Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Определение и свойства высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение высоты треугольника, продемонстрируем, как она выглядит в зависимости от вида треугольника, а также перечислим ее основные свойства.

Видео:Свойство высоты в прямоугольном треугольникеСкачать

Свойство высоты в прямоугольном треугольнике

Определение высоты треугольника

Высота треугольника – это перпендикуляр, который опущен из вершины фигуры на противоположную сторону.

Основание высоты – точка на противоположной стороне треугольника, которую пересекает высота (или точка пересечения их продолжений).

Обычно высота обозначается буквой h (иногда как ha – это означает, что она проведена к стороне a).

Видео:№16 из ЕГЭ2022 и олимпиады. Красивое доказательство свойства ортоцентра остроугольного треугольникаСкачать

№16 из ЕГЭ2022 и олимпиады. Красивое доказательство свойства ортоцентра остроугольного треугольника

Высота в разных видах треугольников

В зависимости от вида фигуры высота может:

  • проходить внутри треугольника (в остроугольном △);
    Высоты в остроугольном треугольнике свойства
  • проходить за рамками треугольника (в тупоугольном △);
    Высоты в остроугольном треугольнике свойства
  • являться одним из катетов (в прямоугольном △), за исключением высоты, проведенной к гипотенузе.
    Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Свойства высоты треугольника

Свойство 1

Все три высоты в треугольнике (или их продолжения) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром (точка O на чертежах ниже).

  • в остроугольном треугольнике;
    Высоты в остроугольном треугольнике свойства
  • в тупоугольном треугольнике;
    Высоты в остроугольном треугольнике свойства
  • в прямоугольном треугольнике.
    Высоты в остроугольном треугольнике свойства
    Вершина A является, в т.ч., точкой пересечения высот.

Свойство 2

При пересечении двух высот в треугольнике, образуются следующие подобные треугольники:

  • ABE∼△CBF: по двум углам (∠ABC – общий, ∠AEB и ∠CFB являются прямыми).
    Высоты в остроугольном треугольнике свойства
  • AFG∼△CEG: по двум углам (∠AFG и ∠CEG – прямые, ∠AGF и ∠CGE равны как вертикальные углы).
  • ABC∼△BEF: по трем равным углам (∠ABC = ∠EBF, ∠ACB =BFE,CAB =BEF).
    Высоты в остроугольном треугольнике свойства
    Примечание: доказательство подобия последней пары треугольников достаточно длинное и не является целью данной статьи, поэтому подробно останавливаться на нем будем.

Свойство 3

Точка пересечения высот в остроугольном треугольнике является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Ортотреугольник – треугольник, вершинами которого являются основания высот △ABC. В нашем случае – это △DEF.

Свойство 4

Точки, которые симметричны ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника.

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Примечание: формулы для нахождения высоты треугольника подробно рассмотрены в нашей публикации – “Как найти высоту в треугольнике abc”.

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формулаСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формула

Свойства высот треугольника. Ортоцентр

Схема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.
Н – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК

Запомните этот рисунок. Перед вами – схема, из которой можно получить сразу несколько полезных фактов.

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
, если Высоты в остроугольном треугольнике свойства, и Высоты в остроугольном треугольнике свойства, если Высоты в остроугольном треугольнике свойства

  1. Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач.
  2. Четырехугольник ВКМН также можно вписать в окружность.
  3. Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны.
  4. ,где R – радиус описанной окружности .

Докажем эти факты по порядку.

1) Заметим, что на рисунке есть подобные треугольники. Это АВМ и СВК, прямоугольные треугольники с общим углом В, и они подобны по двум углам

Мы получили, что в треугольниках МВК и АВС стороны, прилежащие к углу В, пропорциональны. Получаем, что по углу и двум сторонам.

2) Докажем, что вокруг четырехугольника АКМС можно описать окружность. Для этого необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов четырехугольника АКМС были равны .

Пусть ∠ACB=∠BKM=γ (поскольку треугольники МВК и АВС подобны), тогда
– как смежный с углом ВКМ. Получили, что , и это значит, что четырехугольник AKMC можно вписать в окружность.

3) Рассмотрим четырехугольник KBMH. Его противоположные углы ВКН и ВМН — прямые, их сумма равна , и значит, четырехугольник КВМН можно вписать в окружность.

4) По теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС,

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника АНС,
Мы помним, что . Значит, синусы углов АВС и АНС равны, и радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС и АНС равны.

5) Докажем, что ,где R – радиус описанной окружности . Поскольку четырехугольник КВМН можно вписать в окружность и углы ВКН и ВМН – прямые, отрезок ВН является диаметром этой окружности. Треугольник МВК также вписан в эту окружность, и по теореме синусов, .

Диаметр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен Поскольку треугольники МВК и АВС подобны, отношение диаметров описанных вокруг них окружностей равно . Получили, что

Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника» (Профильный уровень, №16)

2. В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

а) Докажем, что
(по двум углам). Запишем отношение сходственных сторон:
Но это значит, что (по углу и двум сторонам), причем .

— смежный с углом ,
,
,четырехугольник ABNK можно вписать в окружность.
(опираются на одну дугу).

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Высота треугольника. Задача Фаньяно

Высоты в остроугольном треугольнике свойстваВысота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника
Высоты в остроугольном треугольнике свойстваРасположение высот у треугольников различных типов
Высоты в остроугольном треугольнике свойстваОртоцентр треугольника
Высоты в остроугольном треугольнике свойстваРасположение ортоцентров у треугольников различных типов
Высоты в остроугольном треугольнике свойстваОртоцентрический треугольник
Высоты в остроугольном треугольнике свойстваЗадача Фаньяно

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника

Определение 1 . Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

На рисунке 1 изображена высота BD , проведённая из вершины B треугольника ABC . Точка D – основание высоты.

Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.

Утверждение . Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Доказательство . Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD , что и требовалось доказать.

Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Расположение высот у треугольников различных типов

ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникВысоты в остроугольном треугольнике свойстваВсе высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Высоты в остроугольном треугольнике свойства
Высоты в остроугольном треугольнике свойства
Прямоугольный треугольникВысоты в остроугольном треугольнике свойстваВысоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Высоты в остроугольном треугольнике свойства
Высоты в остроугольном треугольнике свойства
Тупоугольный треугольникВысоты в остроугольном треугольнике свойстваВысоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника
Высоты в остроугольном треугольнике свойства
Высоты в остроугольном треугольнике свойства
Остроугольный треугольник
Высоты в остроугольном треугольнике свойстваВысоты в остроугольном треугольнике свойстваВысоты в остроугольном треугольнике свойства
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник
Высоты в остроугольном треугольнике свойстваВысоты в остроугольном треугольнике свойстваВысоты в остроугольном треугольнике свойства
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Тупоугольный треугольник
Высоты в остроугольном треугольнике свойстваВысоты в остроугольном треугольнике свойстваВысоты в остроугольном треугольнике свойства
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Видео:Секретное свойство высоты в прямоугольном треугольникеСкачать

Секретное свойство высоты в прямоугольном треугольнике

Ортоцентр треугольника

Теорема 1 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Обозначим точки пересечения этих прямых символами A1 , B1 и C1 , как показано на рисунке 3.

Следовательно, точка B является серединой стороны C1A1 .

Следовательно, точка A является серединой стороны C1B1 .

Следовательно, точка C является серединой стороны B1A1 .

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.

Теорема 1 доказана.

Определение 2 . Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.

У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Видео:В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 9√69 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна 9√69 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Ортоцентрический треугольник

Решим следующую задачу.

Задача . В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE (рис.5). Доказать, что треугольник DCE подобен треугольнику ABC .

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Решение . Рассмотрим треугольники ADC и BEC . Эти треугольники подобны в силу признака подобия прямоугольных треугольников с равными острыми углами (угол C общий). Следовательно, справедливо равенство

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Это равенство, а также наличие общего угла C позволяют на основании признака подобия треугольников заключить, что и треугольники DCE и ABC подобны. Решение задачи завершено.

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Определение 3 . Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника (рис 6).

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Из определения 3 и следствия 1 вытекает следствие 2.

Следствие 2 . Пусть FDE – ортоцентрический треугольник с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника ABC (рис 7).

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Тогда справедливы равенства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Из следствия 2 вытекает теорема 2.

Теорема 2 . Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис.7).

Доказательство . Воспользовавшись следствием 2, получаем:

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

что и требовалось доказать.

Видео:Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике

Задача Фаньяно

Задача Фаньяно . Рассматриваются всевозможные треугольники DEF , вершины D, E и F которых лежат на сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника ABC .

Решение . Пусть DEF – один из рассматриваемых треугольников. Обозначим символом D1 точку, симметричную точке D относительно прямой AC , и обозначим символом D2 точку, симметричную точке D относительно прямой AB (рис.8).

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Поскольку отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками, то периметр треугольника DEF оказывается не меньшим, чем длина отрезка D1D2 . Отсюда вытекает, что при фиксированной точке D наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , вершины F и E которого являются точками пересечения прямой D1D2 с прямыми AB и AC соответственно. Периметр этого треугольника равен длине отрезка D1D2 (рис.9).

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Заметим также, что выполнено равенство

Кроме того, выполнено равенство

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Отсюда вытекает, что длина отрезка D1D2 будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD будет наименьшей, т.е. в том случае, когда отрезок AD является высотой треугольника ABC . Другими словами, наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , у которого вершина D является основанием высоты треугольника ABC , проведённой из вершины A , а вершины E и F построены по описанной выше схеме. Таким образом, среди всевозможных треугольников DEF треугольник с наименьшим периметром является единственным.

Если обозначить длину высоты, проведённой из вершины A , длину стороны AB и радиус описанной около треугольника ABC окружности буквами h, c и R соответственно, то, воспользовавшись теоремой синусов, получим:

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников DEF равен

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник и является треугольником с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

Лемма . Пусть DEF – ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис.10).

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

В этом случае отрезок D1D2 проходит через точки F и E .

Доказательство . Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Кроме того, в силу равенства треугольников DFK и KFD2 , а также в силу равенства треугольников DEL и LED1 выполняются равенства:

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

Высоты в остроугольном треугольнике свойства

откуда вытекает, что углы AEF и D1EL , а также AFE и D2FK являются вертикальными углами. Это означает, что точки D1 , F, E , D2 лежат на одной прямой. Лемма доказана.

Доказательство леммы и завершает решение задачи Фаньяно.

🎬 Видео

Геометрия 7.Треугольники урок 6. Высота треугольника. Определение, свойства, точки пересечения высотСкачать

Геометрия 7.Треугольники урок 6. Высота треугольника. Определение, свойства, точки пересечения высот

Высоты треугольника.Скачать

Высоты треугольника.

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Свойства проекций катетов | Геометрия 8-9 классыСкачать

Свойства проекций катетов | Геометрия 8-9 классы

Задача 6 №27345 ЕГЭ по математике. Урок 38Скачать

Задача 6 №27345 ЕГЭ по математике. Урок 38

Свойства высот треугольникаСкачать

Свойства высот треугольника

8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольника

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Задача 6 №27350 ЕГЭ по математике. Урок 42Скачать

Задача 6 №27350 ЕГЭ по математике. Урок 42
Поделиться или сохранить к себе:
ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникВысоты в остроугольном треугольнике свойства
Прямоугольный треугольникВысоты в остроугольном треугольнике свойства