Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Свойства высоты прямоугольного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в прямоугольном треугольнике, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Примечание: треугольник называется прямоугольным, если один из его углов является прямым (равняется 90°), а два остальных – острые ( Содержание скрыть

Видео:Высота прямоугольного треугольникаСкачать

Высота прямоугольного треугольника

Свойства высоты в прямоугольном треугольнике

Свойство 1

В прямоугольном треугольнике две высоты (h1 и h2) совпадают с его катетами.

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Третья высота (h3) опускается на гипотенузу из прямого угла.

Свойство 2

Ортоцентр (точка пересечения высот) прямоугольного треугольника находится в вершине прямого угла.

Свойство 3

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных прямоугольных треугольника, которые также подобны исходному.

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Аналогичным образом доказывается, что ∠ABD = ∠DAC.

Свойство 4

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, вычисляется следующим образом:

1. Через отрезки на гипотенузе, образованные в результате ее деления основанием высоты:

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

2. Через длины сторон треугольника:

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Данная формула получена из Свойства синуса острого угла в прямоугольном треугольнике (синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе) :

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот
Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Примечание: к прямоугольному треугольнику, также, применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации – “Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства”.

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Пример задачи

Задача 1
Гипотенуза прямоугольного треугольника поделена высотой, проведенной к ней, на отрезки 5 и 13 см. Найдите длину этой высоты.

Решение
Воспользуемся первой формулой, представленной в Свойстве 4:

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Задача 2
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найдите длину высоты, проведенной к гипотенузе.

Решение
Для начала найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора (пусть катеты треугольника – это “a” и “b”, а гипотенуза – “c”):
c 2 = a 2 + b 2 = 9 2 + 12 2 = 225.
Следовательно, с = 15 см.

Теперь можно применить вторую формулу из Свойства 4, рассмотренного выше:

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Высота треугольника. Задача Фаньяно

Высоты прямоугольного треугольника сколько высотВысота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника
Высоты прямоугольного треугольника сколько высотРасположение высот у треугольников различных типов
Высоты прямоугольного треугольника сколько высотОртоцентр треугольника
Высоты прямоугольного треугольника сколько высотРасположение ортоцентров у треугольников различных типов
Высоты прямоугольного треугольника сколько высотОртоцентрический треугольник
Высоты прямоугольного треугольника сколько высотЗадача Фаньяно

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формулаСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формула

Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника

Определение 1 . Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

На рисунке 1 изображена высота BD , проведённая из вершины B треугольника ABC . Точка D – основание высоты.

Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.

Утверждение . Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Доказательство . Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD , что и требовалось доказать.

Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Расположение высот у треугольников различных типов

ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникВысоты прямоугольного треугольника сколько высотВсе высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Высоты прямоугольного треугольника сколько высот
Высоты прямоугольного треугольника сколько высот
Прямоугольный треугольникВысоты прямоугольного треугольника сколько высотВысоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Высоты прямоугольного треугольника сколько высот
Высоты прямоугольного треугольника сколько высот
Тупоугольный треугольникВысоты прямоугольного треугольника сколько высотВысоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника
Высоты прямоугольного треугольника сколько высот
Высоты прямоугольного треугольника сколько высот
Остроугольный треугольник
Высоты прямоугольного треугольника сколько высотВысоты прямоугольного треугольника сколько высотВысоты прямоугольного треугольника сколько высот
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник
Высоты прямоугольного треугольника сколько высотВысоты прямоугольного треугольника сколько высотВысоты прямоугольного треугольника сколько высот
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Тупоугольный треугольник
Высоты прямоугольного треугольника сколько высотВысоты прямоугольного треугольника сколько высотВысоты прямоугольного треугольника сколько высот
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Видео:как найти высоту крыши и длину стропило по углу наклонаСкачать

как найти высоту крыши и длину стропило по углу наклона

Ортоцентр треугольника

Теорема 1 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Обозначим точки пересечения этих прямых символами A1 , B1 и C1 , как показано на рисунке 3.

Следовательно, точка B является серединой стороны C1A1 .

Следовательно, точка A является серединой стороны C1B1 .

Следовательно, точка C является серединой стороны B1A1 .

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.

Теорема 1 доказана.

Определение 2 . Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.

У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Видео:№576. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делитСкачать

№576. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит

Ортоцентрический треугольник

Решим следующую задачу.

Задача . В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE (рис.5). Доказать, что треугольник DCE подобен треугольнику ABC .

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Решение . Рассмотрим треугольники ADC и BEC . Эти треугольники подобны в силу признака подобия прямоугольных треугольников с равными острыми углами (угол C общий). Следовательно, справедливо равенство

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Это равенство, а также наличие общего угла C позволяют на основании признака подобия треугольников заключить, что и треугольники DCE и ABC подобны. Решение задачи завершено.

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Определение 3 . Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника (рис 6).

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Из определения 3 и следствия 1 вытекает следствие 2.

Следствие 2 . Пусть FDE – ортоцентрический треугольник с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника ABC (рис 7).

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Тогда справедливы равенства

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Из следствия 2 вытекает теорема 2.

Теорема 2 . Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис.7).

Доказательство . Воспользовавшись следствием 2, получаем:

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

что и требовалось доказать.

Видео:Геометрия 7.Треугольники урок 6. Высота треугольника. Определение, свойства, точки пересечения высотСкачать

Геометрия 7.Треугольники урок 6. Высота треугольника. Определение, свойства, точки пересечения высот

Задача Фаньяно

Задача Фаньяно . Рассматриваются всевозможные треугольники DEF , вершины D, E и F которых лежат на сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника ABC .

Решение . Пусть DEF – один из рассматриваемых треугольников. Обозначим символом D1 точку, симметричную точке D относительно прямой AC , и обозначим символом D2 точку, симметричную точке D относительно прямой AB (рис.8).

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Поскольку отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками, то периметр треугольника DEF оказывается не меньшим, чем длина отрезка D1D2 . Отсюда вытекает, что при фиксированной точке D наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , вершины F и E которого являются точками пересечения прямой D1D2 с прямыми AB и AC соответственно. Периметр этого треугольника равен длине отрезка D1D2 (рис.9).

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Заметим также, что выполнено равенство

Кроме того, выполнено равенство

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Отсюда вытекает, что длина отрезка D1D2 будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD будет наименьшей, т.е. в том случае, когда отрезок AD является высотой треугольника ABC . Другими словами, наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , у которого вершина D является основанием высоты треугольника ABC , проведённой из вершины A , а вершины E и F построены по описанной выше схеме. Таким образом, среди всевозможных треугольников DEF треугольник с наименьшим периметром является единственным.

Если обозначить длину высоты, проведённой из вершины A , длину стороны AB и радиус описанной около треугольника ABC окружности буквами h, c и R соответственно, то, воспользовавшись теоремой синусов, получим:

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников DEF равен

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник и является треугольником с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

Лемма . Пусть DEF – ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис.10).

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

В этом случае отрезок D1D2 проходит через точки F и E .

Доказательство . Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Кроме того, в силу равенства треугольников DFK и KFD2 , а также в силу равенства треугольников DEL и LED1 выполняются равенства:

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

откуда вытекает, что углы AEF и D1EL , а также AFE и D2FK являются вертикальными углами. Это означает, что точки D1 , F, E , D2 лежат на одной прямой. Лемма доказана.

Доказательство леммы и завершает решение задачи Фаньяно.

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике | Математика ЕГЭ 2024 #егэпрофиль #профильСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике | Математика ЕГЭ 2024 #егэпрофиль #профиль

Высота в прямоугольном треугольнике

Вспомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.

Один из типов экзаменационных задач банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Высота проведена к гипотенузе . Она делит треугольник на два прямоугольных треугольника — и . Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.

Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна . Значит, , то есть угол равен углу . Аналогично, угол равен углу .

Иными словами, каждый из трех углов треугольника равен одному из углов треугольника (и треугольника ). Треугольники и называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?

Возьмем треугольники и . Стороны треугольника длиннее, чем стороны треугольника в раз:

При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников и , а также пропорциональность их сторон. Обратите также внимание, что площадь треугольника можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. В треугольнике угол равен , — высота, , . Найдите .

Высоты прямоугольного треугольника сколько высот

Рассмотрим треугольник . В нем известны косинус угла и противолежащий катет . Зная синус угла , мы могли бы найти гипотенузу . Так давайте найдем :

(поскольку значение синуса острого угла положительно). Тогда:

Рассмотрим прямоугольный треугольник , . Поскольку

2. В треугольнике угол равен , , . Найдите высоту .

Сделайте чертеж и рассмотрите прямоугольный треугольник .

3. В треугольнике угол равен , , . К гипотенузе проведена высота . Найдите .

Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты и .

Зато можно записать теорему Пифагора: .

Нам известно также, что:

Решая эту систему из двух уравнений, найдем:

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений.

📺 Видео

ПРОБЛЕМНЫЕ ЗАДАЧИ #1 ЕГЭ 2024 с Высотой в Прямоугольном ТреугольникеСкачать

ПРОБЛЕМНЫЕ ЗАДАЧИ #1 ЕГЭ 2024 с Высотой в Прямоугольном Треугольнике

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Высота прямоугольного треугольника ▶ (Мини-ликбез №9)Скачать

Высота прямоугольного треугольника ▶ (Мини-ликбез №9)

Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Задача, которую исключили из экзамена в АмерикеСкачать

Задача, которую исключили из экзамена в Америке

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите высоту, проведённую к гипотенузеСкачать

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе

Высота в прямоугольном треугольнике. Практическая часть. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. Практическая часть. 8 класс.

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.
Поделиться или сохранить к себе:
ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникВысоты прямоугольного треугольника сколько высот
Прямоугольный треугольникВысоты прямоугольного треугольника сколько высот