5п 4 на окружности таблица

Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом круге

В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.

Как же быть с тангенсом и котангенсом ? Об этом и поговорим сегодня.

Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?

Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).

Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).

На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: 5п 4 на окружности таблицаПочему так?

Я думаю, вы легко сообразите и сами. 🙂 Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что 5п 4 на окружности таблицаи 5п 4 на окружности таблица

5п 4 на окружности таблица

Собственно, картинка за себя сама говорит.

Если не очень все же понятно, разберем примеры:

Пример 1.

Вычислить 5п 4 на окружности таблица

Находим на круге 5п 4 на окружности таблица. Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что 5п 4 на окружности таблица

Ответ: 5п 4 на окружности таблица

Пример 2.

Вычислить 5п 4 на окружности таблица

Находим на круге 5п 4 на окружности таблица. Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.

5п 4 на окружности таблицане существует.

Ответ: не существует

Пример 3.

Вычислить 5п 4 на окружности таблица

5п 4 на окружности таблица

Находим на круге точку 5п 4 на окружности таблица(это та же точка, что и 5п 4 на окружности таблица) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем 5п 4 на окружности таблица(5п 4 на окружности таблица). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как 5п 4 на окружности таблица. Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение 5п 4 на окружности таблица.

Так значит, 5п 4 на окружности таблица

Ответ: 5п 4 на окружности таблица

Пример 4.

Вычислить 5п 4 на окружности таблица

5п 4 на окружности таблица

Поэтому от точки 5п 4 на окружности таблица(именно там будет 5п 4 на окружности таблица) откладываем против часовой стрелки 5п 4 на окружности таблица.

Выходим на ось котангенсов, получаем, что 5п 4 на окружности таблица

Ответ: 5п 4 на окружности таблица

Пример 5.

Вычислить 5п 4 на окружности таблица

Находим на круге 5п 4 на окружности таблица. Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что 5п 4 на окружности таблица

Ответ: 5п 4 на окружности таблица

5п 4 на окружности таблицаТеперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройт и тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • 5п 4 на окружности таблица

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

    10 класс, 11 урок, Числовая окружность

    А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    Видео:Проверь свои знания по математике за 11 классСкачать

    Проверь свои знания по математике за 11 класс

    Единичная числовая окружность на координатной плоскости

    п.1. Понятие тригонометрии

    Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
    Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.

    Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

    Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
    1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
    2) использование тригонометрических функций в геометрии.

    п.2. Числовая окружность

    Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
    Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

    5п 4 на окружности таблицаЧисловая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0).
    Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0.
    Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным .
    Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90&deg, –120°, –180°.5п 4 на окружности таблица

    п.3. Градусная и радианная мера угла

    Углы можно измерять в градусах или в радианах.
    Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
    Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

    В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

    5п 4 на окружности таблицаНайдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°.
    Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr.
    Длина дуги AB: (l_=frac=frac=frac.)
    Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac<l_>=frac=frac $$
    30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°
    (frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(frac)(pi)(frac)(2pi)

    п.4. Свойства точки на числовой окружности

    Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

    5п 4 на окружности таблицаКаждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t).
    При t=0, M(0)=A.
    При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу
    AM=t. Точка M — искомая.
    При t Например:
    Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac, frac, pi), а также (-frac, -frac, -frac, -frac, -pi)
    Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.
    5п 4 на окружности таблица
    Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac, frac, frac), и (-frac).
    Все четыре точки совпадают, т.к. begin Mleft(fracright)=Mleft(frac+2pi kright)\ frac-2pi=-frac\ frac+2pi=frac\ frac+4pi=frac end

    5п 4 на окружности таблица

    п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

    Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

    Числовой промежутокСоответствующая дуга числовой окружности
    Отрезок
    $$ -frac lt t lt frac $$ 5п 4 на окружности таблица
    а также, с учетом периода $$ -frac+2pi klt tltfrac+2pi k $$
    5п 4 на окружности таблица
    Интервал
    $$ -frac leq t leq frac $$ 5п 4 на окружности таблица
    а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tleqfrac+2pi k $$
    5п 4 на окружности таблица
    Полуинтервал
    $$ -frac leq t ltfrac $$ 5п 4 на окружности таблица
    а также, с учетом периода $$ -frac+2pi kleq tltfrac+2pi k $$
    5п 4 на окружности таблица

    п.6. Примеры

    Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
    Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

    5п 4 на окружности таблица

    Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^=frac.\ EC=60^=frac.\ AE=EC+CD=90^+30^=120^=frac.\ ED=EC+CD=60^+90^=150^=frac. end

    Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; frac; frac; frac).

    Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin -frac=-90^, frac=135^\ frac=210^, frac=315^ end

    5п 4 на окружности таблица

    Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac; 5pi; frac; frac).

    Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk — четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π.
    Далее – действуем, как в примере 2. begin -frac=fraccdotpi=-6pi+fracrightarrow frac=90^\ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^\ frac=fracpi=3pi-fracrightarrow pi-frac=frac\ frac=fracpi=7pi-fracrightarrow pi-frac=frac end

    5п 4 на окружности таблица

    Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

    5п 4 на окружности таблицаСравниваем каждое число с границами четвертей: begin 0, fracpi2approxfrac=1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ fracapprox frac=4,71, 2piapprox 6,28 end

    (fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
    (pilt 4lt frac Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
    (fraclt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
    (7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

    Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb)), запишите количество полученных базовых точек.

    $$ frac $$$$ -frac+2pi k $$
    5п 4 на окружности таблица
    Четыре базовых точки, через каждые 90°
    5п 4 на окружности таблица
    Две базовых точки, через каждые 180°
    $$ frac+frac $$$$ -frac $$
    5п 4 на окружности таблица
    Три базовых точки, через каждые 120°
    5п 4 на окружности таблица
    Пять базовых точек, через каждые 72°

    Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

    📸 Видео

    18+ Математика без Ху!ни. Формулы ПриведенияСкачать

    18+ Математика без Ху!ни. Формулы Приведения

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

    Вычисление значений тригонометрических функцийСкачать

    Вычисление значений тригонометрических функций

    Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

    Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессора

    Деление окружности на пять равных частей. Урок 7. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

    Деление окружности на пять равных частей. Урок 7. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

    Ларинский вариант ЕГЭ №449. Математика на 100 балловСкачать

    Ларинский вариант ЕГЭ №449. Математика на 100 баллов

    Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

    Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

    Цветовой Тест, Который Определит Ваш Ментальный ВозрастСкачать

    Цветовой Тест, Который Определит Ваш Ментальный Возраст

    Шины ОГЭ 2023. Задания 1-5 ОГЭ по математикеСкачать

    Шины ОГЭ 2023. Задания 1-5 ОГЭ по математике

    Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

    Деление окружности на 3; 6; 12 равных частей

    таблица умножения школаСкачать

    таблица умножения школа

    5 класс, 22 урок, Окружность и кругСкачать

    5 класс, 22 урок, Окружность и круг

    Деление окружности на 3, 4, 5, 6 и 7 равных частейСкачать

    Деление окружности на 3, 4, 5, 6 и 7 равных частей

    ВСЕЛЕННАЯ 14 Через тернии к звёздамСкачать

    ВСЕЛЕННАЯ  14     Через тернии к звёздам

    Математика без Ху!ни. Определитель 5х5.Скачать

    Математика без Ху!ни. Определитель 5х5.

    ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

    ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!

    Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

    Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачи
    Поделиться или сохранить к себе: