Задачи на комбинацию окружности и треугольника (4 видео)

Треугольники и окружность — задачи с примерами решения

Пример:

Длина катета ВС прямоугольного треугольника АСВ равна 15 см, а его катет АС является диаметром окружности, которая пересекает гипотенузу в точке F, CF =12 см. Вычислите радиус окружности.

Решение:

Из условия следует, что радиус R равен половине катета АС. Заметим, что

1) В треугольнике

2) Воспользовавшись равенством найдем

3) Теперь

4) Квадрат длины катета прямоугольного треугольника равен произведению длины гипотенузы и длины проекции этого катета на гипотенузу, следовательно,

Таким образом,

Пример:

Решение:

По теореме об угле между хордой и касательной Так как точки С и В диаметрально противоположные, то угол САВ опирается на диаметр, а следовательно, он прямой, т. е. треугольник САВ — прямоугольный (рис. 109, а, б). Расстояние от точки С до точки касания А равно длине катета СА треугольника САВ. Так как

Ответ

Пример:

Вычислите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, если длина его основания АС равна 24 см, а высота BD, проведенная к основанию, равна 9 см.

Решение:

Для вычисления радиуса г вписанной окружности воспользуемся формулой где S — площадь треугольника, р — его полупериметр. Отсюда получим

1) Площадь треугольника

2) В прямоугольном треугольнике ADB длина катета

3) Теперь полупериметр

4) Таким образом, найдем

Пример:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС на стороне ВС лежит точка D так, что В каком отношении точка О пересечения отрезка AD и высоты BE делит высоту BE, считая от вершины В?

Решение:

1) Так как (рис. 111, а, б). Проведем отрезок , параллельный отрезку AD.

2) Так как высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является медианой, то точка Е — середина стороны АС.

3) По признаку средней линии отрезок EF — средняя линия треугольника ADC, значит,

4) Так как

Ответ:

Пример:

Отрезки AF и СТ — высоты остроугольного треугольника ABC. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BTF, если A ABC = 60° и АС = b.

Решение:

Воспользуемся теоремой синусов и тем, что треугольник ABC подобен треугольнику BTF.

1) В треугольнике BTF по теореме синусов выполняется равенствоСледовательно, (рис. 112, a, 6).

2) Рассмотрим треугольники ABC и FTC. Эти треугольники подобны. Действительно,

Следовательно,т.е. треугольники подобны с коэффициентом подобия

3) Из подобия треугольников ABC и FTC следует, что Таким образом,

Ответ:

Пример:

Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Известно, что Докажите, что (рис. 113, а).

Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABC. Пусть прямая BD пересекает окружность в точке F и DF = х (рис. 113, б).

1) По свойству отрезков пересекающихся хорд выполняется равенство

2) Треугольники ABD и FBC подобны, так как по условию и поскольку являются вписанными в окружность и опираются на одну и ту же дугу.

3) Из подобия треугольников ABD и FBC следует, что Отсюда

3) Таким образом,

Что и требовалось доказать.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Площадь треугольника
Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
Окружность и круг
Описанные и вписанные окружности
Пространственные фигуры — виды, изображения, свойства
Взаимное расположения прямых на плоскости
Треугольник
Решение треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Содержание

Классификация задач на вписанные в треугольник и описанные около треугольника окружности
Дидактичка репетитора по математике: задачи на вписанную окружности. Уровень А
Задачи, которые репетитор по математике обычно предлагает ученику
💥 Видео

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Классификация задач на вписанные в треугольник и описанные около треугольника окружности

Разделы: Математика

Задачи на вписанные в треугольник и описанные около треугольника окружности вызывают даже у сильных учащихся затруднения при их решении. Попытка провести классификацию этих задач по содержанию и методам решения привела к положительным результатам. Учащиеся полюбили этот тип задач. Хотим поделиться нашим опытом.

Замечательное открытие: люди изобрели колесо.
Окружность, описанная около треугольника.
Окружность, вписанная в треугольник.
Задачи на вписанные и описанные окружности.

На востоке от Аравийского полуострова с севера на юг текут две большие реки – Евфрат и Тигр. Между ними тянется узкая длинная полоса земли. В древности она называлась Месопотамией, что в переводе означает “ Междуречье’’. Самым известным государством Месопотамии был Вавилон. Земля в Междуречье плодородная, но там не было ни металлов, ни камня, ни леса, чтобы строить дома. Всё это вавилонянам приходилось покупать у других народов. Поэтому Вавилон раньше других стран стал вести большую торговлю. Торговля помогала науке. В математике вавилонские учёные добились больших успехов.

Около шести тысяч лет назад в Вавилоне было сделано замечательное открытие: люди изобрели колесо. Колесо? Что же тут замечательного? Но так кажется только на первый взгляд. Представьте себе на секунду, что вдруг случилось чудо, и на земле исчезли все колёса. Это было бы настоящей катастрофой! Остановятся автомобили и поезда, замрут заводы и фабрики, перестанут давать ток электростанции. Выходит, что неизвестный вавилонский изобретатель первого колеса действительно сделал великое открытие.

Вавилонские инженеры и мастера стали пользоваться блоками. Они поднимали и перетаскивали такие тяжести, справиться с которыми без колеса было бы не под силу. Колесо и рычаг стали первыми настоящими помощниками человека в работе с большими тяжестями.Так изобретение колеса сыграло очень большую роль в истории Вавилона.

Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат в окружности.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности.

Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Рассмотрим произвольный В треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведём отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА=ОВ=ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через О все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника АВС.

Вывод: Центр описанной около треугольника окружности лежит А С на пересечении серединных перпендикуляров и расположен:

а) в треугольнике, если он остроугольный;

б) на середине гипотенузы, если он прямоугольный;

в) вне треугольника, если он тупоугольный.

Рассмотрим задачи на нахождение радиуса описанной около треугольника окружности. (См. Приложение1.)

Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности.

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник АВС и обозначим М буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведём из точки О перпендикуляры А К В ОК, ОL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА.

Так как точка О равноудалена A k B от сторон треугольника АВС то ОК = ОL=ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М.

Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L и М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ.

Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС.

Выводы. Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника. Касательная к окружности (стороны треугольника) перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Рассмотрим задачи на нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности.

Задачи на вписанную и описанную окружность. (См. Приложение 3.)

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Дидактичка репетитора по математике: задачи на вписанную окружности. Уровень А

by Колпаков А.Н. on 5 ноября 2011

Предлагаемый комплект задач репетитор по математике применяет для обзорного урока по геометрии в 9 классе на тему «вписанная окружность» (планиметрия). Подборка рассчитана на 90 минут и включает в себя все основные комбинации фигур и условий. Рассматриваются все варианты известных треугольников: равнобедренный, равносторонний, прямоугольный, прямоугольний равнобедренный. Предполагается, что репетитор по математике уже разобрал с учеником их свойства на отдельном уроке, до проведения обзорного. Комплект можно использовать на первом этапе подготовки к ЕГЭ по математике, если репетитор чувствует, что ученику, метящему в сильный ВУЗ, не хватает смекалки и надежности в проведении базовых операций. В таком случае плавное и постепенное движение к уровню конкурсной планиметрии единственный путь, по которому репетитор по математике ведет своего ученика.

В каждом блоке находится как минимум две однотипные задачи. Чаще всего они отличаются друг отдруга только числами, но есть и такие, которые несут в себе изменение условия при тех же взаимосвязях между элементами рисунка. Первую задачу репетитор по математике разбирает на уроке, а вторую (третью) оставляет для самостоятельного решения в качестве домашнего задания.

Задачи, которые репетитор по математике обычно предлагает ученику

3.1) Окружность вписана в равнобедренный треугольник с боковой стороной 5см и основанием 6см. Найдите 1) ее окружности 2) Отрезки, на которые точки касания делят стороны треугольника. 3) Расстояние между точками касания.
3.2) Решите предыдущую задачу, если известно, что основание треугольника равно 24см, а его площадь равна 60 кв.см

4.1) Расстояние между точками касания вписаной в равнобедренный треугольник окружности с боковыми сторонами равно 2см, а его основание равно 6см. Найдите косинус угла, прилежащего к основанию.
4.2) В равнобедренном тругольнике косинус угла при основании равен 0,25. Найдите основание треугольника, если расстояние между точками касания вписанной в него окружности с боковыми стронами равно 4см.

5.1) В треугольник со сторонами 4см, 5см и 7см вписана окружность. Найдите 1) длины отрезков, на которые точки касания делят его стороны 2) расстояние между точками касания 3) радиус окружности.
5.2) Решите задачу №4.1 для треугольника со сторонами 2дм, 4дм и 5дм.

6.1) Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник равен 1см, а основание этого треугольника равно 4см. Найдите 1) высоту, проведенную к основанию 2) боковую сторону.
6.2) Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник равен 2см, а основание треугольника равно 6см. Найдите 1) высоту треугольника, проведенную к основанию 2) площадь треугольника.

7.1) Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной .
7.2) Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 6 см. Найдите площадь даного треугольника.

8.1) Радиус окружности, вписанной в прямоугольный равнобедренный треугольник равен 2см. Найдите площадь треугольника.
8.2) Площадь прямоугольного равнобедренного тругольника равна 4,5 см. Найти радиус вписанной в него окружности.

9.1) Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 15см и 8см.
9.2) Найдите радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если его гипотенуза 15см, а тангенс одного из острых уголов равен 0,75.
9.3) Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник в гипотенузой 26см равен 4см. Найдите площадь треугольника
9.4) Решите задачу 8.3 при условии, что радиус равен 2см, а длина одного из катетов равна 6см.

10.1) Две окружности с радиусами 4см и 8 см касаются внешним образом. Найдите отрезок их общей касательной.
10.2) Решите первую задачу при условии, что радиусы окружностей равны 3м и 4м.

Дополнительные задачи на касательные к окружностям.
11.1) Расстояние между центрами двух окружностей с радиусами 2см и 3см равно 6см. Найдите длины отрезков их общих касательных.
11.2) Решите предыдущую задачу, если радиусы окружностей равны 3дм и 6дм, а расстояние между центрами этих окружностей равно 12дм.
11.3) Две окружности касаются внешним образом. Длина отрезка их общей касательной равна 6см. Найдите радиус одной из них, если радиус другой равен 4см.

Замечание репетитора: Большинство задач можно использовать на уроках геометрии в 8-9 классе (в зависимости от программ Атанасян-Погорелов), однако оптимизированная подготовка к ЕГЭ по математике включает в себя задачи, составленные с учетом возможностей применить тригонометрические формулы двойного угла. Одна из них — задача под номером 6.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике, Москва. Подготовка к ЕГЭ в Строгино.