Теорема
Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180 0 . |
Дано: АОВ, А1О1В1, ОАО1А1, ОВО1В1.
Доказать: АОВ = А1О1В1 или АОВ + А1О1В1 = 180 0 .
Доказательство:
1 случай
Пусть угол АОВ — развернутый (Рис. 1).
Угол АОВ — развернутый, значит лучи ОА и ОВ будут лежать на одной прямой, при этом по условию ОАО1А1, ОВО1В1, значит, лучи О1А1 и О1В1 также будут лежать на одной прямой, следовательно, А1О1В1 — будет развернутым, тогда АОВ = А1О1В1.
2 случай
Пусть угол АОВ — прямой, т.е. равен 90 0 (Рис.2).
АОВ = 90 0 , то ОАОВ, при этом по условию ОАО1А1, следовательно, ОВО1А1. Итак, О1В1 — секущая относительно прямых ОВ и О1А1, ОВО1А1, тогда по теореме об односторонних углах их сумма равна 180 0 , т.е. 1 + А1О1В1 = 180 0 , откуда А1О1В1 = 180 0 —1, при этом по условию ОВО1В1, значит 1 — прямой, т.е. 1 = 90 0 , следовательно, А1О1В1 = 180 0 — 90 0 = 90 0 . Из равенств АОВ = 90 0 и А1О1В1 = 90 0 следует, что АОВ = А1О1В1 и АОВ + А1О1В1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 .
3 случай
Пусть ОО1А1 (Рис.3).
По условию ОО1А1, тогда лучи ОВ и О1А1 будут лежать на одной прямой А1В. По условию ОАО1А1, ОВО1В1, значит, ОА и О1В1 будут перпендикулярны одной прямой А1В, следовательно, ОАО1В1. Итак, ОАО1В1, А1В — секущая относительно прямых ОА и О1В1, тогда по теореме о накрест лежащих углах АОВ = А1О1В1, причем, учитывая то, что ОАО1А1, ОВО1В1 эти углы будут прямые, т.е. АОВ = А1О1В1 = 90 0 , тогда АОВ + А1О1В1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 .
4 случай
Пусть ОО1В1 (Рис.4).
По условию ОО1В1, тогда лучи ОА и О1В1 будут лежать на одной прямой В1А. По условию ОАО1А1, ОВО1В1, значит ОВ и О1А1 будут перпендикулярны одной прямой В1А, следовательно, ОВО1А1. Итак, ОВО1А1, В1А — секущая относительно прямых ОВ и О1А1, тогда по теореме о накрест лежащих углах АОВ = А1О1В1, причем, учитывая то, что ОАО1А1, ОВО1В1 эти углы будут прямые, т.е. АОВ = А1О1В1 = 90 0 , тогда АОВ + А1О1В1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 .
5 случай
Пусть угол АОВ — острый, т.е. меньше 90 0 , при этом ОО1А1, ОО1В1 (Рис.5).
Проведем луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными (т.е. ОАОС), а точки В и С лежали по разные стороны от прямой ОА. Далее проведем луч ОD так, чтобы прямые ОВ и ОD были взаимно перпендикулярными (т.е. ОВОD), а точки С и D лежали по одну сторону от прямой ОА (Рис.6).
Получим, что АОВ = 90 0 — АОD, а СОD = 90 0 — АОD, значит АОВ = СОD. Стороны угла СОD соответственно параллельны сторонам угла А1О1В1, т.е. ОСО1А1 (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой параллельны друг другу, по построению ОАОС и по условию ОАО1А1), также ОDО1В1 (т.к. по построению ОВОD и по условию ОВО1В1), поэтому по теореме об углах с соответственно параллельными сторонами либо СОD = А1О1В1, либо СОD + А1О1В1 = 180 0 . Следовательно, учитывая то, что АОВ = СОD получим, либо АОВ = А1О1В1, либо АОВ + А1О1В1 = 180 0 .
6 случай
Пусть угол АОВ — тупой, т.е. меньше 180 0 , но больше 90 0 , при этом ОО1А1, ОО1В1 (Рис.7).
Проведем луч ОС так, чтобы угол АОС был смежным с углом АОВ (Рис.8).
Угол АВС острый, и его стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла А1О1В1. Следовательно, либо АОС + А1О1В1 = 180 0 , либо АОС = А1О1В1 (смотри случай 5). Тогда, учитывая, что углы АОС и АОВ смежные, их сумма будет равна 180 0 , значит АОС = 180 0 — АОВ, следовательно, в первом случае 180 0 — АОВ + А1О1В1 = 180 0 , откуда АОВ = А1О1В1, а во втором случае 180 0 — АОВ = А1О1В1, откуда АОВ + А1О1В1 = 180 0 . Что и требовалось доказать.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Видео:Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать
Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны между собой, если они оба острые или оба тупые.
21.04.2020
Углы со взаимно перпендикулярными и взаимно параллельными сторонами.
Углы с соответственно параллельными сторонами.
Возьмём на плоскости две точки С и О и из этих точек проведём две пары лучей
СА || ОМ и СВ || ОN так, чтобы углы АСВ и МОN были или оба острые (рис. 1), или оба тупые (рис. 2).
Рис. 1 | Рис. 2 |
Углы АСВ и МОN— углы с соответственно параллельными cторонами. Докажем, что эти углы равны между собой.
Пусть СВ пересекает ОМ в точке D. , как соответственные углы при параллельных АС и МО и секущей СВ.
, как соответственные углы при параллельных СВ и ОN и секущей МО, но тогда и .
Следовательно, углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.
Рис.3 | Построим два острых угла АСВ и МОN с соответственно параллельными сторонами (рис. 3): СА || МО и СВ || ОN, и продолжим за вершину О стороны угла МОN. При вершине О образовались два тупых угла ЕОМ и FОN (так как смежный с ними угол МОN по построению острый). Каждый из них в сумме с углом МОN составляет 2d, а так как , то и . |
Следовательно , углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют 2d, если один из них острый, а другой тупой.
Углы с соответственно перпендикулярными сторонами.
Рис. 4 | Построим произвольный острый угол АВС. Проведём через вершину угла лучи, перпендикулярные к его сторонам, так, чтобы они образовали острый угол. BO_|_ ВС и ВК _|_ АВ (рис. 4). Мы получим новый угол OBK. Стороны углов AВС и ОВК взаимно перпендикулярны. / АВС = d — / СВК; / ОВК = d — / СВК. Отсюда следует, что / АBС = / ОВК. |
Построим произвольный тупой угол АОВ и через его вершину проведём лучи, перпендикулярные к его сторонам, так, чтобы они образовали тупой угол. ОК_|_ОА и ОС_|_ОВ (рис. 5), угол КОС — тупой. Стороны углов АОВ и КОС взаимно перпендикулярны, поэтому / АОВ = d + / КОВ; / КОС = d + / КОВ. Отсюда следует, что / АОВ = / КОС. | Рис. 5 |
Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны между собой, если они оба острые или оба тупые.
Рис. 6 | Построим произвольный острый угол АОВ и проведём через его вершину перпендикуляры к его сторонам так, чтобы они образовали острый угол (рис. 6). Получим: / КОМ = / АОВ. Продолжим сторону ОК за вершину О. Стороны угла ЕОМ перпендикулярны сторонам угла АОВ. При этом / ЕОМ — тупой, так как смежный с ним / МОК — острый. / КОМ + / ЕОМ = 2d (как углы смежные). Но / КОМ по ранее доказанному равен / АОВ. Следовательно, и / АОВ + / ЕОМ = 2d. |
Углы с соответственно перпендикулярными сторонами в сумме составляют 2d, если один из них острый, а другой тупой.
Мы рассматривали углы, составленные взаимно перпендикулярными сторонами, когда они имели общую вершину. Выведенные нами свойства будут справедливы и в том случае, когда углы не будут иметь общей вершины.
Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать
Please wait.
Видео:7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать
We are checking your browser. mathvox.ru
Видео:Взаимно перпендикулярные плоскости. Определение кратчайшей расстоянии от точки до прямойСкачать
Why do I have to complete a CAPTCHA?
Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.
Видео:Геометрия 7 класс. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярнымСкачать
What can I do to prevent this in the future?
If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.
If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.
Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.
Cloudflare Ray ID: 6dad64168dae1610 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare
📺 Видео
Перпендикулярные прямыеСкачать
Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Эксперт (Короткометражка, Русский дубляж)Скачать
82 Углы с соответственно перпендикулярными сторонами (150)Скачать
Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№7 - Перпендикулярные прямые.)Скачать
7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямыеСкачать
7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать
Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать
Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать
УГЛЫ СО ВЗАИМНО-ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ СТОРОНАМИ #calculus #maths #огэ #егэ #algebra #школа #физикаСкачать
Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать
Наклонная, проекция, перпендикуляр. 7 класс.Скачать
Как построить две взаимно перпендикулярные прямые с помощью циркуляСкачать
№211. Плоскости правильного треугольника KDM и квадрата KMNP взаимно перпендикулярны. Найдите DN, есСкачать