Задачи с треугольником и двумя окружностями

Задачи с треугольником и двумя окружностями

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 2 и 4. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.

а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.

б) Найдите площадь треугольника АСВ.

а) Введём обозначения, как показано на рисунке, пусть M, H, N — точки касания. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны: AM = AN, CM = CH, HB = BN. Поэтому:

Задачи с треугольником и двумя окружностями

откуда p = AM, где Р — периметр, p — полупериметр треугольника.

б) Для определения площади треугольника используем формулу, связывающую её с полупериметром, стороной и радиусом вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других сторон треугольника:

Задачи с треугольником и двумя окружностями

Ответ: Задачи с треугольником и двумя окружностями

Примечание: указанная в решении формула легко может быть получена из следующих соображений Задачи с треугольником и двумя окружностямигде O1 — центр окружности с радиусом r1. При этом Задачи с треугольником и двумя окружностями Задачи с треугольником и двумя окружностями

Тогда Задачи с треугольником и двумя окружностями

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.

а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.

а) Углы APC и AQC — прямые, значит, точки A, Q, P и C лежат на одной окружности с диаметром AC, и, следовательно, равны и вписанные углы PAC и PQC этой окружности, опирающиеся на дугу PC, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники ABP и CBQ имеют общий угол ABC, следовательно, они подобны, откуда Задачи с треугольником и двумя окружностямиили Задачи с треугольником и двумя окружностямино тогда и треугольники BAC и BPQ также подобны, причем коэффициент подобия равен Задачи с треугольником и двумя окружностямиоткуда Задачи с треугольником и двумя окружностямиТогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен Задачи с треугольником и двумя окружностями

Ответ: Задачи с треугольником и двумя окружностями

В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что Задачи с треугольником и двумя окружностямии ∠KMN = 45°.

а) Углы NAK и NBK, опирающиеся на отрезок KN, равны, значит, точки A, B, N и K лежат на одной окружности, а, следовательно, равны и вписанные углы ABK и ANK этой окружности, опирающиеся на дугу AK, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники KMB и NMA имеют общий угол KMN, следовательно, они подобны, откуда Задачи с треугольником и двумя окружностямиили Задачи с треугольником и двумя окружностямино тогда и треугольники KMN и BMA также подобны, причем коэффициент подобия равен Задачи с треугольником и двумя окружностямиоткуда

Задачи с треугольником и двумя окружностями

Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABM равен

Задачи с треугольником и двумя окружностями

Ответ: Задачи с треугольником и двумя окружностями

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.

а) Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.

б) Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны 3 и 12 соответственно, а OK = 5.

а) Пусть Задачи с треугольником и двумя окружностямиТак как Задачи с треугольником и двумя окружностями— центр вписанной окружности треугольника ABC, то Задачи с треугольником и двумя окружностями— биссектрисы углов Задачи с треугольником и двумя окружностямии Задачи с треугольником и двумя окружностямизначит, Задачи с треугольником и двумя окружностямиУгол BOK внешний для треугольника AOB, поэтому Задачи с треугольником и двумя окружностями(см. рисунок).

Так как Задачи с треугольником и двумя окружностями(по построению), то Задачи с треугольником и двумя окружностямитогда Задачи с треугольником и двумя окружностямиУглы CBK и KAC опираются на один и тот же отрезок CK и равны друг другу: Задачи с треугольником и двумя окружностямиТогда по признаку, связанному со свойством вписанных углов, точки Задачи с треугольником и двумя окружностямилежат на одной окружности.

б) Обозначим через Задачи с треугольником и двумя окружностямирадиусы вписанной и описанной окружностей треугольника Задачи с треугольником и двумя окружностямиПусть H — проекция точки O на сторону AB (см. рис.), тогда Задачи с треугольником и двумя окружностямиТак как точки Задачи с треугольником и двумя окружностямилежат на одной окружности, то радиус описанной окружности треугольника ABK совпадает с радиусом описанной окружности треугольника Задачи с треугольником и двумя окружностямии равен Задачи с треугольником и двумя окружностямиИз треугольника ABK по теореме синусов: Задачи с треугольником и двумя окружностямиТогда

Задачи с треугольником и двумя окружностями

Так как Задачи с треугольником и двумя окружностямито Задачи с треугольником и двумя окружностями

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Треугольники и окружность — задачи с примерами решения

Пример:

Длина катета ВС прямоугольного треугольника АСВ равна 15 см, а его катет АС является диаметром окружности, которая пересекает гипотенузу в точке F, CF =12 см. Вычислите радиус окружности.

Задачи с треугольником и двумя окружностями

Решение:

Из условия следует, что радиус R равен половине катета АС. Заметим, чтоЗадачи с треугольником и двумя окружностями

1) В треугольнике Задачи с треугольником и двумя окружностямиЗадачи с треугольником и двумя окружностями

2) Воспользовавшись равенством Задачи с треугольником и двумя окружностяминайдем Задачи с треугольником и двумя окружностями

3) ТеперьЗадачи с треугольником и двумя окружностями

4) Квадрат длины катета прямоугольного треугольника равен произведению длины гипотенузы и длины проекции этого катета на гипотенузу, следовательно, Задачи с треугольником и двумя окружностямиЗадачи с треугольником и двумя окружностями

Таким образом, Задачи с треугольником и двумя окружностями

Пример:

Задачи с треугольником и двумя окружностями

Решение:

По теореме об угле между хордой и касательной Задачи с треугольником и двумя окружностямиТак как точки С и В диаметрально противоположные, то угол САВ опирается на диаметр, а следовательно, он прямой, т. е. треугольник САВ — прямоугольный (рис. 109, а, б). Расстояние от точки С до точки касания А равно длине катета СА треугольника САВ. Так какЗадачи с треугольником и двумя окружностямиЗадачи с треугольником и двумя окружностямиЗадачи с треугольником и двумя окружностями

Ответ Задачи с треугольником и двумя окружностями

Пример:

Вычислите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, если длина его основания АС равна 24 см, а высота BD, проведенная к основанию, равна 9 см.

Задачи с треугольником и двумя окружностями

Решение:

Для вычисления радиуса г вписанной окружности воспользуемся формулой Задачи с треугольником и двумя окружностямигде S — площадь треугольника, р — его полупериметр. Отсюда получим Задачи с треугольником и двумя окружностями

1) Площадь треугольникаЗадачи с треугольником и двумя окружностямиЗадачи с треугольником и двумя окружностями

2) В прямоугольном треугольнике ADB длина катета

Задачи с треугольником и двумя окружностямиЗадачи с треугольником и двумя окружностями

3) Теперь полупериметр Задачи с треугольником и двумя окружностями

4) Таким образом, найдем Задачи с треугольником и двумя окружностями

Пример:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС на стороне ВС лежит точка D так, что Задачи с треугольником и двумя окружностямиВ каком отношении точка О пересечения отрезка AD и высоты BE делит высоту BE, считая от вершины В?

Задачи с треугольником и двумя окружностями

Решение:

1) Так как Задачи с треугольником и двумя окружностями(рис. 111, а, б). Проведем отрезок Задачи с треугольником и двумя окружностями, параллельный отрезку AD.

2) Так как высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является медианой, то точка Е — середина стороны АС.

3) По признаку средней линии отрезок EF — средняя линия треугольника ADC, значит,Задачи с треугольником и двумя окружностями

4) Так как Задачи с треугольником и двумя окружностямиЗадачи с треугольником и двумя окружностями

Ответ: Задачи с треугольником и двумя окружностями

Пример:

Отрезки AF и СТ — высоты остроугольного треугольника ABC. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BTF, если A ABC = 60° и АС = b.

Задачи с треугольником и двумя окружностями

Решение:

Воспользуемся теоремой синусов и тем, что треугольник ABC подобен треугольнику BTF.

1) В треугольнике BTF по теореме синусов выполняется равенствоЗадачи с треугольником и двумя окружностямиСледовательно, Задачи с треугольником и двумя окружностями(рис. 112, a, 6).

2) Рассмотрим треугольники ABC и FTC. Эти треугольники подобны. Действительно, Задачи с треугольником и двумя окружностями

Следовательно,Задачи с треугольником и двумя окружностямит.е. треугольники подобны с коэффициентом подобия Задачи с треугольником и двумя окружностями

3) Из подобия треугольников ABC и FTC следует, что Задачи с треугольником и двумя окружностямиТаким образом, Задачи с треугольником и двумя окружностями

Ответ: Задачи с треугольником и двумя окружностями

Пример:

Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Известно, что Задачи с треугольником и двумя окружностямиДокажите, что Задачи с треугольником и двумя окружностями(рис. 113, а).

Задачи с треугольником и двумя окружностями

Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABC. Пусть прямая BD пересекает окружность в точке F и DF = х (рис. 113, б).

1) По свойству отрезков пересекающихся хорд выполняется равенствоЗадачи с треугольником и двумя окружностями

2) Треугольники ABD и FBC подобны, так как Задачи с треугольником и двумя окружностямипо условию и Задачи с треугольником и двумя окружностямипоскольку являются вписанными в окружность и опираются на одну и ту же дугу.

3) Из подобия треугольников ABD и FBC следует, что Задачи с треугольником и двумя окружностямиОтсюда Задачи с треугольником и двумя окружностями

3) Таким образом,Задачи с треугольником и двумя окружностями

Что и требовалось доказать.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг
  • Описанные и вписанные окружности
  • Пространственные фигуры — виды, изображения, свойства
  • Взаимное расположения прямых на плоскости
  • Треугольник
  • Решение треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Треугольники. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать

Треугольники. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.

Классификация задач на вписанные в треугольник и описанные около треугольника окружности

Разделы: Математика

Задачи на вписанные в треугольник и описанные около треугольника окружности вызывают даже у сильных учащихся затруднения при их решении. Попытка провести классификацию этих задач по содержанию и методам решения привела к положительным результатам. Учащиеся полюбили этот тип задач. Хотим поделиться нашим опытом.

  1. Замечательное открытие: люди изобрели колесо.
  2. Окружность, описанная около треугольника.
  3. Окружность, вписанная в треугольник.
  4. Задачи на вписанные и описанные окружности.

На востоке от Аравийского полуострова с севера на юг текут две большие реки – Евфрат и Тигр. Между ними тянется узкая длинная полоса земли. В древности она называлась Месопотамией, что в переводе означает “ Междуречье’’. Самым известным государством Месопотамии был Вавилон. Земля в Междуречье плодородная, но там не было ни металлов, ни камня, ни леса, чтобы строить дома. Всё это вавилонянам приходилось покупать у других народов. Поэтому Вавилон раньше других стран стал вести большую торговлю. Торговля помогала науке. В математике вавилонские учёные добились больших успехов.

Около шести тысяч лет назад в Вавилоне было сделано замечательное открытие: люди изобрели колесо. Колесо? Что же тут замечательного? Но так кажется только на первый взгляд. Представьте себе на секунду, что вдруг случилось чудо, и на земле исчезли все колёса. Это было бы настоящей катастрофой! Остановятся автомобили и поезда, замрут заводы и фабрики, перестанут давать ток электростанции. Выходит, что неизвестный вавилонский изобретатель первого колеса действительно сделал великое открытие.

Вавилонские инженеры и мастера стали пользоваться блоками. Они поднимали и перетаскивали такие тяжести, справиться с которыми без колеса было бы не под силу. Колесо и рычаг стали первыми настоящими помощниками человека в работе с большими тяжестями.Так изобретение колеса сыграло очень большую роль в истории Вавилона.

Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат в окружности.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности.

Задачи с треугольником и двумя окружностямиТеорема. Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Рассмотрим произвольный В треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведём отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА=ОВ=ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через О все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника АВС.

Вывод: Центр описанной около треугольника окружности лежит А С на пересечении серединных перпендикуляров и расположен:

а) в треугольнике, если он остроугольный;

б) на середине гипотенузы, если он прямоугольный;

в) вне треугольника, если он тупоугольный.

Рассмотрим задачи на нахождение радиуса описанной около треугольника окружности. (См. Приложение1.)

Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности.

Задачи с треугольником и двумя окружностямиТеорема. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник АВС и обозначим М буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведём из точки О перпендикуляры А К В ОК, ОL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА.

Так как точка О равноудалена A k B от сторон треугольника АВС то ОК = ОL=ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М.

Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L и М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ.

Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС.

Выводы. Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника. Касательная к окружности (стороны треугольника) перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Рассмотрим задачи на нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности.

Задачи на вписанную и описанную окружность. (См. Приложение 3.)

💥 Видео

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать

Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | Математика

Найдите угол: задача по геометрииСкачать

Найдите угол: задача по геометрии

🔥 ФОКУС с треугольником #shortsСкачать

🔥 ФОКУС с треугольником #shorts

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Вся геометрия треугольника в одной задаче. Планиметрия. ЕГЭ 2023 математика задача 16Скачать

Вся геометрия треугольника в одной задаче. Планиметрия. ЕГЭ 2023 математика задача 16

Две задачи по геометрии за 7 класс на тему: "Треугольники"Скачать

Две задачи по геометрии за 7 класс на тему: "Треугольники"

Задача, которую исключили из экзамена в АмерикеСкачать

Задача, которую исключили из экзамена в Америке

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать

Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬ

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnline

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольника

Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика
Поделиться или сохранить к себе: