Задачи с трапецией и описанной окружностью

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

значит, Задачи с трапецией и описанной окружностью

Приведем другое решение.

Высота правильного треугольника равна 3 радиусам вписанной окружности, поэтому она равна 18.

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Окружность, описанная вокруг трапеции, описана и вокруг треугольника Задачи с трапецией и описанной окружностьюЭто треугольник равнобедренный, угол при вершине равен 120°, углы при основании равны 30°. Найдем его боковую сторону:

Задачи с трапецией и описанной окружностью

откуда Задачи с трапецией и описанной окружностьюТогда по теореме синусов:

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Приведем другое решение (Р. А., СПб.).

Хорды AD, DC и CB равны, поэтому равны и стягиваемые ими дуги. Вписанный угол А равен 60°, он опирается на две из этих дуг и равен половине их суммы. Поэтому каждая из дуг равна 60°, их сумма равна 180°, а хорда АВ является диаметром. Отсюда получаем, что искомый радиус равен 6.

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Описанная окружность и трапеция

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926.

Какую теорию необходимо помнить? Это:

2. Теорему Пифагора. *Куда мы без неё )

Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь .

Задачи с трапецией и описанной окружностью

27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть:

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания). Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 0 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему?

Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 60 0 и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника:

Задачи с трапецией и описанной окружностью

В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее здесь п.6

То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести.

*Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 180 0 и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами:

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти.

В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности), FC=3 (так как DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF:

Задачи с трапецией и описанной окружностью

В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности), EB=4 (так как AE=EB). По теореме Пифагора можем вычислить OE:

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Таким образом EF=FO+OE=4+3=7.

Теперь важный нюанс!

В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так.

А если бы в условии не было дано эскиза?

Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями:

Задачи с трапецией и описанной окружностью

*То есть при данных основаниях трапеции и радиусе окружности существует две трапеции.

И решение будет «второго варианта» будет следующим.

По теореме Пифагора вычисляем OF:

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Также вычислим OE:

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Таким образом EF=FO–OE=4–3=1.

Конечно, в задаче с кратким ответом на ЕГЭ двух ответов быть не может, и подобная задача без эскиза дана не будет. Поэтому обратите особое внимание на эскиз! А именно: как расположены основания трапеции. А вот в заданиях с развёрнутым ответом такая в прошлые годы присутствовала (немного с усложнённым условием). Тот, кто рассматривал только один вариант расположения трапеции теряли балл на этом задании.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

27937. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Здесь сразу следует вспомнить свойство четырёхугольника описанного около окружности:

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника описанного около окружности равны.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

А средняя линия равна половине суммы оснований, то есть 10.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

27938. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Радиус окружности равен половине высоты. Используя свойство указанное в предыдущей задаче получим:

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Большая сторона у нас это СВ, следовательно можем вычислить AD=11–CB=11–7=4. Таким образом, радиус будет равен 2.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

27915. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 1.

27936. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача про трапецию, описанную около окружности

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

3. Треугольники Задачи с трапецией и описанной окружностьюи Задачи с трапецией и описанной окружностью, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Задачи с трапецией и описанной окружностью

Отношение площадей этих треугольников есть Задачи с трапецией и описанной окружностью.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

4. Треугольники Задачи с трапецией и описанной окружностьюи Задачи с трапецией и описанной окружностью, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Видео:Трапеция и вписанная окружностьСкачать

Трапеция и вписанная окружность

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Задачи с трапецией и описанной окружностьюи она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Задачи с трапецией и описанной окружностьюи Задачи с трапецией и описанной окружностью, то Задачи с трапецией и описанной окружностью

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Видео:Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.Скачать

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.

Площадь

Задачи с трапецией и описанной окружностьюили Задачи с трапецией и описанной окружностьюгде Задачи с трапецией и описанной окружностью– средняя линия

Задачи с трапецией и описанной окружностью

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

🔥 Видео

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141Скачать

Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141

ОГЭ Задача 26 Окружность в трапецииСкачать

ОГЭ Задача 26 Окружность в трапеции

Вписанная и описанная трапеции. КлассикаСкачать

Вписанная и описанная трапеции. Классика

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)Скачать

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)

Около трапеции описана окружностьСкачать

Около трапеции описана окружность

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Трапеция в окружности. Задача Шаталова.Скачать

Трапеция в окружности. Задача Шаталова.

Задание 24 Равнобокая трапеция Описанная окружностьСкачать

Задание 24 Равнобокая трапеция  Описанная окружность

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс

Периметр прямоуг. трапеции, описанной около окружн., равен 100, ее большая боковая сторона равна 37.Скачать

Периметр прямоуг. трапеции, описанной около окружн., равен 100, ее большая боковая сторона равна 37.

2116 около окружности описана трапеция периметр которой равен 120 Найдите её среднюю линиюСкачать

2116 около окружности описана трапеция периметр которой равен 120 Найдите её среднюю линию
Поделиться или сохранить к себе: