4 вида движения треугольника (4 видео) | Курс школьной геометрии

Движение

Отображение плоскости на себя — это соответствие, при котором каждой точке плоскости сопоставляется некоторая точка этой же плоскости.

Движение — это отображение плоскости на себя, при котором расстояние между точками сохраняется.

1) Если нарисовать на плотной бумаге произвольный треугольник и вырезать его, а затем с помощью полученного шаблона на листе бумаги нарисовать несколько треугольников, то получим пример движения:

2) Если при движении фигура L1 переходит в фигуру L2, M1 и N1 — точки фигуры L1, M2 и N2 — соответствующие им точки фигуры L2, то M1N1=M2N2:

Свойства движения

1) При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

В частности, при движении прямая переходят в прямую, отрезок — в отрезок (равной длины), луч — в луч.

2) Углы между лучами при движении сохраняются.

3) Два движения, выполненные последовательно, снова дают движение.

4) Преобразование, обратное движению, также является движением.

Виды движения:

осевая симметрия
центральная симментия
поворот
параллельный перенос.

Две фигуры называются равными, если движением они переводятся одна в другую. В частности, таким образом можно дать определение равных треугольников.

Содержание

2 Comments
Урок по геометрии по теме «Движение». 9-й класс
Презентация к уроку
Геометрия
Отображение плоскости на себя
Понятие движения в геометрии
Свойства движения
Параллельный перенос
Поворот
Использование движения в задачах
🌟 Видео

Видео:Виды треугольников. Построение треугольника | Математика 4 класс #38 | ИнфоурокСкачать

2 Comments

Отличная подборка рассмотрения и обоснования основных свойств геометрических фигур. Самое главное ничего лишнего. Чистая планиметрия с вкраплениями координатного метода. Здорово!

Видео:ВСЕ ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ😉 #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #shorts #геометрия #образованиеСкачать

Урок по геометрии по теме «Движение». 9-й класс

Класс: 9

Презентация к уроку

Цели урока:

ввести понятие движения;
развивать умения выполнять построения симметрии относительно точки, симметрии относительно прямой, построения параллельного переноса, поворот по и против часовой стрелки;

Задачи урока:

научить строить виды движений: осевую симметрию, центральную симметрию, параллельный перенос, поворот.

Оборудование:

оформлена доска с названием темы и целью урока;
документ-камера, экран, ПК;
презентация “Движение и виды движения.ppt”;
раздаточный материал (геометрические фигуры, разного цвета, карточки с заданиями для выполнения самостоятельной работы).

Ход урока

1. Организационный момент.

Сообщение учителя о цели урока и порядке его проведения.

2. Вступительное слово учителя.

Теме “Движения” посвящена последняя 13 глава учебника по геометрии (автор Л.С. Атанасян. Геометрия. 7-9 кл.)

В это время на экране демонстрируется схема видов движения (Рисунок1). Учитель предлагает учащимся нарисовать эту схему в тетрадях.

Сделаем краткий исторический экскурс в теорию движений. Первым, кто начал доказывать некоторые геометрические предложения, считается древнегреческий математик Фалес Милетский (625-547 г. до н.э.).: ресурс доступа: https://ru.wikipedia.org/. Именно благодаря Фалесу геометрия начала превращаться из свода практических правил в подлинную науку. До Фалеса доказательств просто не существовало. Каким же образом проводил Фалес свои доказательства? Для этой цели он использовал движения. Движение – это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры точно совместить друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны. Именно таким путём Фалес доказал ряд первых теорем геометрии. Считается, что он первым сформулировал и доказал несколько геометрических теорем, а именно:

вертикальные углы равны;
имеет место равенство треугольников по одной стороне и двум прилегающим к ней углам;
углы при основании равнобедренного треугольника равны;
диаметр делит круг на две равные части;
вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Фалес научился определять расстояние от берега до корабля, для чего использовал подобие треугольников. В основе этого способа лежит теорема, названная впоследствии теоремой Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают равные отрезки на одной его стороне, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Легенда рассказывает о том, что Фалес, будучи в Египте, поразил фараона Амасиса тем, что сумел точно установить высоту пирамиды, дождавшись момента, когда длина тени палки становится равной её высоте, и тогда измерил длину тени пирамиды.

3. Представление нового теоретического материала.

Любое отображение, при котором сохраняется расстояние между точками, называется движением. Кроме того, отображение ещё называют перемещением.

При движении отрезки переходят в отрезки, прямые — в прямые, лучи — в лучи, треугольник переходит в треугольник, сохраняется градусная мера углов, сохраняется площадь многоугольников. При изучении геометрии вы уже встречались с движением при доказательстве теорем о равенстве треугольников и фигур. Равенство фигур определяется с помощью наложений.

Учитель: фигура F равна фигуре F_{1 ,} если фигуру F можно совместить наложением с фигурой F₁ . Наложение — это отображение плоскости на себя. При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру. Параллельный перенос является движением. Поворот является движением.

Выполним параллельный перенос (Рисунок 2).

Для того чтобы построить параллельный перенос на заданный вектор, необходимо из концов отрезка провести лучи сонаправленные заданному вектору. Измерить длину вектора и отложить на сонаправленных лучах данную длину.

Учитель: Мы познакомились с видом симметрии — параллельным переносом на заданный вектор.

Учитель: Построим отрезок А₁В₁ симметричный отрезку АВ относительно прямой l. (Рисунок 3).

Для того чтобы построить отрезок А₁В₁ симметричный отрезку АВ относительно прямой l необходимо:

1) опустить перпендикуляр из точки А на прямую l ;

2) измерить отрезок АО с помощью циркуля;

3) отложить от точки О отрезок ОА₁ = АО ;

4) опустить перпендикуляр из точки В на прямую l;

5) измерить отрезок ВК с помощью циркуля;

6) отложить от точки К отрезок КВ₁ = ВК ;

Учитель: Этот вид симметрии (движения) называется — осевая симметрия относительно прямой.

Учитель: Рассмотрим построение центральной симметрии А₁В₁С₁ симметричного АВС относительно центра О с помощью рисунка, изображённого на доске (Рисунок 4).

Итак, мы познакомились ещё с одним видом симметрии — центральная симметрия относительно точки.

Учитель: Сравним полученные отображения. Что общего вы заметили в них?

Ученики: (Ответы учащихся).

Учитель: Правильно. Фигуры при преобразовании перешли в равные фигуры. Центральная, осевая симметрии и параллельный перенос являются движением. Это и есть тема нашего урока.

4. Итог урока: учитель подводит итог урока, опираясь на цели.

5. Домашнее задание.

п.п. 113,114 №№ 1159, 1162.

6. Задания к уроку.

Сейчас, для закрепления пройденного материала, посмотрим презентацию к уроку на тему “Движение и виды движения”, а затем каждый из вас выполнит самостоятельную работу (работа выполняется на отдельных листах).

Фамилия, Имя учащегося ______________________

Видео:Виды треугольниковСкачать

Геометрия

План урока:

Видео:Виды треугольников 3 классСкачать

Отображение плоскости на себя

Пусть есть некоторое правило, которое устанавливает для каждой точки плоскости какую-нибудь точку этой же плоскости. Подобное правило именуют отображением плоскости на себя.

Лучше всего пояснить это понятие на конкретных примерах. Так, уже изученная нами ранее осевая симметрия может считаться отображением плоскости на себя. Проведем на плоскости прямую m, которая сыграет роль оси симметрии. Далее отметим несколько произвольно выбранных точек А, В, С, D:

Для каждой из отмеченных точек несложно определить точку, симметричную ей относительно оси симметрии. Чтобы сделать это, надо опустить из точек перпендикуляры АА’, ВВ’, СС’на прямую m, а потом на продолжении этих перпендикуляров отложить отрезки А’A’’, B’B’’, C’C’’ так, чтобы выполнялись равенства:

Тогда точки А и А’’, В и В’’, С и С’’ будут симметричны относительно m. Можно сказать, что точки А, В и С отобразились соответственно в точки А’’, В’’, С’’:

Обратите внимание на точку D, которая непосредственно лежит на m. Для нее не получится выполнить такое же построение, как для А, В и C, однако считается, что она симметрична сама себе. Поэтому можно сказать, что точка D преобразуется в точку D’’, которая совпадает с самой D. То есть точка отобразилась сама на себя.

Таким образом, любую точку можно отобразить симметрично относительно произвольной прямой m, и такое отображение как раз является примером отображения плоскости на себя.

В качестве ещё одного примера можно привести центральную симметрию. Отметим на плоскости произвольную точку О, которая будет центром симметрии, а также некоторые точки А, В, С. Отобразим их симметрично относительно О. Для этого надо просто построить прямые АО, ВО и СО, а потом от О отложить на этих прямых отрезки А’О, В’O, C’O:

Можно сказать, что А, В и С отобразились в точки А’, В’ и C’. Если бы мы захотели отобразить с помощью центральной симметрии саму точку О, то она отобразилась бы сама в себя. Таким образом, центральная симметрия также представляет собой отображение плоскости на себя, так как с помощью описанного алгоритма можно найти отображение любой точки на плоскости.

Важно понимать, что бывают отображения плоскости, которые вовсе не являются симметриями. Например, снова возьмем точку О ещё три точки А, В, С. Снова построим прямые АО, ВО и СО, но теперь уже от самих точек А, В и С отложим отрезки, равные АО, ВО и СО, и обозначим их как АА’, ВВ’ и CС’:

В результате наших действий мы снова каждой точке А, В, С поставили в соответствие точку А’, В’, С’. То есть имеет место отображение плоскости. Такое преобразование называется гомотетией (точнее говоря, это частный случай гомотетии), и оно симметрией не является.

Все три описанных примера отображений плоскости на себя объединяет то, что они содержат описание правила (алгоритма), по которому произвольной точке А может быть поставлена в соответствие какая-то произвольная точка А’. При этом точку А’ называют отображением, или образом точки А. В свою очередь А можно назвать прообразом точки А’. Ещё раз отметим, что допускается ситуация, когда точки А и А’ совпадают. Попробуйте сами придумать ещё несколько алгоритмов, которые представляют собой отображения плоскости.

Видео:Виды треугольников 4 классСкачать

Понятие движения в геометрии

Среди всех отображений плоскости в особую группу объединяют те преобразования, при которых не изменяется расстояние между отображаемыми точками. Эти отображения именуются движениями. Также используются термины перемещение и изометрия.

Центральная и осевая симметрия– это как раз примеры движений. Докажем это для осевой симметрии. Рассмотрим две точки А и В, расположенные так, как это показано на рисунке, а также ось симметрии m. Отобразим А и В относительно mпо правилам осевой симметрии:

Здесь Н и К – это точки прямой m, на которые упали перпендикуляры, опущенные из А и В. Проведем отрезки НВ и НВ’. Теперь исследуем ∆KBH и ∆KB’H. Они оба являются прямоугольными, у них один катет общий (HK), а вторые катеты равны по свойству осевой симметрии. Из этого вытекает равенство ∆KBH и ∆KB’H, а это значит, что

Далее рассмотрим ∆АВН и ∆А’B’H. Только что мы выяснили, что у них есть одинаковые углы ∠BHA и ∠B’HA’. Прилегающие к ним стороны также одинаковы:

Надо отметить, что приведенное доказательство не является полным, так как рассматривает один случай расположения точек А и В. Возможны ещё как минимум 6 случаев расположения А и В:

В рамках полного доказательства следовало бы полностью рассмотреть каждый из этих случаев и для каждого из них доказать равенство

но мы не будем тратить на это время, можете попробовать самостоятельно сделать это.

Далее проанализируем центральную симметрию, она также представляет собой движения. Отобразим точки А и В в образы А’и В’ относительного произвольного центра симметрии О:

Сравним ∆АОВ и А’OB’. У них одинаковы∠АОВ и ∠А’ОВ’, так как они – вертикальные. По свойству центральной симметрии можно записать, что

Надо понимать, что не всякое отображение плоскости представляет собой движение. Например, рассмотренная нами гомотетия изменяет расстояния между точками, а потому она не относится к движениям.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Свойства движения

При движении, как и при любом отображении, можно отображать не только отдельные точки, но и их множества, то есть геометрические фигуры. Сформулируем важную теорему:

Действительно, пусть есть отрезок MN, все точки которого мы отобразили с помощью движения. Произвольную точку отрезка MN обозначим как Р. После отображения мы получим точки M’, N’ и Р’. Соединим М’ и N’ и получим отрезок M’N’.Докажем, что Р’ принадлежать отрезку M’N’.

Р лежит на NP, поэтому справедливо равенство:

Заметим, что это равенство как раз может выполняться только в случае, если Р’ принадлежит M’N’. Действительно, если Р’ не лежит на M’N’, то существует ∆M’N’P’, для которого, в силу неравенства треугольника, можно записать

Итак, мы показали, что всякая точка Р исходного отрезка MN обязательно будет отображаться на отрезок M’N’. Однако этого мало. Вдруг на M’N’ есть такая точка Р’, что ее прообраз не лежит на исходном отрезке MN?Для того, чтобы опровергнуть такую возможность, надо рассуждать в «обратную сторону». Для Р’, лежащей на M’N’, выполняется равенство

Такое равенство означает, что Р лежит на MN. В итоге мы смогли показать, что отрезок MN отображается именно в отрезок M’N’.

Доказанное нами свойство позволяет доказать следующий факт:

В результате отрезки АВ, АС, и ВС отобразятся в равные им отрезки А’B’, А’С’ и B’C’. Но тогда ∆АВС и ∆А’В’С’ будут равны, ведь у них одинаковы все 3 стороны, ч. т. д.

Из этого факта легко показать, что при движении остаются неизменными не только расстояния, но и углы. Пусть есть некоторый ∠А. Отметим на его сторонах точки В и C, в результате получим ∆АВС (если только ∠А не является развернутым). При движении ∆АВС отобразится в равный ему ∆А’В’С’. Из равенства треугольников вытекает и равенство углов:

Аналогичными рассуждениями можно продемонстрировать, что вообще любая фигура, изученная нами в курсе геометрии (прямая, луч, многоугольник, окружность) будет отображаться в равную ей фигуру.

Более того, если между двумя фигурами есть некоторая взаимосвязь, то она сохраняется после движения. Например, при движении две параллельные прямые отображаются в две другие параллельные прямые, и расстояние между ними не меняется. Если движению подвергают окружность и прямую, являющуюся касательной к ней, то в результате получают новую окружность и прямую, причем прямая останется касательной к окружности.

Видео:Виды треугольниковСкачать

Параллельный перенос

Мы уже изучили два вида движения – осевую и центральную симметрию. Однако есть ещё несколько видов движений. Один из них именуется параллельным переносом. Для выполнения параллельного переноса необходимо предварительно задать некоторый вектор а. При параллельном переносе точки М она отображается в точку M’ так, что вектор MM’ оказывается равным а. Переносить можно сразу множество точек.

Докажем, что параллельный перенос действительно представляет собой движение. Для этого надо всего лишь продемонстрировать, что при нем расстояние между двумя произвольными точками не меняется. Пусть в результате параллельного переноса на вектор а некоторые точки M и N отобразились в M’ и N’ соответственно:

Рассмотрим получившийся четырехугольник NMM’N’. Две его стороны, MM’ и NN’, параллельны и имеют одинаковую длину, так являются равными векторами. Это значит, что NMM’N’ – это параллелограмм (согласно одному из признаков параллелограмма). Но тогда и две другие стороны NMM’N’, то есть MN и M’N’, также одинаковы, ч. т. д.

Примечание. Возможен частный случай, когда отрезок MN параллелен вектору а. В этом частном случае построить параллелограмм не удастся, но вы можете убедиться самостоятельно, что и в этом случае расстояние между M и N не изменяется.

Параллельный перенос может быть использован при решении ряда задач, в том числе и связанных с построением.

Задание. Даны две непересекающиеся окружности с различными радиусами. Постройте общие внешние касательные к этим окружностям.

Решение. Предположим, что нам удалось построить обе внешние касательные. Обозначим точки касания как К, Р, M и N:

Теперь осуществим параллельный перенос касательных. Касательную КР перенесем на вектор КО₁, а MN – на вектор MО₁. В результате точки K и M отобразятся в О₁, а точки Р и N – в точки Р’ и N’:

Так как при движении углы сохраняются, то прямые О₁Р’ и О₂N’ останутся перпендикулярными радиусам О₂Р и О₂N. Значит, если построить окружность с радиусом О₂Р’ (а его величина равна R – r), то для нее эти прямые останутся касательными. Отсюда легко понять алгоритм построения внешних касательных. Сначала надо построить отрезок длиной R– r (на рисунке показан зеленым цветом):

Далее из О₂ проводим окружность с радиусом R– r:

Теперь из точки О₁ проводим касательные к новой окружности. Построение таких касательных – отдельная геометрическая задача, изучаемая ещё в 8 классе. В результате мы сможем найти точки касания Р’ и N’:

Далее надо найти осуществить параллельный перенос касательных. Для этого продолжаем радиусы О₂Р’ и О₂N’, пока они не пересекутся с большей окружностью в точках Р и N соответственно. Чтобы найти точки касания меньшей окружности, надо просто провести перпендикуляры к касательным:

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Поворот

Ещё одно движение, используемое в планиметрии – это поворот. Для того, чтобы его совершить, необходимо указать центр поворота и выбрать угол поворота, а также задать направление вращение. На следующем рисунке показан поворот точки М относительно О на угол 45° по часовой стрелке:

В общем случае поворот относительно точки О на некоторый угол α– это такое отображение, при котором произвольная точка М преобразуется в М’, и при этом выполняется два равенства:

Поворачивать можно не только точки, но и целые фигуры. Например, ниже продемонстрирован поворот треугольника:

Докажем, что поворот действительно является движением, то есть при его применении расстояния не искажаются. Пусть точки M и N поворачиваются на угол α относительно точки О:

Тогда по определению поворота можно записать:

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Использование движения в задачах

Мы уже рассмотрели одну задачу на построение, в которой применялся параллельный перенос прямой. Однако чаще в задачах используется поворот, а также различные виды симметрии.

Задание. Точки А и В лежат по одну сторону от прямой m. Как, используя только циркуль и линейку, отметить на m такую точку C, что сумма длин отрезков АС и ВС будет минимально возможной?

Решение. Отобразим А симметрично относительно прямой m и получим точку А’. После этого соединим А’ с В. Отрезок пересечет m в точке, которая как раз и будет искомой точкой С:

Действительно, по свойству движения отрезки АС и А’С одинаковы, поэтому сумма длин АС и ВС будет совпадать с суммой А’С и ВС, то есть будет равна длине А’В. Если бы выбрали вместо С какую-нибудь другую точку К, не лежащую на А’В, то сумма длин А’K и ВК оказалась бы больше, чем длина А’В вследствие неравенства треугольника, записанного для ∆А’KB.

Задание. Петя и Ваня играют в игру. Они по очереди кладут одинаковые круглые фишки на прямоугольный стол. До тех пор, пока это возможно сделать. Если игрок не может сделать ход, то он проигрывает. Какова оптимальная стратегия в этой игре и кто, используя ее, выиграет игру?

Решение. Заметим, что прямоугольный стол обладает центральной симметрией относительно своего центра (центр прямоугольника можно определить как точку, в которой пересекаются его диагонали). Пусть первый игрок положит первую фишку ровно в центр стола:

Далее на любой второго игрока первый игрок может положить свою фишку симметрично относительно центра стола (число в центре круга – номер хода):

Получается, что на ход второго игрока первый всегда сможет ответить. То есть первый игрок никак не может проиграть, используя эту тактику. Так как игра когда-нибудь окончится (ведь свободная площадь на столе рано или поздно закончится), и она не может завершиться вничью, то именно первый игрок и выиграет.

Задание. Для произвольного ∆АВС отмечены точки А₁, В₁ и С₁ так, что ∆А₁ВС, ∆АВ₁С и ∆АВС₁ являются равносторонними, причем никакие из этих четырех треугольников не имеют общей площади (в таких случаях говорят, что треугольники построены внешним образом). Докажите, что отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ имеют одинаковую длину.

Решение. Напомним, что в равносторонних треугольниках все углы составляют по 60°. Выберем любую из вершин ∆АВС (например, С) и повернем отрезок АА₁ на 60° против часовой стрелки. Тогда точка А₁ отобразится в В, а точка А – в точку В₁.

В итоге отрезок АА₁ отобразился в отрезок ВВ₁. Это значит, что они одинаковы. Аналогичным образом, осуществляя поворот вокруг вершины А, можно показать, что отрезок ВВ₁ переходит в отрезок СС₁, и потому они также одинаковы. Таким образом, все три отрезка имеют одну и ту же длину.

Задание. В ∆АВС проведена медиана СМ. На стороне АС внешним образом построен квадрат АСDE, а на стороне ВС – квадрат ВСKF (также внешним образом). Докажите, что СМ вдвое короче KD, и СМ перпендикулярен KD.

Решение. Повернем ∆АВС на 90° против часовой стрелки вокруг точки С вместе с медианой СМ. Тогда точка А перейдет в точку D, а М и B отобразятся в некоторые точки M’ и B’ соответственно:

Заметим, что ∠ВСК – прямой, так как это угол квадрата. ∠ВСВ’ также прямой, ведь поворот мы осуществили как раз на 90°. Тогда ∠В’СКокажется развернутым:

Это значит, что точки В’, С и К лежат на одной прямой. Отрезки ВС и СК одинаковы как стороны квадрата, а отрезок В’С имеет ту же длину, что и ВС (так как он получен поворотом ВС, а при повороте расстояния не искажаются). Тогда можно записать, что

то есть отрезки СК и В’C также одинаковы. Это означает, что С – середина В’К.

М – это середина АВ (по определению медианы), поэтому и при повороте М’ останется серединой В’D. Получается, что отрезок СМ’ соединяет середины сторон В’К и В’D в ∆В’KD, то есть отрезок СМ’ является средней линией. Отсюда сразу вытекает два факта:

1) М’C вдвое короче КD;

2) М’C параллелен KD.

Ясно, что отрезки МС и М’C одинаковы по определению движения, поэтому МС также будет в 2 раза короче KD:

Отрезки МС и М’C перпендикулярны, ведь поворот мы выполнили на 90°. Но тогда МС также будет перпендикулярен и КD, ведь KD и М’C параллельны, ч. т. д.

Сегодня мы познакомились с понятием отображения плоскости на себя и его частным случаем – движением. При движении сохраняются все расстояния между точками, все углы, формы фигур и все соотношения между геометрическими объектами. Это свойство движения позволяет находить краткие решения весьма сложных геометрических задач.