Высота треугольника найти 7 класс

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Способы нахождения высоты треугольника: теорема и формула

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Определение высоты треугольника

Геометрия, являющаяся разделом математики, изучает структуры в пространстве и на плоскости. Одним из типов таких фигур являются геометрические фигуры. К ним можно отнести квадрат, прямоугольник, круг, пятиугольник, треугольник и другие. Из них можно делать более сложные фигуры или оставлять в первоначальном виде.

Треугольником является фигура, относящаяся к классу простых фигур, которая образована тремя точками, находящимися не на одной прямой, и соединенными между собой тремя отрезками.

Треугольники могут быть:

• разными по величине углов: прямоугольными, тупоугольными и остроугольными;
• разными по числу равных сторон: равносторонними, равнобедренными и разносторонними.

Помимо трех сторон, важными элементами треугольников являются медианы, высоты и биссектрисы.

Высотой треугольника является перпендикуляр, опущенный из угла треугольника вниз, на противоположную сторону.

В геометрии высота треугольника обозначается буквой h.

В зависимости от типа треугольника высота может:

• падать на противоположную сторону — у остроугольного треугольника;
• находиться вне треугольника — у тупоугольного треугольника;
• совпадать с одной из сторон — у прямоугольного треугольника.

Чтобы сделать высоту графически явной и понятной на рисунке, ее нередко выделяют красной линией.

Для того чтобы определить графическое начертание высоты треугольника, необходимо:

1. Найти вершину фигуры.
2. Опустить вниз перпендикулярную линию к противоположной стороне.
3. Продлить противоположную сторону до пересечения с высотой, если требуется.

Любой треугольник имеет 3 высоты — по числу углов. Их пересечение находится в точке ортоцентра, которая, в зависимости от типа треугольника, может находиться внутри треугольника, снаружи на пересечении продолжений высот или совпадать с вершиной прямого угла.

Все три высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, к которым опущены. Доказательством будет соотношение:

A × H A ÷ B × H B ÷ C × H C = 1 B C ÷ 1 A C ÷ 1 A B

Выглядеть графически это будет так:

Существует множество способов нахождения высоты треугольника в зависимости от имеющихся данных.

Через площадь и длину стороны, к которой опущена высота:

где S — уже известная площадь треугольника,

Через длины всех сторон:

h = 2 p p × a p × b p × c a

где a, b и c — стороны треугольника,

p — его полупериметр.

Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.

Через длину прилежащей стороны и синус угла:

s i n a — синус угла прилежащей стороны.

Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.

Через стороны и радиус описанной окружности.

Решать задачи с треугольником и описанной окружностью для нахождения высоты можно следующим образом:

где b, c — стороны разностороннего треугольника, к которым не опущена высота,

R — радиус описанной окружности.

Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.

Через длины отрезков, образованных на гипотенузе при проведении к ней высоты треугольника:

где C 1 и С 2 — длины отрезков, образованных на гипотенузе, проведенной к ней высотой.

Данная формула подходит только для нахождения высоты прямоугольного треугольника.

Видео:ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

Нахождение высоты равнобедренного треугольника через основание и боковые стороны

Равнобедренным треугольником называют треугольник, имеющий одинаковые по длине катеты, которые образуют равные углы с основанием. В таком треугольнике высота будет опускаться ровно в середину основания, образуя с ним прямой угол.

Помимо высоты, проведенная линия будет являться также осью симметрии, биссектрисой вершинного угла и медианой.

Формула для нахождения высоты в этом случае:

где a — основание,

b — равные боковые стороны.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Свойства высоты в равностороннем треугольнике

Равносторонний треугольник — это треугольник, стороны которого, углы, высоты, медианы, оси симметрии и биссектрисы будут равны.

Такой треугольник является частным примером равнобедренного треугольника, но не наоборот.

Высоту в таком треугольнике можно найти с помощью следующей формулы:

где а — сторона равностороннего треугольника.

Главным свойством, которым обладает высота равностороннего треугольника, является тот факт, что она равна медиане и биссектрисе:

а — сторона правильного равностороннего треугольника.

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Нахождение высоты прямоугольного треугольника через его катеты

Прямоугольным считается треугольник, у которого один из углов является прямым, то есть равным 90°. Высота, опущенная из такого угла, падает на гипотенузу треугольника и делит его на два прямоугольных треугольника, которые пропорциональны по отношению к большому треугольнику и друг к другу.

Важно отметить, что две другие высоты будут совпадать с катетами треугольника.

Найти высоту в прямоугольном треугольнике, можно через два его катета (a и b) и гипотенузу (c).

Причем гипотенуза также легко находится через катеты по теореме Пифагора:

Расчет высоты идет следующим образом:

где a, b и c — вышеупомянутые стороны треугольника.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Высота треугольника

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 80.

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 80.

Почти никогда не получится определить все параметры треугольника без дополнительных построений. Эти построения являются своеобразными графическими характеристиками треугольника, которые помогают определить величину сторон и углов.

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

Определение

Одной из таких характеристик является высота треугольника. Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к его противоположной стороне. Вершиной называют одну из трех точек, которые вместе с тремя отрезками составляют треугольник.

Определение высоты треугольника может звучать и так: высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Это определение звучит сложнее, но оно точнее отражает ситуацию. Дело в том, что в тупоугольном треугольнике не получится провести высоту внутри треугольника. Как видно на рисунке 1, высота в этом случае получается внешней. Кроме того, нестандартной ситуацией является построение высоты в прямоугольном треугольнике. В этом случае, две из трех высот треугольника будут проходить через катеты, а третья от вершины к гипотенузе.

Как правило, высоту треугольника обозначают буквой h. Также обозначается высота и в других фигурах.

Видео:Медианы, биссектрисы и высоты треугольника | Геометрия 7-9 класс #18 | ИнфоурокСкачать

Как найти высоту треугольника?

Существует три стандартных способа нахождения высоты треугольника:

Через теорему Пифагора

Этот способ применяется для равносторонних и равнобедренных треугольников. Разберем решение для равнобедренного треугольника, а потом скажем, почему это же решение справедливо для равностороннего.

Дано: равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. АВ=5, АС=8. Найти высоту треугольника.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Для равнобедренного треугольника важно знать, какая именно сторона является основанием. Это определяет боковые стороны, которое должны быть равны, а так же высоту, на которую действую некоторые свойства.

Свойства высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию:

• Высота совпадает с медианой и биссектрисой
• Делит основание на две равные части.

Высоту обозначим, как ВD. DС найдем как половину от основания, так как высота точкой D делит основание пополам. DС=4

Высота – это перпендикуляр, значит ВDС – прямоугольный треугольник, а высота ВD является катетом этого треугольника.

Найдем высоту по теореме Пифагора: $$BD=sqrt=sqrt=3$$

Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, только основание у него равно боковым сторонам. То есть, можно использовать тот же порядок действий.

Через площадь треугольника

Этим способом можно пользоваться для любого треугольника. Чтобы им воспользоваться, нужно знать значение площади треугольника и стороны, к которой проведена высота.

Высоты в треугольнике не равны, поэтому для соответствующей стороны получится вычислить соответствующую высоту.

Формула площади треугольника: $$S=*bh$$, где b – это сторона треугольника ,а h – высота, проведенная к этой стороне. Выразим из формулы высоту:

Если площадь равна 15, сторона 5, то высота $$h=2*=6$$

Через тригонометрическую функцию

Третий способ подойдет, если известна сторона и угол при основании. Для этого придется воспользоваться тригонометрической функцией.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Угол ВСН=30 градусам , а сторона BC=8. У нас все тот же прямоугольный треугольник BCH. Воспользуемся определением косинуса угла прямоугольного треугольника. Косинус острого угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, значит: BH/BC=cos BCH, а угол BCH равен 60 градусам, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Угол известен, как и сторона. Выразим высоту треугольника:

Значение косинуса в общем случае берется из таблиц Брадиса, но значения тригонометрических функций для 30,45 и 60 градусов – табличные числа.

Видео:Медиана, биссектриса и высота треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое высота треугольника, какие бывают высоты и как они обозначаются. Разобрались в типовых задачах и записали три формулы для высоты треугольника.

📺 Видео

Высоты треугольника.Скачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

ВСЕ ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ😉 #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #shorts #геометрия #образованиеСкачать

Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника - геометрия 7 классСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Решение задач "Медиана, биссектриса, высота"Скачать

№499. Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15Скачать

Урок 9. Высота, медиана и биссектриса треугольника (7 класс)Скачать

РАВНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Высоты. Медианы. Биссектрисы. §7 геометрия 7 классСкачать