Значение треугольников в геометрии

Проектная работа по геометрии «Треугольник в жизни человека»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №199»

Проектная работа по геометрии

Содержание
  1. «Треугольник в жизни человека»
  2. Новосибирск 2020
  3. Введение
  4. Глава 1. История треугольника
  5. Глава 2. Треугольник в жизни человека
  6. Глава 3. Значение треугольников в строительстве
  7. Заключение
  8. Список литературы
  9. Сиднейский оперный театр – визитная карточка Австралии
  10. Астана – пирамида, Дворец мира и согласия
  11. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  12. Типы треугольников
  13. По величине углов
  14. По числу равных сторон
  15. Вершины углы и стороны треугольника
  16. Свойства углов и сторон треугольника
  17. Теорема синусов
  18. Теорема косинусов
  19. Теорема о проекциях
  20. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  21. Медианы треугольника
  22. Свойства медиан треугольника:
  23. Формулы медиан треугольника
  24. Биссектрисы треугольника
  25. Свойства биссектрис треугольника:
  26. Формулы биссектрис треугольника
  27. Высоты треугольника
  28. Свойства высот треугольника
  29. Формулы высот треугольника
  30. Окружность вписанная в треугольник
  31. Свойства окружности вписанной в треугольник
  32. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  33. Окружность описанная вокруг треугольника
  34. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  35. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  36. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  37. Средняя линия треугольника
  38. Свойства средней линии треугольника
  39. Периметр треугольника
  40. Формулы площади треугольника
  41. Формула Герона
  42. Равенство треугольников
  43. Признаки равенства треугольников
  44. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  45. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  46. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  47. Подобие треугольников
  48. Признаки подобия треугольников
  49. Первый признак подобия треугольников
  50. Второй признак подобия треугольников
  51. Третий признак подобия треугольников
  52. Треугольник — формулы, свойства, элементы и примеры с решением
  53. Что такое треугольник
  54. Определение треугольника
  55. Сумма углов треугольника
  56. Пример №1
  57. Пример №2
  58. О равенстве геометрических фигур
  59. Пример №3
  60. Пример №4
  61. Признаки равенства треугольников
  62. Пример №5
  63. Пример №6
  64. Равнобедренный треугольник
  65. Пример №7
  66. Пример №10
  67. Прямоугольный треугольник
  68. Первый признак равенства треугольников и его применение
  69. Пример №14
  70. Опровержение утверждений. Контрпример
  71. Перпендикуляр к прямой
  72. Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой
  73. Пример №15
  74. Второй признак равенства треугольников и его применение
  75. Решение геометрических задач «от конца к началу»
  76. Пример №16
  77. Пример №17
  78. Признак равнобедренного треугольника
  79. Пример №18
  80. Прямая и обратная теоремы
  81. Медиана, биссектриса и высота треугольника
  82. Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника
  83. Пример №19
  84. Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .
  85. Пример №20
  86. Третий признак равенства треугольников и его применение
  87. Пример №21
  88. Свойства и признаки
  89. Признаки параллельности прямых
  90. Пример №22
  91. О существовании прямой, параллельной данной
  92. Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.
  93. Пример №23
  94. Расстояние между параллельными прямыми
  95. Сумма углов треугольника
  96. Пример №24
  97. Виды треугольников по величине углов. Классификация
  98. Внешний угол треугольника
  99. Прямоугольные треугольники
  100. Прямоугольный треугольник с углом 30°
  101. Сравнение сторон и углов треугольника
  102. Неравенство треугольника
  103. Пример №25
  104. Справочный материал по треугольнику
  105. Треугольники
  106. Средняя линия треугольника и ее свойства
  107. Пример №26
  108. Треугольник и его элементы
  109. Признаки равенства треугольников
  110. Виды треугольников
  111. Внешний угол треугольника
  112. Прямоугольные треугольники
  113. Всё о треугольнике
  114. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника
  115. Первый и второй признаки равенства треугольников
  116. Пример №27
  117. Равнобедренный треугольник и его свойства
  118. Пример №28
  119. Признаки равнобедренного треугольника
  120. Пример №29
  121. Третий признак равенства треугольников
  122. Теоремы
  123. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника
  124. Параллельные прямые
  125. Пример №30
  126. Признаки параллельности двух прямых
  127. Пример №31
  128. Пятый постулат Евклида
  129. Пример №34
  130. Прямоугольный треугольник
  131. Пример №35
  132. Свойства прямоугольного треугольника
  133. Пример №36
  134. Пример №37

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

«Треугольник в жизни человека»

Авторы проекта: Учащиеся 9 «Б» класса:

Адамович Семен Руководитель проекта:

Копылова Вера Егоровна

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Новосибирск 2020

Глава 1. История треугольника

Глава 2. Треугольники в жизни человека

Глава 3. Треугольники в строительстве

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Введение

Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два тысячелетия треугольник является служит одним из символов геометрии, но на самом деле он гораздо большее: треугольник – это атом геометрии.

Он постоянно встречается нам не только на уроках, но и в жизни: в нашей одежде, в рисунке улиц, хитросплетении переулков и архитектуре домов — везде. Задумывались ли вы хотя бы один раз когда-либо о значении треугольника в жизни человека? Что скрывается в столь казалось бы незамысловатом предмете? И почему треугольник так часто встречается в повседневной жизни?

Эти и другие похожие вопросы и породили у нас желание заняться этим проектом. Мы захотели попытаться разобраться в основах теории треугольника.

Цель работы: расширить представления о треугольниках и их значимости.

• Изучение исторических сведений о треугольниках;

• Изучение сведений о нахождении треугольников в окружающем мире;

• Исследование свойств треугольника и применения их в практической жизни

Проблема: показать связь геометрической фигуры с окружающими нас предметами.

Актуальность данной темы определяется важностью умения видеть математику в мире, в котором мы живем, необходимостью добывать знания о треугольниках, а также применением полученных знаний в повседневной жизни.

Продукт проекта: звездчатый октаэдр – макет

Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать

Треугольники. 7 класс.

Глава 1. История треугольника

Треугольник – геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и соединенных отрезками. Одна из первых, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни.

Крупнейший древнегреческий историк Геродот (V век до нашей эры) оставил описание того, как египтяне после каждого разлива Нила заново размечали плодородные участки его берегов, с которых ушла вода. По Геродоту, с этого и началась геометрия – «землемерие» (от греческого «гео» –»земля» и «метрео» – «измеряю»).

Значение треугольников в геометрии

Древние землемеры выполняли геометрические построения, измеряли длины и площади; астрологи рассчитывали расположение небесных светил –все это требовало весьма обширных познаний о свойствах плоских и пространственных фигур, и в первую очередь о треугольнике.

Треугольник по праву считается простейшей из фигур: любая плоская, то есть простирающаяся в двух измерениях, фигура должна содержать хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить эти точки попарно прямолинейными отрезками, то построенная фигура и будет треугольником. Так же называют и заключенную внутри образовавшегося контура часть плоскости. Таким образом, любой плоскостной многоугольник может быть разбит на треугольники.

Треугольник всегда имел широкое применение в практической жизни. Так, в строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей.

Значение треугольников в геометрии

Из всех многоугольников только треугольник является жесткой фигурой, поскольку его углы невозможно изменить, не изменив длины его сторон. Это свойство треугольника используется во многих конструкциях (мосты, башенные краны, опоры линий электропередач).

Стропила зданий имеют вид треугольников. Это придаёт им крепость и устойчивость.

Значение треугольников в геометрии

При устройстве садовой калитки обязательно прибивают планку (доску), иногда две планки, чтобы получились треугольники. Это придаёт крепость калитке, иначе её скоро перекосит.

Значение треугольников в геометрии

Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и в других древних документах. В Древней Греции учение о треугольниках развивалось в ионийской школе, основанной в VII веке до н.э. Фалесом, и в школе Пифагора. Уже Фалес доказал, что треугольник определяется одной стороной и двумя прилежащими к ней углами. Учение о треугольниках было, затем полностью изложено в первой книге “Начал” Евклида.

Понятие о треугольнике исторически развивалось так: сначала рассматривались лишь равносторонние, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники.

Равнобедренный треугольник обладает рядом геометрических свойств, которые привлекли к себе внимание еще в древности. На практике часто применялось свойство медианы равнобедренного треугольника, являющейся одновременно и высотой и биссектрисой. То, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, было известно еще древним вавилонянам 4 000 лет назад. А землемеры и поныне прибегают к прямоугольному треугольнику для определения расстояний.

Значение треугольников в геометрии

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Глава 2. Треугольник в жизни человека

Человека окружает множество предметов треугольной формы. Например, предметы мебели, подошва утюга, элементы орнаментов, элементы одежды (концы мужского галстука, косынки, треуголки, пилотки, колпаки и т.п.), линии электропередач. И даже для выпечки пирожков нередко используют данную форму.

Значение треугольников в геометрии

Мы даже не задумываемся о том, что иногда безопасность человека на дороге зависит от знаков дорожного движения, имеющих треугольную форму – это некоторые знаки приоритета и предупреждающие знаки, регулирующие дорожное движение.

Значение треугольников в геометрии

Первоначальное положение шаров в бильярде, кеглей в боулинге задается треугольной формой.

Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии

Существует немало музыкальных инструменты, в основе которых заложена форма треугольника.

Значение треугольников в геометрии

Наша флора и фауна переполнена треугольными формами: форма деревьев, форма крыльев насекомых, подвижная голова богомолов, уши у куницы и соболя, клювы птиц, листья некоторых растений, например, кислица, крапива.

Форма некоторых растений подобна треугольнику, например, кипарис, ель. Цветы и соцветия многих цветковых растений также напоминают треугольник.

Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Причина популярности треугольника: это простота, красота, и значимость. Таким образом, мир треугольника разнообразен. Они широко используются человеком и украшают его жизнь.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Глава 3. Значение треугольников в строительстве

Жесткая фигура – это фигура не подверженная деформации. Из всех многоугольников только треугольник является жесткой фигурой. Это свойство треугольника используется, в частности, при создании железных ажурных конструкций.

Жёсткость — это способность конструктивных элементов сопротивляться деформации при внешнем воздействии. Если возьмём три металлические или деревянные планки, закрепим их концы булавками или гвоздиками так, чтобы получить треугольник. – треугольник – будет жесткой. В полученной конструкции нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т.е. нельзя изменить ни один угол.

Действительно, по третьему признаку равенства треугольников невозможно изменить величины его углов, не изменив длины сторон. Таким образом, треугольник не подвержен деформации при сохранении в целостности его составных элементов (сторон).

Значение треугольников в геометрии

Дощечки, собранные в форме квадрата, могут сместиться после приложения силы, т. к. меняются внутренние углы. Таким образом, четырехугольник (квадрат) не является жесткой фигурой, то есть подвержен деформации.

Значение треугольников в геометрии

Мосты, башни, подъемные краны, каркасы зданий, вышки сотовой связи, опоры для высоковольтных линий электропередач изготовляют таким образом, чтобы они содержали как можно больше треугольных элементов. Устойчивы они потому, что через три точки всегда проходит плоскость.

Значение треугольников в геометрии

Эйфелева башня самая узнаваемая архитектурная достопримечательность. Колебания башни во время бурь не превышает 15 см. Вся конструкция башни сплетена из треугольников, обладающих свойством жесткой фигуры.

При строительстве крыши небольших домов и многоэтажных зданий зачастую используют стропила. Можно сказать, что стропильная система это каркас скатной крыши, её основа (скелет). Стропила выполняют несущую функцию в системе крыши. Вес от крыши через стропильную систему передаётся на несущие стены строения.

В зависимости от вида и типа строения крыши, в состав стропильной системы могут входить стропила, мауэрлаты, подстропильные горизонтальные балки (ригеля), прогоны, лежни и стойки на них, а так же подкосы и прочие элементы.

Значение треугольников в геометрии

Элементы треугольника можно наблюдать в чертежах при строительстве самых древних домов и замков. Неизменный атрибут треугольника в крышах домов, на фасадах зданий, оконных проемов и дверей. Некоторые жилища имеют форму треугольника: вигвам, палатка, юрта.

Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии

При строительстве мостов, установке ЛЭП и вышек сотовой и телевизионной связи используется не только форма, но и свойства треугольников.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Заключение

Геометрия играет большую роль в жизни каждого человека. С ней мы встречаемся не только на уроках, она находится вокруг нас. Геометрия несет красоту в нашу жизнь, она же участвует во многих сферах человеческой жизни и вносит свой вклад в ряд наук.

Треугольники окружают нас повсюду: детские игрушки, архитектурные сооружения, дорожные знаки, музыкальные инструменты. В повседневной жизни мы перестали их замечать, а ведь это очень интересно, знать историю привычных для всех предметов, тем более, если она так увлекательна. С одной стороны, треугольники имеют тысячелетнюю историю, с другой – это современный раздел математики. Теория треугольника имеет большое значение не только для теоретических исследований по геометрии, но и для других наук.

В ходе нашего исследования мы пришли к выводу, что треугольник действительно является интересной и важной фигурой. Мир треугольников разнообразен. Человека окружает множество предметов быта, одежды, музыкальные инструменты, имеющие треугольную форму.

Треугольник используется человеком с древних времен и до наших дней. Это единственная фигура, которая обладает свойством жёсткости, которое нашло широкое применение в жизни человека. Оно встречается наиболее часто в строительстве

Видео:Площадь Сечения: Разбираемся в Тайнах ГеометрииСкачать

Площадь Сечения: Разбираемся в Тайнах Геометрии

Список литературы

1. https://mybiblioteka.su/tom2/8-62542.html-История возникновения треугольника

2. https://school-science.ru/2/7/29646-Тайны и загадки треугольника

3. http://alltriangles.blogspot.com/- Изучение треугольников

4. https://doklad-i-referat.ru/- Треугольник (история треугольника)

5. https://ru.wikipedia.org/wiki/- Треугольник

6. https://mybiblioteka.su/tom2/8-62547.html — Применение треугольника в жизни человека.

7. http://www.treugolniki.ru/treugolnik — Треугольник — жесткая фигура

8. https://mnogogranniki.ru/ — Самая прочная конструкция

9. Е.Е.Семенов. Изучаем геометрию. Москва «Просвещение» 1987г.

Приложение 1. Наиболее известные здания, использующие треугольные формы в своей архитектуре

Видео:Неравенства треугольника. 7 класс.Скачать

Неравенства треугольника. 7 класс.

Сиднейский оперный театр – визитная карточка Австралии

Значение треугольников в геометрии

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№14 - Второй и третий признаки равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№14 - Второй и третий признаки равенства треугольников.)

Астана – пирамида, Дворец мира и согласия

Значение треугольников в геометрии

«Парижский Треугольник», вход в Лувр (Париж)

Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

ТЦ «Бутон» Павильон «Шар»

Значение треугольников в геометрии

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Первый признак равенства треугольников. 7 класс.

Типы треугольников

По величине углов

Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

По числу равных сторон

Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Значение треугольников в геометрии

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:7 класс, 14 урок, ТреугольникСкачать

7 класс, 14 урок, Треугольник

Медианы треугольника

Значение треугольников в геометрии

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Запомни: все формулы для площади треугольника

Биссектрисы треугольника

Значение треугольников в геометрии

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Высоты треугольника

Значение треугольников в геометрии

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)

Окружность вписанная в треугольник

Значение треугольников в геометрии

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Две задачи по геометрии за 7 класс на тему: "Треугольники"Скачать

Две задачи по геометрии за 7 класс на тему: "Треугольники"

Окружность описанная вокруг треугольника

Значение треугольников в геометрии

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Геометрия 7. Урок 9 - Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Геометрия 7. Урок 9 - Признаки равенства прямоугольных треугольников

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Значение треугольников в геометрии

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Значение треугольников в геометрии

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Значение треугольников в геометрии

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Значение треугольников в геометрии

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Треугольник — формулы, свойства, элементы и примеры с решением

Содержание:

Треугольники и его элементы:

Определение: Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек (вершин треугольника), не лежащих на одной прямой, и трех отрезков (сторон треугольника), попарно соединяющих эти точки.

Треугольник обозначается знаком Значение треугольников в геометрии

На рисунке 54 изображен треугольник с вершинами А, B, С и сторонами АВ, ВС, АС. Этот треугольник можно обозначить так: Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Определение: Углом треугольника ABC при вершине А называется угол ВАС.

Угол треугольника обозначают тремя буквами (например, «угол ABC») или одной буквой, которая указывает его вершину (например, «угол А треугольника ABC »).

Если вершина данного угла треугольника не принадлежит стороне, то говорят, что данный угол противолежащий этой стороне. В противном случае угол является прилежащим к стороне. Так, в треугольнике ABC угол А — прилежащий к сторонам АВ и АС и противолежащий стороне ВС. Стороны и углы треугольника часто называют его элементами

Определение: Периметром треугольника называется сумма всех его сторон.

Периметр — от греческого «пери» — вокруг и «метрео» — измеряю, измеренный вокруг.

Периметр обозначается буквой Р. По определению — Значение треугольников в геометрииЛюбой треугольник ограничивает часть плоскости. Будем считать, что точки, принадлежащие этой части, расположены внутри треугольника, а точки, которые ей не принадлежат,— вне треугольника.

Роль треугольника в геометрии трудно переоценить. Ученые не зря называют треугольники клетками организма геометрии. Действительно, многие более сложные геометрические фигуры можно разбить на треугольники.

В этой главе мы не только изучим «внутрен нее устройство» треугольников и выделим их виды, но и докажем признаки, по которым можно установить равенство треугольников, сравнивая их стороны и углы. Полученные в ходе наших рассуждений теоремы и соотношения расширят ваши представления об отрезках и углах, параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

В процессе решения задач и доказательства теорем о свойствах треугольников вам предстоит освоить важные геометрические методы, которые помогут в ходе дальнейшего изучения геометрии.

Что такое треугольник

Рассмотрим понятие треугольника. Пусть на плоскости дана трехзвенная замкнутая ломаная. Тогда эта ломаная разделяет множество оставшихся точек плоскости на ограниченную и неограниченную фигуры. При этом ограниченная фигура называется частью плоскости, ограниченной данной ломаной. Например, на рисунке 59, а изображена часть плоскости, ограниченная трехзвенной замкнутой ломаной ABC.

Определение. Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трехзвенной замкнутой ломаной и части плоскости, ограниченной этой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а звенья ломаной — сторонами треугольника.

Точки треугольника, не принадлежащие его сторонам, называются внутренними.

Треугольник, вершинами которого являются точки А, В и С, обозначается следующим образом: Значение треугольников в геометрииАВС (читают: «Треугольник ABC»). Этот же треугольник можно обозначать и так: Значение треугольников в геометрииBСА или Значение треугольников в геометрииCАВ.

На рисунке 59, а изображен треугольник ABC. Точки А, В и С — вершины этого треугольника, а отрезки AB, ВС и АС — его стороны. На рисунке 59, B показан треугольник AFD, содержащийся в грани куба.

Значение треугольников в геометрии

Углы АBС, АСВ и САВ (см. рис. 59, а) называются внутренними углами треугольника ABC или просто углами треугольника. Иногда они обозначаются одной буквой: Значение треугольников в геометрииA, Значение треугольников в геометрииB, Значение треугольников в геометрииC. Стороны и углы треугольника называются его элементами.

На рисунке 59, в изображены треугольники ABC и ACD, у которых общая сторона АС. Угол ВАС — внутренний угол треугольника ВАС, Значение треугольников в геометрииACD — внутренний угол треугольника ACD.

Периметром треугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр треугольника ABC обозначается PABC.

Конструкции, имеющие треугольную форму, применяются при строительстве архитектурных сооружений, мостов и жилых зданий. Например, при постройке крыш некоторых домов используются стропила, имеющие форму треугольников (рис. 60, а).

Для треугольников, как и любых геометрических фигур, определяется понятие их равенства.

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением, т. е. можно совместить их вершины, стороны и углы.

Рассмотрим пример. Если лист бумаги, имеющий форму прямоугольника, разрезать на две части, как показано на рисунке 60, б, то мы получим модели равных треугольников. Непосредственно можно убедиться, что полученные части можно наложить одна на другую так, что они совместятся.

Значение треугольников в геометрии

Два равных треугольника ABC и A1B1C1 (рис. 60, в) можно совместить так, что попарно совместятся их вершины, стороны и углы. Другими словами, если два треугольника равны, то стороны и углы одного треугольника соответственно равны сторонам и углам другого треугольника. Подчеркнем, что:

  • в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы;
  • в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1 , изображенных на рисунке 60, в, против равных сторон ВС и В1С1 лежат равные углы А и А1. Против равных углов С и С1 лежат равные стороны AB и A1B1.

Если треугольники ABC и A1B1C1 равны, то это обозначается следующим образом: Значение треугольников в геометрииABC = Значение треугольников в геометрииA1B1C1

Заметим, что для установления равенства треугольников необязательно их совмещать один с другим, а достаточно сравнить некоторые их элементы (стороны и углы).

Для доказательства равенства треугольников пользуются соответствующими теоремами (признаками), которые позволяют на основании равенства некоторых элементов треугольников делать вывод о равенстве самих треугольников.

Определение треугольника

Треугольник — замкнутая ломаная, состоящая из трех звеньев. Или часть плоскости, ограниченная этой ломаной. У каждого треугольника три стороны, три вершины и три угла. Сумма длин сторон треугольника — его периметр.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Важную роль в геометрии играют признаки равенства треугольников. Две фигуры называются равными, если их можно совместить. ЕслиЗначение треугольников в геометрии, тоЗначение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии

Три признака равенства треугольников:

Два треугольника равны, если: две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника (I); или если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника (II); или если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (III).

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны равнобедренного треугольники называются боковыми сторонами, а третья — его основанием.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

Если у треугольника все стороны равны, его называют равно сторонним треугольником. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

В зависимости от углов треугольники делят на остроуголь ные, прямоугольные, и тупоугольные. Сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой, а две другие — катетами.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух другим его сторон и больше их разности. Какие бы ни были три точки плоскости А, В и С, всегда АВ + ВС > АС.

В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.

Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, получится треугольник. Другими словами: треугольник — это замкнутая ломаная из трех звеньев. На рисунке 119 изображён треугольник ABC (пишут: Значение треугольников в геометрии). Точки А, В, С — вершины, отрезки АВ, ВС и СА — стороны этого треугольника. Каждый треугольник имеет три вершины и три стороны.

Значение треугольников в геометрии

Много разных моделей треугольников можно увидеть в подъемных кранах, заводских конструкциях, различных архитектурных строениях (рис. 120).

Значение треугольников в геометрии

Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Почему?Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой его противолежащей стороны, — медиана треугольника. Отрезок биссектрисы угла треугольника от его вершины до противолежащей стороны — биссектриса треугольника. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, которой принадлежит его противолежащая сторона, — высота треугольника. На рисунке 121 изображен Значение треугольников в геометрии, в котором из вершины С проведены: медиана СМ, биссектриса CL и высота СН.

Значение треугольников в геометрии

Каждый треугольник имеет три медианы, три биссектрисы и три высоты.

Треугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Фигура, состоящая из треугольника и его внутренней области, также называется треугольником.

Углами треугольника ABC называют углы ВАС, ABC и АСИ. Их обозначают еще так: Значение треугольников в геометрии. Каждый треугольник имеет три угла.

Если треугольник имеет прямой или тупой угол, его называют соответственно прямоугольным или тупоугольным треугольником. Треугольник, все углы которого острые, называется остроугольным. На рисунке 122 изображены остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Их внутренние области закрашены.

Значение треугольников в геометрии

Словом треугольник геометры называют два разных понятия: и замкнутую ломаную из трех звеньев, и такую ломаную вместе с ограниченной ею внутренней частью плоскости. Подобно тому, как стороной треугольника иногда называют отрезок, иногда — длину этого отрезка, высотой треугольника называют и определенный отрезок, и его длину.

Так делают для удобства: чтобы каждый раз не говорить, например, «длина высоты треугольника равна 5 см», договорились говорить проще: «высота треугольника равна 5 см».

Каждый многоугольник можно разрезать на несколько треугольников. Поэтому треугольники в геометрии играют такую важную роль, как атомы в физике, как кирпичи в доме. Существует даже отдельная часть геометрии, интересная и содержательная: геометрия треугольника.

Пример:

На сколько частей могут разбивать плоскость два ее треугольника?

Решение:

Если два треугольника расположены в одной плоскости, то они могут разбить ее максимум на 8 частей (рис. 123). Мысленно передвигая один из двух данных треугольников так, чтобы сначала один из образованных их пересечением треугольник превратился в точку, потом-второй и т. д., убеждаемся, что два треугольника могут разбивать плоскость на 3, 4, 5, 6, 7, 8 частей (рис. 124). Лишь когда два треугольника равны и совмещены друг с другом, они разбивают плоскость на 2 части.

Значение треугольников в геометрии

Пример:

Среднее арифметическое всех сторон треугольника равно т. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Если a, b, c — стороны треугольника, а Р — его периметр , то
Значение треугольников в геометрии

Сумма углов треугольника

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник (рис. 127). Через его вершину С проведем прямую КР, параллельную АВ.

Значение треугольников в геометрии

11олученные углы АСК и ВСР обозначим цифрами 1 и 2. ТогдаЗначение треугольников в геометриикак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и КР и секущих АС и ВС. Углы 1, 2 и С в сумме равны развернутому углу, то есть 180°. Поэтому

Значение треугольников в геометрии

В доказанной теореме 8 речь идет о сумме мер углов треугольника. Но для упрощения формулировок вместо «мера угла» часто употребляют слово «угол».

Треугольник не может иметь два прямых или два тупых угла, В каждом треугольнике по крайней мере два угла — острые.

Иногда кроме углов треугольника (внутренних) рассматривают также его внешние углы. Внешним углом треугольника называют угол, образованный стороной треугольника и продолжением его другой стороны. Например, внешним углом треугольника ABC при вершине А является угол КАС (рис. 128).

Значение треугольников в геометрии

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрииВНИМАНИЕ! При каждой вершине треугольника можно построить два внешних угла, продлив ту или иную его сторону. Например, каждый из углов КАС и РАВ — внешний угол треугольника ABC при вершине А (рис. 129). Такие два внешних угла — вертикальные, поэтому равны друг другу.

Теорему о сумме углов треугольника можно обобщить и распространить на произвольные многоугольники.

Каждый четырехугольник можно разрезать на два треугольника, соединив его противолежащие вершины отрезком. (Если один из углов четырехугольника больше развернутого, то именно его вершину следует соединить с противолежащей, как на рисунке 130.) Сумма всех углов четырех- ‘ угольника равна сумме всех углов двух образованных треугольников, то есть 180° • 2. Таким образом, сумма углов любого четырехугольника равна 360°.

Значение треугольников в геометрии

Произвольный пятиугольник можно разрезать на четырехугольник и треугольник или на 3 треугольника (рис. 131). Таким образом, сумма углов пятиугольника равна 180° • 3, то есть 540°.

Значение треугольников в геометрии

Попробуйте написать формулу, по которой можно вычислить сумму углов произвольного n-угольника.

Пример №1

Чему равна сумма внешних углов треугольника, взятых при каждой вершине по одному?

Решение:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Обозначим его внешние углы 1, 2 и 3 (рис. 132). Согласно теореме о внешнем угле треугольника

Значение треугольников в геометрии

Сложив отдельно левые и правые части этих равенств, получим:

Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Пример №2

Докажите, что в каждом треугольнике есть угол не больше 60° и угол не меньше 60°.

Решение:

Если бы каждый угол треугольника был меньше 60°, то сумма всех его углов составляла бы меньше 180°, а это невозможно. Если бы каждый угол треугольника был больше 60°, то сумма всех его углов была бы больше 180°, что также невозможно.

Следовательно, в каждом треугольнике есть угол не ‘ больше 60° и угол не меньше 60°.

О равенстве геометрических фигур

На рисунке 136 изображены два треугольника. Представьте, что один из них начерчен на бумаге, и второй — на прозрачной пленке. Передвигая пленку, второй треугольник можно совместить с первым. Говорят: если данные треугольники можно совместить движением, то они равны. Равными друг другу бывают не только треугольники, но и отрезки, углы, окружности и другие фигуры.

Изображенные на рисунке 137 фигуры тоже равны, потому что их можно совместить, согнув лист бумаги по прямой I. Л фигуры, изображенные на рисунке 138, не равны, их нельзя Совместить.
Для обозначения равных фигур используют знак равенства Значение треугольников в геометрии. Например, Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Если каждая из двух фигур равна третьей, то первая и вторая фигуры также равны.

С равными фигурами часто приходится иметь дело многим специалистам. В форме равных прямоугольников изготовляют листы жести, фанеры, стекла, облицовочную плитку, паркетины и т. д. Равны все листы бумаги из одной пачки, соответствующие детали двух машин одной марки.Чтобы выяснить, равны ли две фигуры, можно попробовать их совместить. Но на практике это не всегда удается осуществить. Например, таким способом нельзя определить, равны ли два земельных участка. Поэтому приходится искать другие способы, выявлять признаки равенства тех или иных фигур. Например, если радиусы двух окружностей равны, то равны и сами окружности. Это — признак равенства окружностей. В следующем параграфе мы рассмотрим признаки равенства треугольников.

Треугольник с вершинами А, В и С можно обозначать по-разному: Значение треугольников в геометриии т. д. Однако для удобства договоримся, что когда пишут Значение треугольников в геометрии, то подразумевают, что Значение треугольников в геометрииАВ = КР, АС = КТ, ВС = РТ.

Слово равенство в математике и других науках употребляется достаточно часто. Говорят, в частности, о равенстве чисел, равенстве выражений, равенстве значений величин. Равенство геометрических фигур — это отношение. Оно имеет следующие свойства:

  1. каждая фигура равна самой себе;
  2. если фигура А равна фигуре В, то и фигура В равна А;
  3. если фигура А равна В, а фигура В равна С, то фигуры А и С также равны.

Нередко из равенства одних фигур либо величин следует и равенство других фигур либо величин, но — не всегда. Например, если треугольники равны, то и их периметры равны. Однако если периметры двух треугольников равны, то это еще не значит, что равны и сами треугольники. То же самое: если треугольники равны, то и их площади равны. Но если площади двух треугольников равны, это еще не означает, что и треугольники равны.

Очень часто для обоснования равенства тех или иных фигур необходимо обосновать равенство некоторых треугольников. Вот почему вопросу о равенстве треугольников в геометрии придают такое важное значение: большинство теорем школьной геометрии доказывают, используя признаки равенства треугольников.

Пример №3

Равны ли углы, изображенные на рисунке 139?

Решение:

Стороны угла — лучи. Хотя на рисунке они изображены неравными отрезками, но следует представить их в виде бесконечных лучей. Поскольку каждый из этих углов имеет 35° (проверьте), то они равны.

Пример №4

Докажите, что треугольники не могут быть равными, если не равны их наибольшие углы.

Решение:

Пусть у треугольников ABC и КРТ

Значение треугольников в геометрии. Если бы данные треугольники были равны, их можно было бы совместить. Тогда наибольший угол А треугольника ABC совместился бы с наибольшим углом К треугольника КРТ. Это невозможно, поскольку Значение треугольников в геометрии. Значит, данные треугольники не могут быть равными.

Значение треугольников в геометрии

Признаки равенства треугольников

Если треугольники ABC и Значение треугольников в геометриивины друг другу, то их можно совместить. При этом если совместятся вершины Значение треугольников в геометриии то совместятся и стороны:Значение треугольников в геометрии Значение треугольников в геометрииЗначит, если Значение треугольников в геометриито Значение треугольников в геометрии,Значение треугольников в геометрииЧтобы доказать, что данные треугольники равны, не обязательно убеждаться в истинности всех шести равенств.

Теорема: (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть Значение треугольников в геометрии— два треугольника, у которыхЗначение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии(рис. 1;46). Докажем, что Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии

Наложим Значение треугольников в геометриитаким образом, чтобы вершина Значение треугольников в геометриисовместилась А, вершина Значение треугольников в геометрии— с В, а сторона Значение треугольников в геометрииналожилась на луч АС. Это можно сделать, потому что по условиюЗначение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии. Поскольку Значение треугольников в геометрии, то при таком положении точка Значение треугольников в геометриисовместится с С. В результате все вершины Значение треугольников в геометриисовместятся с соответствующими вершинами

Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Теорема: (второй признак равенства треугольников). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии

*Существуют также и другие признаки равенства треугольников (см. теорему 14).
На признаки равенства треугольников нам придется ссылаться часто. Чтобы не путать, какой из них назвали первым, какой — вторым и т. д., их лучше всего различать по смыслу, говорить о признаке равенства треугольников:

  1. по двум сторонам и углу между ними;
  2. по стороне и двум прилежащим углам,
  3. по трем сторонам (его докажем позже).

Эти признаки равенства треугольников называют общими признаками, поскольку они верны для любых треугольников. Кроме них, есть еще признаки равенства прямоугольных треугольников, равнобедренных треугольников и др.

Два равносторонних треугольника равны, если сторона одного из них равна стороне другого.

Попробуйте доказать этот признак, воспользовавшись общими признаками.

Пример №5

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = OD и СО = ОВ. Докажите, что АС = BD.

Решение:

Рассмотрим треугольники АСО и DBO (рис. 148). Их углы при вершине О вертикальные, значит, равны. Соответственные стороны тоже равны:

АО = OD, СО = ОВ. По первому признаку равенства треугольников Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрииСтороны АС и BD этих треугольников соответственные, поскольку лежат против равных углов при вершине О. Следовательно, АС = BD.

Значение треугольников в геометрии

Пример №6

Две стороны треугольника равны. Докажите, что и медианы, проведенные к этим сторонам, также равны.

Значение треугольников в геометрии

Решение:

Пусть у Значение треугольников в геометриисторона АВ = АС, а ВК и СР — медианы (рис. 149). АР = = АК, как половины равных сторон. Значение треугольников в геометрии, поскольку АВ = = АС, АК = АР и угол А общий. Следовательно, ВК = СР.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью его сторону — основанием.

Треугольник, не являющийся равнобедренным, называют разносторонним. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним. Это отдельный вид равнобедренного треугольника (рис. 161).

Значение треугольников в геометрии

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.

Доказательство:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием ВС (рис. 162). Биссектриса AL разбивает его на треугольники ABL и ACL. Поскольку АВ = AC, AL — общая сторона, Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии, то по двум сторонам и углу между ними Значение треугольников в геометрии. Из равенства этих треугольников следует:

а) Значение треугольников в геометрии, то есть углы при основании Значение треугольников в геометрииравны;

б) BL = CL, то есть AL — медиана Значение треугольников в геометрии

в) Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Теорема: Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство:

Пусть в Значение треугольников в геометрии(рис. 162). Докажем, что АВ =АС. Проведем биссектрису AL. Она делит данный треугольник И я два: Значение треугольников в геометрииУ нихЗначение треугольников в геометрии, Поэтому Значение треугольников в геометрии. По стороне AL и прилежащим к ней углам Значение треугольников в геометрии. Следовательно, Значение треугольников в геометрии

Из теорем 9 и 10 вытекает такое следствие.

В треугольнике против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны.

Равнобедренный — это имеющий равные бедра. Равные стороны — словно ноги.

Как соотносятся между собой треугольники и равнобедренные треугольники? Равнобедренные треугольники составляют только часть всех треугольников. Говорят, что объем понятия «треугольники» больше объема понятия «равнобедренные треугольники». Такие соотношения принято наглядно изображать диаграммами Эйлера (рис. 163). Те треугольники, которые не являются равнобедренными, называют разносторонними треугольниками. Следовательно, общее понятие «треугольники»можно разделить на два класса: треугольники равнобедренные и треугольники разносторонние (рис. 164):
Значение треугольников в геометрии

Пример №7

Две стороны равнобедренного треугольника равны соответственно 2 см и б см. Найдите длину третьей его стороны.

Решение:

Основание данного треугольника не может быть равно б см, поскольку 2 см + 2 см против равных сторон лежат равны’ углы. Поэтому Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Равенство углов BAD и BCD можно доказать двумя способами: либо показать, что каждый из них состоит из двух равных углов Значение треугольников в геометрии Значение треугольников в геометрии(рис. 175), либо проведя отрезок BD.

Значение треугольников в геометрии

Пример №10

На окружности с центром О обозначены точки А, В, К и Р такие, что АВ = КР (рис. 176). Докажите, что Значение треугольников в геометрии

Решение:

Проведя в данные точки радиусы, получим треугольники АОВ и КОР. Они равны по трем сторонам, поскольку АВ = КР по условию и ОА = OB = OK = ОР — как радиусы. Поэтому Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой Сумма двух других его углов равна 90° поскольку 180° — 90° = 90°.

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, — эп гипотенуза, две другие его стороны катеты (рис. 182). На рисунке прямо! угол иногда обозначают квадратиком. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого из катетов.

Значение треугольников в геометрии

Позже нам будут необходимы признаки равенства прямо угольных треугольников. Из первого и второго признаков равенства треугольников (§ 12) непосредственно следуют таки АС.

Стороны АВ и АС не могут быть равными, потому что тогда данный треугольник был бы равнобедренным и один из его углов при основании не мог бы быть больше другого.

Не может сторона АВ быть и меньше АС, поскольку тогда угол С был бы меньше угла В. А поскольку сторона АВ не равна АС и не меньше АС, то она больше АС.Значение треугольников в геометрии

  1. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее каждого катета.
  2. Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки к прямой, короче любой наклонной, проведенной и: Значение треугольников в геометрии. Если представить, что фигура Значение треугольников в геометрииизображена на прозрачной пленке, то с помощью наложения этой пленки на фигуру Значение треугольников в геометрии(той или другой стороной (рис. 55, а, б) можно совместить фигуры Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии. В таком случае фигуры Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриипо определению равны.

Значение треугольников в геометрии

Для обозначения равенства фигур используют знак математического равенства Значение треугольников в геометрииЗапись Значение треугольников в геометрииозначает «фигура Значение треугольников в геометрииравна фигуре Значение треугольников в геометрии »

Рассмотрим равные треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии(рис. 56).

По определению, такие треугольники можно совместить наложением. Очевидно, что при наложении соответственно совместятся стороны и углы этих треугольников, то есть каждому эле менту треугольника Значение треугольников в геометриибудет соответствовать равный элемент треугольника Значение треугольников в геометрии. Условимся, что в записи Значение треугольников в геометриимы будем упорядочивать названия треугольников так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает: если Значение треугольников в геометрии, то Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии

Таким образом, из равенства двух треугольников вытекают шесть равенств соответствующих элементов: три — для углов и три — для сторон. На рисунках соответственно равные стороны обычно обозначают одинаковым количеством черточек, Рис. 56. Треугольники а соответственно равные углы — одинаковым ко личеством дужек (рис. 56).

Значение треугольников в геометрии

А верно ли, что треугольники, имеющие соответственно равные стороны и углы, совмещаются наложением? Можно ли по равенству некоторых соответствующих элементов доказать равенство самих треугольников? Ответить на эти вопросы мы попытаемся в дальнейшем.

[1] Существование треугольника, равного данному, является одной из аксиом планиметрии. Эта аксиома приведена в Приложении 1.

Первый признак равенства треугольников и его применение

Первый признак равенства треугольников

В соответствии с определением равных фигур, два треугольника равны, если они совмещаются наложением. Но на практике наложить один треугольник на другой не всегда возможно. Например, таким образом невозможно сравнить два земельных участка. Значит, возникает необходимость свести вопрос о равенстве треугольников к сравнению их сторон и углов. Но нужно ли для установления равенства сравнивать все шесть элементов данных треугольников? Бели нет, то какие именно элементы двух треугольников должны быть соответственно равными, чтобы данные треугольники были равны? Ответ на этот вопрос дают признаки равенства треугольников.

Докажем первый из этих признаков.

Теорема: (первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, у которых Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии(рис. 58). Докажем, что Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Поскольку Значение треугольников в геометриито треугольник Значение треугольников в геометрииможно наложить на треугольник Значение треугольников в геометриитак, чтобы точки Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриисовместились, а стороны Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииналожились на лучи Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриисоответственно. По условию Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, следовательно, сторона Значение треугольников в геометриисовместится со стороной Значение треугольников в геометрии, а сторона Значение треугольников в геометрии— со стороной Значение треугольников в геометрии. Таким образом, точка Значение треугольников в геометриисовместится с точкой Значение треугольников в геометрии, а точка Значение треугольников в геометрии— с точкой Значение треугольников в геометрии, то есть стороны Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриитакже совместятся. Значит, при наложении треугольники Значение треугольников в геометрии, совместятся полностью. Итак, Значение треугольников в геометриипо определению. Теорема доказана.

Пример №14

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников АОС и BOD (рис. 59).

Значение треугольников в геометрии

Решение:

В треугольниках АОС и BOD АО = ВО и СО = DO по условию, Значение треугольников в геометриипо теореме о вертикальных углах. Таким образом, Значение треугольников в геометриипо первому признаку равенства треугольников.

Практическое значение доказанной теоремы очевидно из такого примера.

Пусть на местности необходимо определить расстояние между точками А и С, прямой проход между которыми невозможен (рис. 60). Один из способов измерения следующий: на местности выбирают некоторую точку О, к которой можно пройти из точек А , С, В, D, и на лучах АО и СО откладывают отрезки ВО=АО и DO = СО.

Значение треугольников в геометрии

Тогда, согласно предыдущей задаче, Значение треугольников в геометриипо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что искомое расстояние АС равно расстоянию BD, которое можно измерить.

Опровержение утверждений. Контрпример

Проанализируем первый признак равенства треугольников. Согласно ему для доказательства равенства двух треугольников достаточно доказать равенство трех пар соответствующих элементов — двух сторон и угла между ними. Требование того, чтобы равные углы обязательно лежали между равными сторонами, является очень важным.

Действительно, рассмотрим треугольники ABC и А1В1С1 (рис. 61). Они имеют две пары соответственно равных сторон (АВ = А1В1, ВС = В1С1), но равные углы Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриилежат не между равными сторонами, поэтому данные треугольники не равны.

Значение треугольников в геометрии

С помощью приведенного примера мы показали, что утверждение «Если две стороны и некоторый угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и некоторому углу другого треугольника, то такие треугольники равны» является ошибочным. Иначе говоря, мы опровергли это утверждение конкретным примером. Такой пример, с помощью которого можно показать, что некоторое общее утверждение является неправильным, называется контрпримером. Принцип построения контрпримера для опровержения неправильного утверждения довольно прост: нужно смоделировать ситуацию, когда условие утверждения выполняется, а заключение — нет.

Контрпример — от латинского «контра» — против

Изобразим схематически опровержение утверждения с помощью контрпримера.

УТВЕРЖДЕНИЕ Если А, то В

КОНТРПРИМЕР А, но не В

Контрпримеры используются только для опровержения неправильных утверждений, но не для доказательства правильных. Заметим также, что не всякое ошибочное утверждение можно опровергнуть контрпримером. Если для опровержения некоторого утверждения не удалось подобрать контрпример, это не означает, что данное утверждение верно.

Опровержение утверждений с помощью контрпримеров применяется не только в математике. Пусть, например, некто утверждает, что все птицы, которые водятся в Украине, осенью улетают на юг. Это утверждение можно опровергнуть, приведя в качестве контрпримера воробьев. А опровергнуть утверждение «В русском языке нет существительного, в котором содержались бы пять согласных подряд» можно с помощью самого слова «контрпример » .

Перпендикуляр к прямой

9.1. Существование и единственность прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Признаки равенства треугольников применяются не только для решения задач, но и для доказательства новых геометрических утверждений, в частности и тех, в формулировках которых не упоминается треугольник. Докажем с помощью первого признака равенства треугольников теорему о прямой, проходящей через данную точку плоскости перпендикулярно данной прямой.

Теорема (о существовании и единственности перпендикулярной прямой) Через любую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной, и только одну.

Перед началом доказательства теоремы проанализируем ее формулировку. Теорема содержит два утверждения:

  1. существует прямая, проходящая через данную точку плоскости и перпендикулярная данной прямой;
  2. такая прямая единственна.

Первое утверждение теоремы говорит о существовании прямой с описанными свойствами, второе — о ее единственности. Каждое из этих утверждений необходимо доказать отдельно.

Рассмотрим сначала случай, когда данная точка не лежит на данной прямой.

1) Существование. Пусть даны прямая Значение треугольников в геометриии точка А , не лежащая на данной прямой. Выберем на прямой Значение треугольников в геометрииточки В и М так, чтобы угол АВМ был острым (рис. 67).

Значение треугольников в геометрии

С помощью транспортира отложим от луча ВМ угол СВМ, равный углу АВМ так, чтобы точки А и С лежали по разные стороны от прямой Значение треугольников в геометрии. На луче ВС отложим отрезок ВА1 , равный отрезку ВА , и соединим точки А и D. Пусть D — точка пересечения отрезка Значение треугольников в геометрии, с прямой Значение треугольников в геометрии.

Рассмотрим треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии. Они имеют общую сторону BD, a Значение треугольников в геометрии Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриипо построению. Таким образом, Значение треугольников в геометриипо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что Значение треугольников в геометрииНо эти углы смежные, поэтому по теореме о смежных углах Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии. Итак, прямая Значение треугольников в геометрииперпендикулярна прямой Значение треугольников в геометрии.

2) Единственность. Применим метод доказательства от противного.

Пусть через точку А проходят две прямые Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииперпендикулярные прямой Значение треугольников в геометрии(рис. 68). Тогда по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, Значение треугольников в геометрии. Но это невозможно, поскольку прямые Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииимеют общую точку А. Итак, наше предположение неверно, то есть прямая, проходящая через точку А перпендикулярно прямой Значение треугольников в геометрии, единственна.

Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии

Теперь рассмотрим случай, когда точка А лежит на прямой Значение треугольников в геометрии. От любой полупрямой прямой Значение треугольников в геометриис начальной точкой А можно отложить прямой угол (рис. 69). Отсюда вытекает существование перпендикулярной прямой, содержащей сторону этого угла.

Доказательство единственности такой прямой повторяет доказательство, представленное выше. Теорема доказана.

Утверждения о существовании и единственности уже встречались нам в аксиомах, но необходимость доказывать их возникла впервые. В математике существует целый ряд теорем, аналогичных доказанной (их называют теоремами существования и единственности). Общий подход к таким теоремам состоит в отдельном доказательстве каждого из двух утверждений.

Необходимость двух отдельных этапов доказательства в шутку можно пояснить так: утверждение «У дракона есть голова» не означает, что эта голова единственная. Доказательство существования определенного объекта чаще всего сводится к описанию способа его получения. Единственность обычно доказывают методом от противного.

Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой

Определение:

Перпендикуляром к данной прямой, проведенным из точки А, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, одним из концов которого является точка А а вторым (основанием перпендикуляра) — точка пересечения этих прямых.

На рисунке 70 отрезок АВ является перпендикуляром к прямой а, проведенным из точки А . Точка В — основание этого перпендикуляра. Поскольку по предыдущей теореме через точку А можно провести единственную прямую, перпендикулярную прямой а, то отрезок АВ — единственный перпендикуляр к прямой а, проведенный из точки А.

Значение треугольников в геометрии

Из доказанной теоремы следует, что из точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Это утверждение называют теоремой о существовании и единственности перпендикуляра к прямой.

Определение:

Расстоянием от точки до прямой, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Иногда расстоянием от точки до прямой называют сам этот перпендикуляр. Таким образом, отрезок АВ (см. рис. 70) является расстоянием от точки А до прямой а.

Пример №15

Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а, АВ и CD — расстояние от данных точек до прямой а, причем АВ = CD (рис. 71). Докажите, что AD = СВ.

Значение треугольников в геометрии

Решение:

Рассмотрим треугольники ABD и CDB. У них сторона ВD общая, АВ = CD по условию. По определению расстояния от точки до прямой АВ и CD — перпендикуляры к прямой а, то есть Значение треугольников в геометрииТогда Значение треугольников в геометриипо первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что AD = СВ, что и требовалось доказать.

Второй признак равенства треугольников и его применение

Второй признак равенства треугольников

В первом признаке равенства треугольников равенство двух треугольников было доказано по трем элементам: двум сторонам и углу между ними. Однако это не единственный возможный набор элементов, равенство которых гарантирует равенство треугольников. Еще один такой набор — это сторона и прилежащие к ней углы.

Теорема: (второй признак равенства треугольников — по стороне и прилежащим к ней углам)

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, у которых Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии(рис. 72). Докажем, что Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Поскольку Значение треугольников в геометрии, то треугольник Значение треугольников в геометрииможно наложить на треугольник Значение треугольников в геометриитак, чтобы сторона АС совместилась со стороной Значение треугольников в геометрии, а точки Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриилежали по одну сторону от прямой Значение треугольников в геометрии. По условию Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, поэтому сторона Значение треугольников в геометрииналожится на луч Значение треугольников в геометрии, а сторона Значение треугольников в геометрии— на луч Значение треугольников в геометрии. Тогда точка Значение треугольников в геометрии— общая точка сторон Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии— будет лежать как на луче Значение треугольников в геометрии, так и на луче Значение треугольников в геометрии, то есть совместится с общей точкой этих лучей — точкой В. Таким образом, совместятся стороны Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, а также Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии. Значит, при наложении треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, совместятся полностью, то есть по определению Значение треугольников в геометрии. Теорема доказана.

Решение геометрических задач «от конца к началу»

Рассмотрим пример применения второго признака равенства треугольников для решения задачи.

Пример №16

На рисунке 73 Значение треугольников в геометрииНайдите угол D если Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Прежде чем привести решение этой задачи, попытаемся ответить на вопрос: как именно надо рассуждать, чтобы найти путь к нему?

  1. Сначала проанализируем вопрос задачи. Нам необходимо найти градусную меру угла D. Очевидно, что для этого должны быть использованы числовые данные. Мы имеем лишь одно такое условие: Значение треугольников в геометрии. Таким образом, можно предположить, что углы B и D должны быть как-то связаны. Как именно?
  2. Заметим, что углы В и D являются углами треугольников ABC и ADC соответственно, причем оба эти угла противолежат стороне АС . Отсюда возникает идея о том, что углы B и D могут быть равными, и их равенство может следовать из равенства треугольников ABC и ADC .
  3. Следующий шаг рассуждений: действительно ли треугольники ABC и ADC равны? Если да, то на основании какого признака можно доказать их равенство? Здесь на помощь приходят другие данные задачи — равенства углов: Значение треугольников в геометрии. Как вы уже знаете, две пары соответственно равных углов рассматриваются в формулировке второго признака равенства треугольников, то есть следует попробовать применить именно его.
  4. Для окончательного определения хода решения задачи осталось ответить на вопрос: каких еще данных нам не достает для применения второго признака равенства треугольников? Откуда их можно получить? Отметим, что углы 1 и 3 треугольника ABC, а также углы 2 и 4 треугольника ADC являются прилежащими к сторонеАС, которая, кроме того, является общей стороной данных треугольников.

Итак, путь определен, и остается лишь записать решение, повторяя рассуждения в обратном порядке — от 4-го к 1-му пункту.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и АDС . В них сторона АС общая, Значение треугольников в геометриипо условию, и эти углы прилежат к стороне АС. Таким образом, Значение треугольников в геометриипо второму признаку равенства треугольников.

Углы В и D — соответственно равные углы равных треугольников.

Значит, Значение треугольников в геометрии

Ответ: 110°.

Отметим, что в рассуждениях 1) — 4) мы начинали с вопроса задачи, а затем использовали ее условия, то есть шли «от конца к началу». Во многих геометрических задачах именно такой способ рассуждений позволяет найти правильный путь к решению.

Пример №17

Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС, точки D , Е, F — середины сторон АВ, ВС и АС соответственно (рис. 84). Докажем, что треугольник D EF равнобедренный. Рассмотрим треугольники DAF и ECF. У них AD = СЕ как половины равных сторон АВ и СВ, AF = CF (поскольку по условию точка F — середина AC), Значение треугольников в геометриикак углы при основании равнобедренного треугольника ABC. Следовательно, Значение треугольников в геометриипо первому признаку равенства треугольников. Тогда отрезки D F = EF как соответствующие стороны равных треугольников, то есть треугольник D EF равнобедренный.

Значение треугольников в геометрии

Признак равнобедренного треугольника

Из предыдущей теоремы следует, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Но всегда ли стороны, противолежащие равным углам, должны быть равными? Ответим на этот вопрос следующей теоремой.

Теорема: (признак равнобедренного треугольника) Если в треугольнике два угла равны, те он равнобедренный:

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC Значение треугольников в геометрии. Докажем, что этот треугольник равнобедренный.

Через точку D — середину стороны АС — проведем прямую d , перпендикулярную АС. Пусть эта прямая пересекает луч АВ в точке Значение треугольников в геометрии(рис. 85). Соединим точки Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриии рассмотрим треугольники Значение треугольников в геометрии. У них сторона Значение треугольников в геометрииобщая, Значение треугольников в геометриии AD = CD по построению. Таким образом, Значение треугольников в геометриипо первому признаку. Отсюда Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии. Поскольку по построению точка Значение треугольников в геометриилежит на луче АВ, угол Значение треугольников в геометриисовпадает с углом А треугольника ABC. Тогда по условию теоремы и по доказанному имеем: Значение треугольников в геометрии. Таким образом, по аксиоме откладывания углов углы Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриисовпадают, то есть точка Значение треугольников в геометриилежит и на луче СВ. Поскольку лучи АВ и СВ имеют единственную точку пересечения, точки Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриисовпадают, то есть АВ = СВ. Теорема доказана.

Значение треугольников в геометрии

Если в треуольнике все углы равны, то он равносторонний.

Значение треугольников в геометрии

Отметим, что теперь мы имеем два пути доказательства того, что треугольник равнобедренный:

  1. по определению равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух сторон);
  2. по признаку равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух углов).

Пример №18

На продолжении основания АС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки D и E, причем AD=CE (рис. 87). Докажите, что треугольник DBE равнобедренный:

Значение треугольников в геометрии

Решение:

Рассмотрим треугольники DAB и ЕСВ. У них AD = СЕ по условию, АВ = СВ как боковые стороны равнобедренного треугольника ABC. По свойству углов при основании равнобедренного треугольника ABC Значение треугольников в геометриитогда Значение треугольников в геометриикак углы, смежные с равными углами. Значит, Значение треугольников в геометриипо первому признаку равенства треугольников.

Завершить доказательство можно одним из двух способов.

1 -й способ. Поскольку Значение треугольников в геометриито Значение треугольников в геометрииТаким образом, треугольник DBE равнобедренный по определению.

2-й способ. Поскольку Значение треугольников в геометриито Значение треугольников в геометрииТаким образом, треугольник D BE равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника;

Прямая и обратная теоремы

Проанализируем две предыдущие теоремы о равнобедренном треугольнике, выделив в каждой из них условие и заключение. Свойство углов равнобедренного треугольника можно сформулировать так: «Если треугольник равнобедренный, то в нем два угла (при основании) равны». Теперь становится очевидным, что условие первой теоремы («треугольник равнобедренный») — это заключение второй, а заключение первой теоремы («в треугольнике два угла равны») — это условие второй теоремы. В таком случае вторая теорема является обратной первой (прямой).

Изобразим наглядно связь прямой и обратной теорем.

ПРЯМАЯ ТЕОРЕМА

Если А то B

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА

Если В, то А

Теорема, обратная данной, не обязательно верна. Рассмотрим, например, теорему о вертикальных углах, сформулировав ее так: «Если два угла вертикальные, то они равны». Понятно, что обратная теорема неверна: ведь если два угла равны, то они не обязательно вертикальные.

Немало подобных примеров можно привести и из повседневной жизни. Например, если ученик является семиклассником, то он изучает геомет рию. Обратное утверждение ошибочно: если ученик изучает геометрию, то он не обязательно семиклассник, ведь геометрию изучают и в старших классах. Попробуйте самостоятельно найти примеры прямых и обратных утверждений в других науках, изучаемых в школе.

Таким образом, пользоваться утверждением, обратным доказанной теореме, можно лишь тогда, когда оно также доказано.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Помимо сторон и углов, с треугольником связано несколько важных элементов, имеющих специальные названия.

Определение

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

На рисунке 95 отрезок ВМ является медианой треугольника ABC. В любом треугольнике можно провести три медианы — по одной из каждой вершины. Далее будет доказано, что все они пересекаются в одной точке (рис. 96)

Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии

Определение:

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

На рисунке 97 отрезок BL — биссектриса треугольника ABC. Обратим внимание на то, что, в отличие от биссектрисы угла, являющейся лучом, биссектриса треугольника — отрезок. Очевидно, что любой треугольник имеет три биссектрисы (рис. 98). Все они также пересекаются в одной точке (этот факт будет доказан далее).

Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии

Определение:

Высотой треугольника называется перпендикуляр. опущенный из вершины треугольника на прямую, которая содержит его противолежащую сторону.

[1] Подчеркнем, что здесь и далее, приводя утверждения, которые будут доказаны позднее, мы не будем ссылаться на них до того момента, когда они будут доказаны.

На рисунке 99 отрезок ВН — высота треугольника ABC.

По теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, из каждой вершины треугольника можно провести только одну его высоту. Высоты треугольника не обязательно лежат внутри него. В отличие от медиан и биссектрис, некоторые из высот могут совпадать со сторонами или проходить вне треугольника (рис. 100).

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (это утверждение докажем позднее).

Значение треугольников в геометрии

Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника

Теорема: (свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника)

В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Доказательство:

Доказательство данной теоремы состоит из трех частей.

1) Пусть BD — медиана равнобедренного треугольника ABC , проведенная к основанию АС (рис. 101, а). Докажем, что BD является также биссектрисой и высотой треугольника ABC .

Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии

Рис. 101 Отрезок DB — медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника ABC

Рассмотрим треугольники ABD и CBD . У них АВ = СВ по определению равнобедренного треугольника, Значение треугольников в геометриикак углы при основании равнобедренного треугольника, AD = CD по определению медианы. Следовательно, Значение треугольников в геометриипо первому признаку равенства треугольников. Из этого вытекает, что Значение треугольников в геометрии, то есть BD — биссектриса треугольника ABC .

Кроме того, Значение треугольников в геометрииа поскольку эти углы смежные, то оба они прямые. Значит, BD — высота треугольника ABC . Таким образом, отрезок BD — медиана треугольника ABC , проведенная к основанию,— является также биссектрисой и высотой треугольника.

2. Пусть теперь BD — биссектриса равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию АС (рис. 101, б). Аналогично предыдущему случаю можно доказать, что BD является также медианой и высотой треугольника ABC. Действительно, в этом случае Значение треугольников в геометриино второму признаку Значение треугольников в геометрииОтсюда AD=CD, то есть BD — медиана треугольника, и Значение треугольников в геометрии, то есть BD — высота треугольника.

3. Пусть BD — высота треугольника ABC . Докажем от противного, что BD является медианой и биссектрисой данного треугольника. Пусть существуют медиана Значение треугольников в геометриии биссектриса Значение треугольников в геометрии, не совпадающие с Значение треугольников в геометрии— Тогда по доказанному выше отрезки Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриитакже являются высотами треугольника. Таким образом, из точки В к прямой АС проведены три различных перпендикуляра, что противоречит теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Из этого противоречия следует, что отрезки Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриисовпадают,

то есть BD — медиана и биссектриса данного треугольника.

Итак, в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Медиана — от латинского «медианус» — средний

В равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают.

Теорема, обратная данной, также верна: если в треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведанные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный (докажите это утверждение самостоятельно).

На практике для решения задач вместо доказанной теоремы часто используют утверждение с условием совпадения лишь двух из трех указанных отрезков:

  1. если в треугольнике медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
  2. если в треугольнике биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
  3. если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный. Первые два утверждения докажите самостоятельно. Третье утверждение мы рассмотрим в п. 12.3.

Пример №19

Докажите равенство равнобедренных Треугольников по углу, противолежащему основанию, и медиане, проведенной к основанию

Решение:

Пусть Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии— данные равнобедренные треугольники с основаниями Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии— Медианы этих треугольников, причем Значение треугольников в геометрии(рис. 102). Докажем, что Значение треугольников в геометрии

Рассмотрим треугольники Значение треугольников в геометрии. По условию Значение треугольников в геометрии. Поскольку по свойству медианы биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииявляются также биссектрисами равных углов Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, то Значение треугольников в геометрииотрезки Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии— высоты равнобедренных треугольников, поэтому Значение треугольников в геометрии90°. Таким образом,Значение треугольников в геометрии, по второму признаку равенства треугольников, откуда Значение треугольников в геометриитогда и Значение треугольников в геометрии Значение треугольников в геометрииЗначит, треугольники Значение треугольников в геометрииравны по перво му признаку равенства треугольников. • . ;

Значение треугольников в геометрии

Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .

Для решения некоторых геометрических задач необходимо проводить дополнительные построения, то есть достраивать отрезки и углы, не упомянутые в условии задачи. Это нужно для получения вспомогательных фигур, рассмотрение которых позволяет найти или доказать требуемое. Существуют определенные виды дополнительных построений, применяемые чаще других. Один из них мы рассмотрим в следующей задаче.

Пример №20

Если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совладают, то такой треугольник равнобедренный. Докажите.

Решение:

Пусть 80 — медиана и биссектриса данного треугольника ABC (рис; 103). Докажем, что треугольник ABC равнобедренный.

Значение треугольников в геометрии

На луче ВD от точки D отложим отрезок Значение треугольников в геометрииравный BD (то есть удвоим медиану ВО). Рассмотрим треугольники Значение треугольников в геометрииУ них АD = СD по определению медианы, Значение треугольников в геометриипо построению, Значение треугольников в геометриикак вертикальные. Таким образом, Значение треугольников в геометриипо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что Значение треугольников в геометрии Значение треугольников в геометрии. Рассмотрим теперь треугольник Значение треугольников в геометрииС учетом того, что BD — биссектриса угла ABC , имеем Значение треугольников в геометриитогда Значение треугольников в геометрииПо признаку равнобедренного треугольника, треугольник Значение треугольников в геометрииравнобедренный с основанием Значение треугольников в геометрииОтсюда Значение треугольников в геометрииа поскольку по доказанному Значение треугольников в геометрииТаким образом, треугольник ABC равнобедренный, что и требовалось доказать.

[1] Здесь и далее звездочкой обозначен теоретический материал, изучение которого не является обязательным.

Проанализируем решение этой задачи. Отображение всех данных условия на рисунке не выявило набора элементов, позволяющих сразу начать доказательство. Это обусловило необходимость дополнительного построения, благодаря которому образовался вспомогательный треугольник Значение треугольников в геометрии. Доказав его равенство с треугольником Значение треугольников в геометрии, мы получили дополнительные равенства отрезков и углов и решили задачу.

Дополнительное построение состояло в удвоении отрезка BD . Такое построение используется чаще всего именно для медиан треугольников, поэтому основанн ый на нем метод доказательства называют методом удвоения медианы.

Третий признак равенства треугольников и его применение

Третий признак равенства треугольников

Применим свойства равнобедренного треугольника для доказательства третьего признака равенства треугольников.

Теорема: (третий признак равенства треугольников — по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, у которых Значение треугольников в геометрии. Докажем, что Значение треугольников в геометрии.

Приложим треугольник Значение треугольников в геометриик треугольнику Значение треугольников в геометриитак, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной Значение треугольников в геометрии, вершина Значение треугольников в геометрии— с вершиной В, а точки Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриилежали по разные стороны от прямой АВ. Возможны три случая:

  1. луч Значение треугольников в геометриипроходит внутри угла АСВ (рис. 107, а);
  2. луч Значение треугольников в геометриипроходит вне угла АСВ (рис. 107, б);
  3. луч Значение треугольников в геометриисовпадает с одной из сторон угла АСВ (рис. 107, в).

Значение треугольников в геометрии Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии

Рис. Прикладывание треугольника Значение треугольников в геометриик треугольнику Значение треугольников в геометрии

Рассмотрим случаи 1 и 2, Поскольку по условию теоремы Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, то треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииравнобедренные с основанием Значение треугольников в геометрии. По свойству равнобедренного треугольника Значение треугольников в геометрии. Тогда Значение треугольников в геометриикак суммы (или разности) равных углов. Таким образом, Значение треугольников в геометриипо первому признаку равенства треугольников. В случае 3 равенство углов Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииследует из свойства равнобедренного треугольника с основаниемЗначение треугольников в геометрии, а дальнейшее доказательство проводится аналогично. Теорема доказана.

Обобщая признаки равенства треугольников, можно увидеть, что во всех трех признаках равенство треугольников следует из равенства трех пар соответствующих элементов. И это не случайно: как правило, треугольник можно задать (построить) именно по трем элементам, но не произвольным, а определяющим единственный треугольник. Например, треугольник однозначно определяется длинами трех его сторон (это следует из только что доказанного третьего признака). Однако, например, градусные меры трех углов не задают треугольник однозначно. Попробуйте самостоятельно построить соответствующий контрпример — два неравных треугольника с соответственно равными углами.

Пример №21

Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

Решение:

Пусть Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии— данные треугольники с медианами Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, соответственно, причем Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии(рис. 108). Рассмотрим сначала треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииВ них Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, по условию, Значение треугольников в геометриикак половины равных сторон Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриито есть Значение треугольников в геометриипо третьему признаку. Отсюда, в частности, следует, что Значение треугольников в геометрииТогда Значение треугольников в геометриипо первому признаку Значение треугольников в геометриипо условию, Значение треугольников в геометриипо доказанному).

Значение треугольников в геометрии

Свойства и признаки

Проанализируем признаки равенства треугольников. Все эти утверждения одинаковы по структуре: если треугольники имеют некоторую особенность, то они равны. Эта особенность (равенство трех пар соответствующих элементов) и составляет признак равенства треугольников. Нетрудно догадаться по аналогии, что, скажем, признак параллельности прямых может выглядеть так: «Если две прямые имеют определенную особенность, то они параллельны» (вспомните, рассматривались ли ранее похожие утверждения).

Во многих геометрических утверждениях мы получаем новые особенности фигур с помощью уже известных: например, если два угла вертикальные, то они равны. В этом случае равенство является свойством вертикальных углов. По аналогии, свойство смежных углов будет иметь следующий вид: «Если два угла смежные, то они имеют определенную особенность». Нетрудно догадаться, какое из изученных утверждений является свойством смежных углов.

Отметим еще один интересный факт. Если нам дан равнобедренный треугольник, то равенство двух его углов — свойство равнобедренного треугольника. Если же из условия равенства двух углов некоторого треугольника мы делаем заключение, что этот треугольник равнобедренный, то равенство этих углов — признак равнобедренного треугольника. Таким образом, одна и та же особенность фигуры в зависимости от условия задачи может рассматриваться либо как свойство, либо как признак.

Приведем примеры свойств и признаков, не связанные с геометрией. Наличие длинной шеи является свойством жирафа (если животное — жираф, то оно имеет длинную шею). Но длинную шею имеют также и страусы, то есть не любое животное с длинной шеей — жираф. Таким образом, наличие длинной шеи не является признаком жирафа. Другой пример: повышение температуры — признак болезни (ведь если у человека высокая температура, то он болен), но повышение температуры не свойство болезни (ведь многие болезни не сопровождаются повышением температуры). И наконец, пример из арифметики: последняя цифра 0 — и свойство, и признак чисел, которые делятся на 10.

Попробуйте привести собственные примеры свойств и признаков, изучаемых в школе.

Признаки параллельности прямых

Углы, образованные при пересечении двух прямых третьей

Пусть прямая с пересекает каждую из двух прямых a и b (рис. 118). В таком случае говорят, что прямая с является секущей прямых а и b. При таком пересечении двух прямых третьей образуются пары неразвернутых углов, имеющих специальные названия:

Значение треугольников в геометрии

  • внутренние накрест лежащие углы лежат между прямыми а и b по разные стороны от секущей: 3 и 6, 4 и 5;
  • внутренние односторонние углы лежат между прямыми а и & по одну сторону от секущей: 3 и 5, 4 и 6;
  • соответственные углы лежат по одну сторону от секущей, причем сторона одного из них является частью стороны другого: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6, 4 и 8.

Признаки параллельности прямых

Вы уже изучили две теоремы, которые утверждают, что две прямые параллельны:

  1. если две прямые параллельны третьей, то они параллельны;
  2. если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны.

Докажем еще несколько признаков параллельности прямых.

Теорема: (признак параллельности двух прямых, которые пересекаются секущей)

Если при пересечении двух прямых, секущей внутренние накрестлежащие углы равны; то прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть прямая с пересекает прямые а и b в точках А и В соответственно, причем Значение треугольников в геометрии(рис. 119). Докажем, что Значение треугольников в геометрии.

Значение треугольников в геометрии

Если углы 1 и 2 прямые, то Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии. Тогда Значение треугольников в геометриипо теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Проведем из точки О — середины отрезка АВ — перпендикуляр Значение треугольников в геометрии, к прямой O. Пусть Н2 — точка пересечения прямых Значение треугольников в геометрии

Рассмотрим треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии. У них Значение треугольников в геометриипо условию, Значение треугольников в геометриикак вертикальные и Значение треугольников в геометриипо построению. Итак, Значение треугольников в геометриипо второму признаку равенства треугольников. Отсюда Значение треугольников в геометриито есть прямая Значение треугольников в геометрииперпендикулярна прямым а и b. Тогда Значение треугольников в геометриипо теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Теорема доказана.

Для доказательства параллельности прямых можно использовать не только внутренние накрест лежащие углы, но и другие пары образовавшихся углов.

Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна Значение треугольников в геометрии, то прямые параллельны.

Действительно, если Значение треугольников в геометрии(рис. 120) и по теореме о смежных углах Значение треугольников в геометрии, то Значение треугольников в геометрииТогда по доказанной теореме Значение треугольников в геометрии.

Значение треугольников в геометрии

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Действительно, если Значение треугольников в геометрии(рис. 121), a Значение треугольников в геометриикак вертикальные, то Значение треугольников в геометрииТогда но доказанной теореме Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Следствия 1 и 2 можно объединить с доказанной теоремой в одно утверждение, выражающее признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей выполняется хотя бы одно из условий:

  1. внутренние накрест лежащие углы равны;
  2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
  3. соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.

Если выполняется одно из трех приведенных условий, то выполняются и два других (докажите это самостоятельно).

Пример №22

На рисунке 122 Значение треугольников в геометрии— биссектриса угла Значение треугольников в геометрииДокажите, что Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Решение:

По условию задачи треугольник Значение треугольников в геометрииравнобедренный с основанием Значение треугольников в геометрииПо свойству углов равнобедренного треугольника Значение треугольников в геометрииВместе с тем Значение треугольников в геометриитак как АС — биссектриса угла BAD. Отсюда, Значение треугольников в геометрии Значение треугольников в геометрииУглы 2 и 3 внутренние накрест лежащие при прямых Значение треугольников в геометриии секущей Значение треугольников в геометрииПоскольку эти уг лы равны, то по признаку параллельности прямых Значение треугольников в геометриичто и требовалось доказать.

О существовании прямой, параллельной данной

Доказанные признаки параллельности прямых позволяют подробнее проанализировать формулировку аксиомы параллельных прямых (аксиомы Евклида, п. 4.1). В этой аксиоме утверждалась единственность прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой, но не утверждалось ее существование.

На основании признака параллельности прямых существование такой прямой можно доказать.

Пусть даны прямая АВ и точка С, не принадлежащая этой прямой (рис. 123). Проведем прямую АС. От луча СА отложим угол ACD, равный углу CAB, так, как показано на рисунке. Тогда углы ACD и CAB — внутренние накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей АС. По доказанному признаку AB || CD , то есть существует прямая, проходящая через точку С параллельна прямой АВ.

Значение треугольников в геометрии

Таким образом, мы можем объединить доказанный факт с аксиомой параллельных прямых в следующей теореме.

Теорема: (о существовании и единственности прямой, параллельной данной)

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, я притом только одну.

Вообще, аксиома Евклида и связанные с ней утверждения были предметом особого внимания ученых на протяжении многих веков. В начале позапрошлого столетия выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский создал неевклидову геометрию, в которой аксиома параллельных прямых не выполняется.

Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Теорема о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

В предыдущем параграфе мы установили соотношения углов между двумя прямыми и секущей, гарантирующие параллельность данных прямых. Но обязательно ли эти соотношения сохраняются для любой пары параллельных прямых, пересеченных секущей? Докажем утверждение, обратное признаку параллельности прямых.

Теорема: (свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей)

Если секущая пересекает две параллельные прямые, то:

  1. внутренние накрестлежащие углы равны;
  2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
  3. соответственные углы равны.

Доказательство:

Докажем первое из утверждений теоремы.

Пусть секущая с пересекает параллельные прямые а и b в точках A и В соответственно (рис. 132). Докажем методом от противного, что внутренние накрест лежащие углы при этих прямых равны.

Значение треугольников в геометрии

Пусть эти углы не равны. Проведем через точку А прямую Значение треугольников в геометриитак, чтобы внутренние накрест лежащие углы при прямых Значение треугольников в геометриии b и секущей с были равны. Тогда по признаку параллельности прямых имеем Значение треугольников в геометрииНо Значение треугольников в геометриипо условию теоремы, а по аксиоме параллельных прямых через точку А можно провести лишь одну прямую, параллельную b. Таким образом, мы получили противоречие.

Следовательно, наше предположение ошибочно, то есть внутренние накрест лежащие углы равны. Из доказанного утверждения нетрудно получить другие два утверждения теоремы (сделайте это самостоятельно).

Следствие Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой

Это следствие обоснуйте самостоятельно по рисунку 133.

Значение треугольников в геометрии

Пример №23

Сумма двух внутренних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 210°. Найдите все образовавшиеся углы.

Решение:

Пусть а || b, с — секущая. Внутренние углы, о которых говорится в условии, могут быть односторонними, накрест лежащими или смежными. Поскольку при пересечении параллельных прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180° и сумма смежных углов также равна 180°, то данные углы — внутренние накрест лежащие. Пусть Значение треугольников в геометрии(рис. 134). Поскольку Значение треугольников в геометриито Значение треугольников в геометрииТогда:

Значение треугольников в геометрии°, так как углы 1 и 5 соответственные; Значение треугольников в геометрии, так как углы 3 и 5 внутренние односторонние; Значение треугольников в геометриитак как углы 2 и 3 вертикальные; Значение треугольников в геометриитак как углы 5 и 6 смежные; Значение треугольников в геометриитак как углы 7 и 3 соответственные; Значение треугольников в геометриитак как углы 8 и 4 соответственные.

Значение треугольников в геометрии

Расстояние между параллельными прямыми

Как вы уже знаете, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Можно предположить, что расстояние между параллельными прямыми тоже будет определяться с помощью перпендикуляра. Но прежде чем сформулировать определение, докажем еще одно свойство параллельных прямых.

Теорема: (о расстояниях от точек прямой до параллельной прямой)

Расстояния от любых двух точек прямой до параллельной ей прямой равны

Доказательство:

Пусть а и b — данные параллельные прямые, Значение треугольников в геометрии— расстояния от точек Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриипрямой Значение треугольников в геометриидо прямой Значение треугольников в геометрии(рис. 135). Докажем, что

Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Поскольку по определению расстояния от точки до прямой Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, то по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, Значение треугольников в геометрии

Рассмотрим треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииУ них сторона Значение треугольников в геометрииобщая, Значение треугольников в геометриикак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриии секущей Значение треугольников в геометриикак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриии секущей Значение треугольников в геометрии. Таким образом, Значение треугольников в геометриипо второму признаку равенства треугольников, откуда Значение треугольников в геометрииТеорема доказана.

Из только что доказанной теоремы следует, что расстояние от точки прямой а до прямой b не зависит от выбора точки, то есть одинаково для всех точек прямой a. Это позволяет сформулировать следующее определение.

Определение:

Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Таким образом, расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую прямую.

На рисунке 136 Значение треугольников в геометриито есть АВ — расстояние между прямыми а и b. Заметим, что по следствию теоремы о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, Значение треугольников в геометрии, то есть Значение треугольников в геометрии— общий перпендикуляр к прямым а и b.

Значение треугольников в геометрии

Сумма углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника и ее следствия

Теорема: (о сумме углов треугольника)

Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, что Значение треугольников в геометрииПроведем через вершину В прямую b , параллельную АС (рис. 141). Тогда углы 1 и 4 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых b и АС и секущей АВ. Аналогично Значение треугольников в геометриикак внутренние накрест лежащие при тех же параллельных прямых, но секущей ВС. Имеем: Значение треугольников в геометрииТеорема доказана.

Значение треугольников в геометрии

В любом треугольнике по крайней мере два угла острые.

Действительно, если треугольник имел бы два неострых угла (тупых или прямых), то сумма всех углов превышала бы 180°, что противоречит доказанной теореме.

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Поскольку все углы равностороннего треугольника равны, то каждый из них равен Значение треугольников в геометрии.

Рассмотрим еще одно важное утверждение, которое следует из доказанной теоремы.

Пример №24

Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен 60°, то этот треугольник равносторонний. Докажите.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС. Рассмотрим два случая.

  1. Пусть угол 60° — один из углов при основании, например Значение треугольников в геометрии(рис. 142, а). Тогда Значение треугольников в геометриикак углы при основании равнобедренного треугольника. Таким образом, Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрииЗначит, Значение треугольников в геометриито есть ABC — равносторонний треугольник.
  2. Пусть угол 60° — угол, противолежащий основанию, то есть Значение треугольников в геометрии(рис. 142, б). Тогда Значение треугольников в геометриикак углы при основании равнобедренного треугольника. Каждый из этих углов равен (180° — 60°) : 2 = 60°. Снова имеем, что все углы треугольника ABC равны, значит, этот треугольник равносторонний.

Только что решенная задача является опорной, то есть на нее можно ссылаться при решении других задач, кратко пересказывая ее содержание. В дальнейшем условия таких задач в учебнике будут выделены полужирным шрифтом и словом «опорная».

Виды треугольников по величине углов. Классификация

Как уже было доказано, любой треугольник имеет не менее двух острых углов. Это означает, что возможны три случая:

  1. все углы треугольника острые — остроугольный треугольник;
  2. два угла треугольника острые, а третий угол прямой — прямоугольный треугольник;
  3. два угла треугольника острые, а третий угол тупой — тупоугольный треугольник.

Исходя из этого, все треугольники можно разделить по величине углов на три вида: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные (рис. 143).

Значение треугольников в геометрии

Обратим внимание на то, что величина углов — это признак, по которому любой данный треугольник можно отнести лишь к одному из трех названных видов. Такое деление объектов на отдельные виды по определенному признаку называют классификацией. Признак, по которому осуществляется классификация, является ее основанием. Так, треугольники можно разделить и по другому основанию — длине сторон — на разносторонние (то есть не имеющие равных сторон), равнобедренные, но не равносторонние (у которых только две стороны равны) и равносторонние треугольники.

Классификация считается правильной, если любой из объектов можно отнести лишь к одному из названных классов. Так, неправильно будет разделять прямые на плоскости по взаимному расположению на параллельные, пересекающиеся и перпендикулярные (ведь перпендикулярность — частный случай пересечения). Ошибочно подразделять по величине неразвернутые углы на острые и тупые, поскольку есть еще и прямые углы.

Очень важно проводить классификацию лишь по одному основанию. Например, неверным было бы разделять треугольники на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные и равнобедренные, ведь равнобедренным может быть и остроугольный, и прямоугольный, и тупоугольный треугольник. Допустить такую ошибку — то же самое, что разделить всех людей на мужчин, женщин и учителей.

Примеры классификаций нетрудно найти и в других науках. Так, филологи делят члены предложения на главные (подлежащее и сказуемое) и второстепенные (дополнение, определение и обстоятельство). Попробуйте найти примеры классификации в физике, географии, биологии.

Внешний угол треугольника

Определение:

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом данного треугольника.

На рисунке 144 угол DAB — внешний угол треугольника ABC при вершине А.

Значение треугольников в геометрии

Очевидно, что при любой вершине треугольника можно построить два внешних угла, которые по отношению друг к другу являются вертикальными (рис. 145).

Значение треугольников в геометрии

Теорема: (о внешнем угле треугольника)

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство:

Пусть углы 1, 2 и 3 — внутренние углы треугольника ABC, a Значение треугольников в геометрии— внешний угол, смежный с углом 1 (рис. 146). По теореме о сумме углов треугольника Значение треугольников в геометрииС другой стороны, по теореме о смежных углах Значение треугольников в геометрииОтсюда, Значение треугольников в геометриичто и требовалось доказать.

Значение треугольников в геометрии

Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Действительно, по доказанной теореме (рис. 146) Значение треугольников в геометрииТогда для их суммы имеем: Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии

Прямоугольные треугольники

Элементы прямоугольного треугольника

Как известно, прямоугольный треугольник имеет один прямой и два острых угла. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны — катетами. На рисунке 147 в треугольнике Значение треугольников в геометрии, AC — гипотенуза, АВ и ВС — катеты.

Значение треугольников в геометрии

Из теоремы о сумме углов треугольника следует: сумма острых углов прямоугольного трек- угольника равна 90°. Имеет место и обратное утверждение — признак прямоугольного треугольника: если в треугольнике сумма двух углов равна 90°, то этот треугольник прямоугольный.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Пользуясь признаками равенства треугольников и теоремой о сумме углов треугольника, можно сформулировать признаки равенства, характерные только для прямоугольных треугольников.

Приведем сначала два из них.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам (рис. 148) Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Значение треугольников в геометрии

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу (рис. 149)

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Значение треугольников в геометрии

Данные признаки — частные случаи первого и второго признаков равенства треугольников.

Следующие два признака нетрудно получить из второго признака равенства треугольников, используя теорему о сумме углов треугольника.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (рис. 150) Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Значение треугольников в геометрии

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (рис. 151)

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Значение треугольников в геометрии

Действительно, если данный треугольники имеют по равному острому углу Значение треугольников в геометрии, то другие острые углы этих треугольников равны Значение треугольников в геометрии, то есть также соответственно равны.

Еще один признак равенства прямоугольных треугольников докажем отдельно.

Гипотенуза — от греческого «гипотейнуса» — стягивающая. Название связано со способом построения прямоугольных реугольников натягиванием бечевки.

Теорема: (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету)

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть Значение треугольников в геометрии— данные прямоугольные треугольники, в которых Значение треугольников в геометрии90° , Значение треугольников в геометрии(рис. 152). Докажем, что Значение треугольников в геометрии

На продолжениях сторон Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииотложим отрезки Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, равные катетам Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриисоответственно. Тогда Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, по двум катетам. Таким образом, Значение треугольников в геометрии. Это значит, что Значение треугольников в геометриипо трем сторонам. Отсюда Значение треугольников в геометрииИ наконец, Значение треугольников в геометрии, по гипотенузе и острому углу. Теорема доказана.

Обратим внимание на дополнительное построение, состоящее в достраивании прямоугольного треугольника до равнобедренного.

Такой прием позволяет применять свойства равнобедренного треугольника при решении задач, в условиях которых о равнобедренном треугольнике речь не идет.

Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии

Рис. 152. Прямоугольные треугольники ABC и Значение треугольников в геометрииравны по гипотенузе и катету.

Прямоугольный треугольник с углом 30°

Прямоугольный треугольников котором один из острых углов равен 30°, имеет полезное свойство.

Опорная задача

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Докажите.

Решение

Пусть в треугольнике Значение треугольников в геометрии. Докажем, что Значение треугольников в геометрииОчевидно, что в треугольнике Значение треугольников в геометрииОтложим на продолжении стороны Значение треугольников в геометрииотрезок Значение треугольников в геометрии, равный Значение треугольников в геометрии(рис. 153). Прямоугольные треугольники Значение треугольников в геометрииравны по двум катетам. Отсюда следует, что Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии Значение треугольников в геометрииТаким образом, треугольник Значение треугольников в геометрииравносторонний, а отрезок Значение треугольников в геометрии— его медиана, то есть Значение треугольников в геометриичто и требовалось доказать.

Значение треугольников в геометрии

Имеет место также обратное утверждение (опорное): если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий данному катету, равен 30°.

Попробуйте доказать это утверждение самостоятельно при помощи дополнительного построения, аналогичного только что описанному.

Катет — от греческого «катетос» — отвес.

Сравнение сторон и углов треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема: (соотношения между сторонами и углами треугольника)

  1. против большей стороны лежит больший угол;
  2. против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство:

Данная теорема содержит два утверждения — прямое и обратное. Докажем каждое из них отдельно.

1. Пусть в треугольнике Значение треугольников в геометрии. Докажем, что Значение треугольников в геометрии. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 156). Поскольку Значение треугольников в геометриито точка D лежит между точками А к В, значит, угол 1 является частью угла С, то есть Значение треугольников в геометрииОчевидно, что треугольник ADC равнобедренный с основанием DC, откуда Значение треугольников в геометрииКроме того, угол 2 — внешний угол треугольника Значение треугольников в геометрии, поэтому Значение треугольников в геометрии. Следовательно, имеем: Значение треугольников в геометрииоткуда Значение треугольников в геометрии

2. Пусть в треугольнике Значение треугольников в геометрииДокажем от противного, что Значение треугольников в геометрии. Если это не так, то Значение треугольников в геометрииили Значение треугольников в геометрии. В первом случае треугольник ABC равнобедренный с основанием ВС, то есть Значение треугольников в геометрии. Во втором случае, по только что доказанному утверждению, против большей стороны должен лежать больший угол, то есть Значение треугольников в геометрии. В обоих случаях имеем противоречие условию Значение треугольников в геометрии. Таким образом, наше предположение неверно, то есть Значение треугольников в геометрии. Теорема доказана.

Значение треугольников в геометрии

В тупоугольном треугольнике сторона, лежащая против тупого угла, — наибольшая.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Неравенство треугольника

Теорема: (неравенство треугольника)

В треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что Значение треугольников в геометрии. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок BD, равный стороне ВС (рис. 157). Треугольник BСD равнобедренный с основанием CD, откуда Значение треугольников в геометрииНо угол 2 является частью угла ACD, то есть Значение треугольников в геометрииТаким образом, в треугольнике Значение треугольников в геометрии. Учитывая соотношение между сторонами и углами тре угольника, имеем: Значение треугольников в геометрииТеорема доказана.

Значение треугольников в геометрии

Если для трех точек А, В, С справедливо равенство АС = АВ + ВС, то эти тонки лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С.

Действительно, если точка В не лежит на прямой АС, то по неравенству треугольника АС Значение треугольников в геометрии АВ + ВС . Если точка В лежит на прямой АС вне отрезка АС, это неравенство также очевидно справедливо. Остается единственная возможность: точка В лежит на отрезке АС.

Неравенство треугольника позволяет проанализировать возможность построения треугольника с заданными сторонами. В частности, если хотя бы одно из трех положительных чисел а, b, с больше или равно сумме двух других, то построить треугольник со сторонами а, b, с невозможно.

С неравенством треугольника связана классическая задача о нахождении кратчайшего пути на плоскости. Ее решение было известно еще великому древнегреческому ученому Архимеду (287—212 гг. до н. э.).

Пример №25

Точки А и В лежат по одну сторону от прямой с. Найдите на данной прямой такую точку С, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей (рис. 158).

Значение треугольников в геометрии

Решение:

Опустим из точки А перпендикуляр АО к прямой с и отложим на его продолжении отрезок Значение треугольников в геометрииравный Значение треугольников в геометрииДля любой точки С прямой с прямоугольные треугольники Значение треугольников в геометрииравны по двум катетам, откуда Значение треугольников в геометрииОчевидно, что по следствию неравенства треугольника сумма Значение треугольников в геометриибудет наименьшей в случае, когда точки Значение треугольников в геометриилежат на одной прямой. Таким образом, искомая точка должна быть точкой пересечения отрезка Значение треугольников в геометриис прямой с.

Отметим, что в условиях данной задачи прямые АС и СB образуют с прямой с равные углы. Именно так распространяется луч света, который исходит из точки A, отражается от прямой с и попадает в точку В. Физики в таком случае говорят, что угол падения светового луча равен углу отражения.

Историческая справка

Аксиомы Евклида. Аксиомы, сформулированные Евклидом, легли в основу современной геометрии. Ученые на протяжении более двух тысяч лет исследовали, возможно ли доказать некоторые из евклидовых постулатов (аксиом), опираясь на другие. Особое внимание вызывала аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида). Среди великих геометров прошлого не было, пожалуй, ни одного, кто не попытался бы доказать ее как теорему. И только в начале XIX века выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) доказал, что эту аксиому невозможно вывести из других аксиом.

Неевклидова геометрия. Лобачевский создал другую, неевклидову геометрию. По Лобачевскому, прямая, параллельная данной прямой и проходящая через данную точку вне ее, не является единственной. Большинство современников это открытие не приняли. Такая же судьба постигла и работы других ученых, получивших аналогичные результаты: венгра Яноша Больяи и немца Карла Гаусса. И только через столетие неевклидова геометрия была признана и оценена как выдающееся научное открытие.

Значение треугольников в геометрии

Становление геометрической аксиоматики. В XX в. исследования вопросов аксиоматического построения геометрии вышли на качественно новый уровень. Немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943) обобщил и усовершенствовал систему евклидовых аксиом. Авторский вариант геометрических аксиом, разработанный на основе трудов Евклида и Гильберта, предложил наш соотечественник Алексей Васильевич Погорелов (1919-2002).

Геометрия треугольников. Евклид ввел понятие о равенстве геометрических фигур, совмещаемых наложением. В исследованиях древнегреческих геометров многие задачи и теоремы сводились к доказательству равенства треугольников (доказательство второго признака равенства треугольников приписывают Фалесу). Грекам была известна и теорема о сумме углов треугольника (впервые она встречается в комментариях Прокла к «началам» Евклида).

Значение треугольников в геометрии

Геометрия треугольника стала основой для изучения более сложных видов многоугольников, которые можно разбить на треугольники.

Справочный материал по треугольнику

Треугольники

Треугольник и его элементы. Равные треугольники

  • ✓ Три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, соединены отрезками (рис. 245). Образовавшаяся фигура ограничивает часть плоскости, которую вместе с отрезками АВ, ВС и СА называют треугольником. Точки А, В, С называют вершинами, а отрезки АВ, ВС, СА — сторонами треугольника.

Значение треугольников в геометрии

  • ✓ Треугольник называют и обозначают по его вершинам.
  • ✓ В треугольнике АВС угол В называют углом, противолежащим стороне АС, а углы А и С — углами, прилежащими к стороне АС.
  • ✓ Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.
  • ✓ Треугольник называют остроугольным, если все его углы острые; прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой.
  • ✓ Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами.
  • ✓ Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.
  • ✓ Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением. Те пары сторон и углов, которые совмещаются при наложении равных треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами.
  • ✓ В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
  • ✓ В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.
  • ✓ В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Высота, медиана, биссектриса треугольника

  • ✓ Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника.
  • ✓ Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называют медианой треугольника.
  • ✓ Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектрисой треугольника.

Признаки равенства треугольников

  • ✓ Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • ✓ Второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • ✓ Третий признак равенства треугольников: по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Равнобедренный треугольник и его свойства. Равносторонний треугольник

  • ✓ Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.
  • ✓ Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.
  • ✓ Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон.

✓ В равнобедренном треугольнике:

  • 1) углы при основании равны;
  • 2) биссектриса треугольника, проведенная к его основанию, является медианой и высотой треугольника.

✓ Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

✓ В равностороннем треугольнике:

  • 1) все углы равны;
  • 2) биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Признаки равнобедренного треугольника

  • ✓ Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника

  • ✓ Сумма углов треугольника равна 180°.
  • ✓ Среди углов треугольника по крайней мере два угла острые.
  • ✓ Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.
  • ✓ Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
  • ✓ Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.

Средняя линия треугольника и ее свойства

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 105 Значение треугольников в геометрии— средняя линия треугольника Значение треугольников в геометрии

Теорема 1 (свойство средней линии треугольника). Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство:

Пусть Значение треугольников в геометрии— средняя линия треугольника Значение треугольников в геометрии(рис. 105). Докажем, что Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии

1) Проведем через точку Значение треугольников в геометриипрямую, параллельную Значение треугольников в геометрииПо теореме Фалеса она пересекает сторону Значение треугольников в геометриив ее середине, то есть в точке Значение треугольников в геометрииСледовательно, эта прямая содержит среднюю линию Значение треугольников в геометрииПоэтому Значение треугольников в геометрии

2) Проведем через точку Значение треугольников в геометриипрямую, параллельную Значение треугольников в геометриикоторая пересекает Значение треугольников в геометриив точке Значение треугольников в геометрииТогда Значение треугольников в геометрии(по теореме Фалеса). Четырехугольник Значение треугольников в геометрии— параллелограмм.

Значение треугольников в геометрии(по свойству параллелограмма), но Значение треугольников в геометрии

Поэтому Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Пример №26

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, один из углов которого равен углу между диагоналями четырехугольника.

Доказательство:

Пусть Значение треугольников в геометрии— данный четырехугольник, а точки Значение треугольников в геометрии— середины его сторон (рис. 106). Значение треугольников в геометрии— средняя линия треугольника Значение треугольников в геометриипоэтому Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииАналогично Значение треугольников в геометрии

Таким образом, Значение треугольников в геометрииТогда Значение треугольников в геометрии— параллелограмм (по признаку параллелограмма).

Значение треугольников в геометрии— средняя линия треугольника Значение треугольников в геометрииПоэтому Значение треугольников в геометрииСледовательно, Значение треугольников в геометрии— также параллелограмм, откуда: Значение треугольников в геометрии

Рассмотрим свойство медиан треугольника.

Теорема 2 (свойство медиан треугольника). Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

Значение треугольников в геометрии

Доказательство:

Пусть Значение треугольников в геометрии— точка пересечения медиан Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриитреугольника Значение треугольников в геометрии(рис. 107).

1) Построим четырехугольник Значение треугольников в геометриигде Значение треугольников в геометрии— середина Значение треугольников в геометрии— середина Значение треугольников в геометрии

2) Значение треугольников в геометрии— средняя линия треугольника

Значение треугольников в геометриипоэтому Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии

3) Значение треугольников в геометрии— средняя линия треугольника Значение треугольников в геометриипоэтому Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии

4) Следовательно, Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииЗначит, Значение треугольников в геометрии— параллелограмм (по признаку параллелограмма).

5) Значение треугольников в геометрии— точка пересечения диагоналей Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриипараллелограмма Значение треугольников в геометриипоэтому Значение треугольников в геометрииНо Значение треугольников в геометрии Значение треугольников в геометрииТогда Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииСледовательно, точка Значение треугольников в геометрииделит каждую из медиан Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриив отношении 2:1, считая от вершин Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриисоответственно.

6) Точка пересечения медиан Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриидолжна также делить в отношении 2 : 1 каждую медиану. Поскольку существует единственная точка — точка Значение треугольников в геометриикоторая в таком отношении делит медиану Значение треугольников в геометриито медиана Значение треугольников в геометриитакже проходит через эту точку.

7) Следовательно, три медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Точку пересечения медиан еще называют центром масс треугольника, или центроидом треугольника.

Треугольник и его элементы

Треугольником называют фигуру, состоящую из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки (рис. 267).

Точки Значение треугольников в геометриивершины треугольника; отрезки Значение треугольников в геометрии Значение треугольников в геометриистороны треугольника; Значение треугольников в геометрии Значение треугольников в геометрииуглы треугольника.

Значение треугольников в геометрии

Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон. Значение треугольников в геометрии

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

На рисунке 268 Значение треугольников в геометрии— медиана треугольника Значение треугольников в геометрии

Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

На рисунке 269 Значение треугольников в геометрии— биссектриса треугольника Значение треугольников в геометрии

Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на прямую, содержащую его противолежащую сторону.

Значение треугольников в геометрии

На рисунке 270 Значение треугольников в геометрии— высота Значение треугольников в геометрииСумма углов треугольника равна 180°.

Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) против большего угла лежит большая сторона.

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 271).

Значение треугольников в геометрии

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 272).

Значение треугольников в геометрии

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам ). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны (рис. 273).

Значение треугольников в геометрии

Виды треугольников

Треугольник называют равнобедренным, если две его стороны равны.

На рисунке 274 Значение треугольников в геометрии— равнобедренный, Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии— его боковые стороны, Значение треугольников в геометрииоснование.

Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Значение треугольников в геометрии

Признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Треугольник, все стороны которого равны, называют равносторонним.

На рисунке 275 Значение треугольников в геометрии— равносторонний.

Свойство углов равностороннего треугольника. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Признак равностороннего треугольника. Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний.

Треугольник, все стороны которого имеют разную длину, называют разносторонним.

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

На рисунке 276 биссектриса Значение треугольников в геометриипроведенная к основанию Значение треугольников в геометрииравнобедренного треугольника Значение треугольников в геометрииявляется его медианой и высотой.

В зависимости от углов рассматривают следующие виды треугольников:

  • остроугольные (все углы которого — острые — рис. 277);
  • прямоугольные (один из углов которых — прямой, а два других — острые — рис. 278);
  • тупоугольные (один из углов которых — тупой, а два других — острые — рис. 279).

Значение треугольников в геометрии

Внешний угол треугольника

Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

На рисунке 280 Значение треугольников в геометрии— внешний угол треугольника Значение треугольников в геометрии

Свойство внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

Прямоугольные треугольники

Если Значение треугольников в геометриито Значение треугольников в геометрии— прямоугольный (рис. 281). Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриикатеты прямоугольного треугольника; Значение треугольников в геометриигипотенуза прямоугольного треугольника.

Свойства прямоугольных треугольников:

  1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
  2. Гипотенуза больше любого из катетов.
  3. Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
  4. Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.
  5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  1. По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
  2. По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны.
  3. По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
  4. По катету и противолежащему углу. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого, то такие треугольники равны.
  5. По катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны.

Всё о треугольнике

Как, не накладывая треугольники один на другой, узнать, что они равны? Какими особыми свойства ми обладают равнобедренный и равносторонний треугольники? Как «устроена» теорема?

На эти и многие другие вопросы вы найдете ответы в данном параграфе.

Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника

Рассмотрим три точки Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии, не лежащие на одной прямой. Соединим их отрезками Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии. Полученная фигура ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 109 зеленым цветом. Эту часть плоскости вместе с отрезками Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииназывают треугольником. Точки Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрииназывают вершинами, а отрезки Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометриисторонами треугольника.

Значение треугольников в геометрии

Треугольник называют и обозначают по его вершинам. Треугольник, изображенный на рисунке 109, обозначают так: Значение треугольников в геометрии, или Значение треугольников в геометрии, или Значение треугольников в геометриии т. д. (читают: «треугольник Значение треугольников в геометрии, треугольник Значение треугольников в геометрии» и т. д.). Углы Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии(рис. 110) называют углами треугольника Значение треугольников в геометрии.

В треугольнике Значение треугольников в геометрии, например, угол Значение треугольников в геометрииназывают углом, противолежащим стороне Значение треугольников в геометрии, углы Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии— углами, прилежащими к стороне Значение треугольников в геометрии, сторону Значение треугольников в геометриистороной, противолежащей углу Значение треугольников в геометрии, стороны Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриисторонами, прилежащими к углу Значение треугольников в геометрии(рис. 110).

Значение треугольников в геометрии

Определение. Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.

Например, для периметра треугольника Значение треугольников в геометриииспользуют обозначение Значение треугольников в геометрии.

Определение. Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой. Если все углы острые, то треугольник называют остроугольным (рис. 111).

Значение треугольников в геометрии

Теорема7.1 (неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Доказательство: Рассмотрим Значение треугольников в геометрии(рис. 109). Точка Значение треугольников в геометриине принадлежит отрезку Значение треугольников в геометрии. Тогда в силу основного свойства длины отрезка Значение треугольников в геометрии. Аналогично доказывают остальные два неравенства: Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии.

Из доказанной теоремы следует, что если ZK длина одного из трех данных отрезков не меньше суммы длин двух других, то эти отрезки не могут служить сторонами треугольника (рис. 112).

Значение треугольников в геометрии

Если любой из трех данных отрезков меньше суммы двух других, то эти отрезки могут служить сторонами треугольника.

Определение. Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением.

Значение треугольников в геометрии

На рисунке 113 изображены равные треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии. Записывают: Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии. Эти треугольники можно совместить так, что вершины Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриисовпадут. Тогда можно записать: Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии.

Те стороны и те углы, которые совмещаются при наложении треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами. Так, на рисунке 113 углы Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, стороны Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии— соответственные.

Обычно на рисунках равные стороны отмечают одинаковым количеством черточек, а равные углы — одинаковым количеством дуг. На рисунке ИЗ таким способом отмечены соответственные стороны и углы.

Заметим, что в равных треугольниках против соответственных углов лежат соответственные стороны, и наоборот: против соответственных сторон лежат соответственные углы.

То, что для каждого треугольника существует равный ему треугольник, обеспечивает такое основное свойство равенства треугольников. Для данного треугольника Значение треугольников в геометриии луча Значение треугольников в геометриисуществует треугольник Значение треугольников в геометрииравный треугольнику Значение треугольников в геометрии, такой, что Значение треугольников в геометриии сторона Значение треугольников в геометриипринадлежит лучу Значение треугольников в геометрии, а вершина Значение треугольников в геометриилежит в заданной полуплоскости относительно прямой Значение треугольников в геометрии(рис. 114).

Значение треугольников в геометрии

Теорема 7.2. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.

Доказательство: Рассмотрим прямую Значение треугольников в геометриии не принадлежащую ей точку Значение треугольников в геометрии(рис. 115). Предположим, что через точку Значение треугольников в геометриипроходят две прямые Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, перпендикулярные прямой Значение треугольников в геометрии.

Значение треугольников в геометрии

В силу основного свойства равенства треугольников существует треугольник Значение треугольников в геометрии, равный треугольнику Значение треугольников в геометрии(рис. 116). Тогда Значение треугольников в геометрии. Отсюда Значение треугольников в геометрии, а значит, точки Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии( лежат на одной прямой.

Аналогично доказывают, что точки Значение треугольников в геометриитакже лежат на одной прямой. Но тогда прямые Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииимеют две точки пересечения: Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии. А это противоречит теореме 1.1. Следовательно, наше предположение неверно.

Значение треугольников в геометрии

Возможно, вы заметили, что определения равных отрезков, равных углов и равных треугольников очень похожи. Поэтому целесообразно принять следующее

Определение. Две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.

Значение треугольников в геометрии

На рисунке 117 изображены равные фигуры Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии. Пишут: Значение треугольников в геометрии. Понятно, что любые две прямые (два луча, две точки).

Определение. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону, называют высотой треугольника.

Значение треугольников в геометрии

На рисунке 118 отрезки Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии— высоты треугольника Значение треугольников в геометрии. Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называют медианой треугольника.

Значение треугольников в геометрии

На рисунке 119 отрезок Значение треугольников в геометрии— медиана треугольника Значение треугольников в геометрии.

Определение. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называют биссектрисой треугольника.

Значение треугольников в геометрии

На рисунке 120 отрезок Значение треугольников в геометрии— биссектриса треугольника Значение треугольников в геометрии.

Далее, говоря «биссектриса угла треугольника», будем иметь в виду биссектрису треугольника, проведенную из вершины этого угла. Ясно, что каждый треугольник имеет три высоты, три медианы и три биссектрисы.

Часто длины сторон, противолежащих углам Значение треугольников в геометрии, обозначают соответственно Значение треугольников в геометрии. Длины высот обозначают Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии, медиан — Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии, биссектрис — Значение треугольников в геометрии. Индекс показывает, к какой стороне проведен отрезок (рис. 121).

Значение треугольников в геометрии

Первый и второй признаки равенства треугольников

Если для треугольников Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриивыполняются шесть условий Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии,Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометриито очевидно, что эти треугольники совпадут при наложении, значит, они равны. Попробуем уменьшить количество условий. Например, оставим лишь два равенства: Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии. Но тогда треугольники не обязательно окажутся равными (рис. 127).

Значение треугольников в геометрии

Как же сократить список требований до минимума, но при этом сохранить равенство треугольников? На этот вопрос отвечают теоремы, которые называют признаками равенства треугольников.

Теорема 8.1 (первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум, сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Значение треугольников в геометрии

Доказательство: Рассмотрим треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииу которых Значение треугольников в геометрии(рис. 128). Докажем, что Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии

Наложим Значение треугольников в геометриина Значение треугольников в геометриитак, чтобы луч Значение треугольников в геометриисовместился с лучом Значение треугольников в геометрии, а луч Значение треугольников в геометриисовместился с лучом Значение треугольников в геометрии. Это можно сделать, так как по условию Значение треугольников в геометрииПоскольку по условию Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, то при таком наложении сторона Значение треугольников в геометриисовместится со стороной Значение треугольников в геометрии, а сторона Значение треугольников в геометрии— со стороной Значение треугольников в геометрии. Следовательно, Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииполностью совместятся, значит, они равны.

Определение. Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, называют серединным перпендикуляром отрезка.

Значение треугольников в геометрии

На рисунке 129 прямая а является серединным перпендикуляром отрезка Значение треугольников в геометрии.

Теорема 8.2. Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов этого отрезка.

Значение треугольников в геометрии

Доказательство: Пусть Значение треугольников в геометрии— произвольная точка серединного перпендикуляра Значение треугольников в геометрииотрезка Значение треугольников в геометрии, точка Значение треугольников в геометрии— середина отрезка Значение треугольников в геометрии. Надо доказать, что Значение треугольников в геометрии. Если точка Значение треугольников в геометриисовпадает с точкой Значение треугольников в геометрии(а это возможно, так как Значение треугольников в геометрии— произвольная точка прямой а), то Значение треугольников в геометрии. Если точки Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриине совпадают, то рассмотрим треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии(рис. 130).

В этих треугольниках Значение треугольников в геометрии, так как Значение треугольников в геометрии— середина отрезка Значение треугольников в геометрии. Сторона Значение треугольников в геометрии— общая, Значение треугольников в геометрии. Следовательно, Значение треугольников в геометриипо первому признаку равенства треугольников. Значит, отрезки Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииравны как соответственные стороны равных треугольников.

Теорема 8.3 (второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Значение треугольников в геометрии

Доказательство: Рассмотрим треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, у которых Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии, (рис. 131). Докажем, что Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии.

Наложим Значение треугольников в геометриина Значение треугольников в геометриитак, чтобы точка Значение треугольников в геометриисовместилась с точкой Значение треугольников в геометрии, отрезок Значение треугольников в геометрии— с отрезком Значение треугольников в геометрии(это возможно, так как Значение треугольников в геометрии) и точки Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриилежали в одной полуплоскости относительно прямой Значение треугольников в геометрии. Поскольку Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриито луч Значение треугольников в геометриисовместится с лучом Значение треугольников в геометрии, а луч Значение треугольников в геометрии— с лучом Значение треугольников в геометрии. Тогда точка Значение треугольников в геометрии— общая точка лучей Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии— совместится с точкой Значение треугольников в геометрии— общей точкой лучей Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии. Значит, Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, полностью совместятся, следовательно, они равны.

Значение треугольников в геометрии

Пример №27

На рисунке 132 точка Значение треугольников в геометрии— середина отрезка Значение треугольников в геометрии. Докажите, что Значение треугольников в геометрии.

Решение:

Рассмотрим Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии. Значение треугольников в геометрии, так как точка Значение треугольников в геометрии— середина отрезка Значение треугольников в геометрии. Значение треугольников в геометриипо условию. Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииравны как вертикальные. Следовательно, Значение треугольников в геометриипо / стороне и двум прилежащим углам. Рассмотрим Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии. Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии, так как Значение треугольников в геометрии. Значение треугольников в геометрии— общая сторона. Следовательно, Значение треугольников в геометриипо двум сторонам и углу между ними. Тогда Значение треугольников в геометрии.

Равнобедренный треугольник и его свойства

Определение. Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.

Значение треугольников в геометрии

На рисунке 155 изображен равнобедренный треугольник Значение треугольников в геометрии, у которого Значение треугольников в геометрии.

Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.

Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон (точка Значение треугольников в геометриина рисунке 155). При этом угол Значение треугольников в геометрииназывают углом при вершине, а углы Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииуглами при основании равнобедренного треугольника.

Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

Значение треугольников в геометрии

На рисунке 156 изображен равносторонний треугольник Значение треугольников в геометрии. Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного треугольника.

Теорема 9.1. В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) биссектриса угла при вершине является медианой и высотой.

Значение треугольников в геометрии

Доказательство: Рассмотрим равнобедренный треугольник Значение треугольников в геометрии, у которого Значение треугольников в геометрии, отрезок Значение треугольников в геометрии— его биссектриса (рис. 157). Требуется доказать, что Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии.

В треугольниках Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриисторона Значение треугольников в геометрии— общая, Значение треугольников в геометрии, так как по условию Значение треугольников в геометрии— биссектриса угла Значение треугольников в геометрии, стороны Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииравны как боковые стороны равнобедренного треугольника. Следовательно, Значение треугольников в геометриипо первому признаку равенства треугольников.

Отсюда можно сделать такие выводы:

  1. Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииравны как соответственные углы в равных треугольниках;
  2. отрезки Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииравны как соответственные стороны равных треугольников, следовательно, Значение треугольников в геометрии— медиана;
  3. Значение треугольников в геометрии. Но Значение треугольников в геометрии. Отсюда следует, что Значение треугольников в геометрии, значит, Значение треугольников в геометрии— высота.

Из этой теоремы следует, что:

  1. в треугольнике против равных сторон лежат равные углы;
  2. в равнобедренном треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из его вершины, совпадают;
  3. в равностороннем треугольнике все углы равны;
  4. в равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Определение. Если в треугольнике все стороны имеют разную длину, то такой треугольник называют разносторонним.

Значение треугольников в геометрии

Пример №28

Отрезок Значение треугольников в геометрии— медиана равнобедренного треугольника Значение треугольников в геометрии, проведенная к основанию. На сторонах Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииотмечены соответственно точки Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриитак, что Значение треугольников в геометрии. Докажите равенство треугольников Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии.

Решение:

Имеем:Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии(рис. 158). Так как Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, то Значение треугольников в геометрии. Значение треугольников в геометрии, поскольку медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой. Значение треугольников в геометрии— общая сторона треугольников Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии. Следовательно, Значение треугольников в геометриипо двум сторонам и углу между ними.

Признаки равнобедренного треугольника

В предыдущем пункте мы рассмотрели свойства равнобедренного треугольника. А как среди треугольников «распознавать» равнобедренные? На этот вопрос дают ответ следующие теоремы.

Теорема 10.1. Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Значение треугольников в геометрии

Доказательство: Рассмотрим треугольник Значение треугольников в геометрии, у которого отрезок Значение треугольников в геометрии— медиана и высота. Надо доказать, что Значение треугольников в геометрии(рис. 168). Из условия теоремы следует, что прямая Значение треугольников в геометрии— серединный перпендикуляр отрезка Значение треугольников в геометрии.

Тогда по свойству серединного перпендикуляра Значение треугольников в геометрии.

Теорема 10.2. Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Значение треугольников в геометрии

Доказательство: Рассмотрим треугольник Значение треугольников в геометрии, у которого отрезок Значение треугольников в геометрии— биссектриса и высота. Надо доказать, что Значение треугольников в геометрии(рис. 169). В треугольниках Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриисторона Значение треугольников в геометрии— общая, Значение треугольников в геометрии, так как по условию Значение треугольников в геометрии— биссектриса угла Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии, так как по условию Значение треугольников в геометрии— высота. Следовательно, Значение треугольников в геометрии Значение треугольников в геометриипо второму признаку равенства треугольников. Тогда стороны Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииравны как соответственные стороны равных треугольников.

Теорема 10.3. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство: Рассмотрим треугольник Значение треугольников в геометрии, у которогоЗначение треугольников в геометрии. Надо доказать, что Значение треугольников в геометрии.

Проведем серединный перпендикуляр Значение треугольников в геометриистороны Значение треугольников в геометрии. Докажем, что прямая Значение треугольников в геометриипроходит через вершину Значение треугольников в геометрии.

Значение треугольников в геометрии

Предположим, что это не так. Тогда прямая Значение треугольников в геометриипересекает или сторону Значение треугольников в геометрии(рис. 170), или сторону Значение треугольников в геометрии(рис. 171).

Рассмотрим первый из этих случаев. Пусть Значение треугольников в геометрии— точка пересечения прямой Значение треугольников в геометриисо стороной Значение треугольников в геометрии. Тогда по свойству серединного перпендикуляра (теорема 8.2) Значение треугольников в геометрии. Следовательно, Значение треугольников в геометрии— равнобедренный, а значит Значение треугольников в геометрии. Но по условиюЗначение треугольников в геометрии. Тогда имеем: Значение треугольников в геометрии, что противоречит основному свойству величины угла (п. 3).

Аналогично получаем противоречие и для второго случая (рис. 171).

Значение треугольников в геометрии

Следовательно, наше предположение неверно. Прямая Значение треугольников в геометриипроходит через точку Значение треугольников в геометрии(рис. 172), и по свойству серединного перпендикуляра Значение треугольников в геометрии.

Из этой теоремы следует, что в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

Теорема 10.4. Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Значение треугольников в геометрии

Доказательство: Рассмотрим треугольник Значение треугольников в геометрии, у которого отрезок Значение треугольников в геометрии— медиана и биссектриса (рис. 173). Надо доказать, что Значение треугольников в геометрии. На луче Значение треугольников в геометрииотложим отрезок Значение треугольников в геометрии, равный отрезку Значение треугольников в геометрии(рис. 173). В треугольниках Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, так как по условию Значение треугольников в геометрии— медиана, Значение треугольников в геометриипо построению, Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииравны как вертикальные. Следовательно, Значение треугольников в геометрии Значение треугольников в геометриипо первому признаку равенства треугольников. Тогда стороны Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииравны как соответственные элементы равных треугольников. Поскольку Значение треугольников в геометрии— биссектриса угла Значение треугольников в геометрии, то Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии. С учетом доказанного получаем, что Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии. Тогда по теореме 10.3 Значение треугольников в геометрии— равнобедренный, откуда Значение треугольников в геометрии. Но уже доказано, что Значение треугольников в геометрии. Следовательно, Значение треугольников в геометрии.

Значение треугольников в геометрии

Пример №29

В треугольнике Значение треугольников в геометриипроведена биссектриса Значение треугольников в геометрии(рис. 174), Значение треугольников в геометрии,Значение треугольников в геометрии. Докажите, что Значение треугольников в геометрии.

Решение:

Так как Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии— смежные, то Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии. Следовательно, в треугольнике Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии.

Тогда Значение треугольников в геометрии— равнобедренный с основанием Значение треугольников в геометрии, и его биссектриса Значение треугольников в геометрии( Значение треугольников в геометрии— точка пересечения Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии) является также высотой, т. е. Значение треугольников в геометрии.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 11.1 (третий признак равенства треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Значение треугольников в геометрии

Доказательство: Рассмотрим треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии(рис. 177), у которых Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии Значение треугольников в геометрии(эти равенства указывают, какие стороны треугольников соответствуют друг другу). Докажем, что Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии.

Значение треугольников в геометрии

Расположим треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, так, чтобы вершина Значение треугольников в геометриисовместилась с вершиной Значение треугольников в геометриивершина Значение треугольников в геометрии— с Значение треугольников в геометрииа вершины Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриилежали в разных полуплоскостях относительно прямой Значение треугольников в геометрии(рис. 178). Проведем отрезок Значение треугольников в геометрии. Поскольку Значение треугольников в геометрии, то треугольник Значение треугольников в геометрии— равнобедренный, значит, Значение треугольников в геометрии. Аналогично можно доказать, что Значение треугольников в геометрии. Следовательно, Значение треугольников в геометрии. Тогда Значение треугольников в геометрии Значение треугольников в геометриипо первому признаку равенства треугольников.

Казалось бы, доказательство завершено. Однако мы рассмотрели лишь случай, когда отрезок Значение треугольников в геометриипересекает отрезок Значение треугольников в геометрииво внутренней точке. На самом деле отрезок Значение треугольников в геометрииможет проходить через один из концов отрезка Значение треугольников в геометрии, например, через точку Значение треугольников в геометрии(рис. 179), или не иметь общих точек с отрезком Значение треугольников в геометрии(рис. 180). В обоих этих случаях доказательства будут аналогичными приведенному. Проведите их самостоятельно.

Значение треугольников в геометрии

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольникжесткая фигура. Действительно, если четыре рейки скрепить так, как показано на рисунке 181, а, то такая конструкция не будет жесткой (рис. 181, б, в).

Значение треугольников в геометрии

Если же добавить еще одну рейку, создав два треугольника (рис. 181, г), то полученная конструкция станет жесткой.

Этот факт широко используют в практике (рис. 182).

Значение треугольников в геометрии

Теорема 11.2. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.

Значение треугольников в геометрии

Доказательство: Пусть точка Значение треугольников в геометрииравноудалена от концов отрезка Значение треугольников в геометрии, т. е. Значение треугольников в геометрии(рис. 183). Рассмотрим треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, где Значение треугольников в геометрии— середина отрезка Значение треугольников в геометрии. Тогда Значение треугольников в геометриипо третьему признаку равенства треугольников. Отсюда Значение треугольников в геометрии. Но сумма этих углов равна 180°, следовательно, каждый из них равен 90°. Значит, прямая Значение треугольников в геометрии— серединный перпендикуляр отрезка Значение треугольников в геометрии.

Заметим, что мы рассмотрели случай, когда точка Значение треугольников в геометриине принадлежит прямой Значение треугольников в геометрии. Если точка Значение треугольников в геометриипринадлежит прямой Значение треугольников в геометрии, то она совпадает с серединой отрезка Значение треугольников в геометрии, а значит, принадлежит его серединному перпендикуляру.

Теоремы

Вы видите, что в учебнике появляется все больше и больше теорем. И это не удивительно: ведь геометрия в основном состоит из теорем и их доказательств. Формулировки всех теорем, которые мы доказали, состоят из двух частей. Первую часть теоремы (то, что дано) называют условием теоремы, вторую часть теоремы (то, что требуется доказать) — заключением.

Например, в теореме 8.1 (первый признак равенства треугольников) условием является то, что две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, а заключением — равенство треугольников.

Все знакомые вам теоремы можно условно разделить на теоремы-свойства и теоремы-признаки. Например, теорема 1.1 устанавливает свойство пересекающихся прямых, теорема 9.1 — свойство равнобедренного треугольника.

Теоремы-признаки перечисляют свойства, по которым можно распознать фигуру, т. е. отнести ее к тому или иному виду (классу). Так, теоремы-признаки равенства треугольников указывают требования, по которым два треугольника можно причислить к классу равных. Например, в теоремах 10.1-10.4 сформулированы свойства, по которым «распознают» равнобедренный треугольник. Теоремы, которые следуют непосредственно из аксиом или теорем, называют теоремами-следствиями или просто следствиями.

Например, теорема 7.1 (неравенство треугольника) является следствием из основного свойства длины отрезка. Свойство углов, противолежащих равным сторонам треугольника, является следствием из теоремы 9.1.

Если в теореме 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра поменять местами условие и заключение, то получим теорему 11.2. В таких случаях теоремы называют взаимно обратными. Если какую-то из этих теорем назвать прямой, то вторую теорему будем называть обратной.

При формулировке обратной теоремы надо быть очень внимательными: не всегда можно получить истинное утверждение. Например, утверждение, обратное теореме 4.1 о сумме смежных углов, неверно. Действительно, если сумма каких-то двух углов равна 180°, то совершенно не обязательно, чтобы эти углы были смежными. В таких случаях говорят, что обратная теорема неверна. Вы знаете, что справедливость теоремы устанавливают путем логических рассуждений, т. е. доказательства.

Первая теорема этого учебника была доказана методом от противного. Название этого метода фактически отражает его суть. Мы предположили, что заключение теоремы 1.1 неверно. На основании этого предположения с помощью логических рассуждений был получен факт, который противоречил основному свойству прямой.

Методом от противного также были доказаны и другие теоремы, например теоремы 2.1, 5.1, 10.3.

Очень важно, чтобы доказательство теоремы было полным. Так, полное доказательство теоремы 11.1 (третий признак равенства треугольников) потребовало рассмотрения всех трех возможных случаев. Умение видеть все тонкости доказательства — важнейшее качество, формирующее математическую культуру. Если бы, например, при доказательстве теоремы 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра мы не рассмотрели отдельно случай, когда точка Значение треугольников в геометрииявляется серединой отрезка Значение треугольников в геометрии, то обращение к треугольникам Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриибыло бы не совсем «законным». При доказательстве теоремы 10.4 (признак равнобедренного треугольника) мы использовали прием дополнительного построения: чертеж дополнили элементами, о которых не шла речь в условии теоремы. Этот метод является ключом к решению многих задач и доказательству ряда теорем. Поэтому очень важно научиться видеть «выгодное» (результативное) дополнительное построение.

А как приобрести такое «геометрическое зрение»? Вопрос непростой, и на него сложно ответить конкретными рекомендациями. Но все же мы советуем, во-первых, не быть равнодушными к геометрии, а полюбить этот красивый предмет, во-вторых, решать больше задач, чтобы развить интуицию и приобрести нужный опыт. Дерзайте!

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника

Как установить параллельность двух прямых? Какими свойствами обладают параллельные прямые? Чему равна сумма углов любого треугольника? Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник? Изучив материал этого параграфа, вы получите ответы на поставленные вопросы.

Параллельные прямые

Определение. Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.

Значение треугольников в геометрии

На рисунке 192 изображены параллельные прямые Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии. Пишут: Значение треугольников в геометрии(читают: «прямые Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриипараллельны» или «прямая а параллельна прямой Значение треугольников в геометрии»). Если два отрезка лежат на параллельных прямых, то их также называют параллельными.

Значение треугольников в геометрии

На рисунке 193 отрезки Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриипараллельны. Пишут: Значение треугольников в геометрии.

Значение треугольников в геометрии

Также можно говорить о параллельности двух лучей, луча и отрезка, прямой и луча, отрезка и прямой. Например, на рисунке 194 изображены параллельные лучи.

Теорема 13.1 (признак параллельности прямых). Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

Значение треугольников в геометрии

Доказательство: На рисунке 195 Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии. Надо доказать, чтоЗначение треугольников в геометрии.

Значение треугольников в геометрии

Предположим, что прямые Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриипересекаются в некоторой точке Значение треугольников в геометрии(рис. 196). Тогда через точку Значение треугольников в геометрии, не принадлежащую прямой Значение треугольников в геометрии, проходят две прямые Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, перпендикулярные прямой Значение треугольников в геометрии. Это противоречит теореме 7.2. Следовательно, Значение треугольников в геометрии.

Доказанная теорема позволяет с помощью линейки и угольника строить параллельные прямые (рис. 197).

Значение треугольников в геометрии

Следствие. Через данную точку Значение треугольников в геометрии, не принадлежащую прямой Значение треугольников в геометрии, можно провести прямую Значение треугольников в геометрии, параллельную прямой Значение треугольников в геометрии.

Доказательство: Пусть точка Значение треугольников в геометрии не принадлежит прямой Значение треугольников в геометрии (рис. 198).

Значение треугольников в геометрии

Проведем (например, с помощью угольника) через точку Значение треугольников в геометрии прямую Значение треугольников в геометрии, перпендикулярную прямой Значение треугольников в геометрии. Теперь через точку Значение треугольников в геометрии проведем прямую Значение треугольников в геометрии, перпендикулярную прямой Значение треугольников в геометрии. В силу теоремы 13.1 Значение треугольников в геометрии.

Можно ли через точку Значение треугольников в геометрии(рис. 198) провести еще одну прямую, параллельную прямой Значение треугольников в геометрии? Ответ дает следующее

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Теорема 13.2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство: Пусть Значение треугольников в геометриииЗначение треугольников в геометрии. Докажем, что Значение треугольников в геометрии.

Значение треугольников в геометрии

Предположим, что прямые Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриине параллельны, а пересекаются в некоторой точке Значение треугольников в геометрии(рис. 199). Получается, что через точку Значение треугольников в геометриипроходят две прямые, параллельные прямой Значение треугольников в геометрии, что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, Значение треугольников в геометрии.

Пример №30

Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Значение треугольников в геометрии

Решение:

Пусть прямые Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриипараллельны, прямая Значение треугольников в геометриипересекает прямую Значение треугольников в геометриив точке Значение треугольников в геометрии(рис. 200). Предположим, что прямая Значение треугольников в геометриине пересекает прямую Значение треугольников в геометрии, тогда Значение треугольников в геометрии. Но в этом случае через точку Значение треугольников в геометриипроходят две прямые Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, параллельные прямой Значение треугольников в геометрии, что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, прямая Значение треугольников в геометриипересекает прямую Значение треугольников в геометрии.

Значение треугольников в геометрии

Признаки параллельности двух прямых

Если две прямые Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриипересечь третьей прямой Значение треугольников в геометрии, то образуется восемь углов (рис. 204). Прямую с называют секущей прямых Значение треугольников в геометрииа и Значение треугольников в геометрии.

Значение треугольников в геометрии

  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4 и 8 называют соответственными.

Теорема 14.1. Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Значение треугольников в геометрии

Доказательство: На рисунке 205 прямая Значение треугольников в геометрииявляется секущей прямых Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии. Докажем, что Значение треугольников в геометрии.

Значение треугольников в геометрии

Если Значение треугольников в геометрии(рис. 206), то параллельность прямых Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииследует из теоремы 13.1.

Значение треугольников в геометрии

Пусть теперь прямая Значение треугольников в геометриине перпендикулярна ни прямой Значение треугольников в геометрии, ни прямой Значение треугольников в геометрии. Отметим точку Значение треугольников в геометрии— середину отрезка Значение треугольников в геометрии(рис. 207). Через точку Значение треугольников в геометриипроведем перпендикуляр Значение треугольников в геометриик прямой Значение треугольников в геометрии. Пусть прямая Значение треугольников в геометриипересекает прямую Значение треугольников в геометриив точке Значение треугольников в геометрии. Имеем: Значение треугольников в геометриипо условию; Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииравны как вертикальные.

Следовательно, Значение треугольников в геометриипо второму признаку равенства треугольников. Отсюда Значение треугольников в геометрии. Мы показали, что прямые Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииперпендикулярны прямой Значение треугольников в геометрии, значит, они параллельны.

Теорема 14.2. Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.

Значение треугольников в геометрии

Доказательство: На рисунке 208 прямая Значение треугольников в геометрииявляется секущей прямых Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии. Докажем, что Значение треугольников в геометрии.

Углы 1 и 3 смежные, следовательно, Значение треугольников в геометрии. Тогда Значение треугольников в геометрии. Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 Значение треугольников в геометрии.

Теорема 14.3. Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Значение треугольников в геометрии

Доказательство: На рисунке 209 прямая Значение треугольников в геометрииявляется секущей прямых Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии. Докажем, что Значение треугольников в геометрии.

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. Следовательно, Значение треугольников в геометрии. Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 Значение треугольников в геометрии. ▲

Значение треугольников в геометрии

Пример №31

На рисунке 210 Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии. Докажите, что Значение треугольников в геометрии.

Решение:

Рассмотрим Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии. Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии— по условию. Значение треугольников в геометрии— общая сторона. Значит, Значение треугольников в геометриипо двум сторонам и углу между ними. Тогда Значение треугольников в геометрии. Кроме того, Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии— накрест лежащие при прямых Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриии секущей Значение треугольников в геометрии. Следовательно, Значение треугольников в геометрии.

Пятый постулат Евклида

В качестве аксиом выбирают очевидные утверждения. Тогда почему бы, например, теоремы 1.1-5.1 не включить в список аксиом: ведь они тоже очевидны? Ответ на этот вопрос совершенно ясен: если какое-то утверждение можно доказать с помощью аксиом, то это утверждение — теорема, а не аксиома.

С этих позиций очень поучительна история, связанная с пятым постулатом Евклида (напомним, что в рассказе «Из истории геометрии» мы сформулировали первых четыре постулата).

Значение треугольников в геометрии

V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых углов (рис. 225).

Можно показать, что пятый постулат и сформулированная нами в п. 13 аксиома параллельности прямых равносильны, т. е. из постулата следует аксиома и наоборот — из аксиомы следует постулат.

Более 20 веков многие ученые пытались доказать пятый постулат (аксиому параллельности прямых), т. е. вывести его из других аксиом Евклида. Лишь в начале XIX века несколько матема- / тиков независимо друг от друга пришли ДР к выводу: утверждение, что через данную точку, не лежащую на данной, прямой, можно провести только одну прямую, парал- а + р 0 .

Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник Значение треугольников в геометрии. Требуется доказать, что Значение треугольников в геометрии.

Значение треугольников в геометрии

Через вершину Значение треугольников в геометриипроведем прямую Значение треугольников в геометрии, параллельную прямой Значение треугольников в геометрии(рис. 245). Имеем: Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииравны как накрест лежащие при параллельных прямых Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриии секущей Значение треугольников в геометрии. Аналогично доказываем, что Значение треугольников в геометрии. Но углы 1, 2, 3 составляют развернутый угол с вершиной Значение треугольников в геометрии. Следовательно, Значение треугольников в геометрии.

Следствие. Среди углов треугольника хотя бы два угла острые.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Определение. Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

Значение треугольников в геометрии

На рисунке 246 углы 1, 2, 3 являются внешними углами треугольника Значение треугольников в геометрии.

Теорема 16.2. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство: На рисунке 246 Значение треугольников в геометрии— внешний. Надо доказать, что Значение треугольников в геометрии.

Очевидно, что Значение треугольников в геометрии. Та как Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии, то Значение треугольников в геометрии, отсюда Значение треугольников в геометрии.

Следствие. Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Вы уже знаете, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы, и наоборот, против равных углов лежат равные стороны (п. 9, 10). Это свойство дополняет следующая

Теорема 16.3. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Значение треугольников в геометрии

Доказательство: Рассмотрим треугольник Значение треугольников в геометрии, у которого Значение треугольников в геометрии. Надо доказать, что Значение треугольников в геометрии(рис. 247).

Поскольку Значение треугольников в геометрии, то на стороне Значение треугольников в геометриинайдется такая точка Значение треугольников в геометрии, что Значение треугольников в геометрии. Получили равнобедренный треугольник Значение треугольников в геометрии, в котором Значение треугольников в геометрии.

Так как Значение треугольников в геометрии— внешний угол треугольника Значение треугольников в геометрии, то Значение треугольников в геометрии. Следующая «цепочка» доказывает первую часть теоремы:

Значение треугольников в геометрии

Рассмотрим треугольник Значение треугольников в геометрии, у которого Значение треугольников в геометрии. Надо доказать, что Значение треугольников в геометрии.

Значение треугольников в геометрии

Поскольку Значение треугольников в геометрии, то угол Значение треугольников в геометрииможно разделить на два угла Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриитак, что Значение треугольников в геометрии(рис. 248). Тогда Значение треугольников в геометрии— равнобедренный с равными сторонами Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии.

Используя неравенство треугольника, получим: Значение треугольников в геометрии.

Пример №34

Медиана Значение треугольников в геометриитреугольника Значение треугольников в геометрииравна половине стороны Значение треугольников в геометрии. Докажите, что Значение треугольников в геометрии— прямоугольный.

Значение треугольников в геометрии

Решение:

По условию Значение треугольников в геометрии(рис. 249). Тогда в треугольнике Значение треугольников в геометрии. Аналогично Значение треугольников в геометрии, и в треугольнике Значение треугольников в геометрии. В Значение треугольников в геометрии: Значение треугольников в геометрии. Учитывая, что Значение треугольников в геометрииЗначение треугольников в геометрии, имеем:

Значение треугольников в геометрии.

Следовательно, Значение треугольников в геометрии— прямоугольный.

Прямоугольный треугольник

На рисунке 255 изображен прямоугольный треугольник Значение треугольников в геометрии, у которого Значение треугольников в геометрии.

Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами (рис. 255).

Значение треугольников в геометрии

Для доказательства равенства двух треугольников находят их равные элементы. У любых двух прямоугольных треугольников такие элементы есть всегда — это прямые углы. Поэтому для прямоугольных треугольников можно сформулировать «персональные» признаки равенства.

Теорема17.1 (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету). Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Значение треугольников в геометрии

Доказательство: Рассмотрим треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, у которых Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии(рис. 256). Надо доказать, что Значение треугольников в геометрии.

Расположим треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриитак, чтобы вершина Значение треугольников в геометриисовместилась Значение треугольников в геометриивершиной Значение треугольников в геометриивершина Значение треугольников в геометрии— с вершиной Значение треугольников в геометрии, а точки Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометриилежали в разных полуплоскостях относительно прямой Значение треугольников в геометрии(рис. 257).

Значение треугольников в геометрии

Имеем: Значение треугольников в геометрии. Значит, угол Значение треугольников в геометрии— развернутый, и тогда точки Значение треугольников в геометриилежат на одной прямой. Получили равнобедренный треугольник Значение треугольников в геометриис боковыми сторонами Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии, и высотой Значение треугольников в геометрии(рис. 257). Тогда Значение треугольников в геометрии— медиана этого треугольника, и Значение треугольников в геометрии Значение треугольников в геометрииСледовательно, Значение треугольников в геометриипо третьему признаку равенства треугольников.

При решении задач удобно пользоваться и другими признаками равенства прямоугольных треугольников, непосредственно вытекающими из признаков равенства треугольников.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум к а т е т а м. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Очевидно, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то равны и два других острых угла. Воспользовавшись этим утверждением, список признаков равенства прямоугольных треугольников можно дополнить еще двумя признаками.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Пример №35

Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведенной из вершины этого угла.

Значение треугольников в геометрии

Решение:

В треугольниках Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии(рис. 258) Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрииотрезки Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрии— биссектрисы, Значение треугольников в геометрии.

Так как Значение треугольников в геометрии

Значение треугольников в геометрии

то прямоугольные треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииравны по гипотенузе и острому углу. Тогда Значение треугольников в геометриии прямоугольные треугольники Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииравны по катету и прилежащему острому углу.

Свойства прямоугольного треугольника

Теорема 18.1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Доказательство: Каждый из катетов лежит против острого угла, а гипотенуза лежит против прямого угла. Прямой угол больше острого угла, следовательно, в силу теоремы 16.3 гипотенуза больше любого из катетов.

Следствие. Если из одной точки, не лежащей на прямой, к этой прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше наклонной.

Значение треугольников в геометрии

На рисунке 267 отрезок Значение треугольников в геометрии— перпендикуляр, отрезок Значение треугольников в геометрии— наклонная, Значение треугольников в геометрии. Часто при решении задач используют результаты следующих двух задач.

Пример №36

Катет, лежащий против угла, величина которого равна 30°, равен половине гипотенузы.

Решение:

Рассмотрим треугольник Значение треугольников в геометрии, в котором Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии. Надо доказать, что Значение треугольников в геометрии.

Значение треугольников в геометрии

На прямой Значение треугольников в геометрииотложим отрезок Значение треугольников в геометрии, равный отрезку Значение треугольников в геометрии(рис. 268). Тогда Значение треугольников в геометриипо двум катетам. Действительно, стороны Значение треугольников в геометриии Значение треугольников в геометрииравны по построению, Значение треугольников в геометрии— общая сторона этих треугольников и Значение треугольников в геометрии. Тогда Значение треугольников в геометрии. Отсюда Значение треугольников в геометрии. Следовательно, Значение треугольников в геометриии треугольник Значение треугольников в геометрии— равносторонний. Значит,

Значение треугольников в геометрии

Пример №37

Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Решение:

Рассмотрим треугольник Значение треугольников в геометрии, в котором Значение треугольников в геометрии, Значение треугольников в геометрии. Надо доказать, что Значение треугольников в геометрии. На прямой Значение треугольников в геометрииотложим отрезок Значение треугольников в геометрии, равный отрезку Значение треугольников в геометрии(рис. 268). Тогда Значение треугольников в геометрии. Кроме того, отрезок Значение треугольников в геометрииявляется медианой и высотой треугольника Значение треугольников в геометрии, следовательно, по признаку равнобедренного треугольника Значение треугольников в геометрии. Теперь ясно, что Значение треугольников в геометриии треугольник Значение треугольников в геометрии— равносторонний. Так как отрезок Значение треугольников в геометрии— биссектриса треугольника Значение треугольников в геометрии, то Значение треугольников в геометрии.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Решение треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Геометрические фигуры и их свойства
  • Основные фигуры геометрии и их расположение в пространстве
  • Пространственные фигуры — виды, изображения, свойства
  • Взаимное расположения прямых на плоскости

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Поделиться или сохранить к себе: