Задачи на окружность и прямоугольный треугольник (5 видео)

Треугольники и окружность — задачи с примерами решения

Пример:

Длина катета ВС прямоугольного треугольника АСВ равна 15 см, а его катет АС является диаметром окружности, которая пересекает гипотенузу в точке F, CF =12 см. Вычислите радиус окружности.

Решение:

Из условия следует, что радиус R равен половине катета АС. Заметим, что

1) В треугольнике

2) Воспользовавшись равенством найдем

3) Теперь

4) Квадрат длины катета прямоугольного треугольника равен произведению длины гипотенузы и длины проекции этого катета на гипотенузу, следовательно,

Таким образом,

Пример:

Решение:

По теореме об угле между хордой и касательной Так как точки С и В диаметрально противоположные, то угол САВ опирается на диаметр, а следовательно, он прямой, т. е. треугольник САВ — прямоугольный (рис. 109, а, б). Расстояние от точки С до точки касания А равно длине катета СА треугольника САВ. Так как

Ответ

Пример:

Вычислите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, если длина его основания АС равна 24 см, а высота BD, проведенная к основанию, равна 9 см.

Решение:

Для вычисления радиуса г вписанной окружности воспользуемся формулой где S — площадь треугольника, р — его полупериметр. Отсюда получим

1) Площадь треугольника

2) В прямоугольном треугольнике ADB длина катета

3) Теперь полупериметр

4) Таким образом, найдем

Пример:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС на стороне ВС лежит точка D так, что В каком отношении точка О пересечения отрезка AD и высоты BE делит высоту BE, считая от вершины В?

Решение:

1) Так как (рис. 111, а, б). Проведем отрезок , параллельный отрезку AD.

2) Так как высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является медианой, то точка Е — середина стороны АС.

3) По признаку средней линии отрезок EF — средняя линия треугольника ADC, значит,

4) Так как

Ответ:

Пример:

Отрезки AF и СТ — высоты остроугольного треугольника ABC. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BTF, если A ABC = 60° и АС = b.

Решение:

Воспользуемся теоремой синусов и тем, что треугольник ABC подобен треугольнику BTF.

1) В треугольнике BTF по теореме синусов выполняется равенствоСледовательно, (рис. 112, a, 6).

2) Рассмотрим треугольники ABC и FTC. Эти треугольники подобны. Действительно,

Следовательно,т.е. треугольники подобны с коэффициентом подобия

3) Из подобия треугольников ABC и FTC следует, что Таким образом,

Ответ:

Пример:

Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Известно, что Докажите, что (рис. 113, а).

Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABC. Пусть прямая BD пересекает окружность в точке F и DF = х (рис. 113, б).

1) По свойству отрезков пересекающихся хорд выполняется равенство

2) Треугольники ABD и FBC подобны, так как по условию и поскольку являются вписанными в окружность и опираются на одну и ту же дугу.

3) Из подобия треугольников ABD и FBC следует, что Отсюда

3) Таким образом,

Что и требовалось доказать.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Площадь треугольника
Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
Окружность и круг
Описанные и вписанные окружности
Пространственные фигуры — виды, изображения, свойства
Взаимное расположения прямых на плоскости
Треугольник
Решение треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем виде

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Тема этого занятия – «Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем виде». Для начала дадим еще раз определение прямоугольному треугольнику, повторим основные тригонометрические функции и формулы, в которых он применяется. Решим задачи на вписанную в такие треугольники окружность и описанную вокруг них окружность.

Видео:Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

Задачи на окружность и прямоугольный треугольник

Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов 2 и 4. Прямая, содержащая гипотенузу АВ, является их общей внешней касательной.

а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.

б) Найдите площадь треугольника АСВ.

а) Введём обозначения, как показано на рисунке, пусть M, H, N — точки касания. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны: AM = AN, CM = CH, HB = BN. Поэтому:

откуда p = AM, где Р — периметр, p — полупериметр треугольника.

б) Для определения площади треугольника используем формулу, связывающую её с полупериметром, стороной и радиусом вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других сторон треугольника:

Ответ:

Примечание: указанная в решении формула легко может быть получена из следующих соображений где O₁ — центр окружности с радиусом r_1. При этом

Тогда

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.

а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.

а) Углы APC и AQC — прямые, значит, точки A, Q, P и C лежат на одной окружности с диаметром AC, и, следовательно, равны и вписанные углы PAC и PQC этой окружности, опирающиеся на дугу PC, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники ABP и CBQ имеют общий угол ABC, следовательно, они подобны, откуда или но тогда и треугольники BAC и BPQ также подобны, причем коэффициент подобия равен откуда Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен

Ответ:

В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и ∠KMN = 45°.

а) Углы NAK и NBK, опирающиеся на отрезок KN, равны, значит, точки A, B, N и K лежат на одной окружности, а, следовательно, равны и вписанные углы ABK и ANK этой окружности, опирающиеся на дугу AK, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники KMB и NMA имеют общий угол KMN, следовательно, они подобны, откуда или но тогда и треугольники KMN и BMA также подобны, причем коэффициент подобия равен откуда

Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABM равен

Ответ:

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.

а) Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.

б) Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны 3 и 12 соответственно, а OK = 5.

а) Пусть Так как — центр вписанной окружности треугольника ABC, то — биссектрисы углов и значит, Угол BOK внешний для треугольника AOB, поэтому (см. рисунок).

Так как (по построению), то тогда Углы CBK и KAC опираются на один и тот же отрезок CK и равны друг другу: Тогда по признаку, связанному со свойством вписанных углов, точки лежат на одной окружности.

б) Обозначим через радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника Пусть H — проекция точки O на сторону AB (см. рис.), тогда Так как точки лежат на одной окружности, то радиус описанной окружности треугольника ABK совпадает с радиусом описанной окружности треугольника и равен Из треугольника ABK по теореме синусов: Тогда