Зеркальные треугольники в геометрии

Какие примеры зеркальной симметрии можно встретить в повседневном мире и всегда ли это красиво? Что это такое? Какие характеристики ее определяют? Отражательную симметрию можно найти в геометрических фигурах, математике, природе и искусственном мире.

Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать

Что такое рефлексивная симметрия?

Какое можно дать определение? Зеркальная симметрия возникает, если при разделении объекта или формы пополам, каждая половина будет отражать другую. Иногда объекты или формы имеют более одной линии симметрии. Возьмем, к примеру, букву H. Сколько линий симметрии она имеет? Если вы ответили две, вы правы. Есть два способа сделать линию, чтобы каждая половина отражала другую половину.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Можно ли считать человеческое лицо симметричным?

Что, если вы посмотрите на собственный снимок, особенно фотографию как в паспорте, и нарисуете линию прямо посередине вашего лица, от лба до подбородка? Что бы вы заметили? Разве не казалось бы, что одна сторона вашего лица является отражением другой? Например, с каждой стороны будет глаз. Обе половины ваших губ выглядели бы почти одинаково. Если нет шрамов от какой-либо травмы, обе половины вашего носа выглядели бы одинаково. В идеале ваша гипотетическая фотография паспорта — всего лишь один из примеров зеркальной симметрии, также известной как двусторонняя или линейная симметрия. Линия, которую вы нарисовали, чтобы разделить ваше лицо, называется линией симметрии.

Однако, поскольку люди имеют неконтролируемые различия, наши лица не всегда могут рассматриваться как идеальные примеры. Например, у некоторых из нас может быть одна сторона лица красивее, чем вторая. Если вы внимательно посмотрите в зеркало, вы можете заметить, что один из ваших глаз немного меньше другого, одна скула шире, чем другая, и так далее. Многие аспекты человеческого облика могут искажать понятие истинной рефлексивной симметрии, поэтому истинная зеркальная симметрия должна удовлетворять определенным условиям.

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Примеры рефлексивной симметрии

Многие буквы алфавита имеют зеркальную симметрию. Некоторые используют вертикальную линию; некоторые используют горизонтальную линию. Какие есть примеры зеркальной симметрии в геометрии? Формы также могут демонстрировать рефлексивную симметрию, такую ​​как круги и квадраты, которые имеют четыре линии симметрии. В зависимости от типа треугольника можно иметь нулевую, одну или три линии.

Поскольку мы все больше и больше изучаем нашу окружающую среду и наше окружение, мы видим, что природа может быть описана математически. Красота цветка, величие дерева, даже скалы могут проявлять зеркальную симметрию в природе. Есть и другие примеры, которые можно найти в кристаллографии или даже на микроскопическом уровне. Кажется, что везде, куда мы сейчас смотрим, наши глаза сначала обращаются к существующим образцам симметрии.

Видео:ВСЕ ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ😉 #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #shorts #геометрия #образованиеСкачать

Существуют разные виды симметрии

• Радиальная симметрия — это вращательная симметрия вокруг неподвижной точки, известной как центр. Радиальная симметрия может быть классифицирована как циклическая или двугранная. Примеры в природе: морская звезда, медузы, цветы, змеи, насекомые, соты пчел. Восточная белая сосна имеет интересную симметрию на стволе. Каждый год по мере роста дерева он развивает новое кольцо ветвей.
• Диэдральные симметрии отличаются от циклических тем, что они имеют симметрию отражения в дополнение к вращательной симметрии.

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

В математике

Зеркальная симметрия является симметрией относительно отражения. То есть фигура, которая не изменяется при отражении, имеет рефлекторную симметрию. Если бы форму нужно было сгибать пополам по оси, две половины были бы одинаковыми: две половины — зеркальные изображения друг друга. Таким образом, квадрат имеет четыре оси симметрии, поскольку существует четыре разных способа свернуть его и согласовать края. Круг имеет бесконечно много осей симметрии.

Симметричные геометрические фигуры 2D-формы с отражательной симметрией, равнобедренная трапеция, шестигранники. восьмиугольники — это все примеры зеркальной симметрии в геометрии. Треугольники с симметрией отражения являются равнобедренными. Все односторонние многоугольники имеют две простые отражающие формы: одну с линиями отражений через вершины и одну по краям.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)Скачать

В природе

Многие животные являются симметричными. Такие организмы имеют отражательную симметрию в сагиттальной плоскости, которая разделяет тело вертикально на левую и правую половинки с одним из каждого органа чувств и пары конечностей с обеих сторон. Большинство животных имеют двустороннюю симметричность, вероятно, потому что это поддерживает движение вперед и баланс.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

В архитектуре

Зеркальная симметрия часто используется в архитектуре. Она также встречается в дизайне древних сооружений, таких как Стоунхендж. Симметрия была и является по сей день ключевым элементом в некоторых стилях архитектуры, так как считается символом красоты, гармонии и совершенства. В архитектуре симметрия — это отражение общих форм, форм или углов по центральной линии или точке, называемой осью. В принципе, компоненты, которые отражают друг друга по оси, являются симметричными. Это один из старейших и наиболее постоянно используемых принципов в архитектуре.

Симметрия помогает связать различные элементы структуры вместе в единое целое. Она также широко используется для создания чувства рационального порядка и спокойной логики, предпочтительной эстетики древних греков и римлян. Мы можем смотреть на симметрию во многих масштабах, от отношения между отдельными деталями, до макета полной структуры и даже до всех городских центров, построенных на симметричной сетке.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Основополагающий принцип устройства мира

Симметрия – везде, и поэтому она является эффективным методом познания природы. В природе она обеспечивает устойчивость, равновесие, надежность и прочность. Симметричные формы более устойчивы к различным воздействиям. Существует бесчисленное множество видов симметрии, однако, для живой и неживой природы также является вполне естественной определенная асимметрия.

Для организации всех живых структур свойственно геометрическое подобие. например, кленовые листочки похожи друг на друга, лист березы подобен листу березы и так далее. Что бы ни происходило в процессе жизнедеятельности живой клетки, которая принадлежит целому организму и выполняет функцию его воспроизведения в новый отдельный субъект, она является все лишь отправной точкой. В результате деления эта маленькая ячейка преображается и формируется в объект, схожий по всем показателям первоначальному.

Живым организмам симметрия оказывает неоценимую услугу, в первую очередь, это равновесие при передвижении и функционировании. Это можно наблюдать и в растительном мире. Симметричное расположение ветвей обеспечивает стволам деревьев определенную устойчивость тем, что регулирует распределение силы тяжести. Интересен то факт, что большинство деревьев и имеют конусообразную вершину. С чем это связано? Все в природе хорошо продумано: форма конуса дает возможность не только верхним, но и нижним листьям получать достаточное количество солнечных лучей, не говоря уже об установлении центра тяжести, от которого зависит устойчивость растения.

Симметрия вместе с асимметрией успешно сосуществуют в нашем мире, и та и другая нашли свое отражение в генах живых организмов, они гармонично дополняют друг друга.

Видео:Две задачи по геометрии за 7 класс на тему: "Треугольники"Скачать

Осевая и центральная симметрия

О чем эта статья:

Видео:Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

• Ось симметрии угла — биссектриса.
• Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
• Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
• У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
• У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
• Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Видео:Признаки равенства треугольников. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.
5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
4. Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

1. Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
2. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
3. Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
4. Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A₁ и B₁.
5. Соединяем точки A₁ и B₁.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Видео:Площадь Сечения: Разбираемся в Тайнах ГеометрииСкачать

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
3. Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
4. Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
4. Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.
5. Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Видео:7 класс, 14 урок, ТреугольникСкачать

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Видео:7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

Сферические треугольники решение и формулы (Таблица)

Сферические треугольники.

На поверхности шара кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется вдоль окружности большого круга, т. е. окружности, плоскость которой проходит через центр шара. Вершины сферического треугольника являются точками пересечения трех лучей, выходящих из центра шара, и сферической поверхности. Сторонами а, b, с сферического треугольника называют те углы между лучами, которые меньше 180°. Каждой стороне треугольникасоответствует дуга большого круга на поверхности шара (рис. 1). Углы A, В, С сферического треугольника, противолежащие сторонам а, b, с соответственно, представляют собой, по определению, меньшие, чем 180°, углы между дугами больших кругов, соответствующими сторонам треугольника, или углы между плоскостями, определяемыми данными лу­чами.

Свойства сферических треу­гольников.

Каждая сторона и угол сфери­ческого треугольника по определению мень­ше 180°. Геометрия на поверхности шара являет­ся неевклидовой; в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и 360°, сумма углов заключена между 180° и 540°. В каждом сферическом треуголь­нике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем 180° плюс третий угол.

Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью до преобразования симметрии):

• тремя сторонами,
• тремя углами,
• двумя сторонами и заключенным между ними углом,
• стороной и двумя прилежащими к ней углами.

🔥 Видео

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т3. Первый признак равенства треугольников.Скачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

МЕРЗЛЯК-7 ГЕОМЕТРИЯ. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА -2. ТРЕУГОЛЬНИКИСкачать

Треугольники. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать