Задачи на вписанные и описанные окружности около правильного многоугольника (5 видео)

Урок геометрии по теме «Правильные многоугольники. Решение задач». 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Основная цель:

Проверить уровень обязательной математической подготовки, глубину усвоения знаний и умений применять полученные знания в несколько отличных от обязательных результатов обучения ситуациях.

Тренировать способность к решению задач на нахождение длин сторон правильных многоугольников, периметров, длин окружностей.

Тренировать умение понимать текст задачи, делать чертежи, сопровождающие условие и решение задачи, выделять конфигурацию, необходимую на данном шаге (этапе) решения.

Проверка домашнего задания.

а) Индивидуальная работа у доски.

Построить правильный многоугольник: n=3, n=4, n=6.

б) Фронтальный опрос.

Задания для класса.

Что такое многоугольник? Какой многоугольник называется выпуклым?

Какой многоугольник называется правильным?

Что называется углом выпуклого многоугольника при данной вершине?

Что является внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине?

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника?

Многоугольник называется вписанным в окружность, если :

Многоугольник называется описанным около окружности, если :

Правильный выпуклый многоугольник является вписанным и :

а) Заполните таблицу:

Число сторон многоугольника n	Выражение радиусов вписанной r_n и описанной R_n окружностей через сторону a_n многоугольника
n	R=	r=
3	R₃=	r₃=
4	R₄=	r₄=
6	R₆=	r₆=

б) Заполните таблицу:

Число сторон многоугольника n	Выражение стороны a_n многоугольника через радиусы вписанной r_n и описанной R_n окружностей
n	a_n=	a_n=
3	a₃=	a₃=
4	a₄=	a₄=
6	a₆=	a₆=

в) Устное решение задач(№ 1, 2, 3) по готовым чертежам.

Задача 1. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 1 см. Найдите радиус R описанной окружности около этого квадрата. (Ответ: см)

Задача 2. Периметр правильного шестиугольника, описанного около окружности, равен см. Чему равен радиус этой окружности? (Ответ: 1,5 см)

Задача 3. Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен см. Найдите радиус r вписанной окружности. (Ответ: см)

Геометрический диктант.

Какие четырехугольники являются правильными многоугольниками?
Чему равна градусная мера внутреннего угла правильного n — угольника?
Чему равна градусная мера внешнего угла правильного треугольника?
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его угол равен 108 0 ?
Какой многоугольник получится, если последовательно соединить середины сторон правильного шестиугольника?

Ответы к математическому диктанту

Номер задания	Ответ
1	3, 4, 5, 7
2	5
3	3
4
5
6	5
7	6

Закрепление. Решение задач.

Задача №1. В правильный шестиугольник ABCDEF, со стороной 6 см, вписан правильный треугольник A₁B₁C₁. Найдите отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник A₁B₁C₁, к радиусу окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF.

Найти:

ABCD — трапеция, так как — средняя линия трапеции по построению, см)

(см)

Ответ: .

Задача №2. Наглядно — поисковая задача. В правильный треугольник MNP вписана окружность. Отрезок NR перпендикулярен отрезку MP и пересекает его в точке K. Угол KMR=30 0 . Найдите радиус вписанной окружности в треугольник MNP и её длину.

правильный треугольник MNP, MR=.

Найти: OE, C (длина окружности).

MK=KP (так как центр вписанной окружности лежит на пересечении срединных перпендикуляров к сторонам треугольника). Рассмотрим треугольник MKP. MK=MR* (см). Следовательно, MP=9 см, а OE= r,

Ответ: OE =

Задача №3. Ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна 2. Хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 8. Найти радиусы окружностей.

Задача №4 . Минутная стрелка часов на здании Московского университета имеет длину 4,13 м, а часовая — 3,70м. Какой путь пройдет конец каждой из этих стрелок в течение суток?

(Ответ:14,8 м; 198,24 м.)

Задача №5 * . Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 18 см. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

Задача №6 * . Около трапеции с высотой 6 см описана окружность. Угол между радиусами окружности, проведенными к концам боковой стороны, равен 60 0 . Найдите площадь трапеции.

Задача №7. (расчетно-практическая)

Чтобы сделать выкройку юбки «Солнце» для девочки, построим две концентрические окружности. Длина одной из этих окружностей равна длине «окружности талии» — 62см, а радиус другой больше радиуса первой на 60 см. Вычислите длину окружности по нижнему краю юбки. Сколько ткани надо иметь для пошива такой юбки? Сколько метров ленты пойдет на отделку такой юбки? (Ответ: на первый вопрос — 140 см)

Проведите измерения и расчеты для себя.

Окружность талии = с =: см

R_талии=

С=2_юбки= :Проверь себя:

Найдите больший угол треугольника, если величины его углов образуют арифметическую прогрессию с разностью 15.

Ответ: а) 80 б) 16 в)120 г) 164 д) решения нет.

Вписанный в окружность угол, величиной 40 0 , опирается на дугу длиной 16 см. Найдите длину окружности.

Ответ: а) 164 см; б) 2 см; в) 72 см; г) 16 см; д) решения нет.

В треугольнике ABC AB=2, BC=3 и угол BAC в три раза больше угла BCA. Найдите радиус описанной окружности около этого треугольника.

Найдите центральный угол окружности радиуса 4 см, если длина соответствующей дуги равна: а) б) в) 5.

Содержание

Правильный многоугольник
Корзина
Правильный многоугольник и описанная окружность
Вписанная и описанная окружность в правильном многоугольнике
Правильный многоугольник и вписанная окружность
🔍 Видео

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Правильный многоугольник

Корзина

Теоретический урок по предмету математики для решения задач по теме «Правильный многоугольник».

Содержание данной онлайн страницы электронного справочника для школьников:

– примеры решений по теме «Формула углов правильного многоугольника» представлены в задачах 108 — 112;
– тема «Описанная окружность» объясняется в контрольных работах 113 — 116 учебника;
– задачи, как находить радиусы правильных многоугольников, а также задания по теме «Вписанные и описанные правильные многоугольники», рассматриваются в примерах 117 — 123 данной рабочей тетради.

Определение правильного многоугольника:

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, углы которого равны между собой и стороны равны. Например, правильным многоугольником является квадрат, равносторонний треугольник.

Теорема — Вывод формулы для вычисления углов правильного многоугольника.

α_n = • 180°

Сумма углов данного правильного многоугольника (n — 2) • 180°.

По условию α₁ = α₂ = α₃ = α₄ = .

каждый угол по • 180°, т.е. справедлива

формула для вычисления углов правильного многоугольника:

α_n = • 180°

Задача 108.

Дано: Правильный шестиугольник, т.е. n = 6

Найти: угол правильного шестиугольника

α_n = • 180° = = 120°

Задача 109.

Дано: Правильный многоугольник, где n — количество сторон многоугольника

Найти: n — сколько сторон содержится в правильном многоугольнике

1) α_n = 60°

α_n = • 180°

60° •n = (n — 2) • 180°

60° •n = 180°•n — 360°

135° •n = (n — 2) • 180°

135° •n — 180°•n = — 360°

Задача 110.

Дано:

ABCDEF — правильный многоугольник,

Т.к. шестиугольник правильный, то по определению правильного многоугольника

каждый угол в правильном многоугольнике равен α_n = • 180°

α_n = • 180° = 120°

Т.к. все углы в правильном многоугольнике равны, то и внешние углы тоже будут равны, а именно β₁ = β₂ = β₃ = β₄ = β₅ = β₆ = 180° — FAB = 180° — 120° = 60°

Задача 111.

1) правильный треугольник, n = 3

Найти: угол правильного многоугольника

1) α_n =

Задачи на вписанные и описанные окружности около правильного многоугольника

• 180°

Ответы: каждый угол правильного многоугольника равен 1) 60°; 2) 108°; 3) 160°.

Задача 112.

Определите: сколько сторон имеет правильный многоугольник n = ?

α_n = • 180°

90° •n = (n — 2) • 180°

90° •n — 180°•n = — 360°

Ответ: количество сторон правильного многоугольника n = 4.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильный многоугольник и описанная окружность

Определение:

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности.

Теорема:

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну.

существует единственная окружность с центром в точке O и радиусом R, на которой лежат вершины правильного многоугольника

! Окр (O;R): A₁; A₂; A₃;…A_n Окр (O;R)

1) Проведем биссектрисы угла A₁ и угла A₂.

Т.к. многоугольник правильный, то A₁ = A₂

1 = 2 = 3 = 4.

Из того, что 1 = 3 следует, что треугольник ΔA₁OA₂ — равнобедренный, поэтому A₁O = OA₂

Рассмотрим треугольник ΔA₂OA₃:

3) 3 = 4

Тогда по первому признаку равенства треугольников

Соединив каждую оставшуюся вершину с точкой O, можно показать, что все треугольники между собой равны.

Т.к. точка O — центр окружности и радиус равен R = A₁O =A₂O = A₃O = . = A_nO , значит,

Окр (O;R); A₁; A₂; A₃;…A_n Окр (O;R)

Единственность:

Возьмем какие-нибудь три вершины правильного многоугольника, они образуют треугольник, около которого можно описать только одну окружность, значит, около данного многоугольника можно описать только одну окружность.

***

Задача 113.

дуга AB= 60° ( AB = 60°)

AB — сторона правильного многоугольника

количество сторон правильного многоугольника n = ?

Т.к. градусная мера AB = 60° AB = AOB.

ΔAOB — равнобедренный, где OAB = OBA =

Тогда ΔAOB — равносторонний.

Радиусы окружности, описанной около правильного многоугольника являются биссектрисами его углов, поэтому каждый угол многоугольника равен 60° • 2 = 120°.

α_n = • 180°

120° •n = (n — 2) • 180°

120° •n — 180°•n = — 360°

Ответ: число сторон правильного многоугольника n = 6.

Задача 114.

AB = 36°

AB = 18°

AB — сторона правильного многоугольника

количество сторон многоугольника n = ?

Т.к. градусная мера AB = 36° AB = AOB.

ΔAOB — равнобедренный, где OAB = OBA =

Радиусы окружности, описанной около многоугольника являются биссектрисами его углов, поэтому каждый угол многоугольника равен 72° • 2 = 144°.

α_n = • 180°

144° •n = (n — 2) • 180°

144° •n — 180°•n = — 360°

Т.к. градусная мера AB = 18° AB = AOB, где AOB — центральный.

ΔAOB — равнобедренный (OA = OB = r), где OAB =

= OBA = (180° — 18°) : 2 = 81°.

Радиусы окружности, описанной около многоугольника являются биссектрисами его углов, поэтому каждый угол многоугольника равен 81° • 2 = 162°.

α_n = • 180°

162° •n = (n — 2) • 180°

162° •n — 180°•n = — 360°

Ответ: 1) n = 10; 2) n = 20.

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

Вписанная и описанная окружность в правильном многоугольнике

Вывод:

В правильных многоугольниках центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Задача 115.

α_n = • 180° = 108°

По определению правильного многоугольника в данном пятиугольнике все стороны и углы между собой равны.

A₂ = A₅

Тогда по первому признаку равенства треугольников (ΔA₁A₂A₃ = ΔA₁A₄A₅) следует, что A₁A₃ = A₁A₄ как соответственные стороны.

Задача 116.

Соотношение отрезков

AM : MK : KD = 1 : : 1

MNOZLFEK — правильный многоугольник

ΔAMN = ΔOBZ = ΔLCF = ΔEKD (по первому признаку треугольников)

По теореме Пифагора:

MN = OZ = LF = EK =

По условию NO = ZL = EF = MK =

Значит, все стороны равны.

Т.к. 1= 2 = 45°, то NMK= MKE = KEF= EFL = FLZ= ZON = … = 180° — 45° = 135°

Из этого следует, что MNOZLFEK — правильный восьмиугольник.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Правильный многоугольник и вписанная окружность

Теорема:

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

существует единственная вписанная окружность с центром в точке O и радиусом R

! Окр (O;R): H₁; H₂; H₃;…H_n Окр (O;R)

1) Проведем высоты треугольников, т.е. OH₁; OH₂; …; OH_n

Следовательно, OH₁ = OH₂ = … = OH_n . Тогда H₁; H₂; H₃;…H_n Окр (O;R).

Единственность:

2) Предположим, что наряду с Окр (O;R) есть и другая окружность, вписанная в данный многоугольник.

Тогда ее центр O₁ равноудален от сторон многоугольника и совпадает с точкой O пересечения биссектрис, лежащих на каждом угле многоугольника.

Значит, радиус этой окружности равен OH₁ и из этого следует, что окружности совпадают.

Задача 117.

Дано:

дуга AB= 72° ( AB = 72°)

AB — сторона правильного n-угольника

количество сторон многоугольника n = ?

Т.к. градусная мера AB = 72° AB = AOB, где угол AOB — центральный.

ΔAOB — равнобедренный (OA = OB = r), где

OAB = OBA = (180° — 72°) : 2 = 54°.

Тогда ΔAOB — равносторонний.

Радиусы окружности, описанной около многоугольника являются биссектрисами его углов, поэтому каждый угол многоугольника равен 54° • 2 = 108°.

α_n = • 180°

108° •n = (n — 2) • 180°

108° •n — 180°•n = — 360°

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

R — радиус описанной окружности

r — радиус вписанной окружности

a_n — сторона многоугольника

1) площадь правильного многоугольника равна половине произведения периметра многоугольника на радиус вписанной окружности

S_n = P_n • r

2) сторона правильного многоугольника равна удвоенному произведению радиуса описанной окружности на синус угла (Sin), равному числу от деления 180° на n — количество сторон многоугольника

a_n = 2R • Sin ( )

3) радиус вписанной окружности равен произведению радиуса описанной окружности на косинус угла (Cos), равному числу от деления 180° на n — количество сторон правильного многоугольника

r = R • Cos ( )

1) Соединив точку O с вершинами правильного многоугольника, получаем треугольники Δ A₁A₂O = Δ A₂A₃O = … = Δ A₁A_nO, где количество всех треугольников в многоугольнике = n.

S (Δ A₁A₂O) = • A₁A₂ • OH₁ = • a_n • r.