В данной публикации мы рассмотрим определение высоты треугольника, продемонстрируем, как она выглядит в зависимости от вида треугольника, а также перечислим ее основные свойства.
- Определение высоты треугольника
- Высота в разных видах треугольников
- Свойства высоты треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойства высот треугольника. Ортоцентр
- Высота треугольника. Задача Фаньяно
- Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника
- Расположение высот у треугольников различных типов
- Ортоцентр треугольника
- Расположение ортоцентров у треугольников различных типов
- Ортоцентрический треугольник
- Задача Фаньяно
- 🎬 Видео
Видео:Свойство высоты в прямоугольном треугольникеСкачать
Определение высоты треугольника
Высота треугольника – это перпендикуляр, который опущен из вершины фигуры на противоположную сторону.
Основание высоты – точка на противоположной стороне треугольника, которую пересекает высота (или точка пересечения их продолжений).
Обычно высота обозначается буквой h (иногда как ha – это означает, что она проведена к стороне a).
Видео:№16 из ЕГЭ2022 и олимпиады. Красивое доказательство свойства ортоцентра остроугольного треугольникаСкачать
Высота в разных видах треугольников
В зависимости от вида фигуры высота может:
- проходить внутри треугольника (в остроугольном △);
- проходить за рамками треугольника (в тупоугольном △);
- являться одним из катетов (в прямоугольном △), за исключением высоты, проведенной к гипотенузе.
Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать
Свойства высоты треугольника
Свойство 1
Все три высоты в треугольнике (или их продолжения) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром (точка O на чертежах ниже).
- в остроугольном треугольнике;
- в тупоугольном треугольнике;
- в прямоугольном треугольнике.
Вершина A является, в т.ч., точкой пересечения высот.
Свойство 2
При пересечении двух высот в треугольнике, образуются следующие подобные треугольники:
- △ABE∼△CBF: по двум углам (∠ABC – общий, ∠AEB и ∠CFB являются прямыми).
- △AFG∼△CEG: по двум углам (∠AFG и ∠CEG – прямые, ∠AGF и ∠CGE равны как вертикальные углы).
- △ABC∼△BEF: по трем равным углам (∠ABC = ∠EBF, ∠ACB = ∠BFE, ∠CAB = ∠BEF).
Примечание: доказательство подобия последней пары треугольников достаточно длинное и не является целью данной статьи, поэтому подробно останавливаться на нем будем.
Свойство 3
Точка пересечения высот в остроугольном треугольнике является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
Ортотреугольник – треугольник, вершинами которого являются основания высот △ABC. В нашем случае – это △DEF.
Свойство 4
Точки, которые симметричны ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника.
Примечание: формулы для нахождения высоты треугольника подробно рассмотрены в нашей публикации – “Как найти высоту в треугольнике abc”.
Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формулаСкачать
Свойства высот треугольника. Ортоцентр
Схема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.
Н – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК
Запомните этот рисунок. Перед вами – схема, из которой можно получить сразу несколько полезных фактов.
1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
, если , и , если
- Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач.
- Четырехугольник ВКМН также можно вписать в окружность.
- Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны.
- ,где R – радиус описанной окружности .
Докажем эти факты по порядку.
1) Заметим, что на рисунке есть подобные треугольники. Это АВМ и СВК, прямоугольные треугольники с общим углом В, и они подобны по двум углам
Мы получили, что в треугольниках МВК и АВС стороны, прилежащие к углу В, пропорциональны. Получаем, что по углу и двум сторонам.
2) Докажем, что вокруг четырехугольника АКМС можно описать окружность. Для этого необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов четырехугольника АКМС были равны .
Пусть ∠ACB=∠BKM=γ (поскольку треугольники МВК и АВС подобны), тогда
– как смежный с углом ВКМ. Получили, что , и это значит, что четырехугольник AKMC можно вписать в окружность.
3) Рассмотрим четырехугольник KBMH. Его противоположные углы ВКН и ВМН — прямые, их сумма равна , и значит, четырехугольник КВМН можно вписать в окружность.
4) По теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС,
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника АНС,
Мы помним, что . Значит, синусы углов АВС и АНС равны, и радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС и АНС равны.
5) Докажем, что ,где R – радиус описанной окружности . Поскольку четырехугольник КВМН можно вписать в окружность и углы ВКН и ВМН – прямые, отрезок ВН является диаметром этой окружности. Треугольник МВК также вписан в эту окружность, и по теореме синусов, .
Диаметр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен Поскольку треугольники МВК и АВС подобны, отношение диаметров описанных вокруг них окружностей равно . Получили, что
Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника» (Профильный уровень, №16)
2. В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.
а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и
а) Докажем, что
(по двум углам). Запишем отношение сходственных сторон:
Но это значит, что (по углу и двум сторонам), причем .
— смежный с углом ,
,
,четырехугольник ABNK можно вписать в окружность.
(опираются на одну дугу).
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Высота треугольника. Задача Фаньяно
Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника |
Расположение высот у треугольников различных типов |
Ортоцентр треугольника |
Расположение ортоцентров у треугольников различных типов |
Ортоцентрический треугольник |
Задача Фаньяно |
Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника
Определение 1 . Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).
На рисунке 1 изображена высота BD , проведённая из вершины B треугольника ABC . Точка D – основание высоты.
Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.
Утверждение . Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).
Доказательство . Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям
Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD , что и требовалось доказать.
Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.
Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать
Расположение высот у треугольников различных типов
Фигура | Рисунок | Описание |
Остроугольный треугольник | Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника. | |
Прямоугольный треугольник | Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника | |
Тупоугольный треугольник | Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника | |
Остроугольный треугольник | ||
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника. | ||
Прямоугольный треугольник | ||
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника | ||
Тупоугольный треугольник | ||
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника |
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника
Видео:Секретное свойство высоты в прямоугольном треугольникеСкачать
Ортоцентр треугольника
Теорема 1 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).
Обозначим точки пересечения этих прямых символами A1 , B1 и C1 , как показано на рисунке 3.
Следовательно, точка B является серединой стороны C1A1 .
Следовательно, точка A является серединой стороны C1B1 .
Следовательно, точка C является серединой стороны B1A1 .
и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.
Теорема 1 доказана.
Определение 2 . Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.
У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.
Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать
Расположение ортоцентров у треугольников различных типов
Фигура | Рисунок | Описание |
Остроугольный треугольник | ||
Прямоугольный треугольник |