- Метрическое пространство.
- Метрическое пространство R n .
- Сходимость последовательности точек в метрическом пространстве.
- Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве.
- Предельные точки. Замкнутые множества.
- Компакт в метрическом пространстве.
- Граница множества.
- Прямые, лучи и отрезки в R n .
- Аксиома треугольника метрическое пространство
- 📸 Видео
Видео:Аксиомы метрикиСкачать
Метрическое пространство.
Будем множество (X) называть метрическим пространством, если каждой паре элементов (x) и (y) этого множества поставлено в соответствие неотрицательное число (p(x,y)), называемое расстоянием между элементами (x) и (y), такое, что для любых элементов (x, y, z) множества (X) выполнены следующие условия:
- (rho(x,y) = 0 Leftrightarrow x = y)
- (rho(x,y) = rho(y,x));
- (rho(x,y) leq rho(x,z) + rho(z,y)) (неравенство треугольника).
Элементы метрического пространства будем называть точками, функцию (rho(x,y)), определенную на множестве пар точек метрического пространства (X), (rho) — метрикой, а условия 1)-3) — аксиомами метрики.
Например, определяя расстояние между вещественными числами (alpha) и (beta) при помощи формулы (rho(alpha,beta)=|beta — alpha|), получаем метрическое пространство, которое обозначается через (R).
Рассмотрим множество пар вещественных чисел (x = (x_,x_)). Если (x = (x_,x_)), а (y = (y_,y_)), то полагая
$$
rho(x,y) = ((x_ — y_)^ + (x_ — y_)^)^nonumber
$$
получаем метрическое пространство, которое обозначается через (R^). Для проверки аксиом 1)-3) воспользуемся тем, что между множеством точек евклидовой плоскости и множеством пар вещественных чисел можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором евклидово расстояние между точками плоскости совпадает с введенным выше расстоянием между соответствующими этим точкам парами вещественных чисел (декартовыми координатами точек). При такой геометрической интерпретации пространства (R^) доказательство неравенства треугольника следует из того, что длина любой стороны треугольника не превышает суммы длин двух других его сторон.
На одном и том же множестве можно различными способами определять расстояние между элементами и получать тем самым различные метрические пространства. На множестве пар вещественных чисел можно расстояние между точками определить также и следующим образом:
$$
tilde(x,y) = max (|x_ — y_|,|x_ — y_|).label
$$
Аксиомы метрики 1) и 2), очевидно, выполняются. Проверим неравенство треугольника.
(circ) Из eqref следует, что
$$
|x_-y_| leq tilderho(x,y),qquad |x_-y_| leq tilde(x,y),nonumber
$$
а поэтому
$$
|x_-y_|leq |x_-z_|+|z_-y_|leq tilde(x,z)+tilde(z,y),qquad i=1,2.nonumber
$$
Следовательно,
$$
tilde(x,y) = max(|x_ — y_|, |x_ — y_|) leq tilde(x,z) + tilde(z,y).quadbulletnonumber
$$
Если рассмотреть множество всевозможных упорядоченных троек вещественных чисел (x = (x_, x_, x_)) и для (x = (x_, x_, x_)) и (y = (y_, y_, y_)) определить расстояние (rho(x,y)) при помощи формулы
$$
rho(x,y) = ((x_ — y_)^ + (x_ — y_)^ + (x_ — y_)^)^,nonumber
$$
то получим метрическое пространство (R^).
Если в евклидовом пространстве выбрать декартову прямоугольную систему координат, то между этим пространством и пространством (R^) устанавливается взаимно однозначное соответствие, при котором расстояние между любыми двумя точками евклидового пространства совпадает с расстоянием между соответствующими им точками пространства (R^). Проверка аксиом метрики проводится так же, как и в (R^).
Видео:Линейная алгебра. Алексей Савватеев и Александр Тонис. Лекция 13.2. Метрические пространстваСкачать
Метрическое пространство R n .
Точками пространства (R^) являются упорядоченные совокупности из (n) вещественных чисел
$$
x = (x_, ldots, x_),quad y=(y_, ldots, y_),quad z = (z_, ldots, z_).nonumber
$$
Расстояние между точками (x) и (y) определяется формулой
$$
rho(x,y) = left(sum_^(x_ — y_)^right)^.label
$$
Свойства 1) и 2) расстояния, очевидно, выполняются. Сложнее проверить, что справедливо неравенство треугольника.
Докажем сначала неравенство Коши
$$
left(sum_^a_b_right)^ leq sum_^a_i^sum_^b_i^,nonumber
$$
справедливое для любых вещественных чисел (a_, b_,dots, a_, b_).
(circ) Рассмотрим квадратный трехчлен
$$
P(xi) = sum_^(a_ + xi b_)^ = A + 2Bxi + C xi^,label
$$
Так как квадратный трехчлен (P(xi)) принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен, а именно, (B^ — AC leq 0). Подставляя в неравенство значения коэффициентов (A), (B) и (C), получаем неравенство Коши. (bullet)
Полагая в неравенстве eqref (a_ = x_ — z_, b_ = z_ — y_), получаем неравенство
$$
left(sum_ <substack>^<substack>(x_ — y_)^right)^ leq left(sum_ <substack>^<substack>(x_ — z_)^right)^ + left(sum_ <substack>^<substack>(z_ — y_)^right)^,nonumber
$$
то есть неравенство треугольника для расстояния (rho(x,y)), определяемого формулой eqref.
На множестве всех упорядоченных совокупностей из (n) вещественных чисел расстояние между элементами можно определить и другими способами. Например, можно положить
$$
tilde(x,y) = max_<substack<i=overline>>|x_ — y_|,qquad hat(x,y) = sum_ <substack>^<substack>|x_ — y_|.nonumber
$$
Неравенство треугольника в этих случаях проверяется так же, как в случае (n = 2). Расстояние, определяемое формулой eqref, будем называть евклидовым.
В этой главе, посвященной функциям многих переменных, используется только метрическое пространство (R^). Но те свойства пространства (R^), при доказательстве которых существенны лишь свойства расстояния, будут справедливы и для произвольного метрического пространства. Поэтому в некоторых случаях доказательства будут проводиться для произвольного метрического пространства.
Видео:Метрические пространства | вводим понятие метрикиСкачать
Сходимость последовательности точек в метрическом пространстве.
Пусть (<x^>) — последовательность точек метрического пространства (X). Говорят, что последовательность точек (<x^>) сходится к точке (a) (имеет предел (a)) и пишут (displaystylelim_x^ = a), если
(displaystylelim_<substack>rho(x^, a) = 0). Последовательность точек (<x^>) называется ограниченной, если (exists C in R) и (exists a in X) такие, что для любого (k in mathbb) выполнено неравенство (rho(x^,a) leq C).
Докажем несколько простых свойств сходящихся последовательностей.
Если последовательность (<x^>) имеет предел, то она ограничена.
(circ) Пусть (displaystylelim_<substack>x^ = a), тогда (displaystylelim_<substack>rho(x^, a) = 0). Поэтому числовая последовательность (<rho(x^, a)>) ограничена, то есть (exists C in R) такое, что для любого (k in mathbb) выполнено неравенство (rho(x^, a) leq C). (bullet)
Последовательность (<x^>) не может сходиться к двум различным точкам.
(circ) Пусть (displaystylelim_<substack>x^ = a) и (displaystylelim_<substack>x^ = b). В силу неравенства треугольника для любого (k in mathbb) выполнено неравенство
$$
0 leq rho(a, b) leq rho(a, x^) + rho(x^, b).nonumber
$$
Так как числовые последовательности (rho(a, x^)) и (rho(x^, b)) бесконечно малые, то (rho(a, b) = 0). Поэтому (a = b). (bullet)
Для того чтобы последовательность точек (<x^>) метрического пространства (R^), где (x^ = (x_^, ldots, x_^)), сходилась к пределу (a = (a_, ldots, a_)), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
$$
lim_<substack>x_^ = a_,quad i = overline.nonumber
$$
Наоборот, если при любом (i = overline) выполнено условие (displaystylelim_<substack>|x_^ — a_| = 0), то
$$
rho(x^, a) = left(sum_ <substack>^<substack>(x_^ — a_)^right)^ rightarrow 0,quad при k rightarrow infty.quadbulletnonumber
$$
Последовательность точек (<x^>) метрического пространства (X) называется фундаментальной, если (forall varepsilon > 0 exists N in mathbb) такое, что (forall k geq N) и (forall m geq N) выполнено неравенство (rho(x^, x^) Лемма 4.
Если последовательность точек (<x^>) метрического пространства (X) сходится, то она фундаментальна.
(circ) Пусть (displaystylelim_x^ = a). Тогда (forall varepsilon > 0 exists N in mathbb) такое, что (forall k geq N) и (forall m geq N) выполнены неравенства (rho(x^, a) Теорема 1.
Пространство (R^) полное.
(circ) Пусть (<x^>) — фундаментальная последовательность точек в (R^). Если
$$
x^ = (x_^, ldots, x_^),nonumber
$$
то числовые последовательности (<x_^>) фундаментальны при (i = overline). В самом деле, (forall varepsilon > 0) (exists N) такое, что для любых (k, m geq N) выполнено неравенство (rho(x^, x^)
Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве.
Шар радиуса (r) с центром в точке (a) определяется как множество (S_(a) = <x: x in X, rho(x, a) Пример 1.
Шар в метрическом пространстве — открытое множество.
(triangle) Действительно, пусть
$$
S_(a) = <x: rho(x, a) Рис. 23.1
Открытые множества в метрическом пространстве обладают следующими свойствами:
- все пространство (X) и пустое множество (varnothing) — открытые множества;
- объединение любого множества открытых множеств — открытое множество;
- пересечение конечного числа открытых множеств — открытое множество.
(circ) Свойство 1) очевидно. Докажем свойство 2). Пусть (G = displaystylebigcup_ <substack>G_), где (G_) — открытые множества. Пусть точка (a in G). Тогда существует (overline in Lambda) такое, что (a in G_<overline>). Но множество (G_<overline>) открытое. Поэтому существует шар (S_(a) subset G_<overline>). Тем более, (S_(a) subset G). Итак, (a) — внутренняя точка множества (G). В силу произвольности точки (a) множество (G) открытое.
Докажем 3). Пусть (G = displaystylebigcap_ <substack>^G_), где (G_) — открытые множества. Возьмем любую точку (a in G). Тогда (a in G_) при (i = overline). Так как множества (G_) открытые, то существуют шары (S_<varepsilon_>(a) subset G_). Пусть (varepsilon = displaystylemin_<substack<i-overline>>varepsilon_). Тогда (S_(a) subset G_), (i = overline). Поэтому
$$
S_(a) subset bigcap_ <substack>^G_ = G,nonumber
$$
и, следовательно, (G) есть открытое множество. (bullet)
Видео:Функциональный анализ 5. Аксиома счётности в топологическом пространстве. База и предбазаСкачать
Предельные точки. Замкнутые множества.
Пусть (X) — метрическое пространство. Окрестностью точки (x^in X) будем называть любое множество (O(x^)), для которого точка (x^) является внутренней. Например, шар (S_(x^)) является окрестностью (шаровой) точки (x^).
Точка (x^) называется предельной точкой множества (M subset X), если в любой окрестности точки (x^) есть точки множества (M), отличные от точки (x^). Предельная точка множества (M) может принадлежать множеству (M), а может и не принадлежать. Например, все точки интервала ((a, b)) будут его предельными точками. Концы интервала (a) и (b) — тоже его предельные точки, но концы не принадлежат интервалу.
Точка множества (M), не являющаяся предельной точкой множества (M), называется изолированной точкой множества (M). Если (x^) есть изолированная точка множества (M), то существует такая окрестность (O(x^)), в которой нет точек множества (M), отличных от точки (x^). Каждая точка множества (M) является или предельной точкой множества (M), или изолированной точкой множества (M).
Множество (M subset X) называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Например, отрезок [(a, b)] замкнут в (R), а интервал ((a, b)) не является замкнутым множеством в (R).
Множество, которое получается, если присоединить к множеству (M) все его предельные точки, называется замыканием (M) и обозначается (overline).
Для того чтобы множество (F) в метрическом пространстве (X) было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение (X setminus F) было открытым.
(circ) Необходимость. Пусть множество (F subset X) содержит все свои предельные точки. Докажем, что его дополнение (G = X setminus F) есть открытое множество. Если это не так, то существует точка (a in G), не являющаяся внутренней точкой множества (G). Тогда в любой окрестности (O(a)) точки (a) есть точки, не принадлежащие (G), то есть принадлежащие множеству (F). Поэтому (a) есть предельная точка множества (F). Так как (F) замкнуто, то (a in F). С другой стороны, (a in G = X setminus F) и, следовательно, (a notin F). Полученное противоречие доказывает, что все точки (G = X setminus F) внутренние, то есть (G) — открытое множество.
Достаточность. Пусть теперь (X setminus F = G) — открытое множество. Покажем, что (F) замкнуто. Пусть (a) — предельная точка (F). Предположим, что (a notin F). Тогда (a in G), а так как (G) — открытое множество, то найдется окрестность (O(a) subset G). Но тогда (O(a) bigcap F = varnothing), следовательно, (a) не может быть предельной точкой множества (F). Поэтому множество (F) содержит все свои предельные точки, то есть (F) замкнуто. (bullet)
Замкнутые множества обладают следующими свойствами:
- все пространство (X) и пустое множество (varnothing) замкнуты;
- пересечение любого множества замкнутых множеств замкнуто;
- объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.
(circ) Свойство 1) очевидно, так как (X) и (varnothing) являются друг для друга дополнениями и открыты.
Докажем 2). Пусть (F = displaystylebigcap_ <substack>F_), где (F_) — замкнутые множества.
В силу закона двойственности (легко проверяемого)
$$
X setminus F = bigcup_ <substack>(X setminus F_).nonumber
$$
Однако в силу теоремы 3 множества (X setminus F_) открыты как дополнения замкнутых множеств. Их объединение (X setminus F) есть открытое множество. В силу той же теоремы 3 множество (F) замкнуто. Столь же просто доказывается и свойство 3). (bullet)
Видео:7 класс, 27 урок, Об аксиомах геометрииСкачать
Компакт в метрическом пространстве.
Множество (M) в метрическом пространстве (X) называется компактом в (X), если из любой последовательности точек (x_ in M) можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке, принадлежащей множеству (M). Например, отрезок ([a, b]) есть компакт в (R), а промежуток ([a, b)) не является компактом в (R).
На пространство (R^) обобщается теорема Больцано-Вейерштрасса.
Из любой ограниченной последовательности точек пространства (R^) можно выделить сходящуюся подпоследовательность точек.
(circ) Ограничимся случаем пространства (R^). В общем случае доказательство аналогично. Пусть (x^ = (x_^, x_^)) — произвольная ограниченная последовательность точек пространства (R^). Числовая последовательность (<x_^>) ограничена. В силу теоремы Больцано Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (<x_^<(k_)>>). Тогда у последовательности точек (x^<(k_)>) последовательность первых координат сходится, а последовательность вторых координат ограничена. Применим еще раз теорему Больцано-Вейерштрасса и выделим из ограниченной числовой последовательности (<x_^<(k_)>>) сходящуюся подпоследовательность (<x_^<(k_<m_>)>>). У последовательности точек (<x^<(k_<m_>)>>) сходится и последовательность первых координат, и последовательность вторых координат. В силу леммы 3 подпоследовательность точек (<x^<(k_<m_>)>>) сходится в (R^). (bullet)
Для того чтобы множество (M subset R^) было компактом, необходимо и достаточно, чтобы множество (M) было ограниченным и замкнутым.
(circ) Докажем достаточность. Пусть множество (M) ограничено и замкнуто в пространстве (R^). Возьмем произвольную последовательность точек (<x^> in M ). Так как эта последовательность ограничена, то из нее можно выделить подпоследовательность (<x^<(k_)>>), сходящуюся к точке (a). В силу замкнутости множества (M) точка (a in M). (bullet)
Справедлива следующая лемма, доказательство которой не приводится.
Для того чтобы множество (M) в метрическом пространстве (X) было компактом, необходимо и достаточно, чтобы из любого его открытого покрытия можно было выделить конечное подпокрытие.
Поясним понятие покрытия, участвующего в формулировке леммы Гейне-Бореля. Система множеств (<<G_, alpha in Lambda>>) называется покрытием множества (G), если (G subset displaystylebigcup_<substack>G_). Покрытие называется конечным, если множество (Lambda) конечно, и открытым, если все множества (G_) открыты. Подмножество покрытия называется подпокрытием, если это подмножество само образует покрытие.
Видео:Метрические пространства | абстрактное определение метрического пространстваСкачать
Граница множества.
Точка (a) метрического пространства (X) называется граничной точкой множества (M subset X), если в любой окрестности точки (a) есть как точки, принадлежащие множеству (M), так и точки, не принадлежащие множеству (M).
Граничная точка (a) множества М может не принадлежать множеству (M).
Совокупность всех граничных точек множества (M) называется границей множества (М) и обозначается (partial M). Например,
$$
partial (a, b) = , partial [a, b] = , a, b in R;nonumber
$$
$$
partial<x: rho(x, a)
Видео:[Функциональный анализ] 1 Метрические пространства (семинар)Скачать
Прямые, лучи и отрезки в R n .
До сих пор рассматривались только такие объекты в (R^), при исследовании которых используются лишь свойства расстояния. Такая метрическая геометрия не очень содержательна. В ней есть точки, шары, но нет прямых, векторов, плоскостей и так далее.
В этой главе ограничимся тем, что введем в (R^) такие не связанные с метрикой объекты, как прямые, лучи и отрезки.
Прямой в (R^), проходящей через точки (a = (a_, ldots. a_)) и (b = (b_, ldots. b_)), будем называть следующее множество точек:
$$
<x: x in R^, x_ = a_t + b_(1 — t), t in R, i = overline>.nonumber
$$
Лучом с вершиной в точке (a) в направлении (l = (l_, ldots. l_)), где (l_^ + ldots + l_^ = 1), назовем множество
$$
<x: x in R^, x_ = a_ + tl_, 0 leq t leq + infty, i = overline>.nonumber
$$
Отрезком, соединяющим точки (a) и (b), назовем множество
$$
<x: x in R^, x_ = a_t + b_(1 — t), 0 leq t leq 1, i = overline>.nonumber
$$
Множество в (R^) будем называть выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит отрезок, который эти точки соединяет.
Кривая в (R^) была определена нами ранее в другой статье. Это определение без существенных изменений переносится на (R^) . Кривая в (R^) задается параметрическими уравнениями
$$
x_ = varphi_(t), alpha leq t leq beta, i = overline,nonumber
$$
где (varphi_(t)) — непрерывные функции на отрезке ([alpha, beta]).
Множество (M subset R^) называется связным, если любые две его точки можно соединить кривой (Gamma), лежащей в множестве (M). Открытое и связное множество в (R^) называют областью. Замыкание области называют замкнутой областью.
Кривая в (R^), являющаяся объединением конечного числа отрезков, называется ломаной в (R^).
Видео:Полные метрические пространства (семинар)Скачать
Аксиома треугольника метрическое пространство
Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии
Дифференциальная геометрия и топология
Bodrenko.comBodrenko.org
| |||