В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в прямоугольном треугольнике, а также разберем примеры решения задач по этой теме.
Примечание: треугольник называется прямоугольным, если один из его углов является прямым (равняется 90°), а два остальных – острые ( Содержание скрыть
Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля — Синус, косинус, тангенс и котангенс острого углаСкачать
Свойства высоты в прямоугольном треугольнике
Свойство 1
В прямоугольном треугольнике две высоты (h1 и h2) совпадают с его катетами.
Третья высота (h3) опускается на гипотенузу из прямого угла.
Свойство 2
Ортоцентр (точка пересечения высот) прямоугольного треугольника находится в вершине прямого угла.
Свойство 3
Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных прямоугольных треугольника, которые также подобны исходному.
Аналогичным образом доказывается, что ∠ABD = ∠DAC.
Свойство 4
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, вычисляется следующим образом:
1. Через отрезки на гипотенузе, образованные в результате ее деления основанием высоты:
2. Через длины сторон треугольника:
Данная формула получена из Свойства синуса острого угла в прямоугольном треугольнике (синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе) :
Примечание: к прямоугольному треугольнику, также, применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации – “Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства”.
Видео:8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать
Пример задачи
Задача 1
Гипотенуза прямоугольного треугольника поделена высотой, проведенной к ней, на отрезки 5 и 13 см. Найдите длину этой высоты.
Решение
Воспользуемся первой формулой, представленной в Свойстве 4:
Задача 2
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найдите длину высоты, проведенной к гипотенузе.
Решение
Для начала найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора (пусть катеты треугольника – это “a” и “b”, а гипотенуза – “c”):
c 2 = a 2 + b 2 = 9 2 + 12 2 = 225.
Следовательно, с = 15 см.
Теперь можно применить вторую формулу из Свойства 4, рассмотренного выше:
Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать
Высота в прямоугольном треугольнике
Вспомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.
В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.
Один из типов экзаменационных задач банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:
Высота проведена к гипотенузе . Она делит треугольник на два прямоугольных треугольника — и . Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.
Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна . Значит, , то есть угол равен углу . Аналогично, угол равен углу .
Иными словами, каждый из трех углов треугольника равен одному из углов треугольника (и треугольника ). Треугольники и называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.
Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?
Возьмем треугольники и . Стороны треугольника длиннее, чем стороны треугольника в раз:
При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников и , а также пропорциональность их сторон. Обратите также внимание, что площадь треугольника можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
1. В треугольнике угол равен , — высота, , . Найдите .
Рассмотрим треугольник . В нем известны косинус угла и противолежащий катет . Зная синус угла , мы могли бы найти гипотенузу . Так давайте найдем :
(поскольку значение синуса острого угла положительно). Тогда:
Рассмотрим прямоугольный треугольник , . Поскольку
2. В треугольнике угол равен , , . Найдите высоту .
Сделайте чертеж и рассмотрите прямоугольный треугольник .
3. В треугольнике угол равен , , . К гипотенузе проведена высота . Найдите .
Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты и .
Зато можно записать теорему Пифагора: .
Нам известно также, что:
Решая эту систему из двух уравнений, найдем:
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений.
Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать
Синус, косинус, тангенс в прямоугольном треугольнике
Гипотенузой называется та сторона треугольника, что лежит против угла в 90 градусов, две оставшиеся стороны называются катетами прямоугольного треугольника.
Подробнее про прямоугольный треугольник здесь.
Синусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
Бывает (и на ЕГЭ, ГИА), что приходится иметь дело с косинусами, синусами и тангенсами внешних углов треугольника. Формулы приведения позволяют увидеть, что есть еще и вот такая связь между смежными углами (помимо того, что их сумма равна 180):
Смотрите подборку задач на применение указанных соотношений в статье «Прямоугольный треугольник. Вычисление длин и углов» часть I, часть II.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
💥 Видео
Урок СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС ОСТРОГО УГЛА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать
Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать
Зачем нужны синусы и косинусы?Скачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать
Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать
Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать
Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэСкачать
ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Геометрия 8 класс (Урок№21 - Косинус, синус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.)Скачать
Косинус, синус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать
Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Часть 1Скачать
КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать
Синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике.Скачать
Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать