Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:
Формула теоремы синусов:
Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.
Из этой формулы мы получаем два соотношения:
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
bc sinα = ca sinβ
Из этих двух соотношений получаем:
Теорема синусов для треугольника доказана.
Эта теорема пригодится, чтобы найти:
Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.
Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать
Доказательство следствия из теоремы синусов
У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.
где R — радиус описанной около треугольника окружности.
Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:
Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:
Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.
Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.
1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.
Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.
Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.
Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.
BA1 = 2R, где R — радиус окружности
Следовательно: R = α/2 sinα
Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.
Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.
Следовательно, ∠А1 = 180° — α.
Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:
Также известно, что sin(180° — α) = sinα.
В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:
α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα
Следовательно: R = α/2 sinα
Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Часто используемые тупые углы:
sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.
3. Угол ∠А = 90°.
В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.
Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Видео:Площадь треугольника через радиус описанной окружности: ОГЭ - ЕГЭСкачать
Теорема о вписанном в окружность угле
Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.
Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.
Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.
Формула теоремы о вписанном угле:
Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).
Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:
На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.
Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле
Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.
Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле
Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:
Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.
Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.
Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.
Следовательно: α + γ = 180°.
Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.
Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле
Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:
sinγ = sin(180° — α)
Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Примеры решения задач
Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.
Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.
Согласно теореме о сумме углов треугольника:
∠B = 180° — 45° — 15° = 120°
Сторону AC найдем по теореме синусов:
Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.
В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:
Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.
Ответ: угол составляет примерно 53,1°.
Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать
Запоминаем
Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
>
Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности — формулы и примеры определения
Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Фигура с тремя сторонами
Чтобы понять, как рассчитывать площадь треугольника, вписанного в окружность, необходимо иметь четкое представление о рассматриваемой фигуре. Каждый школьник знает о геометрическом объекте, который ограничен тремя отрезками. Основными элементами треугольника являются следующие:
Стороны, которых у фигуры три. Они могут быть равны по длине или отличаться друг от друга. При этом всегда справедливым остается тот факт, что длина любой стороны меньше суммы длин двух других.
Вершины — это три точки, которые образованы на пересечении соответствующих сторон. Каждая из них характеризуется определенным значением угла. Для трех углов треугольника справедливо следующее равенство: ∠A + ∠B + ∠C = 180 °, где латинскими буквами названы соответствующие вершины.
Помимо вершин и сторон, треугольник характеризуется дополнительными отрезками, которые часто используются для доказательства теорем и решения геометрических задач. К имеющим специальное название отрезкам относятся такие:
Медиана — делящий треугольник на две фигуры с одинаковой площадью отрезок. Он проходит через вершину и середину противоположной стороны. Все три медианы пересекаются в одной точке, которая является массовым центром рассматриваемого геометрического объекта.
Биссектриса — отрезок, который делит пополам угол при вершине. Все три биссектрисы, как и медианы, пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности.
Высота — перпендикуляр, который через вершину опускается на противоположную сторону. Высоты часто используются при вычислении площадей.
Средняя линия — проходящая через середины двух сторон линия, которая является параллельной третьей. Обе стороны отсекают отрезок, длина которого составляет половину от длины противоположной стороны.
Медиатриса или серединный перпендикуляр — это прямая линия, которая пересекает под углом 90 ° сторону треугольника. Важным свойством медиатрис является тот факт, что точка из пересечения — это центр описанной вокруг фигуры окружности.
Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать
Вписанный в окружность треугольник
Чтобы уметь вычислять площадь описанного треугольника, следует понимать, о каком взаимном расположении многоугольника и окружности идет речь. Согласно определению, если через все вершины полигона проходит окружность, значит, он считается вписанным в нее. Это простое определение не всегда выполняется для произвольного многоугольника, однако, для любой правильной фигуры оно будет справедливым, например, для квадрата или прямоугольника.
Касательно треугольника следует отметить, что он является единственным многоугольником, для которого всегда можно найти центр и радиус описывающей его окружности. Причем независимо от того, какой тип фигуры рассматривается.
Пересечение медиатрис
В рассматриваемой фигуре имеется три разных медиатрисы. Каждую из них построить несложно для любой из сторон. Для построения следует выполнить последовательность действий:
Выбрать сторону.
Установить циркуль в один из концов стороны и провести дугу окружности, которая будет пересекать сторону дальше, чем посередине.
Пункт 2 выполнить, установив циркуль во второй конец стороны.
Соединить точки пересечения дуг в одну линию. Она является медиатрисой.
Из проделанных построений следует один важный факт для всех треугольников: точка пересечения их медиатрис является центром описывающей фигуру окружности. Доказать это утверждение легко. Например, имеется треугольник ABC. Пусть проведена медиатриса m к стороне AB. Любая из точек, принадлежащих прямой m, находится на одинаковом расстоянии от вершин A и B.
Пусть проведена еще одна медиатриса n к стороне BC. Прямые m и n пересекаются в точке O. Поскольку O принадлежит обеим медиатрисам, то она, с одной стороны, находится на одном расстоянии от A и B, с другой стороны, она находится на одинаковой дистанции от вершин B и C. Этот факт дает право сделать вывод о том, что расстояния OA, OB и OC равны. Если их обозначить буквой R, то можно говорить, что R — радиус окружности с центром в точке O, которая проходит через три вершины треугольника, то есть описывается его.
Очевидно, что третья медиатриса также пройдет через O. В противном случае будут существовать три разные точки, которые одновременно будут находиться на одинаковом расстоянии от трех вершин треугольника и будут лежать в одной плоскости с ним, а это невозможно из свойств двумерного пространства.
Типы фигур и точка O
Поскольку для треугольника любого типа можно провести описывающую его окружность, то представляет интерес рассмотреть вопрос положения ее центра O. В общем случае существуют три типа рассматриваемого многоугольника:
С острыми углами, то есть все они менее 90 °. К этим треугольникам относятся равносторонние. Для них центр описанной окружности всегда расположен внутри фигуры.
С одним тупым углом и двумя острыми. Это может быть либо равнобедренный треугольник, либо фигура общего типа. Для нее точка O всегда расположена вне области, ограниченной сторонами многоугольника, то есть за его пределами.
Прямоугольный. Для такого типа треугольников центр описанной окружности расположен точно посередине гипотенузы. Это свойство треугольника, которое доказывается просто, если рассмотреть точку пересечения двух средних линий, проведенных относительно катетов. Поскольку O лежит посередине гипотенузы, то последняя является диаметром описанной окружности. Любой треугольник, который опирается на диаметр одной из своих сторон, и третья вершина которого лежит на окружности, является прямоугольным.
Очевидно, что если треугольник является полностью вырожденным, то провести описывающую его окружность нельзя, поскольку такая фигура обращается в прямой отрезок.
Формулы для определения площади
Как известно, площадь треугольника произвольного типа может быть рассчитана, как половина произведения высоты h на длину основания a: S = ½*h*a. Существует также еще одно универсальное выражение для определения S — это половина модуля векторного произведения направляющих отрезков, образующих любые две стороны.
Что касается формул площади треугольника, описанного около окружности, то нужно отметить, что известны несколько из них. Соответствующие равенства имеют следующий вид:
Где a, b, c — длины соответствующих сторон треугольника, ha, hb, hc — высоты, проведенные к a, b и c, соответственно. Видно, что все три формулы требуют знание минимум 4 параметров для рассматриваемой фигуры (радиус и три высоты или три длины сторон).
Полезно также привести формулу для расчета радиуса R:
Здесь p = (a+b+c)/2 — полупериметр треугольника. Следует отметить, что знаменатель в выражении для радиуса является не чем иным, как формулой Герона для расчета площади S фигуры.
Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать
Решение задач
Как правило, прямое использование формул площади треугольника через окружность описанную является невозможным для типичных геометрических задач. Для их решения необходимо внимательно проанализировать условие и использовать все имеющиеся знания для определения неизвестных в выражениях для S через R.
Для некоторых задач может потребоваться использование уравнений прямых, которые на плоскости в векторной форме имеют вид:
(x, y) = (x0, y0) + α*(v1, v2).
Здесь (x, y) и (x0, y0) — координаты произвольной и известной точек прямой, соответственно, (v1, v2) — координаты направляющего вектора, α — числовой параметр.
Для закрепления полученных знаний полезно решить одну простую задачу. Известно, что один из острых углов в прямоугольном треугольнике составляет 30 °. Чему равна площадь этой фигуры, если радиус описанной окружности для нее составляет 12 см.
Для решения задачи воспользуемся следующим выражением через радиус окружности, описанной около треугольника, для площади:
Пусть c — это гипотенуза, тогда c = 2*R = 24 см. Катеты a и b можно связать с гипотенузой функциями синуса и косинуса:
a = c*cos (α) = 24*3 0,5 /2 = 20,7846 см;
b = c*sin (α) = 24*½ = 12 см.
Подставляя полученные значения в формулу для S через R, можно получить ответ:
S = a*b*c/(4*R) = 20,7846*12*24/(4*12) ≈ 124,71 см 2 .
Важно понимать, что формулы расчета площади рассматриваемого многоугольника через радиус описанной окружности используются редко, поскольку они могут быть заменены аналогичными более простыми выражениями, как в случае с высотой и основанием. В решенной задаче, например, можно было не применять указанную для S формулу, а просто рассчитать полупроизведение катетов:
S = ½*a*b = ½*20,7846*12 ≈ 124,71 см 2 .
Таким образом, вокруг каждого треугольника можно описать окружность радиуса R, центр которой расположен в точке пересечения его серединных перпендикуляров (медиатрис). Существует несколько формул для вычисления площади фигуры через радиус R, однако, все они требуют знания либо сторон, либо высот треугольника, и в большинстве случаев могут быть заменены более простыми выражениями при решении задач.
🔍 Видео
Геометрия Доказательство Площадь треугольника равна произведению его полупериметра и радиусаСкачать
Формулы площади треугольника. Вписаная и описаная окружностьСкачать
Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Вывод формулы площади треугольника через радиус вписанной окружности. Фрагмент занятия группы.Скачать
Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 классСкачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписаннойСкачать
Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
