Замечательные линии треугольника проект

Класс: 9

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (529 кБ)

Цели:

• Познакомить с замечательными точками и линиями треугольника;
• познакомить с методами доказательства свойств замечательных точек и линий треугольника;
• повторить и обобщить материал по теме «Треугольник».

Задачи развивающие:

• Развитие умения устанавливать закономерности;
• развитие умения формулировать гипотезы, опровергать ошибочные и доказывать истинные;
• развитие умения составлять алгоритм действий и действовать по алгоритму;
• развитие математической интуиции;
• развитие графической культуры и математической речи.

Задачи воспитательные:

• Повышение познавательного интереса;
• расширение математического кругозора;
• развитие навыка конструктивного группового взаимодействия независимо от многообразия проявлений индивидуальности;
• воспитание чувства ответственности;
• развитие умения выступать перед аудиторией

Тип урока: изучение нового материала.

Метод: проблемно-исследовательский.

Форма: групповая.

Ход урока

1. Организационный момент, объявление темы занятия (слайд 1).

2. Повторение.

Треугольник – фигура удивительная. Она удивляет своей простотой, лаконичностью и в то же время своей универсальностью. Вспомните сколько раз, чтобы решить задачу или доказать теорему мы прибегали к разбиению многоугольника на треугольники.

Треугольник – первая геометрическая фигура, изученная нами в курсе геометрии. И сегодня мы поговорим о новых для вас свойствах треугольника, а треугольник в свою очередь поможет вам повторить очень много изученных в курсе планиметрии тем.

Вспоминаем изученные замечательные точки треугольника:

• Центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис треугольника);
• Центр описанной окружности (точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника);
• Точка пересечения высот треугольника (ортоцентр);
• Точка пересечения медиан треугольника.

Также вспоминаем алгоритм построения с помощью циркуля и линейки
каждой из этих точек.

Каждая группа получает индивидуальное задание (приложение 1, задание 1).

Задание № 1. (группа 1)

С помощью циркуля и линейки построить окружность, описанную около треугольника (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный).

Задание № 1. (группа 2)

С помощью циркуля и линейки построить окружность, вписанную в треугольник (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный)

Задание № 1. (группа 3)

С помощью циркуля и линейки построить точку пересечения высот треугольника (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный)

Задание № 1. (группа 4)

С помощью циркуля и линейки построить точку пересечения медиан треугольника (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный)

(Для экономии времени, группы получают заготовленные на альбомных листах изображения треугольников; все построения выполняются фломастерами, циркуль – «козья ножка» также с фломастером).

После выполнения каждая группа демонстрирует свои результаты и комментирует построения. При необходимости учитель вносит дополнения (слайды 3 – 6).

3. Свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Как вы думаете, все ли закономерности, связанные с треугольником мы изучили? (приложение 1, задание 2).

Задание № 2.

1. Постройте произвольную окружность.
2. Впишите в него произвольный остроугольный треугольник АВС.
3. Постройте высоты AA1, BB1, CC1. Пусть H — точка пересечения высот.
4. Постройте точку А2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону ВС.
5. Постройте точку В2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АС.
6. Постройте точку С2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АВ.

Какое свойство вы заметили?

Сформулируйте свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Задание № 2.

1. Постройте произвольную окружность.
2. Впишите в него произвольный тупоугольный треугольник АВС.
3. Постройте высоты AA1, BB1, CC1. Пусть H — точка пересечения высот.
4. Постройте точку А2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону ВС.
5. Постройте точку В2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АС.
6. Постройте точку С2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АВ.

Какое свойство вы заметили?

Сформулируйте свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Проверяем выполнение задания. Формулируем свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника. (Слайды 7, 9)

4. Продолжаем «открывать» новые точки и линии, связанные с геометрией треугольника.

1. А верите ли вы, что, если на сторонах треугольника построить равносторонние треугольники и около них описать окружности, то эти окружности пересекутся в одной точке? (слайд 11).

2. А верите ли вы, что, основания перпендикуляров, опущенных из любой точки окружности на три стороны вписанного в нее треугольника, лежат на одной прямой? (слайд 14).

3. А верите ли вы, что, в треугольнике середины его сторон, середины отрезков, соединяющих его вершины с его ортоцентром, и основания его высот лежат на одной окружности? (слайд 17).

4. А верите ли вы, что, в треугольнике центр описанной окружности, ортоцентр и центр тяжести лежат на одной прямой? (слайд 21).

5. Докажем рассмотренные нами свойства треугольника.

Каждая группа получает карточку с заданием и копию соответствующего слайда на электронном носителе (для экономии времени компьютеры, за которыми будут работать ребята, должны быть подготовлены заранее, фрагмент презентации загружен и выведен на экран). Карточка содержит формулировку задачи, ее доказательство и чертеж. Необходимо подготовить выступление по теме и привести доказательство утверждений, отмеченных значком. (Приложение 1. Задание 3).

Задание № 3 (группа 1)

На сторонах треугольника построены равносторонние треугольники и около них описаны окружности. Докажите, что эти окружности пересекутся в одной точке, называемой точкой Торричелли? Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждение, отмеченное значком «?».

Задание № 3 (группа 2)

Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки окружности на три стороны вписанного в нее треугольника, лежать на одной прямой (прямая Симпсона)? Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждение, отмеченное значком «?».

Задание № 3 (группа 3)

Докажите, в треугольнике середины его сторон, середины отрезков, соединяющих его вершины с его ортоцентром, и основания его высот лежат на одной окружности (окружность Эйлера)?

Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждения, отмеченные значком «?».

Задание № 3 (группа 4)

Докажите, что в треугольнике центр описанной окружности, ортоцентр и центр тяжести лежат на одной прямой (прямая Эйлера)? (слайд 23)

Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждения, отмеченные значком «?».

Проверяем выполнение задания. Каждая группа «представляет» свою замечательную точку или линию и доказывает связанное с ней утверждение (слайды 12 — 13, 15-16, 18-20, 22-24).

В качестве «сувенира», после доказательства каждой теоремы можно посмотреть соответствующие «созвездия» на «звездном небе» (слайды 28-31, к которым можно перейти с помощью кнопки «астроном», появляющейся, когда доказательство закончено).

Во время выступления слушатели должны отметить, какие теоремы из курса планиметрии за 7-9 классы используются для доказательства каждого утверждения и заполняют таблицу (Приложение 3).

После выступления группа строит соответствующую точку или прямую, выбирая наиболее подходящий чертеж. (Приложение 2.).

Учитель контролирует, при необходимости помогает выполнить построения. По завершении этого этапа работы еще раз проговариваем алгоритм построения.

6. Точки Фейербаха. (Слайды 25, 32)

Ну, и это еще не все!

Вернемся на минуту к окружности Эйлера.

Эта окружность, найденная в XVIII веке великим ученым А.Эйлером, была заново открыта в следующем столетии учителем провинциальной гимназии в Германии. Звали его Карл Фейербах. Он был родным братом известного философа Людвига Фейербаха. Дополнительно К.Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого треугольника. Это точки ее касания с четырьмя окружностями специального вида.

Одна из этих окружностей вписанная, остальные три – вневписанные. Они вписаны в углы треугольника и касаются внешним образом его сторон. Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек К1, К2, К3 и К – называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек является в действительности окружностью тринадцати точек.

Ну, и это еще не все!

7. Доказательство свойства точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Теперь, вспомнив практически весь материал по теме «Треугольник» и не только (таблица 1), рассмотрев методы доказательств четырех теорем, связанных с геометрией треугольника, мы можем вернуться к вашему сегодняшнему «открытию» и попробовать доказать его самостоятельно.

Доказать свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

(Группы работают самостоятельно при необходимой помощи учителя)

Наиболее успешное доказательство представляется классу, остальные группы вносят дополнения и замечания (слайды 8, 10, 26, 27)

Ну, и это еще не все!

8. Следствия:

1. Вернемся еще раз к окружности Эйлера: 1) радиус окружности Эйлера равен половине радиуса описанной окружности ∆АВС (слайд 33); 2) ∆АВH, ∆АСH, ∆ВСH имеют ту же окружность Эйлера, что и ∆АВС (слайд 34).

2. Вернемся к точке Торричелли – т.Ферма: 1) отрезки AA₁. BB₁ и СС₁ пересекаются в точке Торричелли и равны между собой; и 2) если точка Торричелли М лежит внутри треугольника, то сумма расстояний от точки М до вершин треугольника MА+MВ+MС – минимальна (слайд 35).

(А в каком случае т.Торичелли не лежит внутри треугольника?)

3. Вернемся к прямой Симпсона: 1) точки F₁, E₁, D₁ — симметричные точке Р относительно сторон ∆АВС, лежат на одной прямой F₁D₁; 2) прямая F₁D₁ проходит через ортоцентр Н ∆АВС; 3) прямая Симпсона делит отрезок РН пополам: РК = КН (слайд 36).

4. Вернемся к прямой Эйлера: 1) точка пересечения медиан делит отрезок ОН в отношении 1:2, считая от точки О; 2) центр окружности Эйлера т.N – лежит на прямой Эйлера и делит отрезок OH пополам (слайды 37).

А еще есть Точка Нагеля, точка Жергонна, точка Брокара, точка Лемуана…

9. Подведение итогов урока (обобщение нового материала, анализ работы групп).

Домашнее задание:

1. Выясните, как расположены точки, симметричные ортоцентру относительно середин сторон треугольника. Сформулируйте теорему и докажите ее.
2. Подготовьте экспресс-сообщение об ученом, чьим именем была названа точка или линия, свойство которой вы сегодня доказывали (Торричелли, Симпсон, Эйлер, Фейербах).

Литература:

1. Е.Д. Куланин, С.Н.Федин «Геометрия треугольника в задачах», Москва, книжный дом «Либроком», 2009 г.
2. И.М.Смирнова, В.А.Смирнов «Геометрия. Нестандартные и исследовательские задачи», учебное пособие 7 -11, Москва, Мнемозина, 2004 г.
3. «Энциклопедический словарь юного математика», Москва, «Педагогика», 1989г.

Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Исследовательский проект «Замечательные точки треугольника»

Знания замечательных точек и линий треугольника способствуют более эффективному и рациональному решению задач; развивают мышление и творческую активность. Изучение данной темы помогает более глубоко подготовиться к олимпиадам и ОГЭ (ЕГЭ).

Видео:Математика, 10-й класс, Замечательные линии в треугольникеСкачать

Скачать:

Видео:Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.Скачать

Предварительный просмотр:

МБОУ «Родомановская средняя школа» Гагаринского района Смоленской области

«Замечательные точки треугольника»

обучающаяся 9 класса

Морозова Ольга

Сырокоренская Е. И.

Родоманово, 2018 г.

Объект исследования: раздел математики — геометрия.

Предмет исследования: треугольник.

Гипотеза: существует ли взаимосвязь между замечательными точками треугольника.

Цель работы: исследование треугольника на его замечательные точки, изучение их классификаций и свойств.

1. Изучить необходимую литературу.
2. Изучить классификацию замечательных точек треугольника и познакомиться с их свойствами.
3. Научиться строить замечательные точки.
4. Изучить область применения замечательных точек треугольника.
5. Выпустить математическую газету к предметной неделе.

Актуальность: Знания замечательных точек и линий треугольника способствуют более эффективному и рациональному решению задач; развивают мышление и творческую активность. Изучение данной темы помогает более глубоко подготовиться к олимпиадам и ОГЭ (ЕГЭ).

• поисковый метод с использованием научной и учебной литературы;
• практический метод решения задач;
• исследовательский метод решения задач;
• анализ полученных результатов.

Замечательные точки треугольника

Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии, но он не только символ, треугольник – атом геометрии.

Треугольник неисчерпаем – постоянно открываются его новые свойства.О некоторых из них, а точнее говоря, о некоторых замечательных точках, связанных с треугольником, я расскажу в своем проекте.

Первая замечательная точка треугольника – точка пересечения биссектрис треугольника

• Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

•Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от сторон этого треугольника и является центром вписанной в него окружности.

Вторая замечательная точка треугольника –точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

•Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

•Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника – центр описанной около него окружности.

•Центр описанной околотреугольника окружности, находится в треугольнике с острыми углами, вне треугольника с тупымуглом и на гипотенузе прямоугольного треугольника.

Третья замечательная точка треугольника — точка пересечения медиан

•Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

•Если точку пересечения медиан треугольника соединить с его вершинами, то треугольник разобьётся на три треугольника, равных по площади.

•Важным свойством точки пересечения медиан является тот факт , что сумма векторов, началом которых является точка пересечения медиан, а концами – вершины треугольника, равна нулю.

• Точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника.

Четвёртая замечательная точка треугольника — точка пересечения высоттреугольника

•Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

•Точку пересечения высот называется ортоцентром треугольника.

Самым удивительным свойством замечательных точек треугольника является то, что некоторые из них связаны друг с другом определенными соотношениями. Например, точка пересечения медиан М, точка пересечения высот Н и центр описанной окружностиР лежат на одной

прямой,названной позже прямой Эйлера.

Окружность девяти точек

В 1765 году Эйлер обнаружил, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности. Впоследствии было обнаружено, что на той же окружности лежат ещё триточки — середины отрезков , соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника. Это и есть окружность девяти точек.

Пусть дан ∆АВС. Точкой Торричелли данного треугольника называется такая точка М внутри этого треугольника, из которой стороны данного треугольника видны под углом 120 ⁰ , т. е. углы АМВ, АМС и ВМС равны 120 ⁰ . (Замечание: точка Торричелли существует, если все углы треугольника меньше 120 ⁰ .)

Точками Брокара ∆АВС называются такие его внутренние точки Р и Q, что

Примеры решения задач

Задача 1. В остроугольном ∆АВС проведена медиана ВМ, биссектриса АК и высота АН (Н лежит между К и В) так, что МК=КН=НВ. Найти отношение сторон ∆АВС.

Решение. Пусть МК=КН=НВ=х, тогда МС=3х. По свойству биссектрисы = = = . Так как АН высота, то в прямоугольных треугольниках АНВ и АНС по теореме Пифагора следует, что АН 2 =АВ 2 -ВН 2 =АС 2 -НС 2 или АВ 2 -х 2 =4АВ 2 -25х 2 , отсюда х= АВ. Получаем, что ВС=6х= АВ. Следовательно, АВ:АС:ВС=1:2:

Ответ: АВ:АС:ВС=1:2: .

Задача 2. Серединный перпендикуляр к стороне АС ∆АВС пересекает сторону ВС в точке D. Найти ВD и DС, если АD=5 см, ВС=9см.

Решение. Пусть КD серединный перпендикуляр к стороне АС. В ∆АDС КD-высота и медиана, а значит он равнобедренный. Следовательно, АD=DС=5см, тогда ВD=ВС-DС=4см

Ответ: ВD=4см, DС=5см

Связь геометрии с природой

Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Я хочу остановиться на примере точки Торричелли, практическом применении этой точки.

В этом положении (положении равновесия) потенциальная энергия рассматриваемой системы имеет наименьшее значение и сумма отрезков МА+МВ+МС будет наименьшей, а сумма векторов, лежащих на этих отрезках с началом в точке Торричелли, равна нулю.

Выводы. В результате выполнения работы мои знания по математике расширились. Я узнала, что кроме известных мне замечательных точек пересечения высот, медиан, биссектрис и серединных перпендикуляров к сторонам треугольника существуют еще замечательные точки и линии треугольника. Полученные знания можно использовать в своей учебной деятельности, применять изученную теорию к решению определенных задач и в реальной ситуации. Считаю, что применение замечательных точек и линий треугольника в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих задач.

Гипотеза подтвердилась: замечательными точки и линии треугольника взаимосвязаны некоторыми соотношениями.

И. Л. Никольская Факультативный курс по математике, Москва «Просвещение»1991 год

Видео:Средняя линия. Теорема о средней линии треугольникаСкачать

Проект на тему: «Замечательные точки треугольника»

Целью данной работы является изучение и обобщение знаний о треугольнике.

В разработке проекта приведена историческая справка об открытиях в области замечательных точек треугольника – выбрана самая краткая и существенная информация касательно истории развития геометрии замечательных точек треугольника;

Изложен геометрический материал по замечательным точкам треугольника, как изучаемым, так и не изучаемым в школьном курсе геометрии.

Дан ряд задач с решениями, многие проиллюстрированы чертежами. Задачи включающие в себя решение и разбор тем по замечательным точкам треугольника в школьной программе раскрываются не полностью и большая часть остается неизученной. Такие задачи для учеников являются сложными и непривычными, в течение изучения данной темы по школьной программе не вырабатываются необходимые навыки по решению таких задач. Данная тема может частично раскрыться лишь на внеклассных занятиях или с помощью самостоятельного обучения.

Результатом проекта является мультимедийный продукт (презентация).

Просмотр содержимого документа
«Проект на тему: «Замечательные точки треугольника»»

Замечательные точки треугольника

Учитель МКОУ Данильской ООШ Павловского района

3.1 Элементы треугольника

3.2 Виды треугольников
4. Замечательные точки треугольника, изучаемые в школе
4.1 Точка пересечения высот (ортоцентр)
4.2. Точка пересечения медиан (центроид)

4.3 Точка пересечения биссектрис (инцентр)

4.4 Точка пересечения серединных перпендикуляров (медиатрисс)

4.5 Свойства треугольников (равнобедренный, равносторонний, прямоугольный треугольники)
5. Замечательные точки треугольника, не изучаемые в школе
5.1. Прямая Эйлера

5.2 Изогональные точки

5.3 Окружность Эйлера (окружность девяти точек)

5.4 Точка Жергона

5.5 Точка Нагеля

5.7 Точка Лемуана

5.8 Точка Брокара

5.9 Прямая Симсона

6.Задачи по замечательным точкам треугольника
7.Список использованной литературы

Целью данной работы является изучение и обобщение знаний о треугольнике.

Исторически геометрия начиналась с треугольника, поэтому вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии. Сегодня школьная геометрия только тогда может стать интересной и содержательной, только тогда может стать собственно геометрией, когда в ней появляется глубокое и всестороннее изучение треугольника.
Удивительно, но треугольник, несмотря на свою кажущуюся простоту, является неисчерпаемым объектом изучения – никто даже в наше время не осмелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника.
Значит, изучение школьной геометрии не может осуществляться без глубокого изучения геометрии треугольника; ввиду многообразия треугольника как объекта изучения – а, значит, и источника различных методик его изучения – необходимо подбирать и разрабатывать материал для изучения геометрии замечательных точек треугольника. Причем при подборе этого материала не следует ограничиваться только лишь замечательными точками, предусмотренными в школьной программе Государственным образовательным стандартом, такими как центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис), центр описанной окружности (точка пересечения серединных перпендикуляров), точка пересечения медиан, точка пересечения высот. Но для глубокого проникновения в природу треугольника и постижения его неисчерпаемости необходимо иметь представления как можно о большем числе замечательных точек треугольника. Это совсем не означает, что всем школьникам на уроках геометрии необходимо преподавать материал, например, про точку Ферма или точку Жергонна; но любой школьник должен иметь принципиальную возможность прикоснуться к этому кладезю идей – либо через факультативные занятия, либо самостоятельно.

Помимо неисчерпаемости треугольника как геометрического объекта, необходимо отметить удивительнейшее свойство треугольника как объекта изучения: изучение геометрии треугольника можно начинать с изучения любого его свойства, взяв его за основу; затем методику изучения треугольника можно построить так, чтобы на эту основу нанизывать все остальные свойства треугольника. Другими словами, с чего бы ни начинать изучение треугольника, всегда можно дойти до любых глубин этой удивительной фигуры. Но тогда – как вариант – можно начинать изучение треугольника с изучения его замечательных точек.
В виду вышесказанного, в данном проекте заострим внимание не столько на том, что есть в любых школьных учебниках по геометрии, сколько на том, чего в них нет – это, прежде всего, замечательные точки треугольника, не изучаемые в школе.
Все вышесказанное обосновывает актуальность разработки темы данного проекта.
Целью настоящего проекта является адаптация геометрического материала о замечательных точках треугольника к преподаванию в курсе геометрии 8 класса как в рамках школьной программы, так и на факультативных занятиях.

2. Историческая справка

С одной стороны, история математики – это непрерывный процесс открытий; с другой стороны, открытия в математике, касающиеся геометрии треугольника, были сделаны по преимуществу в Античный период, в период позднего Средневековья и начала Нового времени. Поэтому здесь рассмотрим развитие математики в эти периоды.
Свойства треугольника были хорошо изучены еще в древности греками. В знаменитых «Началах» Евклида доказывается, что центром окружности, описанном около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Архимед, определяя положение центра тяжести треугольной пластинки, установил, что он лежит на каждой из трех медиан.
Известно, что в «Началах» Евклида излагается материал о центрах вписанной и описанной окружностей, точек пересечения медиан, высот и биссектрис. Есть основания полагать, что греки до Евклида обладали этими знаниями, а Евклид их просто систематизировал и включил в «Начала» для полноты изложения материала.
Принято считать, что вся современная наука оформилась в 17 веке.
Начало открытий замечательных точек треугольника, не изучаемых в школе, положил в 17 веке Джованни Чева (Ceva) (1648 — 1734) – итальянский математик. Основной заслугой Чевы является построение учения о секущих, которое положило начало новой – синтетической геометрии; оно изложено в сочинении «О взаимнопересекающихся прямых» (De lineis rectis se inuicem secantibus statica constructio, Mediolani, 1678). Во-первых, его теорема (знаменитая теорема Чевы) сама по себе представляет ценность, во-вторых, ее применение позволило открыть свойства замечательных точек треугольника, известных как точки Нагеля и Жергонна.

Следующим продвижением в истории математики является доказательство Готфридом Лейбницем теоремы о пересечении медиан в 1701 году в Берлине. Воспользовавшись этим результатом, Эйлер в докладе Российской Академии наук изложил факт, известный ныне как свойство прямой Эйлера.
В 19 веке появляется публикация молодого французского математика Ферма расчетов, связанных с минимальным суммарным расстоянием до вершин треугольника.
Уже в конце 19 века Брокар, Нагель и Торричелли, изучая труды Ферма и применяя теорему Чевы, замечают неопубликованные ранее никем некоторые свойства точки Ферма.
Примерно в это же время – вторая половина 19 века – итальянский математик Наполеон Фьеорованти применяет оригинальную идею: по аналогии с «Пифагоровыми штанами», т.е. с построением «равносторонних прямоугольников» на сторонах прямоугольного треугольника, Фьеорованти попробовал построить на сторонах прямоугольного треугольника «равносторонние треугольники». Затем им были сделаны два обобщения этого построения: во-первых, равносторонние треугольники были построены на сторонах произвольного треугольника; во-вторых, была подмечена взаимосвязь внутреннего и внешнего треугольников Наполеона. Таким образом, название «треугольники Наполеона» этому построению было дано по аналогии с построениями Пифагора, и к императору Наполеону Бонапарту эти треугольники никакого отношения не имеют.

3.1 ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

Т реугольник – многоугольник с тремя сторонами, или замкнутая ломаная линия с тремя звеньями, или фигура, образованная тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой.

Основные элементы треугольника ABC

Вершины – точки A, B, и C;

Стороны – отрезки a = BC, b = AC и c = AB, соединяющие вершины;

Углы – α , β, γ образованные тремя парами сторон. Углы часто обозначают так же, как и вершины, – буквами A, B и C.

3.2 Виды треугольников

Существует две классификации треугольников: по углам и сторонам.

К лассификация по углам

Определение. Треугольник называется

остроугольным, если все три его

угла — острые, то есть меньше 90°.

Определение. Треугольник называется тупоугольным, если один из его

углов -тупой, то есть больше 90°.

Определение. Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

Классификация по сторонам

Определение. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

4. Замечательные точки треугольника, изучаемые в школе.
Поясним сначала смысл выражения «замечательные точки треугольника». Всем известно, что биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной в этот треугольник окружности. Также в одной точке пересекаются медианы и высоты треугольника, серединные перпендикуляры к его сторонам. Все точки, получающиеся в результате пересечения перечисленных наборов из трех прямых, назовем замечательными – замечательное в них, прежде всего то, что три различные прямые на плоскости, как правило, пересекаются в трех различных точках, а не в одной.
Приведем некоторый теоретический материал школьного курса геометрии по замечательным точкам треугольника.

Каждый треугольник имеет три медианы, три биссектрисы и три высоты, причем каждая тройка прямых пересекается в одной точке. Эти точки, вообще говоря, отличны друг от друга, однако для правильного треугольника совпадают с его центром.

4.1 Точка пересечения высот (ортоцентр)

Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.

О сновное свойство высот. Три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника. В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника, в прямоугольном — совпадает с вершиной прямого угла, а в тупоугольном треугольнике — находится вне треугольника на пересечении продолжений высот.

4.2 Точка пересечения медиан (центроид)

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий его вершину с серединой противолежащей стороны
Основное свойство медиан: в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Точка пересечения медиан треугольника имеет простой физический смысл: она является его центром масс. Представим, что треугольник нарисован на жесткой, но практически невесомой пластине и в его вершинах укреплены три тяжелых шарика одинаковой массы. Из физики известно, что в плоскости треугольника найдется такая точка М, что если подвесить за нее пластинку с шариками, то вся система будет пребывать в равновесии, то есть, как бы ее ни расположить, она будет оставаться неподвижной в том положении, в котором мы ее отпустим. Мы будем обозначать эту точку буквой М. Ее также называют центроидом или центром масс треугольника. Отметим несколько свойств медианы:
Медиана разбивает треугольник на два равновеликих, то есть имеющих одинаковую площадь.
Три медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих.
Отрезки, соединяющие точку пересечения медиан с вершинами треугольника, разбивают треугольник на три равновеликие части.

4.3 Точка пересечения биссектрис (инцентр)

Биссектрисой треугольника называют отрезок прямой, делящей угол при вершине на две равные части.
Основное свойство биссектрис: точка пересечения – центр вписанной окружности.
Биссектриса внутреннего угла треугольника есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла. Две биссектрисы обязательно пересекутся в одной точке .
Эта точка будет равноудалена от сторон угла А и от сторон угла В и, следовательно, от сторон угла С. Это означает, что точка лежит также и на третьей биссектрисе и равноудалена от всех трех сторон треугольника – то есть является центром вписанной в него окружности. Эту точку называют инцентром.
Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в центре вписанной окружности.
Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные заключающим ее сторонам.
Любой треугольник имеет единственную описанную окружность, центр которой лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.

4 .4 Точка пересечения серединных перпендикуляров (медиатрисс)

Серединный перпендикуляр к стороне треугольника есть геометрическое место точек, равноудаленных от ее концов. Серединные перпендикуляры к двум сторонам обязательно пересекаются в одной точке.
Эта точка будет равноудалена от концов каждой из двух сторон, т.е. от всех вершин треугольника. Это и означает, что она является центром описанной около треугольника окружности. Ясно также, что она лежит и на третьем серединном перпендикуляре, т.е. все три перпендикуляра пересекаются в одной точке.

4.5 Свойства треугольников

Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой.

Также равны биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов.

Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой.

Центры вписанной и описанной окружностей лежат на этой линии.

У глы, противолежащие равным сторонам, всегда острые (следует из их равенства).

Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой.

Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

5 . Замечательные точки треугольника,

В о всяком треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот (или их продолжений) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника лежат на одной прямой (эта прямая называется прямой Эйлера)

5.2 Изогональные точки

Прямые, симметричные высотам относительно соответствующих биссектрис, проходят через центр описанной окружности, то есть содержат ее радиусы.

Справедливо также следующее: если три прямые, проведенные из вершин треугольника, пересекаются в одной точке, то и прямые, симметричные им относительно соответствующих биссектрис, тоже проходят через одну и ту же точку.

Подобные две точки называются изогональными. Таким образом, ортоцентр треугольника (синяя точка) изогонален центру описанной окружности.

5.3 Окружность девяти точек

Середины сторон треугольника (точки A, B и С), основания его высот (точки D, E и F) и середины отрезков от вершин до ортоцентра (точки M, K и H) лежат на одной окружности

Ее радиус равен половине радиуса описанной окружности (отрезок NL), а центр О лежит посередине отрезка NS, где N — центр описанной окружности, а точка

S — ортоцентр треугольника. Такая окружность называется окружностью девяти точек, или окружностью Эйлера, или окружностью Фейербаха — по имени Карла Фейербаха, провинциального учителя математики из Германии, родного брата философа Людвига Фейербаха.

5.4 Точка Жергонна

Три отрезка, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная в него окружность касается соответственно противоположных вершинам сторон, пересекаются в одной точке J. Она называется точкой Жергонна

5 .5 Точка Нагеля

Отрезки, соединяющие каждую из вершин треугольника с точкой, в которой противоположная сторона касается соответствующей вневписанной окружности, пересекаются в одной точке N – точке Нагеля. Она интересна тем, что отрезок NI, где I – центр вписанной окружности, проходит через центр тяжести M (точка пересечения медиан) треугольника и делится им в отношении NM : MI = 2 : 1

П остроим на сторонах произвольного треугольника ABC вне его равносторонние треугольники ABC’, BCA’, CAB’. Тогда шесть кривых — три окружности, описанные вокруг этих правильных треугольников, и прямые AA’, BB’, CC’ пересекаются в одной точке X. Если все углы треугольника ABC не превосходят 120°, то X лежит в треугольнике ABC и является точкой Ферма S. В этом случае углы между отрезками AS, BS и CS равны между собой и, значит, равны 120°. Более того, длины отрезков AA’, BB’ и CC’, называемых линиями Симпсона, тоже равны между собой и равны AS + BS + CS. Если один из углов треугольника ABC больше 120°, то X лежит вне треугольника ABC, а точка Ферма S совпадает с вершиной тупого угла. Точка S — точка Ферма, то есть точка, сумма расстояний от которой до всех вершин треугольника ABC минимальна

5 .7 Точка Лемуана

Отразив относительно биссектрисс треугольника соответствующие медианы, получаем новые замечательные линии — симедианы.

Точка L их пересечения называется точкой Лемуана треугольника. Она является центроидом треугольника KMN, образованного ее проекциями на стороны исходного треугольника.

5.8 Точка Брокара

Если на сторонах треугольника АВС внешним образом построить подобные ему треугольники СА1В, САВ1 и С1АВ (углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т.д.), то прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекутся в точке Р, которую называют точкой Брокара. Одна из особеностей этой точки состоит в том, что РАС = РСВ = РВА.

5.9 Прямая Симсона

Основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой – прямой Симсона.

Верно и обратное утверждение: если основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой, то точка P лежит на описанной окружности треугольника.

6. Задачи по замечательным точкам треугольника

Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что один из углов ABM, BCM и CAM не превосходит 30 o .

Решение. Пусть P — первая точка Брокара треугольника ABC. Точка M лежит внутри (или на границе) одного из треугольников ABP, BCP и CAP. Если, например, точка M лежит внутри треугольника ABP, то

В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании . Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся первой окружности и основания треугольника, причём точка касания является серединой основания. Найдите радиус второй окружности. Если решение не единственное, рассмотрите все случаи.

Диаметр одной из искомых окружностей — высота данного треугольника, а другой — разность между диаметром описанной окружности и диаметром первой искомой окружности.

П усть CK — диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABC (AC = BC, AB = a, ∠A = B =α). Тогда середина M основания AB принадлежит этому диаметру, а CM и MK — диаметры искомых окружностей.

Пусть r и x — радиусы искомых окружностей. Тогда

r = 1/2CM = 1/2AM ∙tgα = tgα ,

x = MK = AM ∙ctg AKM = ctgα .

Ответ: tg , ctg .

З адача 3.

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Доказать, что конец D отрезка BD, выходящего из вершины B, параллельного основанию и равного боковой стороне треугольника, является центром вневписанной окружности треугольника.

Опустим перпендикуляры DE, DF и DG к прямым, содержащим стороны AB, BC и AС треугольника ABC. Тогда ∠DBE = ∠DBC = ∠ACB. Следовательно, прямоугольные треугольники EBD и FBD равны по гипотенузе и острому углу, т.е. DE = DF. Кроме того, ∠BDC = ∠BCD, поскольку ΔCBD — равнобедренный. Также угол BDC равен углу DCG как накрест лежащий при секущей CD, следовательно, ∠BCD = ∠BCG. Тогда DF = DG, но это и значит, что D является центром вневписанной окружности треугольника.

З адача 4.

Пусть r — радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжения катетов прямоугольного треугольника со сторонами a, b, c. Докажите, что r = .

Четырёхугольник, образованный прямыми, содержащими катеты, и радиусами, проведёнными в точки касания с продолжениями катетов, — квадрат.

Обозначим вершины треугольника, противолежащие сторонам a, b, c, через A, B, C (C — вершина прямого угла), а точки касания — через A₁, B₁, C₁ соответственно. Если O — центр данной окружности, то OA₁CB₁ — квадрат со стороной, равной r. Поэтому

Следовательно, r = .

Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот (ортоцентру) треугольника ABC относительно прямых, содержащих его стороны, лежат на описанной окружности этого треугольника.

П одсказка

Пусть H₁ – точка пересечения продолжения высоты AA₁ треугольника ABC с описанной окружностью. Докажите, что треугольник HBH₁ – равнобедренный.

Для прямоугольного треугольника утверждение очевидно.
Пусть ABC – остроугольный треугольник, H – точка пересечения его высот, H₁ – точка пересечения продолжения отрезка AH за точку H с описанной окружностью треугольника ABC. Тогда ∠BH₁H = ∠BH₁A = ∠ACB = ∠BHH₁ (стороны последних двух углов взаимно перпендикулярны).
Поэтому треугольник HBH₁ – равнобедренный. Следовательно, перпендикуляр BC к его стороне HH₁ проходит через середину отрезка HH₁, то есть точка H₁ симметрична точке H относительно прямой BC.

Построить треугольник по стороне c, медиане к стороне a m_a и медиане к стороне b m_b.

Предположим, что треугольник ABC построен. Пусть M — точка пересечения медиан AA₁ и BB₁. Тогда AM = 2m_a/3 и BM = 2m_b/3. Треугольник ABM можно построить по длинам сторон AB = c, AM и BM. Затем на лучах AM и BM откладываем отрезки AA₁ = m_a и BB₁ = m_b. Вершина C является точкой пересечения прямых AB₁ и A₁B.

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если на плоскости отмечены три точки: O — центр описанной окружности, P — точка пересечения медиан и H — основание одной из высот этого треугольника.
Решение

Предположим, что нужный треугольник ABC построен (рис.1), BH — его высота, Q — точка пересечения высот. Тогда точки O , P и Q лежат на одной прямой (прямая Эйлера треугольника ABC ), точка P — между O и Q , PQ = 2OP .
Отсюда вытекает следующее построение. На продолжении отрезка OP за точку P откладываем отрезок PQ , вдвое больший данного отрезка OP . Через данную точку H проводим прямую, перпендикулярную QH . Пусть M — проекция точки O на эту прямую. Точка B пересечения прямых MP и QH — вершина искомого треугольника.
С центром в точке O строим окружность радиуса OB . Эта окружность пересекает прямую HM в вершинах A и C искомого треугольника.

Задача 8. (Точка Брокара)

Пусть P — точка Брокара треугольника ABC; R₁, R₂ и R₃ — радиусы описанных окружностей треугольников ABP, BCP и CAP. Докажите, что R₁R₂R₃ = R 3 , где R — радиус описанной окружности треугольника ABC.

По теореме синусов R₁ = AB/2 sin APB, R₂ = BC/2 sin BPC и R₃ = CA/2 sin CPA. Ясно также, что sin APB = sin A, sin BPC = sin B и sin CPA = sin C.

Задача 9. (точка Лемуана)

Докажите, что точка Лемуана треугольника ABC с прямым углом C является серединой высоты CH.

Пусть L, M и N — середины отрезков CA, CB и CH. Так как ∆BAC ∆CAH, то ∆BAM ∆CAN, а значит, BAM = CAN. Аналогично ABL = CBN.

Можно предложить ряд других задач по теме «Замечательные точки треугольника». Задачи можно взять на сайте http://www.problems.ru/view_by_subject_new.php?parent=324

Заключение
В разработке проекта приведена историческая справка об открытиях в области замечательных точек треугольника – выбрана самая краткая и существенная информация касательно истории развития геометрии замечательных точек треугольника;

Изложен геометрический материал по замечательным точкам треугольника, как изучаемым, так и не изучаемым в школьном курсе геометрии.

Дан ряд задач с решениями, многие проиллюстрированы чертежами.
Задачи включающие в себя решение и разбор тем по замечательным точкам треугольника в школьной программе раскрываются не полностью и большая часть остается неизученной. Такие задачи для учеников являются сложными и непривычными, в течение изучения данной темы по школьной программе не вырабатываются необходимые навыки по решению таких задач. Данная тема может частично раскрыться лишь на внеклассных занятиях или с помощью самостоятельного обучения.

Результатом проекта является мультимедийный продукт (презентация).

7.Список использованной литературы

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М. : Просвещение, 2008.

2.Большая математическая энциклопедия / Якушева Г.М. и др. – М.: Филол.

О-во «СЛОВО»: ОЛМА-ПРЕСС, 2005. – 639 с.: ил.

3.Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987. – 159 с.: ил.

4.За страницами учебника алгебры: Кн. для учащихся 7 – 9 кл. сред. Шк. — М.: Просвещение, 1990. – 224 с.: ил.

5.Панов В. Ф. Математика древняя и юная/ Под ред. В. С. Зарубина. – 2-е изд., испр. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. – 648с.

6.Энциклопедия для детей. Т.11.Математика / Глав. ред, М. Д. Аксёнова. – М.: Аванта+,1998. – 688 с.: ил.

7.Энциклопедия. Мудрость тысячелетий. – М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2004. –

📹 Видео

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА | ГЕОМЕТРИЯСкачать

четыре замечательные точки треугольника 8 КЛАСС АтанасянСкачать

8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольникаСкачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точкиСкачать

Замечательные точки треугольника + доказательства. ЕГЭ 2023, задание 16Скачать

Математика это не ИсламСкачать

Четвёртая замечательная точка треугольника доказательствоСкачать

Замечательные линии и точки треугольника. Ч. 2Скачать

Первая замечательная точка треугольникаСкачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

Третья замечательная точка треугольника доказательствоСкачать