Задачи на замечательные точки треугольника

Разные задачи по теме: «Четыре замечательные точки треугольника»

Видео:Замечательные точки треуг-ка. 8 класс.Скачать

Скачать:

Предварительный просмотр:

Видео:Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать

Подписи к слайдам:

Четыре замечательные точки треугольника Учитель математики МОУ «Гимназия №1» г.Печоры Республики Коми Рогова Э.Н.

Теорема о биссектрисе угла

Следствие: биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку

Следствие: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке

Теорема В ысоты треугольника ( или их продолжение) пересекаются в одной точке

ЗАДАЧИ по теме : «Четыре замечательные точки треугольника»

Дано : ON = 10, NMK = 60° Найти: OM 1

Дано : MKN = 66° Найти: FNO 2

Дано: MK = 17, CN = 10, MD = DN Найти : CK 4

Дано: BM = MR , QT = TR , QM = 9, BT = 12 Найти : 5

Дано: RO = 20 , RM = MP, RN = NQ Найти : OK 6

Дано: EF = 18, MK = 15, EK = KN, MF = FN Найти: ON 7

Дано: AB = 20 Найти: OC 8

Литература: 1. Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразоват . учреждений/ Л.С.Атасян , В.Ф.Бутузов , С.Б. Кадомцев и др.- М.:Просвещение , 2003. – 384 с.

Видео:Геометрия 8 класс : Решение задач. 4 замечательные точкиСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

презентация по теме «4 замечательные точки треугольника»

в презентции рассмотрены основные свойства высот, биссектис, высот и серединных перпендикуляров.

Презентация и конспект урока «Четыре замечательные точки треугольника» (Геометрия, 8 класс)

Здесь помещены презентации и конспекты уроков, созданные мной с целью повышения качества обученности учащихся.

Урок по геометрии в 8 классе по теме “Замечательные точки треугольника”

Конспект урока по геометрии в 8 классе.Цель урока: ”Дать наглядное представление о свойствах медиан, биссектрис, высот и серединных перпендикуляров треугольника и с.

Практическая работа по геометрии. Тема: «Замечательные точки треугольника» (с использованием программы «Живая геометрия»)

Дать представление о свойствах медиан, биссектриси высот треугольника можно при помощи учебника. А можно дать возможность учащимся самим выявить эти свойства, используя программу «Живая геометрия».

интегрированный урок математика и физика «Замечательные точки треугольника или что такое центр тяжести»

презентация к уроку «»Замечательные точки треугольника или что такое центр тяжести», геометрия 7 класс.

Методическая разработка по теме «Четыре замечательные точки треугольника».

Решение задач по теме: «Четыре замечательные точки треугольника».

Отработка применения свойств биссектрис, медиан. серединных перпендикуляров, высот треугольника. Здесь же находится домашняя работа на отработку решенных на уроке задач.

Видео:четыре замечательные точки треугольника 8 КЛАСС АтанасянСкачать

Замечательные точки и линии треугольников. 9-й класс

Класс: 9

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (529 кБ)

Цели:

• Познакомить с замечательными точками и линиями треугольника;
• познакомить с методами доказательства свойств замечательных точек и линий треугольника;
• повторить и обобщить материал по теме «Треугольник».

Задачи развивающие:

• Развитие умения устанавливать закономерности;
• развитие умения формулировать гипотезы, опровергать ошибочные и доказывать истинные;
• развитие умения составлять алгоритм действий и действовать по алгоритму;
• развитие математической интуиции;
• развитие графической культуры и математической речи.

Задачи воспитательные:

• Повышение познавательного интереса;
• расширение математического кругозора;
• развитие навыка конструктивного группового взаимодействия независимо от многообразия проявлений индивидуальности;
• воспитание чувства ответственности;
• развитие умения выступать перед аудиторией

Тип урока: изучение нового материала.

Метод: проблемно-исследовательский.

Форма: групповая.

Ход урока

1. Организационный момент, объявление темы занятия (слайд 1).

2. Повторение.

Треугольник – фигура удивительная. Она удивляет своей простотой, лаконичностью и в то же время своей универсальностью. Вспомните сколько раз, чтобы решить задачу или доказать теорему мы прибегали к разбиению многоугольника на треугольники.

Треугольник – первая геометрическая фигура, изученная нами в курсе геометрии. И сегодня мы поговорим о новых для вас свойствах треугольника, а треугольник в свою очередь поможет вам повторить очень много изученных в курсе планиметрии тем.

Вспоминаем изученные замечательные точки треугольника:

• Центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис треугольника);
• Центр описанной окружности (точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника);
• Точка пересечения высот треугольника (ортоцентр);
• Точка пересечения медиан треугольника.

Также вспоминаем алгоритм построения с помощью циркуля и линейки
каждой из этих точек.

Каждая группа получает индивидуальное задание (приложение 1, задание 1).

Задание № 1. (группа 1)

С помощью циркуля и линейки построить окружность, описанную около треугольника (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный).

Задание № 1. (группа 2)

С помощью циркуля и линейки построить окружность, вписанную в треугольник (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный)

Задание № 1. (группа 3)

С помощью циркуля и линейки построить точку пересечения высот треугольника (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный)

Задание № 1. (группа 4)

С помощью циркуля и линейки построить точку пересечения медиан треугольника (треугольник остроугольный, тупоугольный и прямоугольный)

(Для экономии времени, группы получают заготовленные на альбомных листах изображения треугольников; все построения выполняются фломастерами, циркуль – «козья ножка» также с фломастером).

После выполнения каждая группа демонстрирует свои результаты и комментирует построения. При необходимости учитель вносит дополнения (слайды 3 – 6).

3. Свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Как вы думаете, все ли закономерности, связанные с треугольником мы изучили? (приложение 1, задание 2).

Задание № 2.

1. Постройте произвольную окружность.
2. Впишите в него произвольный остроугольный треугольник АВС.
3. Постройте высоты AA1, BB1, CC1. Пусть H — точка пересечения высот.
4. Постройте точку А2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону ВС.
5. Постройте точку В2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АС.
6. Постройте точку С2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АВ.

Какое свойство вы заметили?

Сформулируйте свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Задание № 2.

1. Постройте произвольную окружность.
2. Впишите в него произвольный тупоугольный треугольник АВС.
3. Постройте высоты AA1, BB1, CC1. Пусть H — точка пересечения высот.
4. Постройте точку А2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону ВС.
5. Постройте точку В2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АС.
6. Постройте точку С2, симметричную точке Н относительно прямой, содержащей сторону АВ.

Какое свойство вы заметили?

Сформулируйте свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Проверяем выполнение задания. Формулируем свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника. (Слайды 7, 9)

4. Продолжаем «открывать» новые точки и линии, связанные с геометрией треугольника.

1. А верите ли вы, что, если на сторонах треугольника построить равносторонние треугольники и около них описать окружности, то эти окружности пересекутся в одной точке? (слайд 11).

2. А верите ли вы, что, основания перпендикуляров, опущенных из любой точки окружности на три стороны вписанного в нее треугольника, лежат на одной прямой? (слайд 14).

3. А верите ли вы, что, в треугольнике середины его сторон, середины отрезков, соединяющих его вершины с его ортоцентром, и основания его высот лежат на одной окружности? (слайд 17).

4. А верите ли вы, что, в треугольнике центр описанной окружности, ортоцентр и центр тяжести лежат на одной прямой? (слайд 21).

5. Докажем рассмотренные нами свойства треугольника.

Каждая группа получает карточку с заданием и копию соответствующего слайда на электронном носителе (для экономии времени компьютеры, за которыми будут работать ребята, должны быть подготовлены заранее, фрагмент презентации загружен и выведен на экран). Карточка содержит формулировку задачи, ее доказательство и чертеж. Необходимо подготовить выступление по теме и привести доказательство утверждений, отмеченных значком. (Приложение 1. Задание 3).

Задание № 3 (группа 1)

На сторонах треугольника построены равносторонние треугольники и около них описаны окружности. Докажите, что эти окружности пересекутся в одной точке, называемой точкой Торричелли? Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждение, отмеченное значком «?».

Задание № 3 (группа 2)

Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки окружности на три стороны вписанного в нее треугольника, лежать на одной прямой (прямая Симпсона)? Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждение, отмеченное значком «?».

Задание № 3 (группа 3)

Докажите, в треугольнике середины его сторон, середины отрезков, соединяющих его вершины с его ортоцентром, и основания его высот лежат на одной окружности (окружность Эйлера)?

Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждения, отмеченные значком «?».

Задание № 3 (группа 4)

Докажите, что в треугольнике центр описанной окружности, ортоцентр и центр тяжести лежат на одной прямой (прямая Эйлера)? (слайд 23)

Воспользуйтесь подсказкой и докажите утверждения, отмеченные значком «?».

Проверяем выполнение задания. Каждая группа «представляет» свою замечательную точку или линию и доказывает связанное с ней утверждение (слайды 12 — 13, 15-16, 18-20, 22-24).

В качестве «сувенира», после доказательства каждой теоремы можно посмотреть соответствующие «созвездия» на «звездном небе» (слайды 28-31, к которым можно перейти с помощью кнопки «астроном», появляющейся, когда доказательство закончено).

Во время выступления слушатели должны отметить, какие теоремы из курса планиметрии за 7-9 классы используются для доказательства каждого утверждения и заполняют таблицу (Приложение 3).

После выступления группа строит соответствующую точку или прямую, выбирая наиболее подходящий чертеж. (Приложение 2.).

Учитель контролирует, при необходимости помогает выполнить построения. По завершении этого этапа работы еще раз проговариваем алгоритм построения.

6. Точки Фейербаха. (Слайды 25, 32)

Ну, и это еще не все!

Вернемся на минуту к окружности Эйлера.

Эта окружность, найденная в XVIII веке великим ученым А.Эйлером, была заново открыта в следующем столетии учителем провинциальной гимназии в Германии. Звали его Карл Фейербах. Он был родным братом известного философа Людвига Фейербаха. Дополнительно К.Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого треугольника. Это точки ее касания с четырьмя окружностями специального вида.

Одна из этих окружностей вписанная, остальные три – вневписанные. Они вписаны в углы треугольника и касаются внешним образом его сторон. Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек К1, К2, К3 и К – называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек является в действительности окружностью тринадцати точек.

Ну, и это еще не все!

7. Доказательство свойства точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Теперь, вспомнив практически весь материал по теме «Треугольник» и не только (таблица 1), рассмотрев методы доказательств четырех теорем, связанных с геометрией треугольника, мы можем вернуться к вашему сегодняшнему «открытию» и попробовать доказать его самостоятельно.

Доказать свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

(Группы работают самостоятельно при необходимой помощи учителя)

Наиболее успешное доказательство представляется классу, остальные группы вносят дополнения и замечания (слайды 8, 10, 26, 27)

Ну, и это еще не все!

8. Следствия:

1. Вернемся еще раз к окружности Эйлера: 1) радиус окружности Эйлера равен половине радиуса описанной окружности ∆АВС (слайд 33); 2) ∆АВH, ∆АСH, ∆ВСH имеют ту же окружность Эйлера, что и ∆АВС (слайд 34).

2. Вернемся к точке Торричелли – т.Ферма: 1) отрезки AA₁. BB₁ и СС₁ пересекаются в точке Торричелли и равны между собой; и 2) если точка Торричелли М лежит внутри треугольника, то сумма расстояний от точки М до вершин треугольника MА+MВ+MС – минимальна (слайд 35).

(А в каком случае т.Торичелли не лежит внутри треугольника?)

3. Вернемся к прямой Симпсона: 1) точки F₁, E₁, D₁ — симметричные точке Р относительно сторон ∆АВС, лежат на одной прямой F₁D₁; 2) прямая F₁D₁ проходит через ортоцентр Н ∆АВС; 3) прямая Симпсона делит отрезок РН пополам: РК = КН (слайд 36).

4. Вернемся к прямой Эйлера: 1) точка пересечения медиан делит отрезок ОН в отношении 1:2, считая от точки О; 2) центр окружности Эйлера т.N – лежит на прямой Эйлера и делит отрезок OH пополам (слайды 37).

А еще есть Точка Нагеля, точка Жергонна, точка Брокара, точка Лемуана…

9. Подведение итогов урока (обобщение нового материала, анализ работы групп).

Домашнее задание:

1. Выясните, как расположены точки, симметричные ортоцентру относительно середин сторон треугольника. Сформулируйте теорему и докажите ее.
2. Подготовьте экспресс-сообщение об ученом, чьим именем была названа точка или линия, свойство которой вы сегодня доказывали (Торричелли, Симпсон, Эйлер, Фейербах).

Литература:

1. Е.Д. Куланин, С.Н.Федин «Геометрия треугольника в задачах», Москва, книжный дом «Либроком», 2009 г.
2. И.М.Смирнова, В.А.Смирнов «Геометрия. Нестандартные и исследовательские задачи», учебное пособие 7 -11, Москва, Мнемозина, 2004 г.
3. «Энциклопедический словарь юного математика», Москва, «Педагогика», 1989г.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Тема: «четыре замечательные точки треугольника»

ТЕМА: «ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА»

Свойства биссектрисы угла

Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон этого угла.

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Все точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от концов этого отрезка.

Четыре замечательные точки треугольника

1) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины;

2) Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;

3) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке;

4) Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Найдите соответствующие точки, построив указанные элементы треугольника:

1) 2)

3) 4)

Пример 1. По данным рисунка найдите площадь треугольника BOQ, если QM = 9, BT = 12.

1) QM, BT – медианы ⇒ QO : OM = BO : OT = 2 : 1 (по свойству медиан треугольника);

2) QO : OM = 2 : 1, QM = 9 ⇒ QO = 2OM, QM = 3OM ⇒

OM = 9 : 3 = 3, QO = 9 – 3 = 6;

3) BO : OT = 2 : 1, BT = 12 ⇒ BO = 2OT, BT = 3OT ⇒

OT = 12 : 3 = 4, BO = 12 – 4 = 8;

4) QM⊥BT ⇒ ΔBOQ – прямоугольный ⇒ SBOQ = (по формуле площади прямоугольного треугольника).

Пример 2. По данным рисунка найдите угол FNO, если угол MKN = 66°.

1) Продолжим NO до пересечения со стороной КМ. КМ∩NO = Р;

2) О – точка пересечения высот ⇒ NP – высота ΔKMN ⇒ NP⊥КМ ⇒ ΔKPM – прямоугольный;

3) ΔKPM – прямоугольный ⇒ ∠РKN + ∠КNР = 90° (по свойству острых углов прямоугольного треугольника);

∠КNР = 90° — ∠РKN = 90° — 66° = 24°;

Пример 3. По данным рисунка найдите ОК, если RO = 20.

OM, ON – серед. перп.;

1) О – точка пересечения серединных перпендикуляров ⇒ ОК – серединный перпендикуляр (по свойству серединных перпендикуляров треугольника);

2) ОМ – серединный перпендикуляр ⇒ RO = PO = 20 (свойство серединного перпендикуляра к отрезку);

3) ОК – серединный перпендикуляр ⇒ ΔРОК – прямоугольный ⇒ ОК = (по свойству катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла 30°).

Пример 4. По данным рисунка найти угол МСВ1?

1) Продлим СМ до пересечения с АВ, АВ∩СС1 = С1,

М – точка пересечения биссектрис треугольника ⇒ СС1 – биссектриса треугольника АВС (по свойству биссектрис треугольника);

2) Рассмотрим ΔАВМ: ∠АМВ + ∠ВАМ + ∠АВМ = 180° ⇒ ∠ВАМ + ∠АВМ = 180° — 128° = 52°;

3) ВВ1, АА1 – биссектрисы ΔАВС ⇒ ∠А = 2∠ВАМ, ∠В = 2∠АВМ;

4) По теореме о сумме углов треугольника: ∠С = 180° — (∠А + ∠В) = 180° — (2∠ВАМ + 2∠АВМ) = 180° — 2(∠ВАМ + ∠АВМ) = 180° — 2 ⋅ 52° = 76°;

5) СС1 – биссектриса ∠С ⇒ ∠МСВ1 = ∠С : 2 = 38°.

📽️ Видео

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника. Медиана треугольника.Скачать

Четыре замечательные точки треугольника. Видеоурок 20. Геометрия 8 классСкачать

Планиметрия | конкретные задачи | замечательные точки треугольников | 2Скачать

Четыре замечательные точки треугольникаСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точкиСкачать

Геометрия. 8 класс. Замечательные точки треугольника /27.10.2020/Скачать

Геометрия 8 класс. Четыре замечательные точки треугольникаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Геометрия 8 класс 32-33 неделя Четыре замечательные точки треугольникаСкачать

Планиметрия | конкретные задачи | замечательные точки треугольников | 5Скачать

Планиметрия | конкретные задачи | замечательные точки треугольников | 1Скачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Треугольники. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать

Планиметрия | конкретные задачи | замечательные точки треугольников | 6Скачать