Задачи с треугольником сопротивлений (2 видео)

№7 Эквивалентное преобразование треугольника и звезды сопротивлений.

Пусть требуется рассчитать цепь, показанную на рис. 7.1, а.

Рис. 7.1 — Преобразования электрической цепи

Расчет можно осуществить одним из описанных выше методов. Но так как в цепи имеется только один источник питания, наиболее простым было бы использование закона Ома. Однако попытка определения общего сопротивления цепи оказывается безрезультатной, так как здесь мы не находим ни последовательно, ни параллельно соединенных сопротивлений. Решить задачу помогает преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду.

Треугольник и звезда сопротивлений имеют вид, показанный на рис. 7.2.

Рис. 7.2 — Треугольник и звезда сопротивлений

Если при замене одной из этих схем другой не изменяются потенциалы одноименных точек и подтекающие к ним токи, то во внешней цепи также не произойдет никаких изменений. В этом случае говорят, что схемы эквивалентны.

Можно показать, что условием эквивалентности являются следующие уравнения:

а) при преобразовании треугольника в звезду:

б) при преобразовании звузды в треугольник:

Например, сопротивление звезды R1, присоединенное к узлу 1, получается перемножением сопротивлений R12 и R31 треугольника, присоединенных к этому же узлу, и делением полученного произведения на сумму всех сопротивлений треугольника.

При обратном преобразовании сопротивление треугольника R12, лежащее между узлами 1 и 2, равно сумме сопротивлений звезды R1 и R2, присоединенных к этим узлам, плюс их произведение, деленное на сопротивление третьего луча звезды R3.

Пример 1.3. Рассчитать токи в цепи, изображенной на рис. 1.12, а, при следующих числовых значениях ее параметров: Е = 660 В, R1 = 20 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 5 Ом, R4 = 20 Ом, R5 = 50 Ом.

а) Решение преобразованием треугольника в звезду.

Теперь общее сопротивление цепи легко находится:

Ток, протекающий по источнику (одинаковый в заданной и преобразованной схемах), равен:

Токи в паралельных ветвях:

Возвращаемся к исходной схеме (рис. 7.1, а):

Ток в пятой ветви находим из первого закона Кирхгофа: I5 = I1–I3 = 26–28 = –2 A. Знак минус говорит о том, что действительное направление тока I5 противоположно указанному на схеме.

б) Решение преобразованием звезды в треугольник.

Преобразуем звезду, образуемую в схеме на рис. 7.1, а сопротивлениями R1, R5 и R3, в эквивалентный треугольник (рис. 7.1, в).

Определяем сопротивления треугольника:

Теперь рассчитываем преобразованную цепь. Сначала находим эквивалентные сопротивления участков ac и cd:

Затем определяем общее сопротивление и токи:

Возвращаемся к исходной схеме:

Рекомендуем подставить в приведенные формулы числовые значения параметров цепи и сравнить результаты вычислений с полученными в примере 1.3а.

Содержание

Преобразование треугольника в звезду — методы, формулы и примеры
Общие сведения
Переход треугольник — звезда
Обратное преобразование
Решение примера
Физический портал для школьников и абитуриентов
Вы здесь
Подготовка к олимпиаде. Методы расчета резисторных схем постоянного тока. 3. Преобразование и расчет цепей с помощью перехода «звезда» — «треугольник»
🌟 Видео

Видео:Откуда взялась формула полного сопротивления цепи? Треугольник напряжений, треугольник сопротивленийСкачать

Преобразование треугольника в звезду — методы, формулы и примеры

Видео:R, L, C в цепи переменного тока/Треугольник сопротивлений/Сдвиг по фазеСкачать

Общие сведения

Электрическая цепь предназначена для обеспечения протекания по ней токов определённой величины. Она содержит источники и приёмники энергии, которые соединены проводниками. При изображении радиоэлементов используют их графические обозначения. Электрические же соединения обозначают прямыми линиями. Замкнутые проводники образовывают контуры. В их состав входят узлы (точки контакта трёх и более линий) и ветви (соединители).

Существует 2 способа обеспечения контакта между элементами:

параллельный — при таком включении в цепи не будет ни одного узла;
последовательный — входящие в цепь эквиваленты присоединены к одной точке, связанной или не имеющей контакта с другой.

В основе преобразований лежит приведение схемы к упрощённому виду без изменения величины тока или напряжения. Для этого выделяют один контур и заменяют его эквивалентным сопротивлением. При последовательном соединении импеданс просто складывают, а вот при параллельном используют формулу: 1/R = 1/R1 + 1/R2 +…1/Rn.

Таким образом, путем замены пары элементов одним, схема последовательно упрощается до тех пор, пока в ней не окажется один резистор. А уже по его величине и рассчитывают ток цепи. Но в некоторых случаях существуют соединения, которые не поддаются методу упрощения. Если внимательно посмотреть на такую цепь, можно увидеть подключение, похожее на треугольник. В таком случае невозможно определить, какие элементы параллельные, а какие последовательные.

Чтобы найти эквивалентное сопротивление таких сложных соединений, используют преобразование треугольника в равнозначную звезду. По сути, при треугольном подключении 3 элемента образуют замкнутый контур. При этом между каждой парой резисторов имеется узел. Связь же звездой образуется при получении трёх лучевого соединения, в котором каждый элемент цепи подсоединён одним концом к общему узлу, а другой стороной контакта к остальной части схемы.

Преобразование в физике выполняют по строго установленным формулам.

Если его выполнить правильно, значения потенциалов в одноимённых точках треугольника и звёзды, а также подводящиеся к этим узлам токи, останутся одинаковыми. Это значит, что вся оставшаяся часть схемы «не заметит» выполненной замены.

Видео:Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник. Преобразование мостовой схемыСкачать

Переход треугольник — звезда

Чтобы преобразовать треугольник в звезду, нужно применять особый подход. Закон Ома для такого случая применить невозможно, поэтому упрощения выполняют, руководствуясь правилами Киргофа. Их 2. Первое гласит, что в узле токи компенсируют друг друга, то есть их алгебраическая сумма равняется нулю. Второе же сообщает, что если сложить электродвижущую силу в любом замкнутом контуре цепи, она будет равна алгебраической сумме падений потенциала на импедансе этой части схемы.

В соответствии с этими законами, можно утверждать, что в узлах электрического заряда нет. Он не расходуется и не собирается. В количественном виде первое утверждение записывают так: I1 = I2 + I3, где с левой стороны стоит значение тока втекающего, а справа вытекающих. Второй закон описывается выражением: E1 — Е2 = -UR1 — UR2 или E1 = Е2 — UR1 — UR2.

Опираясь на эти правила, можно выполнить перевод схемы.

Сделать это удобно, руководствуясь следующим алгоритмом:

Пусть имеется контур, образованный из резисторов Ra1, Rb1, Rc1, соединённых треугольником.
Сумму всех сопротивлений можно обозначить символом RΔ. Её можно будет найти, сложив все импедансы: RΔ = Ra1 + Rb1 + Rc1.
Для получения равенства с неизвестными нужно сделать перестановку в соотношении. Выражение примет вид: Ra2 + (RΔs)Rb2 + (RΔs)Rc2 = Ra1 * Rb1 + Rb1 * Rc1.
Из эквивалентных уравнений можно вывести ещё 2 формулы, описывающие оставшиеся пары контактов. Беря во внимание симметрию, можно получить: Ra2 + (0)Rb2 + (RΔs)Rc2 = Ra1 * Rс1 + Rb1 * Rc1 и Ra2 + (RΔs)Rb2 + (0)Rc2 = Ra1 * Rc1 + Ra1 * Rb1.
Нужно выполнить сложение последних двух уравнений, а после, отняв первое, получить равенство: 2 (RΔs) * Ra2 = 2 * Ra1 * Rc1. Отсюда: Ra2 = Ra1 * Rc1 / RΔs.
По аналогии можно найти и оставшиеся эквиваленты: Rb2 = Ra1 * Rb1 / RΔs и Rc2 = Rc1 * Rb1 / RΔs.

Конечно же, при решении задачи о переводе из одного вида подключения в другое никто не расписывает промежуточные вычисления, а используют сразу конечную формулу: Rk = Rk1 * Rk2 / RΔs, где: Rk — сопротивление, подключённое к контакту в уже трансформированной схеме, а Rk1 и Rk2 — резисторы, стоящие в контуре типа треугольник.

Таким образом, сопротивление, соединённое с каждым узлом при переходе, можно найти из перемножения сопротивлений, подключённых к соответствующей точке в цепи, подключённой треугольником, и дальнейшему их делению на сумму всех резисторов в неизменном контуре.

Видео:Задача, которую исключили из экзамена в АмерикеСкачать

Обратное преобразование

Чтобы получить нужную формулу, следует вести ряд обозначений. Токи, подходящие к узлам, можно обозначить как I1, I2, I3. Преобразование должно выполняться таким образом, чтобы при замене контура величины других токов и потенциалов не изменялись. Для этого следует выразить упорядоченное движение зарядов через напряжение точек и проводимость.

В соответствии с первым правилом Кирхгофа, можно записать: I1 + I2 + I3 = 0. Равенство можно изменить так: (f1 — f0) * p1 + (f2 — f0) * p1 + (f2 — f0) * p1 = 0, где: f — потенциал в точке. В выражении легко выполнить простые преобразования и найти f0. Оно будет равно: f0 = (f1p1 + f2p2 + f3p3) / (p1 + p2 + p3). Полученную формулу возможно использовать для вывода тока. Для I1 будет верным уравнение: I1 = (f1 — f0) * p1 = (f1 * (p2 + p3) — f2 * p2 — f3p3) * p / (p1 + p2 + p3).

Движение заряда удобно обозначать не буквами, а цифрами. Например, число 12 будет показывать, что рассматривается связь первого и второго узла. Таким образом, в треугольнике I1 = I12 — I31 = (f1 — f2) * p12 — (f3 — f1) * p13 = f1* (p12 + p13) — f3p13 -f 2p12.

Учитывая, что ток I1 в схеме треугольник и звезда одинаков, при этом величины потенциалов не влияют на его значение, коэффициенты, стоящие возле f в правой и левой части, будут равны. Тогда можно записать следующие равенства: p12 = p1 * p2 / (p1 + p2 + p3); p13 = p1 * p3 / (p1 + p2 + p3); p23 = p2 * p2 / (p1 + p2 + p3). Как раз по этим формулам и возможно рассчитать проводимость треугольника через звезду.

Зная проводимость, можно определить импеданс, так как это величина обратна сопротивлению. Вывод формулы будет иметь следующий вид: R12 = (1/r1 + 1/r2 + 1/r3) / 1/r1 * r2. Для дальнейших расчётов многочлен (1/r1 + 1/r2 + 1/r3) удобно заменить одной буквой, например, s. Тогда: R12 = s / r3; R23 = s / r1; R13 = s / r2. Подставив последние выражения в формулу для нахождения s, можно будет получить отношение: m = (r12 * r23 * r31) / (r12 + r23 + r31).

Формулы для нахождения эквивалента при переходе примут вид:

R1 = (r12 * r31) / y;
R2 = (r23 * r12) / y;
R3 = (r13 * r23) / y.

Где: y = r12 + r23 + r31. Полезность преобразования в треугольник позволяет привести схему к набору простых последовательных соединений. Подключение двигателей по этой схеме позволяет добиться наибольшей отдачи мощности, например, при модернизации промышленных электросетей.

Видео:Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать

Решение примера

При знании формул решение задач на преобразование треугольника в звезду или обратно обычно не доставляет проблем. Нужно просто внимательно следить за подставляемыми величинами. Но перед тем как приступить непосредственно к расчёту эквивалентной схемы, следует оценить необходимость выполнения такого действия. Некоторые элементы могут быть соединены последовательно или параллельно, поэтому нужно будет начать с простых преобразований, а уже позже переходить к звезде или треугольнику.

Вот пример задания. Имеется трёхфазная цепь. Посчитать её эквивалентное сопротивление. Известно, что схема подключена к источнику напряжения 220 вольт, сопротивление: R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом, R4 = 40 Ом, R5 = 50 Ом, R6 = 60 Ом, R7 = 70 Ом.

В этой схеме сопротивления R1 и R2 соединены последовательно. Что же касается остальных элементов, сказать, какой тип подключения у них по отношению друг к другу, нельзя. Но зато видно, что контур, состоящий из R5, R7, R4, является треугольником, то есть задача состоит в превращении его в эквивалентную трёхлучевую звезду.

Новые элементы можно обозначить как R57, R45, R47. Чтобы найти номиналы новых сопротивлений, нужно воспользоваться эквивалентными формулами. R57 = (R5 * R7) / R5 + R4 + R7 = 50 * 70 / 50 + 40 + 70 = 3500 / 160 = 21,8 Ом; R45 = (R4 * R5) / R5 + R4 + R7 = 40 * 50 / 50 + 40 + 70 = 2000 / 160 = 12,5 Ом; R47 = (R4 * R7) / R5 + R4 + R7 = 40 * 70 / 50 + 40 + 70 = 2800 / 160 = 17,5 Ом.

Теперь эквивалентный контур можно подставить в схему вместо треугольника. В результате цепь будет состоять из трёх последовательно соединённых резисторов R1, R2 и R45. Общий импеданс для них будет равен: Rx = R1 + R2 + R45 = 10 + 20 + 17,5 = 47,5 Ом. Аналогично можно вычислить параметр и для второго контура: Ry = R6 + R57 = 60 + 21,8 = 81,8 Ом. Останется найти сопротивление ветви, включающую R3 и R47, Rz = R3 + R47 = 30 + 17,5 = 47,5 Ом.

Теперь схема принимает довольно простой вид. Контур состоит из трёх включённых параллельно относительно друг друга резисторов Rx, Ry, Rz. Если использовать формулу нахождения эквивалента для такого типа включения, результирующее первое сопротивление будет равно: Rоб = Ry * Rz / (Ry + Rz) = 81,8 * 47,5 / (81,8 + 47,5) = 3885,5 / 129,3 = 30,05 Ом. Теперь схема уже стала одноконтурной и содержит соединение, которое будет называться последовательным.

Таким образом, эквивалентное сопротивление для схемы будет составлять: Rx + R об = 30,05 + 47,5 = 77,55 Ом. Задача решена.

Видео:Построение векторных диаграмм/Треугольник токов, напряжений и мощностей/Коэффициент мощностиСкачать

Физический портал для школьников и абитуриентов

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Вы здесь

Видео:Треугольники. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать

Подготовка к олимпиаде. Методы расчета резисторных схем постоянного тока. 3. Преобразование и расчет цепей с помощью перехода «звезда» — «треугольник»

Методы расчета резисторных схем постоянного тока

3. Преобразование и расчет цепей с помощью перехода «звезда» — «треугольник»

Рассматриваемый метод основан на том, что сложную схему, имеющую три вывода (узла), можно заменить другой, с тем же числом выводов (узлов). Замену следует произвести так, чтобы сопротивление участка между двумя любыми выводами новой схемы было таким же, как у прежней. В результате получится цепь, сопротивление которой эквивалентно сопротивлению данной по условию. Общее сопротивление обеих цепей будет одинаковым. Однако, поскольку в результате такого преобразования изменяются токи внутри цепи, такую замену можно проводить только в тех случаях, когда не надо находить распределение токов.

Подобные преобразования широко известны для случая двух выводов. Так, например, два резистора сопротивлениями R₁ и R₂, включенные последовательно, можно заменить одним резистором сопротивлением R₁ + R₂. Если резисторы включены параллельно, то их можно заменить одним резистором сопротивлением

И в этих случаях распределение токов в цепи (или в части цепи) претерпевает изменения. Рассмотрим более сложное преобразование схем, имеющих три вывода (трехполюсников). Иначе это называется преобразованием «звезды» (рис. а) в «треугольник» (рис. б), и наоборот.

Сопротивления резисторов в схеме «звезда» обозначаются с индексом точки, с которой соединен этот резистор, например, резистор r₁ соединен с точкой 1. В «треугольнике» индексы резисторов соответствуют точкам, между которыми они включены, например, резистор R₁₃ подключен к точкам 1 и 3. Как отмечено выше, чтобы заменить одну из этих схем другой, нужно получить такие соотношения между их сопротивлениями, чтобы эквивалентные сопротивления между любыми точками были одинаковы для обеих схем (при условии сохранения числа этих точек). Так, в «звезде» сопротивление между точками 1 и 2 равно r₁ + r₂, в «треугольнике»

следовательно, для того чтобы сопротивления между точками 1 и 2 были одинаковы для обеих схем, необходимо, чтобы выполнялось следующее равенство:

Аналогично для точек 2 и 3 и для точек 1 и 3:

Сложим все эти уравнения и, поделив обе части на 2, получим:

Вычитая из этого уравнения поочередно предыдущие, получим:

Эти выражения легко запомнить:

знаменатель в каждой формуле есть сумма сопротивлений всех резисторов «треугольника», а в числителе дважды повторяется индекс, стоящий слева:

$r_1 rightarrow R_R_, r_2 rightarrow R_R_, r_3 rightarrow R_R_$.

Аналогично получают и формулы обратного преобразования:

Последние выражения также легко запомнить и проверить:

числитель у всех уравнений один и тот же, а в знаменателе стоит сопротивление резистора с индексом, которого не достает в левой части выражения.

Этот метод представляет собой наиболее универсальный подход к решению практически всех типов задач на разветвленные цепи.

Задача 27. Определите сопротивление цепи АВ (рис.), если R₁ = R₅ = 1 Ом, R₂ = R₆ = 2 Ом, R₃ = R₇ = 3 Ом, R₄ = R₈ = 4 Ом.

Решение. Преобразуем «треугольники» R₁R₂R₈ и R₄R₅R₆ в эквивалентные «звезды». Схема примет иной вид (рис.).

Сопротивления $r_1, r_2, …, r_6$ найдем по формулам:

Теперь нет никаких препятствий для расчета схемы, которая состоит из последовательно и параллельно соединенных резисторов (рис.). После простых расчетов получим