Задачи правильный треугольник призмы

Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.

Видео:Призма и ее элементы, виды призм. Практическая часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

Определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Видео:№230. Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом, равным 120Скачать

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ являются основаниями призмы .

Четырехугольники A₁B₁BA, B₁BCC₁ и A₁C₁CA являются боковыми гранями призмы .

Стороны граней являются ребрами призмы (A₁B₁, A₁C₁, C₁B₁, AA₁, CC₁, BB₁, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Видео:10 класс, 30 урок, ПризмаСкачать

Виды треугольных призм

Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.

У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)

Прямая треугольная призма

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.

Наклонная треугольная призма

Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.

Видео:№227. Основание призмы — правильный треугольник ABC. Боковое ребро АА1 образует равныеСкачать

Основные формулы для расчета треугольной призмы

Объем треугольной призмы

Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.

Объем призмы = площадь основания х высота

Площадь боковой поверхности призмы

Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота

Площадь полной поверхности призмы

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.

так как S_бок=P_осн . h, то получим:

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы :

Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.

Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см 2 , то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см 3 . Если площадь основания в мм 2 , то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм 3 и т. д.

Видео:Задача 2.1 Сечение треугольной призмыСкачать

Пример призмы

В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Видео:Найдите объем треугольной призмыСкачать

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.

Задача 2.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Решение:

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S_осн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S₂ = S₁k 2 = S₁2 2 = 4S₁.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

Таким образом, искомый объём равен 20.

Формулы по математике для ЕГЭ и ОГЭ

Шар и сфера, объем шара, площадь сферы, формулы

Видео:Правильная треугольная призмаСкачать

Правильная треугольная призма: определение, формулы для площади поверхности и объема. Пример задачи

Во всех школах в старших классах проходят курс стереометрии, в котором рассматривают характеристики различных пространственных фигур. Данная статья посвящена изучению свойств одной из таких фигур. Рассмотрим, что такое правильная треугольная призма.

Видео:ПРЯМАЯ ПРИЗМА. ЕГЭ. ЗАДАНИЕ 5. СТЕРЕОМЕТРИЯСкачать

Призма в геометрии

Согласно стереометрическому определению, призма является объемной фигурой, состоящей из n параллелограммов и двух одинаковых n-угольных оснований, где n — это целое положительное число. Оба основания расположены в параллельных плоскостях, а параллелограммы соединяют попарно их стороны в единую фигуру.

Любую призму можно получить следующим способом: следует взять плоский n-угольник и переместить его параллельно самому себе в другую плоскость. В процессе перемещения вершины n-угольника прочертят n отрезков, которые будут боковыми ребрами призмы.

Призмы могут быть выпуклыми и вогнутыми, прямыми и косоугольными, правильными и неправильными. Все эти виды фигур отличаются друг от друга формой n-угольников в основании, а также их расположением относительно перпендикулярного им отрезка, длина которого является высотой призмы. Ниже рисунок демонстрирует набор призм с разным числом углов в основании и количеством боковых граней.

Видео:🔴 В основании прямой призмы лежит прямоугольный ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Правильная треугольная призма

Первая призма на фотографии выше является правильной треугольной. Она состоит из двух одинаковых равносторонних треугольников и из трех прямоугольников. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, поэтому рассматриваемая фигура удовлетворяет изложенному ранее стереометрическому определению.

Помимо пяти граней, треугольная призма образована шестью вершинами, которые принадлежат обоим основаниям, и девятью ребрами, три из которых являются боковыми.

Важным свойством правильной треугольной призмы является то, что ее высота совпадает с длиной бокового ребра. Все эти ребра равны друг другу, а боковые прямоугольники пересекают основания под прямыми углами. Отметим, что прямые двугранные углы между основаниями и боковыми гранями приводят к тому, что параллелограммы наклонной призмы становятся прямоугольниками в прямой фигуре. Очевидно, что при определенных длинах ребер прямоугольники могут стать квадратами.

Важными свойствами любой объемной фигуры являются площадь ее поверхности и заключенный в ней объем пространства. Изучаемая призма не является исключением, поэтому рассмотрим ее подробные характеристики.

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

Площадь поверхности

Площадь правильной треугольной призмы образована площадями всех ее пяти граней. Известно, что площадь пространственных фигур проще рассматривать и изучать на плоскости, поэтому удобно сделать развертку призмы. Она показана ниже.

Развертка представлена пятью фигурами двух типов, которые в призме являлись гранями.

Для определения площади всех этих фигур введем следующие обозначения: будем считать длину стороны основания равной a, а высоту (длину бокового ребра) равной h. С учетом обозначений получаем площадь одного треугольника:

При записи этой формулы использовалось стандартное выражение для площади треугольника. Площадь одного прямоугольника равна:

С учетом числа треугольников и прямоугольников (см. развертку выше) получим формулу для площади полной поверхности изучаемой геометрической фигуры:

Здесь первый член в правой части равенства описывает площадь двух оснований, второй член позволяет вычислить площадь поверхности боковой.

Напомним, что полученная для S формула справедлива только для прямой правильной треугольной призмы. Если бы мы рассматривали наклонную фигуру, то выражение для S имело бы другой вид.

Видео:Вся геометрия треугольника в одной задаче. Планиметрия. ЕГЭ 2023 математика задача 16Скачать

Формула для определения объема фигуры

Объемом любой пространственной фигуры называется та часть пространства, которую ограничивают грани многогранника. Объем любой призмы, независимо от формы ее основания и боковых сторон, может быть определен по следующей формуле:

То есть достаточно умножить площадь одного основания на высоту всей фигуры, чтобы получить искомое значение объема.

Для случая треугольной правильной призмы получаем следующее выражение для V:

Записанная формула для V, а также выражение для S в предыдущем пункте зависят всего от двух параметров фигуры: длин a и h. То есть знание всего двух любых линейных параметров позволяет рассчитать все свойства изучаемой призмы.

Видео:Задача, которую боятсяСкачать

Решение задачи

В физике треугольная правильная призма, изготовленная из сплошного стекла, часто применяется для разложения электромагнитного потока в видимой области спектра на ряд частот с целью их изучения. Необходимо определить, какой объем стекла понадобится, чтобы изготовить призму с площадью поверхности 300 см 2 и длиной стороны основания 10 см.

Сначала определим высоту призмы h. Воспользуемся формулой для S, имеем:

h = (S — √3 / 2 × a 2 ) / (3 × a) = (300 — √3 / 2 × 10 2 ) / (3 × 10) = 7,11 см

Поскольку мы знаем значения a и h, то для определения объема призмы воспользуемся формулой для V:

V = √3 / 4 × a 2 × h = √3 / 4 × 10 2 × 7,11 = 307,87 см 3

Таким образом, чтобы изготовить описанную призму, понадобится около 308 см 3 стекла.

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Задания по теме «Призма»

Открытый банк заданий по теме призма. Задания B8 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Видео:ЕГЭ 2023. От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины. Сколько граней?Скачать

Задание №1084

Условие

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 стороны основания равны 4 , а боковые рёбра равны 10 . Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, AC, A_1B_1 и A_1C_1.

Решение

Рассмотрим следующий рисунок.

Отрезок MN является средней линией треугольника A_1B_1C_1, поэтому MN = frac12 B_1C_1=2. Аналогично, KL=frac12BC=2. Кроме того, MK = NL = 10. Отсюда следует, что четырёхугольник MNLK является параллелограммом. Так как MKparallel AA_1, то MKperp ABC и MKperp KL. Следовательно, четырёхугольник MNLK является прямоугольником. S_ = MKcdot KL = 10cdot 2 = 20.

Ответ

Видео:В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 6. Боковые ребра призмы...Скачать

Задание №1082

Условие

Объём правильной четырёхугольной призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 равен 24 . Точка K — середина ребра CC_1 . Найдите объём пирамиды KBCD .

Решение

Согласно условию, KC является высотой пирамиды KBCD . CC_1 является высотой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 .

Так как K является серединой CC_1 , то KC=frac12CC_1. Пусть CC_1=H , тогда KC=frac12H . Заметим также, что S_=frac12S_. Тогда, V_= frac13S_cdotfrac= frac13cdotfrac12S_cdotfrac= fraccdot S_cdot H= fracV_. Следовательно, V_=fraccdot24=2.

Ответ

Видео:Задание 5. ЕГЭ профиль. ПРИЗМА.Скачать

Задание №1077

Условие

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 6 , а высота — 8 .

Решение

Площадь боковой поверхности призмы находим по формуле S _бок. = P _осн. · h = 6acdot h, где P _осн. и h — соответственно периметр основания и высота призмы, равная 8 , и a — сторона правильного шестиугольника, равная 6 . Следовательно, S _бок. = 6cdot 6cdot 8 = 288.

Ответ

Видео:Призма и пирамида. Площадь и объем. Вебинар | Математика 10 классСкачать

Задание №1076

Условие

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 40 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в два раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение

Пусть a — сторона основания первого сосуда, тогда 2 a — сторона основания второго сосуда. По условию объём жидкости V в первом и втором сосуде один и тот же. Обозначим через H уровень, на который поднялась жидкость во втором сосуде. Тогда V= frac12cdot a^2cdotsin60^cdot40= fraccdot40, и, V=fraccdot H. Отсюда fraccdot40=fraccdot H, 40=4H, H=10.

Ответ

Видео:Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математикеСкачать

Задание №916

Условие

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все рёбра равны 2 . Найдите расстояние между точками A и E_1 .

Решение

Треугольник AEE_1 — прямоугольный, так как ребро EE_1 перпендикулярно плоскости основания призмы, прямым углом будет угол AEE_1.

Тогда по теореме Пифагора AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Найдём AE из треугольника AFE по теореме косинусов. Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120^. Тогда AE^2= AF^2+FE^2-2cdot AFcdot FEcdotcos120^= 2^2+2^2-2cdot2cdot2cdotleft ( -frac12 right ).

Ответ

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Задание №912

Условие

Найдите площадь боковой поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 4sqrt5 и 8 , и боковым ребром, равным 5 .

Решение

Площадь боковой поверхности прямой призмы находим по формуле S _бок. = P _осн. · h = 4acdot h, где P _осн. и h соответственно периметр основания и высота призмы, равная 5 , и a — сторона ромба. Найдём сторону ромба, пользуясь тем, что диагонали ромба ABCD взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Из треугольника BOC по теореме Пифагора находим BC^2=BO^2+OC^2= left ( frac82 right )^2+left ( frac right)^2= 16+20=36, BC=6.

Следовательно, S _бок. = 4cdot6cdot5=120.

Ответ

Видео:Геометрия Основание прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12Скачать

Задание №313

Условие

В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы содержится 357 см 3 воды. При полном погружении детали в воду, уровень жидкости поднялся с отметки 14 см до отметки 18 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в кубических сантиметрах.

Решение

Пусть V_B — объем воды в призме, V_D — искомый объем детали.

По условию V_B=14S, V_B+V_D=18S, где S — площадь основания призмы.

Так как V_B=14S=357, то S=frac=frac ( см 3 ) .

Тогда V_D= (V_B+V_D)-V_B= 18S-14S= 4S= 4cdotfrac= 2cdot51= 102 ( см 3 ) .

Ответ

Задание №310

Условие

Треугольная призма содержит плоскость, проведенную параллельно ее боковому ребру через среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной плоскостью призмы, если объем исходной призмы равен 36 .

Решение

Плоскость, параллельная боковому ребру, проходит через среднюю линию основания, значит, площадь основания отвеченной призмы уменьшилась в 2^2 раза по сравнению с площадью основания заданной призмы (средняя линия в 2 раза меньше стороны, которой она параллельна). Высота отсеченной призмы равна высоте заданной призмы.

Следовательно, объем отсеченной призмы уменьшился в 4 раза и стал равным 36:4=9.

Ответ

Задание №109

Условие

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 площадь основания равна 9 , а боковое ребро равно 7 . Найдите объем многогранника ABCB_1C_1 .

Решение

Объем многогранника ABCB_1C_1 мы можем найти из разности объема пирамиды AA_1B_1C_1 от общего объема призмы.

Формула объема пирамиды имеет вид: V=frac13Sh

Формула объема призмы имеет вид: V=Sh

где S – площадь основания, а h – высота пирамиды

Площадь основания нам известна, поэтому объем пирамиды AA_1B_1C_1 равен frac13cdot 9cdot 7 = 21

Объем призмы равен: 9·7 = 63

Значит объем многогранника ABCB_1C_1 равен 63 − 21 = 42

Ответ

Задание №84

Условие

В основании треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 провели среднюю линию MN , из которой, параллельно боковому ребру, подняли плоскость MNM_1N_1 . Определите площадь боковой поверхности исходной призмы BCB_1C_1 , если площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы BNN_1B_1 составляет 79 см 2 . Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

Решение

Боковыми поверхностями и сечением треугольной призмы являются прямоугольники. Искомая площадь боковой поверхности равна произведению длины основания на высоту:

S_ = BC cdot BB_1

Площадь боковой поверхности отсеченной призмы BNB_1N_1 вычисляется как произведение высоты призмы BB_1 и длины ребра BN .

S_ = BN cdot BB_1

Т.к. MN – средняя линия треугольника ABC , точка N делит прямую BC пополам ( BN = NC ), и, следовательно, BC = 2 · BN . Получаем:

S_ = BC cdot BB_1 = 2 cdot BN cdot BB_1 = 2 cdot S_ = 2 cdot 79 = 158 см 2