множество (F) замкнуто. Столь же просто доказывается и свойство 3). (bullet)

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Компакт в метрическом пространстве.

Множество (M) в метрическом пространстве (X) называется компактом в (X), если из любой последовательности точек (x_ in M) можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке, принадлежащей множеству (M). Например, отрезок ([a, b]) есть компакт в (R), а промежуток ([a, b)) не является компактом в (R).

На пространство (R^) обобщается теорема Больцано-Вейерштрасса.

Из любой ограниченной последовательности точек пространства (R^) можно выделить сходящуюся подпоследовательность точек.

(circ) Ограничимся случаем пространства (R^). В общем случае доказательство аналогично. Пусть (x^ = (x_^, x_^)) — произвольная ограниченная последовательность точек пространства (R^). Числовая последовательность (<x_^>) ограничена. В силу теоремы Больцано Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (<x_^<(k_)>>). Тогда у последовательности точек (x^<(k_)>) последовательность первых координат сходится, а последовательность вторых координат ограничена. Применим еще раз теорему Больцано-Вейерштрасса и выделим из ограниченной числовой последовательности (<x_^<(k_)>>) сходящуюся подпоследовательность (<x_^<(k_<m_>)>>). У последовательности точек (<x^<(k_<m_>)>>) сходится и последовательность первых координат, и последовательность вторых координат. В силу леммы 3 подпоследовательность точек (<x^<(k_<m_>)>>) сходится в (R^). (bullet)

Для того чтобы множество (M subset R^) было компактом, необходимо и достаточно, чтобы множество (M) было ограниченным и замкнутым.

(circ) Докажем достаточность. Пусть множество (M) ограничено и замкнуто в пространстве (R^). Возьмем произвольную последовательность точек (<x^> in M ). Так как эта последовательность ограничена, то из нее можно выделить подпоследовательность (<x^<(k_)>>), сходящуюся к точке (a). В силу замкнутости множества (M) точка (a in M). (bullet)

Справедлива следующая лемма, доказательство которой не приводится.

Для того чтобы множество (M) в метрическом пространстве (X) было компактом, необходимо и достаточно, чтобы из любого его открытого покрытия можно было выделить конечное подпокрытие.

Поясним понятие покрытия, участвующего в формулировке леммы Гейне-Бореля. Система множеств (<<G_, alpha in Lambda>>) называется покрытием множества (G), если (G subset displaystylebigcup_<substack>G_). Покрытие называется конечным, если множество (Lambda) конечно, и открытым, если все множества (G_) открыты. Подмножество покрытия называется подпокрытием, если это подмножество само образует покрытие.

Видео:Функциональный анализ 5. Аксиома счётности в топологическом пространстве. База и предбазаСкачать

Граница множества.

Точка (a) метрического пространства (X) называется граничной точкой множества (M subset X), если в любой окрестности точки (a) есть как точки, принадлежащие множеству (M), так и точки, не принадлежащие множеству (M).

Граничная точка (a) множества М может не принадлежать множеству (M).

Совокупность всех граничных точек множества (M) называется границей множества (М) и обозначается (partial M). Например,
$$
partial (a, b) = , partial [a, b] = , a, b in R;nonumber
$$
$$
partial<x: rho(x, a)

Видео:Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике Скачать

Прямые, лучи и отрезки в R n .

До сих пор рассматривались только такие объекты в (R^), при исследовании которых используются лишь свойства расстояния. Такая метрическая геометрия не очень содержательна. В ней есть точки, шары, но нет прямых, векторов, плоскостей и так далее.

В этой главе ограничимся тем, что введем в (R^) такие не связанные с метрикой объекты, как прямые, лучи и отрезки.

Прямой в (R^), проходящей через точки (a = (a_, ldots. a_)) и (b = (b_, ldots. b_)), будем называть следующее множество точек:
$$
<x: x in R^, x_ = a_t + b_(1 — t), t in R, i = overline>.nonumber
$$
Лучом с вершиной в точке (a) в направлении (l = (l_, ldots. l_)), где (l_^ + ldots + l_^ = 1), назовем множество
$$
<x: x in R^, x_ = a_ + tl_, 0 leq t leq + infty, i = overline>.nonumber
$$
Отрезком, соединяющим точки (a) и (b), назовем множество
$$
<x: x in R^, x_ = a_t + b_(1 — t), 0 leq t leq 1, i = overline>.nonumber
$$
Множество в (R^) будем называть выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит отрезок, который эти точки соединяет.

Кривая в (R^) была определена нами ранее в другой статье. Это определение без существенных изменений переносится на (R^) . Кривая в (R^) задается параметрическими уравнениями
$$
x_ = varphi_(t), alpha leq t leq beta, i = overline,nonumber
$$
где (varphi_(t)) — непрерывные функции на отрезке ([alpha, beta]).

Множество (M subset R^) называется связным, если любые две его точки можно соединить кривой (Gamma), лежащей в множестве (M). Открытое и связное множество в (R^) называют областью. Замыкание области называют замкнутой областью.

Кривая в (R^), являющаяся объединением конечного числа отрезков, называется ломаной в (R^).

Видео:3. Метрические пространстваСкачать

Аксиома треугольника метрическое пространство

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Дифференциальная геометрия и топология
Bodrenko.comBodrenko.org


§ 1.3. Метрика на множестве	Назад // Вперед

Пусть М — произвольное множество. Метрикой на множестве M называется такая вещественная функция ρ, определенная на множестве всевозможных пар элементов множества М:

ρ: M × M → R 1 , (x,y) ρ → (x,y),

что выполнены четыре условия:

(1) функция ρ принимает только неотрицательные значения: ρ(x,y) 0 для любых х,y из М,

(2) ρ(x,x) = 0 для любого элемента х из М, и если ρ(х,у) = 0, то обязательно х = у,

(3) ρ(x,y) = (y,x) для любых х,у из М’

(4) ρ(x,z) ρ(х,у) + ρ(y,z) для любых х, у, z из М.

Множество М с фиксированной метрикой ρ называется метрическим пространством и обозначается (М, ρ) или просто М, если ясно, о какой метрике идет речь. элементы множества М называются точками пространства (М, ρ). Значение метрческой функции ρ на паре элементов х, у называется расстоянием между точками х, у. Условия (1) — (4) называются аксиомами метрики. Они выражают основные свойства расстояния:

(1) Неотрицательность: расстояние между двумя точками всегда неотрицательно.

(2) Аксиома тождества: расстояние между двумя точками равно нулю тогда и только, когда точки совпадают.

(3) Симметричность: расстояние от точки х до точки у равно расстоянию от точки у до точки х.

неравенством треугольника

Рассмотрим несколько простейших примеров метрических пространств.

Возьмем в качестве множества М множество всех вещественных чисе. Определим метрику ρ по формуле ρ (x,y) = |x-y| для любы x,y M. Легко убедиться в том, что функция ρ удовлетворяет свойствам (1)-( 4). Это стандартная метрика на прямой. Полученное таким образом метрическое пространство называется числовой прямой и обозначается R 1 .
Пусть M — произвольное множество. Определим метрику ρ на M по правилу: ρ(x,y) = 0 при x = y, ρ(x,y) = 1 при x y. Полученная метрика называется дискретной метрикой на М.
Пусть М — совокупность всех вещественных функций, определенных и непрерывных на отрезке [а, b] числовой прямой R 1 . Введем в М метрику ρ, полагая для любых функции f(t) и g(t) из М, что . Полученное таким образом метрическое пространство (М, ρ) называется пространством непрерывных функций и обозначается С [а,b].

Неограниченное количество дальнейших примеров дает следующий прием. Пусть (М, ρ) — метрическое пространство и А — любое подмножество М. Тогда А с той же функцией ρ(х,у), которую мы теперь считаем определенной для х и у из А, тоже является метрическим пространством (А, ); оно называется подпространством пространства М.

Пусть М — метрическое пространство, а — его точка, r — положительное число. Множество точек пространства М, удаленных от точки а на расстояние, не большее г, называется замкнутым шаром пространства М с центром в точке а и радиусом r и обозначается символом D_r(a). Множество точек, удаленных от точки а на расстояние, меньшее r, называется открытым шаром и обозначается B_r(a). Множество точек, расположенных на расстоянии r от точки а, называется сферой и обозначается S_r(a)). Таким образом, .

Открытый шар радиуса ε > 0 с центром в данной точке часто называется ε-окрестностью этой точки.

В метрическом пространстве (М, ρ) естественно вводятся понятия, обобщающие начальные понятия математического анализа. Отображение , множества натуральных чисел N в метрическое пространство М называется последовательностью точек этого пространства и обозначается <x_n>. Говорят, что последовательность <x_n> сходится к точке а (имеет предел а), если для всякого ε > 0 найдется натуральное число n₀=n₀(ε) такое, что ρ(а,x_n) .

&nbspПустое множество тоже считается принадлежащим семейству Ω(М).

Теорема 1.2 Для совокупности Ω(М) выполнены аксиомы топологического пространства.

Доказательство. Аксиома (а) очевидна. Все пространство М принадлежит совокупности Ω(М), так как с каждой своей точкой содержит все ее шаровые окрестности. Пустое множество тоже принадлежит совокупности Ω(М). Проверим аксиому (б). Пусть — произвольное семейство множеств из совокупности Ω(М). Чтобы доказать, что их объединение тоже принадлежит Ω(М), найдем для произвольной точки некоторую ее шаровую окрестность V, содержащуюся в a U_a’ . Так как точка для некоторого α’из I, то найдется шаровая окрестность V этой точки, принадлежащая множеству U_a’. Тем более, V содержится во множестве и, значит, является искомой. Для проверки аксиомы (в) рассмотрим произвольное конечное семейство множеств из Ω(М) и докажем, что пересечение , тоже принадлежит Ω(М). Фиксируем произвольную точку . Пусть множество U_i содержит ε_i-окрестность точки а. Обозначим . Тогда ε-окрестность точки а содержится в каждом множестве U_i и, следовательно, в их пересечении . Теорема доказана.

Мы проверили, что совокупность Ω(M) задает топологию на множестве М, которая называется метрической топологией. О метрической топологии часто говорят как о топологии, которую порождает метрика.