Взаимно перпендикулярные углы треугольника

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема

Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180 0 .

Дано: Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ, Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1, ОАВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1А1, ОВВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1В1.

Доказать: Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ = Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1 или Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ + Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1 = 180 0 .

Доказательство:

1 случай

Пусть угол АОВ — развернутый (Рис. 1).

Взаимно перпендикулярные углы треугольника

Угол АОВ — развернутый, значит лучи ОА и ОВ будут лежать на одной прямой, при этом по условию ОАВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1А1, ОВВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1В1, значит, лучи О1А1 и О1В1 также будут лежать на одной прямой, следовательно, Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1 — будет развернутым, тогда Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ = Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1.

2 случай

Пусть угол АОВ — прямой, т.е. равен 90 0 (Рис.2).

Взаимно перпендикулярные углы треугольника

Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ = 90 0 , то ОАВзаимно перпендикулярные углы треугольникаОВ, при этом по условию ОАВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1А1, следовательно, ОВВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1А1. Итак, О1В1 — секущая относительно прямых ОВ и О1А1, ОВВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1А1, тогда по теореме об односторонних углах их сумма равна 180 0 , т.е. Взаимно перпендикулярные углы треугольника1 + Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1 = 180 0 , откуда Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1 = 180 0 Взаимно перпендикулярные углы треугольника1, при этом по условию ОВВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1В1, значит Взаимно перпендикулярные углы треугольника1 — прямой, т.е. Взаимно перпендикулярные углы треугольника1 = 90 0 , следовательно, Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1 = 180 0 — 90 0 = 90 0 . Из равенств Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ = 90 0 и Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1 = 90 0 следует, что Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ = Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1 и Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ + Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 .

3 случай

Пусть ОВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1А1 (Рис.3).

Взаимно перпендикулярные углы треугольника

По условию ОВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1А1, тогда лучи ОВ и О1А1 будут лежать на одной прямой А1В. По условию ОАВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1А1, ОВВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1В1, значит, ОА и О1В1 будут перпендикулярны одной прямой А1В, следовательно, ОАВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1В1. Итак, ОАВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1В1, А1В — секущая относительно прямых ОА и О1В1, тогда по теореме о накрест лежащих углах Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ = Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1, причем, учитывая то, что ОАВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1А1, ОВВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1В1 эти углы будут прямые, т.е. Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ = Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1 = 90 0 , тогда Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ + Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 .

4 случай

Пусть ОВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1В1 (Рис.4).

Взаимно перпендикулярные углы треугольника

По условию ОВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1В1, тогда лучи ОА и О1В1 будут лежать на одной прямой В1А. По условию ОАВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1А1, ОВВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1В1, значит ОВ и О1А1 будут перпендикулярны одной прямой В1А, следовательно, ОВВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1А1. Итак, ОВВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1А1, В1А — секущая относительно прямых ОВ и О1А1, тогда по теореме о накрест лежащих углах Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ = Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1, причем, учитывая то, что ОАВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1А1, ОВВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1В1 эти углы будут прямые, т.е. Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ = Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1 = 90 0 , тогда Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ + Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 .

5 случай

Пусть угол АОВ — острый, т.е. меньше 90 0 , при этом ОВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1А1, ОВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1В1 (Рис.5).

Взаимно перпендикулярные углы треугольника

Проведем луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными (т.е. ОАВзаимно перпендикулярные углы треугольникаОС), а точки В и С лежали по разные стороны от прямой ОА. Далее проведем луч ОD так, чтобы прямые ОВ и ОD были взаимно перпендикулярными (т.е. ОВВзаимно перпендикулярные углы треугольникаОD), а точки С и D лежали по одну сторону от прямой ОА (Рис.6).

Взаимно перпендикулярные углы треугольника

Получим, что Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ = 90 0 Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОD, а Взаимно перпендикулярные углы треугольникаСОD = 90 0 — Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОD, значит Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ = Взаимно перпендикулярные углы треугольникаСОD. Стороны угла СОD соответственно параллельны сторонам угла А1О1В1, т.е. ОСВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1А1 (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой параллельны друг другу, по построению ОАВзаимно перпендикулярные углы треугольникаОС и по условию ОАВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1А1), также ОDВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1В1 (т.к. по построению ОВВзаимно перпендикулярные углы треугольникаОD и по условию ОВВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1В1), поэтому по теореме об углах с соответственно параллельными сторонами либо Взаимно перпендикулярные углы треугольникаСОD = Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1, либо Взаимно перпендикулярные углы треугольникаСОD + Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1 = 180 0 . Следовательно, учитывая то, что Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ = Взаимно перпендикулярные углы треугольникаСОD получим, либо Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ = Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1, либо Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ + Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1 = 180 0 .

6 случай

Пусть угол АОВ — тупой, т.е. меньше 180 0 , но больше 90 0 , при этом ОВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1А1, ОВзаимно перпендикулярные углы треугольникаО1В1 (Рис.7).

Взаимно перпендикулярные углы треугольника

Проведем луч ОС так, чтобы угол АОС был смежным с углом АОВ (Рис.8).

Взаимно перпендикулярные углы треугольника

Угол АВС острый, и его стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла А1О1В1. Следовательно, либо Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОС + Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1 = 180 0 , либо Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОС = Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1 (смотри случай 5). Тогда, учитывая, что углы АОС и АОВ смежные, их сумма будет равна 180 0 , значит Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОС = 180 0 Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ, следовательно, в первом случае 180 0 Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ + Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1 = 180 0 , откуда Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ = Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1, а во втором случае 180 0 Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ = Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1, откуда Взаимно перпендикулярные углы треугольникаАОВ + Взаимно перпендикулярные углы треугольникаА1О1В1 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Перпендикулярные прямые. 6 класс.

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны между собой, если они оба острые или оба тупые.

21.04.2020

Углы со взаимно перпендикулярными и взаимно параллельными сторонами.

Углы с соответственно параллельными сторонами.

Возьмём на плоскости две точки С и О и из этих точек проведём две пары лучей
СА || ОМ и СВ || ОN так, чтобы углы АСВ и МОN были или оба острые (рис. 1), или оба тупые (рис. 2).

Взаимно перпендикулярные углы треугольникаРис. 1 Взаимно перпендикулярные углы треугольникаРис. 2

Углы АСВ и МОN— углы с соответственно параллельными cторонами. Докажем, что эти углы равны между собой.

Пусть СВ пересекает ОМ в точке D. Взаимно перпендикулярные углы треугольника, как соответственные углы при параллельных АС и МО и секущей СВ.

Взаимно перпендикулярные углы треугольника, как соответственные углы при параллельных СВ и ОN и секущей МО, но тогда и Взаимно перпендикулярные углы треугольника.

Следовательно, углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.

Взаимно перпендикулярные углы треугольникаРис.3Построим два острых угла АСВ и МОN с соответственно параллельными сторонами (рис. 3): СА || МО и СВ || ОN, и продолжим за вершину О стороны угла МОN. При вершине О образовались два тупых угла ЕОМ и FОN (так как смежный с ними угол МОN по построению острый). Каждый из них в сумме с углом МОN составляет 2d, а так как Взаимно перпендикулярные углы треугольника, то Взаимно перпендикулярные углы треугольникаи Взаимно перпендикулярные углы треугольника.

Следовательно , углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют 2d, если один из них острый, а другой тупой.

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами.

Взаимно перпендикулярные углы треугольникаРис. 4Построим произвольный острый угол АВС. Проведём через вершину угла лучи, перпендикулярные к его сторонам, так, чтобы они образовали острый угол. BO_|_ ВС и ВК _|_ АВ (рис. 4). Мы получим новый угол OBK. Стороны углов AВС и ОВК взаимно перпендикулярны. / АВС = d/ СВК; / ОВК = d/ СВК. Отсюда следует, что / АBС = / ОВК.
Построим произвольный тупой угол АОВ и через его вершину проведём лучи, перпендикулярные к его сторонам, так, чтобы они образовали тупой угол. ОК_|_ОА и ОС_|_ОВ (рис. 5), угол КОС — тупой. Стороны углов АОВ и КОС взаимно перпендикулярны, поэтому / АОВ = d + / КОВ; / КОС = d + / КОВ. Отсюда следует, что / АОВ = / КОС. Взаимно перпендикулярные углы треугольникаРис. 5

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны между собой, если они оба острые или оба тупые.

Взаимно перпендикулярные углы треугольникаРис. 6Построим произвольный острый угол АОВ и проведём через его вершину перпендикуляры к его сторонам так, чтобы они образовали острый угол (рис. 6). Получим: / КОМ = / АОВ. Продолжим сторону ОК за вершину О. Стороны угла ЕОМ перпендикулярны сторонам угла АОВ. При этом / ЕОМ — тупой, так как смежный с ним / МОК — острый. / КОМ + / ЕОМ = 2d (как углы смежные). Но / КОМ по ранее доказанному равен / АОВ. Следовательно, и / АОВ + / ЕОМ = 2d.

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами в сумме составляют 2d, если один из них острый, а другой тупой.

Мы рассматривали углы, составленные взаимно перпендикулярными сторонами, когда они имели общую вершину. Выведенные нами свойства будут справедливы и в том случае, когда углы не будут иметь общей вершины.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Please wait.

Видео:7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Взаимно перпендикулярные плоскости. Определение кратчайшей расстоянии от точки до прямойСкачать

Взаимно перпендикулярные плоскости. Определение кратчайшей расстоянии от точки до прямой

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Геометрия 7 класс. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярнымСкачать

Геометрия 7 класс. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярным

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6dad64168dae1610 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

📺 Видео

Перпендикулярные прямыеСкачать

Перпендикулярные прямые

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Эксперт (Короткометражка, Русский дубляж)Скачать

Эксперт (Короткометражка, Русский дубляж)

82 Углы с соответственно перпендикулярными сторонами (150)Скачать

82 Углы с соответственно перпендикулярными сторонами (150)

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№7 - Перпендикулярные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№7 - Перпендикулярные прямые.)

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямыеСкачать

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямые

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой,  развернутый угол

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

УГЛЫ СО ВЗАИМНО-ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ СТОРОНАМИ #calculus #maths #огэ #егэ #algebra #школа #физикаСкачать

УГЛЫ СО ВЗАИМНО-ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ СТОРОНАМИ  #calculus #maths #огэ #егэ #algebra #школа #физика

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

Наклонная, проекция, перпендикуляр. 7 класс.Скачать

Наклонная, проекция, перпендикуляр. 7 класс.

Как построить две взаимно перпендикулярные прямые с помощью циркуляСкачать

Как построить две взаимно перпендикулярные прямые с помощью циркуля

№211. Плоскости правильного треугольника KDM и квадрата KMNP взаимно перпендикулярны. Найдите DN, есСкачать

№211. Плоскости правильного треугольника KDM и квадрата KMNP взаимно перпендикулярны. Найдите DN, ес
Поделиться или сохранить к себе: