Задачи на тему окружность легкие

Наглядная геометрия 7 класс. задачи по теме Прямая. Окружность. Угол с ответами и решениями. Простые вопросы по теме. Непростые вопросы.

Вначале рассмотрим две главные задачи, которые встречаются практически во всех контрольных работах. Задачи эти очень простые. Но важно при решении сослаться на основное свойство измерения отрезков или углов.

Задача 1. На отрезке АВ, равном 24 см, взята точка М. Отрезок AM на 6 см больше отрезка МВ. Найдите длину отрезка МВ.

Решение. По основному свойству измерения отрезков AM + МВ = АВ. Пусть МВ=х см, тогда AM = (х+6) см. Получим х + (х+6) = 24,2х = 18, х=9.

Ответ: МВ = 9 см.

Задача 2 . Внутри угла ВАС, равного 60°, из его вершины проведен луч AM. Угол ВАМ в 2 раза больше угла MAC. Найдите величину угла MAC.

Решение. По основному свойству измерения углов ∠BAM+ ∠MAC = ∠BAC. Пусть ∠MAC = х, тогда ∠BAM = 2х.
Получим х + 2х = 60°, 3х = 60°, х = 20°.

Ответ: ∠MAC = 20°.

Примечание. Возможен другой способ записи решения, где вместо ∠MAC = х пишут ∠MAC = х°.
∠MAC = х°, ∠BAM = 2х°; х + 2х = 60, 3х = 60, х = 20; ∠MAC = 20°.

Задача 3 . Дано: О — центр окружности; АВ = 30 см, АК: КО = 3:2. Найти: КВ.

Решение. АО = ½ АВ = 15 см — радиус равен половине диаметра.
АК — 3 части, КО — 2 части, АО — 5 частей. На 1 часть приходится 15:5 = 3 (см).
КО = 2 • 3 = 6 (см), ОВ = АО = 15 см, КВ = КО + ОВ = 6 + 15 = 21 (см).

Ответ: 21 см.

Примечание. Второй способ записи решения: АК = 3х см, КО = 2х см, АВ = 10х см. По условию 10х = 30, тогда х = 3. КВ = КО + ОВ = 7х = 21 см.

Задача 4 . Дано: ∠1 + ∠2 = 140°. Найти: ∠3.

Решение. ∠1 = ∠2 как вертикальные; ∠1 = 140° : 2 = 70°. ∠1 + ∠3 = 180° как смежные; ∠3 = 180° — 70° = 110°.

Ответ: 110°.

Задача 5 . Докажите, что биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.
Дано: ОК — биссектриса ∠AOC, ОМ — биссектриса ∠BOC.
Доказать: ∠KOM = 90°. 1л О в .

Доказательство. (Идея доказательства: сумма смежных углов равна 180°, тогда сумма половинок двух смежных углов 180° : 2 = 90°.)
∠AOC + ∠BOC = 180° как смежные;
∠СOM = ½ ∠COB по определению биссектрисы;
∠COK = ½ ∠COA по определению биссектрисы;
∠COM + ∠COK = ½ (∠COA + ∠COB) = ½ • 180°=90°.

Примечание. Мы показали возможное оформление задачи на контрольной работе. При решении задач на уроке и дома (по согласованию с учителем) можно делать менее строгие записи. Это значительно экономит время. Например, возможно такое «рабочее» оформление решения:
2х + 2у = 180° (свойство смежных углов);
х + у = 90°.

Простые вопросы по теме

1. Сколько смежных углов имеет данный угол?
2. Сколько вертикальных углов имеет данный угол?
3. Если данный угол острый, то каким будет угол, смежный с ним? А вертикальный ему угол?
4. Если данный угол тупой, то каким будет угол, смежный с ним? А вертикальный ему угол?
5. Могут ли быть смежные углы равны?
6. Если данный угол увеличить, то как изменится угол, смежный с ним? А вертикальный ему угол?
7. Если данный угол уменьшить, то как изменится смежный с ним угол? А вертикальный ему угол?
8. Если данный угол увеличить на 20°, то как изменится смежный с ним угол? А вертикальный ему угол?
9. Если данный угол прямой, то каким будет смежный с ним угол? А вертикальный ему угол?
10. Если данный угол увеличить в 2 раза, то как изменится смежный с ним угол? А вертикальный ему угол?
11. Если данный угол тупой, то какой угол больше: смежный с данным или вертикальный ему?
12. Даны две пересекающиеся прямые. Сколько пар смежных углов они образуют? сколько пар вертикальных?
13. На прямой отметили точку. Сколько лучей можно указать?
14. На прямой отметили 10 точек. Сколько лучей образовалось?
15. Прямую разделили на части в десяти точках. Сколько и каких фигур образовалось?
16. На прямой отметили 3 точки. Сколько отрезков образовалось при этом? А если отметить 4 точки?
17. Не отрывая карандаша от бумаги, нарисуйте пятью прямолинейными отрезками звездочку. Сколько пар смежных углов при этом образовалось на рисунке? А сколько пар вертикальных?
18. Какие заглавные буквы русского алфавита можно изобразить ломаными линиями. Какого вида эти ломаные?
19. Сколько вы можете предложить неправильных вариантов написания слова «биссектриса»?
20. Как переводится слово «градус»?
21. Сколько теорем в данной теме?

ОТВЕТЫ на простые вопросы

1. Два.
2. Один.
3. Смежный — тупой. Вертикальный — острый.
4. Смежный — острый. Вертикальный — тупой.
5. Да, если они по 90°.
6. Смежный с ним угол уменьшится, вертикальный — увеличится.
7. Смежный с ним угол увеличится, вертикальный — уменьшится.
8. Смежный с ним угол уменьшится на 20°, вертикальный — увеличится на 20°.
9. Смежный с ним угол — прямой, вертикальный ему — прямой.
10. Смежный угол уменьшится, но не в 2 раза (были, например, углы 10° и 170°, стали 20° и 160°). Вертикальный угол увеличится в 2 раза.
11. Смежный угол меньше, чем вертикальный, так как смежный будет острым, а вертикальный — тупым.
12. Четыре пары смежных углов и две пары вертикальных.
13. Два противоположных луча.
14. Каждая из 10 точек будет началом двух противоположных лучей. Таким образом, всего образуется 20 лучей.
15. 9 отрезков и 2 луча.
16. Если 3 точки, то 3 отрезка. Если 4 точки, то 6 отрезков.
17. Пять точек пресечения дадут по 4 пары смежных углов — всего 20 пар смежных. Пять точек пересечения дадут по 2 пары вертикальных углов — всего 10 пар вертикальных.
18. Б, Г, И, Л, М, О, П, Р, С, Ь, Ъ. Из них: Г, И, Л, П, С — простые незамкнутые, Б, Р, Ь, Ъ — непростые незамкнутые, О — простая замкнутая ломаная.
19. Например:
    биСектриса биссектриССа бЕСектриССа
    биСектриССа бЕссектриса
    бЕСектриса бЕссектриССа

1. «Градус» переводится с латинского как «шаг», «ступень».
2. 3.

Непростые вопросы

• 22* Сколько условий требуется, чтобы углы были по определению смежными?
• 23* Как звучит теорема о свойстве смежных углов в форме «Если…, то…»? Что в теореме дано, а что нужно доказать?
• 24.* Как звучит утверждение, обратное теореме о свойстве смежных углов («Если …, то …»)? Верно ли это утверждение?
• 25* Если у двух углов одна сторона общая и их сумма равна 180°, то обязательно ли они смежные?
• 26.* Если у двух углов две стороны являются противоположными лучами и их сумма равна 180°, то обязательно ли они смежные?
• 27* Как звучит теорема о свойстве вертикальных углов в форме «Если …, то …»? Что в теореме дано, а что нужно доказать?
• 28* Как звучит утверждение, обратное теореме о свойстве вертикальных углов («Если то …»)? Верно ли это утверждение? Примечание. Если хотя бы в одном случае утверждение неверно, то в математике такое утверждение считается неверным. В математике не бывает одно и то же утверждение иногда верным, а иногда неверным.
• 29* Если сторона одного угла является противоположным лучом к стороне другого и углы равны, то обязательно ли они вертикальные?
• 30.* Если на прямой отметить 10 точек, то сколько отрезков при этом образуется? А если 100 точек? А если п точек?
• 31* Если внутри угла из его вершины провести 5 лучей, то сколько углов при этом образуется? А если 100 лучей? А если п лучей?
• 32* На плоскости дано 10 точек, из них никакие три не лежат на одной прямой. Сколько существует отрезков с концами в данных точках?
• 33* На плоскости дано 10 прямых. Из них никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Сколько существует точек пересечения этих прямых?
• 34* Изобразите шестизвенную замкнутую ломаную, каждое звено которой имеет только одну точку пересечения с каким-то другим звеном.
• 35* Не отрывая карандаша от бумаги, соедините четырьмя прямолинейными отрезками изображенные 9 точек.

Ответы на непростые вопросы

22* Два: 1) одна сторона общая; 2) две другие — противоположные лучи.

23* «Если даны два смежных угла, то их сумма равна 180°». Дано: два смежных угла. Нужно доказать: их сумма равна 180°.

24.* «Если сумма двух углов 180°, то эти углы смежные». Это утверждение неверно. Например, любые два угла квадрата в сумме дают 180°, но они не являются смежными.

27* «Если углы вертикальные, то эти углы равны». Дано: два вертикальных угла. Нужно доказать: эти углы равны.

28* «Если два угла равны, то они вертикальные». Это утверждение неверно. Два любых угла прямоугольника равны, но они не являются вертикальными.

30* Ответ: 45. Из них 9 одинарных, 8 двойных, 7 тройных, 6 четверных, 5 пятерных, 4 шестерных, 3 семерных, 2 восьмерных и 1 данный отрезок, т. е. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Можно рассуждать иначе: каждая из 10 точек образует с оставшимися 9 точками девять отрезков. Всего таких образований 10 • 9 = 90. Самих отрезков в 2 раза меньше, т. е. 90 : 2 = 45 (2 образования — относительно одного конца, а затем относительно второго конца отрезка — дают 1 отрезок).

Если точек 100, то количество отрезков составит 100 • 99 / 2 = 4950. Если точек n, то образуется n(n — 1)/2 отрезков.

31 .* Ответ: 21. Из них 6 одинарных, 5 двойных, 4 тройных, 3 пятерных, 2 шестерных и 1 данный угол. Можно рассуждать иначе: каждый из 7 лучей образует с оставшимися 6 лучами угол. Всего таких образований 7.6 = 42. Самих углов в два раза меньше: 42:2 = 21.

Если внутри провести 100 лучей, то углов будет 102 • 101 / 2 = 5151. А если n лучей, то всего образуется (n + 2)(n +1)/2 углов.

Примечание. Мы не считали углы, большие 180°.

32* Каждая из 10 точек образует с оставшимися 9 точками отрезок. Всего таких образований 10 • 9 = 90. Самих отрезков в 2 раза меньше, т. е. 90:2 = 45.

33* Любая из 10 прямых пересекает каждую из 9 остальных в некоторой точке. Всего для данной прямой 9 точек пересечения. И для каждой из 10 прямых будет 9 точек пересечения с оставшимися 9 прямыми. Получаем 10-9 = 90 точек пересечений. Но при этом каждая точка засчитана дважды: относительно одной, а затем относительно второй прямой. Поэтому всего точек пересечения в 2 раза меньше, т. е. 90:2 = 45.

Ключевые задачи по теме Прямая. Окружность. Угол». Выберите дальнейшие действия:

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

Легкие задачи на окружность

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Подбор задач по математике на тему»Окружность .Подготовка к ОГЭ»(9 класс)

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

На окружности с центром О отмечены точки А и В так ,что ∟АОВ =80 0 .Длина меньшей дуги АВ равна 58.Найти длину большей дуги АВ

На окружности отмечены точки А и В так ,что меньшая дуга АВ равна 152 0 .Прямая ВС касается окружности в точке В так, что угол АВС острый. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.

Точка О- центр окружности ,на которой лежат точки А,В и С. Известно, что ∟АВС=103 0 и ∟ОАВ=24 0 .Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.

В угол С величиной 107 0 вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В ,точка О- центр окружности .Найдите угол АОВ .Ответ дайте в градусах.

Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 14,5.Найдите АС, если ВС=21

В треугольнике АВС известно, что АС=7,ВС=24,угол С равен 90 0 .Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности

Точка О- центр окружности ,на которой лежат точки А,В и С. Известно, что ∟АВС=50 0 и ∟ОАВ=35 0 .Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7

Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О.Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 73 0

Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 17.Найдите АС, если ВС=30.

Центр окружности описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 20.Найдите ВС, если АС=32.

Сторона равностороннего треугольника 14

.Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Периметр треугольника равен 56,а радиус вписанной окружности равен 4.Найдите площадь этого треугольника

Площадь треугольника равна 205,а его периметр 82.Найдите радиус вписанной окружности

Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями, радиусы которых равны и

Площадь сектора круга радиуса 22 равна 165.Найдите длину его дуги

Около окружности, радиус которой равен 2,описан многоугольник, площадь которого равна 29.Найдите его периметр

1.Окружность пересекает стороны угла величиной 33 0 с вершиной С в точках А,Е, D и В .Найдите угол ADB ,если угол ЕА D равен 22 0 .Ответ дайте в градусах.

2.Точки А,В,С и D ,последовательно расположенные на окружности в указанном порядке,делят её на четыре дуги,градусные меры которых относятся как 1:2:7:8 (дуга АВ наименьшая)Найдите градусную меру дуги BD ,содержащей точку С

3.Длина окружности равна 6 .Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью

4.Расстояние от центра окружности до хорды длиной 30 равно 8.Найдите радиус окружности

5.Центральный угол на 43 0 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности

6.Окружность с центром О ₁ и радиусом проходит через центр О ₂ второй окружности и пересекает эту окружность в точках А и В.Найдите радиус второй окружности, если известно, что точка О ₁ лежит на отрезке АВ

7.Найдите радиус окружности,вписанной в равносторонний треугольник,одна из медиан которого равна 15

8.Расстояние от вершины А равнобедренного треугольника АВС до центра О вписанной в него окружности равно 29,а длина основания АС треугольника равна 42.Найдите радиус вписанной окружности треугольника

9.Найдите угол при вершине В равнобедренного треугольника АВС с основанием АС, если сторона АВ треугольника стягивает дугу описанной около него окружности, равную 130 0

10 Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами 9 и 40

11.Медиана ВМ треугольника АВС является диаметром окружности,пересекающей сторону ВС в её середине.Длина стороны АС равна 7.Найдите радиус описанной окружности треугольника АВС

12.Найдите периметр трапеции,в которую вписана окружность,если средняя линия трапеции равна 33

13.Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 67 0 и 89 0 .Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

14.Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 13.Найдите АС, если ВС=24

15.На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки M и N .Известно, что ∟ NBA =36 0 . Найдите угол NMB .Ответ дайте в градусах.

16 Отрезки АС и BD –диаметры окружности с центром в точке О.Угол АСВ равен 79 0 .Найдите угол АО D . Ответ дайте в градусах.

17. В угол С величиной 83 0 вписана окружность ,которая касается сторон угла в точках А и В ,точка О- центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

18 Касательные в точках А и В к окружности с центром в точке О пересекаются под углом 72 0 .Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

19.Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ=ВС и АВС=125 0 .Найдите угол ВОС. Ответ дайте в градусах.

20. В треугольник АВС известно, что АС=20,ВС=21,угол С равен 90 0 .Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

21.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 70 0 ,угол CAD равен 49 0 .Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах

22 Сторона правильного треугольника равна 36 .Найдите радиус окружности ,описанной около этого треугольника.

23 Высота правильного треугольника равна 123.Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника

24.Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 18.Найдите высоту этого треугольника

25 В треугольнике АВС ВС= ,угол С равен 90 0 .Радиус окружности,описанной около этого треугольника,равен 8,5.Найдите АС

26 Найдите радиус окружности,вписанной в правильный треугольник,высота которого равна 132.

27 Радиус окружности, вписанной в правильный треугольника, равен 29..Найдите высоту этого треугольника

28 Сторона правильного треугольника равна 4 .Найдите радиус окружности ,вписанной в этот треугольник

29. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен .Найдите сторону этого треугольника

30Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5,основание равно 6.Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

31 В треугольнике АВС АС=12,ВС=3,5 ,угол С равен 90 0 .Найдите радиус вписанной окружности .

32. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 569,основание равно462 .Найдите радиус вписанной окружности

33.Окружность,вписанная в равнобедренный треугольник ,делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 25 и 3,считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

34.Найдите радиус окружности ,описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 15 и 5

35.Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5.

36. Найдите радиус окружности,описанной около квадрата со стороной ,равной 27

37.Найдите сторону квадрата,вписанного в окружность радиуса 18

38.Сторона ромба равна 34 ,острый угол равен 60 0 .Найдите радиус вписанной в этот ромб окружности.

39.Острый угол ромба равен 60 0 .Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 23.Найдите сторону ромба.

40.Найдите высоту трапеции,в которую вписана окружность радиуса 28

41.Около трапеции описана окружность.Периметр трапеции равен 96,средняя линия равна 16.Найдите боковую сторону трапеции.

42. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 39.Найдите сторону этого треугольника

43.Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 7 и 4.Найдите среднюю линию трапеции

44.Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 120.Найдите её среднюю линию.

45.Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100,её большая боковая сторона равно 35.Найдите радиус окружности.

46.В четырёхугольник ABCD вписана окружность ,АВ=17, CD =22.Найдите периметр четырёхугольника

47.Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 20.Радиус описанной окружности равен 26.Найдите высоту трапеции, если известно, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции.

48 В четырёхугольник ABCD вписана окружность ,АВ=7,В C =12 и С D =9.Найдите четвертую сторону четырёхугольника

49.Три стороны описанного около окружности четырёхугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:5:9.Найдите большую сторону этого четырёхугольника, если известно, что его периметр равен 20.

50.Около окружности, радиус которой равен 16 ,описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

51.Сторона АВ треугольника АВС равна 3.Противолежащей ей угол С равен 30 0 .Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

52.Угол С треугольника АВС ,вписанного в окружность радиуса 10,равен 30 0 .Найдите сторону АВ этого треугольника

53.Угол А четырёхугольника ABCD ,вписанного в окружность, равен 46 0 .Найдите угол С этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

54.Стороны четырёхугольника ABCD AB , BC , CD , и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 63 0 ,62 0 ,90 0 ,145 0 .Найдите угол В этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

55.Точки A , B ,С, D ,расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB , BC ,С D и AD ,градусные величины которых относятся соответственно как 1:4:12:19.Найдите угол А четырёхугольника ABCD . Ответ дайте в градусах.

56.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 58 0 ,угол CAD равен 43 0 .Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах.

57.Периметр четырёхугольника ,описанного около окружности, равен 26,две его стороны равны 5 и 9.Найдите большую из оставшихся сторон.

58.Углы A , B и С четырёхугольника ABCD относятся как 7:7:11.Найдите угол D ,если около данного четырёхугольника можно описать окружность. . Ответ дайте в градусах.

59.Центральный угол на 45 0 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

60.Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности. Ответ дайте в градусах.

61.Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 25 0 и 51 0 .Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

62.Дуга окружности АС ,не содержащая точки В ,составляет 180 0 .А дуга окружности ВС ,не содержащая точки А, составляет 45 0 .Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

63. Точки A , B ,С ,расположенные на окружности, делят эту окружность на три дуги ,градусные величины которых относятся как 1:2:15.Найдите больший угол треугольника ABC . Ответ дайте в градусах.

64.АС и BD -диаметры окружности с центром О.Угол АСВ равен 69 0 .Найдите угол АО D . Ответ дайте в градусах.

65.Хорда АВ стягивает дугу окружности в 6 0 .Найдите острый угол АВС между этой хордой и касательной к окружности ,проведённой через точку В. Ответ дайте в градусах.

66.В угол С величиной 79 0 вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В .Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

67. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 2 0 .Найдите угол А BO . Ответ дайте в градусах.

68.Найдите угол CDB ,если вписанные углы ADB и ADC опираются на дуги окружности,градусные величины которых равны соответственно 67 0 и 25 0 . Ответ дайте в градусах.

69.Угол между стороной правильного n -угольника,вписанного в окружность ,и радиусом этой окружности,проведённым в одну из вершин стороны ,равен 75 0 .Найдите n .

70.Площадь круга равна .Найдите длину его окружности.

71.Найдите площадь сектора круга радиуса ,центральный угол которого равен 90 0

72.Найдите площадь сектора круга радиуса 24,длина дуги которогоравна 3.

73.Периметр треугольника равен 8,а радиус вписанной окружности равен 2.Найдите площадь этого треугольника.

74.Площадь треугольника равна 205,а его периметр 82.Найдите радиус вписанной окружности.

75.Около окружности,радиус которой равен 2,описан многоугольник,площадь которого равна 29.Найдите его периметр.

76.Найдите вписанный угол,опирающийся на дугу,которая составляет 20% окружности. Ответ дайте в градусах.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Легкие задачи на окружность

Наглядная геометрия 7 класс. задачи по теме Прямая. Окружность. Угол с ответами и решениями. Простые вопросы по теме. Непростые вопросы.

Вначале рассмотрим две главные задачи, которые встречаются практически во всех контрольных работах. Задачи эти очень простые. Но важно при решении сослаться на основное свойство измерения отрезков или углов.

Задача 1. На отрезке АВ, равном 24 см, взята точка М. Отрезок AM на 6 см больше отрезка МВ. Найдите длину отрезка МВ.

Решение. По основному свойству измерения отрезков AM + МВ = АВ. Пусть МВ=х см, тогда AM = (х+6) см. Получим х + (х+6) = 24,2х = 18, х=9.

Ответ: МВ = 9 см.

Задача 2 . Внутри угла ВАС, равного 60°, из его вершины проведен луч AM. Угол ВАМ в 2 раза больше угла MAC. Найдите величину угла MAC.

Решение. По основному свойству измерения углов ∠BAM+ ∠MAC = ∠BAC. Пусть ∠MAC = х, тогда ∠BAM = 2х.
Получим х + 2х = 60°, 3х = 60°, х = 20°.

Ответ: ∠MAC = 20°.

Примечание. Возможен другой способ записи решения, где вместо ∠MAC = х пишут ∠MAC = х°.
∠MAC = х°, ∠BAM = 2х°; х + 2х = 60, 3х = 60, х = 20; ∠MAC = 20°.

Задача 3 . Дано: О — центр окружности; АВ = 30 см, АК: КО = 3:2. Найти: КВ.

Решение. АО = ½ АВ = 15 см — радиус равен половине диаметра.
АК — 3 части, КО — 2 части, АО — 5 частей. На 1 часть приходится 15:5 = 3 (см).
КО = 2 • 3 = 6 (см), ОВ = АО = 15 см, КВ = КО + ОВ = 6 + 15 = 21 (см).

Ответ: 21 см.

Примечание. Второй способ записи решения: АК = 3х см, КО = 2х см, АВ = 10х см. По условию 10х = 30, тогда х = 3. КВ = КО + ОВ = 7х = 21 см.

Задача 4 . Дано: ∠1 + ∠2 = 140°. Найти: ∠3.

Решение. ∠1 = ∠2 как вертикальные; ∠1 = 140° : 2 = 70°. ∠1 + ∠3 = 180° как смежные; ∠3 = 180° — 70° = 110°.

Ответ: 110°.

Задача 5 . Докажите, что биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.
Дано: ОК — биссектриса ∠AOC, ОМ — биссектриса ∠BOC.
Доказать: ∠KOM = 90°. 1л О в .

Доказательство. (Идея доказательства: сумма смежных углов равна 180°, тогда сумма половинок двух смежных углов 180° : 2 = 90°.)
∠AOC + ∠BOC = 180° как смежные;
∠СOM = ½ ∠COB по определению биссектрисы;
∠COK = ½ ∠COA по определению биссектрисы;
∠COM + ∠COK = ½ (∠COA + ∠COB) = ½ • 180°=90°.

Примечание. Мы показали возможное оформление задачи на контрольной работе. При решении задач на уроке и дома (по согласованию с учителем) можно делать менее строгие записи. Это значительно экономит время. Например, возможно такое «рабочее» оформление решения:
2х + 2у = 180° (свойство смежных углов);
х + у = 90°.

Простые вопросы по теме

1. Сколько смежных углов имеет данный угол?
2. Сколько вертикальных углов имеет данный угол?
3. Если данный угол острый, то каким будет угол, смежный с ним? А вертикальный ему угол?
4. Если данный угол тупой, то каким будет угол, смежный с ним? А вертикальный ему угол?
5. Могут ли быть смежные углы равны?
6. Если данный угол увеличить, то как изменится угол, смежный с ним? А вертикальный ему угол?
7. Если данный угол уменьшить, то как изменится смежный с ним угол? А вертикальный ему угол?
8. Если данный угол увеличить на 20°, то как изменится смежный с ним угол? А вертикальный ему угол?
9. Если данный угол прямой, то каким будет смежный с ним угол? А вертикальный ему угол?
10. Если данный угол увеличить в 2 раза, то как изменится смежный с ним угол? А вертикальный ему угол?
11. Если данный угол тупой, то какой угол больше: смежный с данным или вертикальный ему?
12. Даны две пересекающиеся прямые. Сколько пар смежных углов они образуют? сколько пар вертикальных?
13. На прямой отметили точку. Сколько лучей можно указать?
14. На прямой отметили 10 точек. Сколько лучей образовалось?
15. Прямую разделили на части в десяти точках. Сколько и каких фигур образовалось?
16. На прямой отметили 3 точки. Сколько отрезков образовалось при этом? А если отметить 4 точки?
17. Не отрывая карандаша от бумаги, нарисуйте пятью прямолинейными отрезками звездочку. Сколько пар смежных углов при этом образовалось на рисунке? А сколько пар вертикальных?
18. Какие заглавные буквы русского алфавита можно изобразить ломаными линиями. Какого вида эти ломаные?
19. Сколько вы можете предложить неправильных вариантов написания слова «биссектриса»?
20. Как переводится слово «градус»?
21. Сколько теорем в данной теме?

ОТВЕТЫ на простые вопросы

1. Два.
2. Один.
3. Смежный — тупой. Вертикальный — острый.
4. Смежный — острый. Вертикальный — тупой.
5. Да, если они по 90°.
6. Смежный с ним угол уменьшится, вертикальный — увеличится.
7. Смежный с ним угол увеличится, вертикальный — уменьшится.
8. Смежный с ним угол уменьшится на 20°, вертикальный — увеличится на 20°.
9. Смежный с ним угол — прямой, вертикальный ему — прямой.
10. Смежный угол уменьшится, но не в 2 раза (были, например, углы 10° и 170°, стали 20° и 160°). Вертикальный угол увеличится в 2 раза.
11. Смежный угол меньше, чем вертикальный, так как смежный будет острым, а вертикальный — тупым.
12. Четыре пары смежных углов и две пары вертикальных.
13. Два противоположных луча.
14. Каждая из 10 точек будет началом двух противоположных лучей. Таким образом, всего образуется 20 лучей.
15. 9 отрезков и 2 луча.
16. Если 3 точки, то 3 отрезка. Если 4 точки, то 6 отрезков.
17. Пять точек пресечения дадут по 4 пары смежных углов — всего 20 пар смежных. Пять точек пересечения дадут по 2 пары вертикальных углов — всего 10 пар вертикальных.
18. Б, Г, И, Л, М, О, П, Р, С, Ь, Ъ. Из них: Г, И, Л, П, С — простые незамкнутые, Б, Р, Ь, Ъ — непростые незамкнутые, О — простая замкнутая ломаная.
19. Например:
    биСектриса биссектриССа бЕСектриССа
    биСектриССа бЕссектриса
    бЕСектриса бЕссектриССа

1. «Градус» переводится с латинского как «шаг», «ступень».
2. 3.

Непростые вопросы

• 22* Сколько условий требуется, чтобы углы были по определению смежными?
• 23* Как звучит теорема о свойстве смежных углов в форме «Если…, то…»? Что в теореме дано, а что нужно доказать?
• 24.* Как звучит утверждение, обратное теореме о свойстве смежных углов («Если …, то …»)? Верно ли это утверждение?
• 25* Если у двух углов одна сторона общая и их сумма равна 180°, то обязательно ли они смежные?
• 26.* Если у двух углов две стороны являются противоположными лучами и их сумма равна 180°, то обязательно ли они смежные?
• 27* Как звучит теорема о свойстве вертикальных углов в форме «Если …, то …»? Что в теореме дано, а что нужно доказать?
• 28* Как звучит утверждение, обратное теореме о свойстве вертикальных углов («Если то …»)? Верно ли это утверждение? Примечание. Если хотя бы в одном случае утверждение неверно, то в математике такое утверждение считается неверным. В математике не бывает одно и то же утверждение иногда верным, а иногда неверным.
• 29* Если сторона одного угла является противоположным лучом к стороне другого и углы равны, то обязательно ли они вертикальные?
• 30.* Если на прямой отметить 10 точек, то сколько отрезков при этом образуется? А если 100 точек? А если п точек?
• 31* Если внутри угла из его вершины провести 5 лучей, то сколько углов при этом образуется? А если 100 лучей? А если п лучей?
• 32* На плоскости дано 10 точек, из них никакие три не лежат на одной прямой. Сколько существует отрезков с концами в данных точках?
• 33* На плоскости дано 10 прямых. Из них никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Сколько существует точек пересечения этих прямых?
• 34* Изобразите шестизвенную замкнутую ломаную, каждое звено которой имеет только одну точку пересечения с каким-то другим звеном.
• 35* Не отрывая карандаша от бумаги, соедините четырьмя прямолинейными отрезками изображенные 9 точек.

Ответы на непростые вопросы

22* Два: 1) одна сторона общая; 2) две другие — противоположные лучи.

23* «Если даны два смежных угла, то их сумма равна 180°». Дано: два смежных угла. Нужно доказать: их сумма равна 180°.

24.* «Если сумма двух углов 180°, то эти углы смежные». Это утверждение неверно. Например, любые два угла квадрата в сумме дают 180°, но они не являются смежными.

27* «Если углы вертикальные, то эти углы равны». Дано: два вертикальных угла. Нужно доказать: эти углы равны.

28* «Если два угла равны, то они вертикальные». Это утверждение неверно. Два любых угла прямоугольника равны, но они не являются вертикальными.

30* Ответ: 45. Из них 9 одинарных, 8 двойных, 7 тройных, 6 четверных, 5 пятерных, 4 шестерных, 3 семерных, 2 восьмерных и 1 данный отрезок, т. е. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Можно рассуждать иначе: каждая из 10 точек образует с оставшимися 9 точками девять отрезков. Всего таких образований 10 • 9 = 90. Самих отрезков в 2 раза меньше, т. е. 90 : 2 = 45 (2 образования — относительно одного конца, а затем относительно второго конца отрезка — дают 1 отрезок).

Если точек 100, то количество отрезков составит 100 • 99 / 2 = 4950. Если точек n, то образуется n(n — 1)/2 отрезков.

31 .* Ответ: 21. Из них 6 одинарных, 5 двойных, 4 тройных, 3 пятерных, 2 шестерных и 1 данный угол. Можно рассуждать иначе: каждый из 7 лучей образует с оставшимися 6 лучами угол. Всего таких образований 7.6 = 42. Самих углов в два раза меньше: 42:2 = 21.

Если внутри провести 100 лучей, то углов будет 102 • 101 / 2 = 5151. А если n лучей, то всего образуется (n + 2)(n +1)/2 углов.

Примечание. Мы не считали углы, большие 180°.

32* Каждая из 10 точек образует с оставшимися 9 точками отрезок. Всего таких образований 10 • 9 = 90. Самих отрезков в 2 раза меньше, т. е. 90:2 = 45.

33* Любая из 10 прямых пересекает каждую из 9 остальных в некоторой точке. Всего для данной прямой 9 точек пересечения. И для каждой из 10 прямых будет 9 точек пересечения с оставшимися 9 прямыми. Получаем 10-9 = 90 точек пересечений. Но при этом каждая точка засчитана дважды: относительно одной, а затем относительно второй прямой. Поэтому всего точек пересечения в 2 раза меньше, т. е. 90:2 = 45.

Ключевые задачи по теме Прямая. Окружность. Угол». Выберите дальнейшие действия:

Видео:7 класс, 21 урок, ОкружностьСкачать

Длина окружности

Видео:5 класс, 22 урок, Окружность и кругСкачать

Длина окружности

Длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз, а именно, приблизительно в 3,14 раза. Для обозначения этой величины используется маленькая (строчная) греческая буква π (пи):

Таким образом, длину окружности (C) можно вычислить, умножив константу π на диаметр (D), или умножив π на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:

где C — длина окружности, π — константа, D — диаметр окружности, R — радиус окружности.

Так как окружность является границей круга, то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Задачи на длину окружности

Задача 1. Найти длину окружности, если её диаметр равен 5 см.

Решение: Так как длина окружности равна π умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром 5 см будет равна:

C ≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см).

Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен 3,5 м.

Решение: Сначала найдём диаметр окружности, умножив длину радиуса на 2:

теперь найдём длину окружности, умножив π на диаметр:

C ≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м).

Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна 7,85 м.

Решение: Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на 2π:

следовательно, радиус будет равен:

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Задачи на площадь круга

Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен 2 см.

Решение: Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:

S ≈ 3,14 · 2 2 = 3,14 · 4 = 12,56 (см 2 ).

Ответ: 12,56 см 2 .

Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 7 см.

Решение: Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на 2:

теперь вычислим площадь круга по формуле:

S = πr 2 ≈ 3,14 · 3,5 2 = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см 2 ).

Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр:

Ответ: 38,465 см 2 .

Задача 3. Найти радиус круга, если его площадь равна 12,56 м 2 .

Решение: Чтобы найти радиус круга по его площади, надо площадь круга разделить π, а затем из полученного результата извлечь квадратный корень:

Видео:Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)Скачать

Длина окружности

Видео:Длина окружности. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.Скачать

Длина окружности

Длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз, а именно, приблизительно в 3,14 раза. Для обозначения этой величины используется маленькая (строчная) греческая буква π (пи):

Таким образом, длину окружности (C) можно вычислить, умножив константу π на диаметр (D), или умножив π на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:

где C — длина окружности, π — константа, D — диаметр окружности, R — радиус окружности.

Так как окружность является границей круга, то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.

Видео:РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ». Задачи | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

Задачи на длину окружности

Задача 1. Найти длину окружности, если её диаметр равен 5 см.

Решение: Так как длина окружности равна π умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром 5 см будет равна:

C ≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см).

Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен 3,5 м.

Решение: Сначала найдём диаметр окружности, умножив длину радиуса на 2:

теперь найдём длину окружности, умножив π на диаметр:

C ≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м).

Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна 7,85 м.

Решение: Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на 2π:

следовательно, радиус будет равен:

Видео:РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать

Задачи на площадь круга

Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен 2 см.

Решение: Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:

S ≈ 3,14 · 2 2 = 3,14 · 4 = 12,56 (см 2 ).

Ответ: 12,56 см 2 .

Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 7 см.

Решение: Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на 2:

теперь вычислим площадь круга по формуле:

S = πr 2 ≈ 3,14 · 3,5 2 = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см 2 ).

Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр:

Ответ: 38,465 см 2 .

Задача 3. Найти радиус круга, если его площадь равна 12,56 м 2 .

Решение: Чтобы найти радиус круга по его площади, надо площадь круга разделить π, а затем из полученного результата извлечь квадратный корень:

📺 Видео

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Окружность и задачи на построениеСкачать

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

7 класс, 23 урок, Примеры задач на построениеСкачать

Задача, которую боятсяСкачать

Окружность. Круг. Практическая часть - решение задачи. 5 класс.Скачать