Все положения трех окружностей

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO₁).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O₁ имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO_1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO₁.

Опустим из A на прямую OO₁ перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA₁, равное AB. Докажем теперь, что точка A₁ принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O₁ лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA₁ через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A₁. То же можно сказать и о точке O₁. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A₁.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A₁ (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA₁) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O₁, радиусами R и R₁ и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R₁ .

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R₁, так как точка касания лежит на линии центров O O₁.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R₁, потому что в треугольнике OAO₁ сторона OO₁ меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R₁, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO₁.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R₁, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R₁, то окружности касаются извне.

3. Если d R — R₁, то окружности пересекаются.

4. Если d = R — R₁, то окружности касаются изнутри.

5. Если d R Е R₁. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

Видео:Деление окружности на 3 частиСкачать

Все положения трех окружностей

Я представляю основы Эстетической Геометрии пьесой, где действующие лица — точки, окружности и симметрии. Начнем с простейшего. С одной окружности. Что можно сказать про главную героиню? У нее есть центр. Это как раз и не так важно. Важно, что окружность задает симметрию. Как именно — об этом будет рассказано позднее. Важно, что окружность можно поворачивать: точки или спицы на колесе меняют свое место, а само колесо остается там же. Поэтому — все точки на окружности «одинаковы».
Окружность занимает промежуточное положение между точкой и прямой. Точка — это очень маленькая окружность, а прямая — очень большая. В геометрии окружности прямая и трактуется как частный случай окружности: центр такой окружности очень (бесконечно) далек, а радиус — бесконечно велик. Иногда мы и точки рассматривает как частный случай окружностей. Окружности с нулевым радиусом. Но обычно точки все же мы отличаем от окружностей.
Через любые три различные точки можно провести одну и только одну окружность. Обычно за этим следует оговорка: если эти три точки не лежат на одной прямой. Нам эта оговорка не нужна — мы рассматриваем прямые как частные случаи окружностей.
Таковы важнейшие свойства одной окружности, окружности самой по себе. Если у нас две или три окружности они могут быть по-разному расположены друг относительно друга. Мы начнем с напоминания этих простейших свойств, определим симметрию между окружностями, расскажем о перпендикулярных окружностях и уйдем довольно далеко. Параллельно с просмотром этого сайта стоит читать рукопись «Эстетическая геометрия». Там нет иллюстраций, но много объяснений и идей.

Почему, рассказывая о геометрии окружности, я говорю об Эстетической Геометрии? Потому, что с помощью идей и методов, проясняющихся при изучении симметрий окружностей можно создавать изящные образы, и, идя дальше: создать среду, в которой все получающиеся образы эстетически гармоничны. Примеры можно увидеть на сайте http://revolt33.narod.ru/matem/pict/index.html Они есть и в третьей части учебника
Симметрии относительно прямых полезны и при создании орнаментов, и при создании художественной композиции. Симметрии относительно окружности позволяют создавать значительно более разнообразные орнаменты и художественные формы, и играют существенную роль в осмыслении композиции, позволяя по-новому воспринимать плоскость и пространство. В геометрии окружности симметрия — основной способ рассуждения: чтобы доказать, что какие-то точки лежат на одной окружности, какие-то окружности касаются друг друга или пересекаются в тех же точках, что и и другие — мы доказываем, что какие-то точки и окружности симметричны друг другу. В этом — одно из резких отличий геометрии окружности и эстететической геометрии от привычной геометрии. В евклидовой геометрии симметрии определяются, но редко используются для доказательств.
Как читать учебник? Можно — начать с конца, с раздела о гармонической мельнице. Посмотреть рисунки и понять, как они делаются. А на непонятные моменты искать ответы в двух первых частях. Но лучше все же в начале просмотреть первую часть: в ней дается новое понимании симметрии, определяется важнейшее понятие перпендикулярных окружностей. К ней мною разработаны специальные флеш-программы DodecaTeach. Вторая часть изучает фигуры геометрии окружности как таковые и показывает их связь с неевклидовыми геометриями. Третья, помимо рассказа о фракталах и алгоритме построения изящных образов, названным мною «гармонической мельницей» содержит элементы теории групп и начала учения о «биплетной симметрии». Это все можно пропускать, но я совсем не уверен, что это следует делать. Никакое предварительное знакомство с математикой не требуется, а знание естественных абстракций теории групп помогает понимать работу гармонической мельницы и механизм образования фракталов. Я старался сделать текст приемлемым для гуманитариев, но и содержательным для математиков-профессионалов. Возможно, несмотря на все мои усилия в тексте будут непонятные места. В таком случае лучше просто двигаться дальше, а не останавливаться. Или — пролистать уже прочитанное. Вполне вероятно, что причина непонимания — в опечатке. Одно из лучших средств понять геометрию — рисовать чертежи самостоятельно. «Геометрия — умение хорошо мыслить по плохим чертежам» — сказано давно и очень точно.
Тем не менее я старался делать красивые чертежи. Эстетическая геометрия замечательна и тем, что интересные теоремы часто иллюстрируются красивыми рисунками. В евклидовой геометрии так случается куда реже. В создании иллюстраций мне помогали компьютерные средства, некоторые есть на сайте, их можно скачивать и использовать в просветительских целях, давая ссылку на автора и этот сайт. Желающим узнать подробней о компьютерных средствах я дам ответы в личной переписке.
Буду рад вашим отзывам. Критическим, похвальным, любым замечаниям по теме и методу изложения. Писать можно по адресу revoltp@mail.ru или в Живой Журнал http://revoltp.livejournal.com/
Я приглашаю к сотрудничеству заинтересовавшихся эстетической геометрией и ее приложениями.
На этом я заканчиваю комментарий и начинаю рассказ о важнейших темах геометрии окружности. Основное содержание — в чертежах и рисунках, поясняющий текст имеет меньшее значение, а доказательства даются лишь если они демонстрируют важный метод. Подробное изложение тем можно найти на сайте http://revolt33.narod.ru/matem/Bereg_site/index.html
Револьт Пименов, С-Петербург, август 2012 г.
Я продолжаю публикацию работ по эстетической геометрии, смотрите статью: «Тройственная симметрия фрактального калейдоскопа».

Взаимное расположение точек и окружностей: пересечение и разделение.

Пусть окружность B лежит внутри окружности А. Будем “выносить” окружность В из А. В начале — окружности не имеют общих точек, затем касаются, затем пересекаются, а точка касания “раздваивается” и превращается в пару точек пересечения А и В (точки x, y), затем А и В снова касаются, а точки их пересечения сливаются в одну. Затем окружности не имеют общих точек. Касание окружностей есть промежуточное или переходное положение окружностей. Промежуточное между окружностями, не имеющих общих точек и пересекающимися окружностями.

Окружность В разделяет окружности А и С (они лежат по разные стороны от В. Окружность А не разделяет окружности В и С (они лежат по одну сторону от А). Любые две не пересекающиеся окружности можно разделить третьей окружностью. Никакая окружность не может разделить две пересекающиеся окружности. Любые две точки можно разделить окружностью. А существует ли окружность, разделяющая две касающиеся окружности? Как она проходит?

Свойство окружности разделять точки и другие окружности очень важно для классификации трех взаимопересекающихся окружностей. Если одна из трех окружностей разделяет точки пересечения двух других, то: 1. она обязательно с ними пересекается; 2. любая из этих окружностей разделяет точки пересечения двух других.

Симметрия между окружностями или инверсия. Примеры.

В динамике: чем дальше голубая окружность от синей, тем меньше и ближе к центру синей симметричная ей. Если мы приближаем голубую окружность к синей, то симметричная ей будет увеличиваться и также приближаться к границе синей. Когда голубая коснется синей, то симметричная ей — коснется синей в той же точке. На этом и следующих рисунках окружности одного цвета симметричны относительно синей.

Геометрия окружности трактует прямые, как частный случай окружностей. И не знает, что такое «центр» окружности, как это ни странно. Но мы-то различаем, или думаем что умеем различать прямую от окружности. Для связи с привычным миром укажем и эти свойства.

Симметрия между окружностями сохраняет свойства расположения окружностей.

Пересекающиеся окружности симметричны пересекающимся, касающиеся — касающимся, разделенные — снова окажутся разделены. А симметричные — снова будут симметричны. Свойства, сохраняющиеся при симметрии называются инвариантными. Не все привычные свойства окружностей сохраняются при симметрии. Например: центр окружности не перейдет в центр окружности. Большая окружность может перейти в маленькую. А если одна окружность лежит внутри другой — обязательно ли сохранится эта их особенность после симметрии относительно третьей окружности?

Определение симметрии точек относительно окружности.

Внутренности окружности симметрична ее внешность. Окружность всегда разделяет пару симметричных относительно нее точек.

Чтобы точно определить симметрию окружностей — достаточно определить симметрию точек. Но для этого нам пока надо пользоваться расстояниями и прямыми. Геометрия окружности их не знает, но мы знаем, и не будем педантами, а воспользуемся этим. Позднее, мы научимся определять симметрию точек не пользуясь ни прямыми, ни длинами. Достаточно уметь проводить окружность через три точки.
Что означает «симметрия между окружностями?» Как связать симметрию точек и симметрию окружностей? Если при симметрии точек, точки, лежащие на одной окружности, переходят в точки, снова лежащие на одной окружности, мы и говорим, что есть симметрия окружностей, т.к. окружностям оказываются симметричны окружности, а не какие-либо другие фигуры. Доказательство, что при симметрии точек, описанной здесь, окружности переходят в окружности есть во многих учебниках.

А-отображения отображают окружность в окружность. Для того, чтобы задать А-отображение данной окружности, надо выбрать произвольную точку плоскости, не лежащую на данной окружности и провести через эту точку секущие к окружности. А-отображение меняет местами точки пересечения секущей с окружностью. Если проводить секущие из бесконечно далекой точки, то они будут представляться нам пучком параллельных прямых. А-отображения окружности легко обобщаются на отображения сфер в пространстве и позволяют определить инвесию (симметрию окружностей) на сфере. Подумайте, как это сделать?
А-отображения теснейше связаны с геометрией окружностей, хотя и основаны прямых линиях. Пользуясь то геометрией окружностей, то прямолинейными А-отображениями мы обогащаем наше понимание и геометрии прямых и геометрии окружностей.

Здесь мы не будем пользоваться этими определениями. Для нас важно, что существует преобразование I, при котором все точки окружности I остаются неподвижными, окружности переходят в окружности и симметричное переходит в симметричное.

Перпендикулярные окружности. Определение.

Окружности А и В называются перпендикулярными, если при симметрии относительно одной — другая остается на месте: А(В)=В.
При симметрии относительно А, точки на В меняются местами. Не остаются неподвижны. Но окружность В, как целое, — остается на своем месте. Если точка x лежит на В, то и А(x) обязательно лежит на В. Точно также обстоит дело в привычной геометрии с перпендикулярными прямыми.
Точки, лежащие внутри В, симметричны точкам, снова лежащим внутри В, точки лежащие вне В симметричны точкам, лежащим вне В. Точнее говоря: точки, симметричные относительно А, всегда лежат по одну сторону от В.

ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО перпендикулярных окружностей:
если две точки x и y симметричны относительно I, то ЛЮБАЯ окружность, проходящая через эти точки — перпендикулярна I.

I(x)=y и А, В, С проходят через точки x, y следовательно I(A)=A, I(B)=B, I(C)=C, A(D)=D
Мы не доказываем основное свойство, а используем его как аксиому.

ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА эстетической геометрии:
две пары симметричных точек обязательно лежат на одной окружности.

ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА следует из основного свойства: по основному свойству всякая окружность, проходящая через x и I(x) перпендикулярна I, следовательно, окружность S, проходящая через x, I(x) и y — тоже перпендикулярна I, следовательно I(y) лежит на на S. Из теоремы понятно, что если даны две точки x и y, и окружность I, то есть единственная перпендикулярная I окружность S, проходящая через данные точки. Чтобы построить S достаточно отразить одну из данных точек относительно I, и через полученную точку и две исходных провести окружность S. Она и будет искомой.
Построение перпендикуляра

В геометрии прямых из данной точки на данную прямую можно опустить единственный перпендикуляр. В геометрии окружности — не так. Из одной точки можно провести сколько угодно окружностей, перпендикулярных данной. Все они, по основному свойству, проходят через точку симметричную данной относительно окружности. Первая теорема гарантирует нам, что есть единственная окружность, проходящая через две данные точки и перпендикулярная данной окружности. А сейчас мы видим, что существует единственная окружность S, проходящая через данную точку p и перпендикулярная ДВУМ данным окружностям А и В. Чтобы построить S надо отразить точку p относительно данных окружностей. И через p и полученные точки провести S — по основному свойству эта окружность перпендикулярна и А и В (т.к. на ней есть пара точек, симметричных относительно А и пара точек, симметричных относительно В).
Что будет, если точка p лежит на пересечении окружностей А и В? При симметрии относительно А и В мы не получим новых точек, в этом случае А(p)=B(p)=p, и наше построение не получается. Если две окружности пересекаются, то ни одна окружность, проходящая через точку их пересечения не будет перпендикулярна им обеим. Если не считать. если не считать такой окружностью саму точку их пересечения.

Три перпендикулярные друг другу окружности.

На плоскости нельзя провести три перпендикулярные друг другу прямые. А три взаимоперпендикулярные окружности — можно. Пользуясь основным свойством, построим окружность B, перпендикулярную A. Затем, как было только что показано, построим третью окружность С, перпендикулярную первым двум.
На правом рисунке выделены 8 участков (один из которых неограничен), на которые разделяют плоскость А, В и С. Попробуйте проследить, какие участки плоскости симметричны друг другу относительно А? Относительно В? Относительно С?

Перпендикулярные и касающиеся окружности.

Перпендикулярные и касающиеся окружности тесно связаны между собой. Аналогично связаны между собой параллельные и перпендикулярные прямые: если первая прямая перпендикулярна к другой прямой, а та к третьей, то первая и третья прямые — параллельны. Подобным образом можно построить окружность, касающуюся данной окружности I в данной точке x. Мы берем произвольную точку p, не лежащую на данной окружности I, проводим окружность А через точки x, p, I(p). По основному свойству А перпендикулярна I. Теперь мы построим окружность В, перпендикулярную А и проходящую через x. Для этого возмем произвольную точку q и проведем В через x, q, B(q). По перпендикулярно-касательном признаку В — касается I в точке x, что и требовалось.
Если нам надо построить окружность, перпендикулярную I и проходящую через точки x, y лежащие на I, то прием, использованный в основной теореме не работает. В этом случае I(x)=x, I(y)=y, и у нас не появляется новой точки, через которую можно провести искомую окружность. Поступим так: мы только что построили окружность В, касающуюся I в точке x. Проведем окружность S через точки x, y, B(y). По основному свойству она перпендикулярна В, отсюда, по перпендикулярно-касательному признаку она перпендикулярна I. Следовательно — S и является искомой окружностью. Прием, использованный для ее построения назовем «двойным перпендикулированием«.

Медитация о перпендикулярных и касающихся окружностях

Подумайте, как можно продолжать рисунок, добавляя новые окружности? И как «работает» с новыми окружностями симметрия относительно пунктирной окружости? А можно в этом рисунке найти и новые симметрии. Для этого рассмотрим две голубые окружности и большую желтую. Через точки их касания можно провести окружность. Она будет перпендикулярна выбранным. Куда, при симметрии относительно построенной окружности, перейдет ближайший к ней синий круг?
Медитация о касающихся окружностях и фрактале

Система касающихся окружностей. Ее можно продолжать: внутрь каждого небольшого желтого круга поместить то, что изображено на экране. И так далее. То, что получается — называется фракталом. А сейчас мы видим синие круги на желтом, или желтые на сннем фоне?

Свойства окружностей, касающихся двух данных.
Начнем с простейшего.

Если А и В пересекаются, то мы точно также раздуваем маленькую окружность 1. Она увеличивается, совпадает с А, затем «перегибается» (по дороге побывав прямой), уменьшается, сворачиваясь в точку q. При этом, окружность эта, как и в прошлом случае, сначала не имеет общих точек с В, затем касается, В, затем пересекает В, затем снова касается В, затем же — опять не имеет с В общих точек. Окружности 1 и 8 касаются А и В. Обратим внимание: ни одна из них не разделяет А и В. Пересекающиеся окружности вообще невозможно разделить.

А что будет, если А и В касаются друг друга? Если точка их касания отличается от q, то существует всего одна искомая окружность, касающаяся А и В одновременно. Почему?
Если же А и В сами касаются друг друга в точке q, то искомых окружностей — бесчисленное множество.

Серединная окружность
Окружности, касающиеся одновременно двух не имеющих общих точек окружностей А и В распадаются на два семейства. Семейство «лепестков» и семейство «обручей«.

На этом рисунке хорошо видны свойства симметрии относительно окружности I. Внутренность малинового круга А, симметрична неограниченной внешности малиновой окружности B. Голубые круги-лепестки симметричны сами себе. Точка, лежащая внутри такого круга симметрична точке, снова лежащей внутри этого круга. Границы этих кругов (окружности) переходят в себя. Точки касания голубых кругов друг с другом остаются неподвижны. Каждый светлозеленый трехдужник симметричен такому же треждужнику, лежащему напротив него. Точка касания голубого круга с окружностью А симметрична точке касания этого же круга с окружностью В.

Семейство лепестков определяет серединную окружность и симметрию окружностей I, при которой все точки серединной окружности неподвижны, а окружности А и В меняются местами: I(A)=B, I(B)=A. Семейство обручей тоже задает такую симметрию. Но не задает никакой «серединной окружности», точки которой неподвижны при симметрии I.

Если окружности А и В пересекаются, то окружности касающиеся их одновременно также распадаются на два семейства. Среди эти семейств нет ни «лепестков», ни обручей», каждое семейство располагается в своей «зоне» на плоскости. Каждое из двух семейств определяет свою серединную окружность между А и В.
В этом случае аналогия между серединными окружностями и биссектрисами между прямыми видна особенно ясно. Между двумя пересекающимися прямыми есть две биссектрисы. Одна лежит в основном угле между прямыми, другая — в дополнительном угле. Обе прямые симметричны друг другу относительно каждой своей биссектрисы.
А что будет, если исходные окружности А и В касаются? В этом случае, есть всего одно семейство окружностей, касающихся их одновременно. Почему? Это семейство позволяет построить единственную симметрию между А и В и серединную окружность между ними. Что это напоминает в мире прямых? Параллельные прямые. Почему?

Медитация о композиции.

Именно композиция симметрий превращает геометрию окружности в эстетическую геометрию. С помощью композиции симметрий относительно окружностей можно строить художественные объекты. А что такое композиция? Последовательное применение симметрий, сначала относительно Р, затем относительно Q. Как это проследить на рисунке?

Примеры построения симметрии с помощью проведения окружностей, касающихся двух данных.

Теорема о цепочке четырех касающихся окружностей.

В теореме участвует 6 касающихся окружностей: 4 из них касаются друга по цепочке, а две (А и B) вплетены между ними. Если А и В пересекаются, то теорема получает интересное развитие, приведенное в разделе о построении биссектрис (ч.2).

Новое определение симметрии между окружностями.

ДВЕ ПАРЫ ТОЧЕК (a, b) и (c, d) лежащих на одной окружности S
определяют симметрию окружностей I при которой точки каждой пары симметричны друг другу: I(a)=b, I(c)=d. Проведем две окружности: одну через точки a и b, другую через c и d. Если эти окружности пересекаются — точки их пересечения симметричны друг другу относительно I. Если эти окружности касаются — точка касания неподвижна (переходит в себя) при симметрии I. Двигаясь из точек чертежа x, y, z, t по окружностям одного цвета, мы придем в симметричную точку.

Мы удобно и просто определили симметрию между окружностями не меряя длин и не проводя прямых. Единственное, что нам нужно для нахождения точки I(x) — уметь проводить окружность через три данные точки. Благодаря этому и можно говорить о геометрии окружности, и об эстетической геометрии, как о самостоятельном разделе знаний. Иначе бы геометрия окружности оставалась частью евклидовой геометрии прямых. Заметим, что подобного простого построения симметрии относительно прямой в геометрии Евклида — нет. Там нужно измерять длины, откладывать прямые углы. А здесь — достаточно провести две окружности.
Почему это построение дает тоже, что было показано при определении симметрии точек относительно окружности? Попробуйте разобраться самостоятельно, используя свойства перпендикулярных окружностей.

Важные свойства окружностей, следующие из нового определения симметрии.

Эти свойства можно обобщить на трехмерный случай. Подумайте, как это сделать.
Если мы немного обработаем чертеж к теореме (опция Combine в Corledraw), то получим интересный рисунок. Попробуйте проследить, какие непрерывные цветные области симметричны друг другу. А какие из этих областей симметричны сами себе (то есть точка лежащая внутри такой области симметрична точке, снова лежащей в этой области)?

Две пары точек, лежащие на одной окружности, определяют важное семейство окружностей (и семейство пар точек). В семейство окружностей мы включаем: все окружности, проходящие через одну пару точек, все окружности, проходящие через другую пару точек. Если две окружности семейства пересекаются в какой-то паре точек, то мы включаем и все окружности, проходящие через эту пару точек. В семейство пар точек мы включаем все пары точек, в которых пересекаются включенные окружности. Любые две пары точек семейства обязательно лежат на одной окружности. Как можно охарактеризовать построенные семейства с помощью понятия симметрии?
Если две исходные пары точек разделяют друг друга, то все окружности семейства — пересекаются между собой. И любые две пары точек — разделяют друг друга (на той окружности, на которой они лежат).

ТЕОРЕМА о разбиении четырех точек, лежащих на одной окружности на пары двумя способами.

Эта теорема связана с понятием коммутативности или «перестановочности». Два преобразования, две функции, две операции f и g называются коммутирующими, если не важно, в каком порядке их применять: для любого x — f(g(x))=g(f(x)). Симметрии относительно перпендикулярных прямых — коммутируют между собой. Почему? Также коммутируют симметрии между перпендикулярными окружностями. Это будет разъяснено позднее.
Из чертежа к теореме нетрудно «извлечь» интересные рисунки.

ТЕОРЕМА о разбиении четырех точек, лежащих на одной окружности на пары тремя способами.
Теорема позволяет осуществлять симметрию точки относительно окружности, не считая расстояния, не меряя углы, не проводя прямых.

Ранее было показано, как зная две пары симметричных точек: (а, b=S(a)), (c, d=S(c)) находить для любой точки х симметричную ей точку S(x)=y. Но как быть, если мы не знаем двух таких пар, а знаем лишь окружность S, относительно которой осуществляется симметрия? ТЕОРЕМА о разбиении четырех точек на пары тремя способами — дает ответ на этот вопрос. Нужно выбрать на S какие-то четыре точки и осуществить построение на рисунке. Понадобиться провести 6 вспомогательных окружностей. Вспомним: ранее мы умели делать такую симметрию только с помощью длин и прямых. Доказательство этой и предыдущей теоремы основано на понятии композиции преобразований.

Теоремы о касающихся окружностях.

Почему так происходит? Точки касания — неподвижны при симметрии I, при которой I(a)=b, I(c)=d. А такие точки лежат на одной окружности. По основному свойству перпендикулярных окружностей все окружности проходящие через a и b — перпендикулярны I, окружности, проходящие через c и d — тоже. По перпендикулярно-касателному признаку такие окружности могут касаться только в точках, лежащих на I. Попробуйте на следующем рисунке найти симметричные друг другу точки и области.

Если точки a и b близки друг к другу, то окружность, проходящая через них, почти касается окружности S. Когда они совпадут — эта окружность касается S. Поэтому точки касания окружностей, одна из которых касается S в точке a, другая же проходит через c и d — сами лежат на одной окружности I. I(c)=d, I(a)=a. Обратите внимание — таким образом мы сумели определить симметрию I, используя всего три точки: a, c, d.

А теперь соединились не только точки a и b, но и точки c и d. И все интересующие нас окружности стали касаться S в точках a и c. Точки касания этих окружностей, сами лежат на одной окружности I, которая перпендикулярна им всем.

И на этом рисунке попробуйте найти симметричные точки и области: двух и трехдужники.

Еще два свойства касающихся окружностей:

Почему? Можно мыслить предельный переход: когда-то были точки b и d, две пары точек (a, b) и (с, d) задавали симметрию. Но точка b приблизилась к точке a, точка d тоже приблизилась неотличимо к с. Тогда окружности, проходящие через a и b стали окружностями касающимися S, также и окружности, проходящие через с и d стали касаться S. Теперь пара точек задает симметрию окружностей. Потому, что на самом деле в каждой точке пары скрывается еще одна точка, очень близкая к первой. Обозначим эту симметрию I. Тогда I(e)=h, I(f)=q, I(a)=a, I(b)=b. Из первой теоремы эстетической геометрии следует первое утверждение. Из того, что при симметрии точки, лежащие на окружности переходят в точки, лежащие на окружности — второе.
Можно же не искать “совпавшие точки” а заметить, что симметрия относительно окружности, перпендикулярной S и проходящей через a и c и нужна, для доказательства обоих утверждений.

Теорема о трех пересекающихся окружностях.
Еще одно определение симметрии между окружностями.

ТЕОРЕМА позволяет по трем пересекающимся окружностям определить одну симметрию. Произвольной точке х симметрична точка пересечения двух окружностей, одна из которых проходит через одну пару точек пересечения данных окружностей, а вторая — через другую пару. Но у нас три пары точек пересечения, а для этого построения надо выбрать две пары. Как выбрать? ТЕОРЕМА гарантирует, что это не имеет значения — результат (симметричная x точка y) будет тем же самым.
На рисунке точки одного цвета симметричны друг другу, I(x)=y.
Точки пересечения окружностей между собой меняются местами, отсюда, по основному свойству перпендикулярных окружностей: I(A)=A, I(B)=B, I(C)=C. Симметрия I может быть и определена, как такая симметрия, при которой все три окружности А, В, С — переходят в себя, неподвижны.

Присмотримся: мы видим цветные участки плоскости, ограниченные двумя, тремя или четыремя дугами. На правом рисунке «трехдужники» симметричны другим трехдужникам, оранжевые — оранжевые, белые — белым. Верхние «паруса» переворачиваются, и чем выше парус, тем ниже симметричный ему трехдужник. А области, ограниченные двумя или четыремя дугами — остаются на месте. Это означает, что точке, лежащей внутри какого-нибудь цветного двухдужника или четырехдужника, симметрична точка, тоже лежащая внутри этого же двухдужника (или четырехдужника).
Какие точки при этой симметрии I остаются неподвижны (симметричны сами себе)? Понять помогают теоремы о касающихся окружностях, показанные ранее.

Другое расположение исходных пересекающихся окружностей A, B, C.

На первом рисунке точки пересечения А и В лежали по одну сторону от С. Ранее мы назвали три такие окружности окружностями Лобачевского. Теперь рассмотрим случай, когда окружность С разделяет точки пересечения А и В. Такие три окружности названы Римановыми окружностями. Теорема о трех окружностях верна и в этом случае. Но свойства симметрии, определенной такими тремя окружностями — резко отличаются. В этом случае пара точек пересечения одной окружности также обязательно разделяет любую другую пару точек пересечения. У симметрии I между окружностями, определенной тремя окружностями Римана нет неподвижных точек. Подобная симметрия появилась первый раз, когда мы изучали симметрию, определенную семейством окружностей-обручей. Неподвижных точек нет, потому что любые две окружности, одна из которых проходит через пару точек пересечения А и В, а вторая — через пару точек пересечения В и С — пересекаются. Точки пересечения этих двух окружностей и будут симметричны друг другу: I(x)=y, все точки одного цвета симметричны друг другу.

Из верхнего чертежа, как и в прошлом случае — мы извлекли рисунок. Он сильно отличается от предыдущего, хотя и получен тем же способом. Теперь все непрерывные области плоскости ограничены ровно тремя дугами, и проследить симметричные друг другу трехдужники сложнее, чем в прошлый раз. Попробуйте это сделать хотя бы для пары областей.

Хотя теорема о трех окружностях формулируется для плоскости, проще и изящней всего ее
СТЕРЕОДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Вспомним, что три сферы в общем случае пересекаются в двух точках: две сферы пересекаются по окружности, а сфера с окружностью — в двух точках. Проведем сферу Хa через точку Х и окружность А, сферу Хb через точку Х и окружность В, сферу Хс через точку Х и окружность С. Окружность, проведенная через Х и пару точек пересечения окружностей А и В будет линией пересечения сфер Ха и Хв. Окружность, проведенная через Х и пару точек пересечения окружностей В и С будет линией пересечения сфер Хв и Хс. По условию, точка Y лежит на пересечении этих двух окружностей. Но точки пересечения этих двух окружностей есть пересечение всех трех проведенных нами сфер: Ха, Хв, Хс. Точки Х и Y по условию лежат на пересечении этих окружностей, следовательно — они есть точки пересечения этих трех сфер. Окружность, проходящая через Х и пару точек пересечения окружностей А и С есть линия пересечения Ха и Хс, и пара точек пересечения этих трех сфер обязательно лежит на ней. Что и требовалось доказать. В плоском же случае сфера все три сферы Ха, Хв, Хс совпадают между собой, поэтому доказательство не работает.

Мы рассмотрели два случая расположения исходных пересекающихся окружностей. Осталась третья возможность: все три исходные окружности А, В, С пересекаются в одной точке. Ранее такой случай расположения окружностей был назван Евклидовым. В этом случае теорема о трех окружностях также верна, но она становится бессодержательной. Почему?
А определяют ли три Евклидовых окружности какую-либо симметрию? Выполнить построение, аналогичное предыдущим случаям увидим, что всякой точке плоскости соответствует одна и та же точка: точка пересечения всех трех окружностей. При таком отображении вся плоскость как бы стягивается или засовывается в эту точку. Но если мы будем считать, что точка есть очень маленькая окружность, что точку можно «раскрыть» или «развернуть» (так поступают в анализе, когда у точки обнаруживают «бесконечно-малую окрестность») — то мы можем полагать, что имеем дело с отображением всей плоскости в бесконечно малую окрестность точки, и обратно: этой малой окрестности во всю оставшуюся плоскость.

Конец первой части.

Трехокружник как треугольник.

В геометрии Евклида изучается треугольник: фигуру, образованную тремя пересекающимися прямыми. В геометрии окружности подобную фигуру образуют три пересекающиеся окружности. Назовем эту фигуру трехокружником, окружности, образующие трехокружник можно называть сторонами, а пары точек их пересечения — вершинами трехокружника.

Сразу видно, какие точки лежат внутри треугольника, а какие вне. Про трехокружник этого не скажешь.
Трехокружник задает симметрию окружностей между собой (это было показано в пред. разделе). А треугольник никакой симметрии не задает.

Присмотримся: на какие части и как разделяет плоскость трекохружник.

Трехокружник, образованный тремя римановыми окружностями:

Плоскость разделена на 8 областей. Каждая из них ограничена тремя дугами (одна из областей простирается неограниченно). При симметрии, определенной исходными окружностями, точки, лежащие в одном трехдужнике переходят в точки трехдужника, не имеющего с первым общих точек (не граничащий с ним, не имеющий общих вершин). эти трехдужники имеют разный цвет на рисунке. Например, внутренний синий трехдужник симметричен внешней белой области.
Точки внутри одного трехдужника можно отличить от точек другого трехдужника по окружностям, в которых эти точки лежат.

Трехокружники, образованные тремя окружностями Лобачевского могут выглядеть по-разному.

Трехокружник Лобачевского также как и трехокружник Римана, разделяет плоскость на восемь областей. Но эти области устроены по-другому. Некоторые ограничены двумя дугами, другие — тремя или четыремя. Точки, лежащие внутри области, ограниченной двумя или четыремы дугами, симметричны точкам внутри той же самой области. А трехдужники — симметричны друг другу. Обратите внимание, на нижнем рисунке точки внутри маленького белого трехдужника в центре симметричны точкам неограниченной внешней белой области. Заметим, и точки центрального трехдужника, и точки неограниченной внешней белой области лежат ВНЕ всех окружностей. Или: ни одна окружность среди трех исходных не разделяет точки внутри этих областей друг от друга.

Какой случай расположения трех пересекающихся окружностей не был рассмотрен?
Биссектрисы и высоты трехокружника. Определения.

Перпендикуляр (или высота) треугольника определяется как прямая,проходящая через одну из вершин треугольника и перпендикулярная противоположной стороне треугольника. Аналогично определяется высота (или перпендикуляр) трехокружника:
Перпендикуляром трехокружника называется окружность, проходящая через одну из вершин трехокружника и перпендикулярная противоположной стороне.

Вершина трехокружника это — пара точек. Чтобы провести через нее перпендикуляр достаточно отразить симметрично одну из этих точек относительно А и провести через три эти точки окружность. Она, по основному свойству перпендикулярных окружностей и будет искомым перпендикуляром на А.

Биссетрисой треугольника называется биссектриса его угла. Между двумя прямыми есть два угла (основной и дополнительный), поэтому у двух прямых — две биссектрисы. Биссектрисой треугольника называют обычно ту биссектрису его сторон, которая проходит внутри треугольника.
Не ясно, что называть внутренностью трехокружника. Поэтому биссектрисой трехокружника называют ОБЕ биссектрисы между двумя его сторонами.

Теорема о высотах трехокружника.

Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Аналогичная теорема есть и про высоты трехокружника.

Мы видим, что три перпендикуляра трехокружника пересекаются в двух точках. Это естественно: вершина треугольника — одна точка, а вершина трехокружника — пара точек. Сформулируем иначе: окружность, проведенная через вершину трехокружника, и через пару точек пересечения двух перпендикуляров этого трехокружника, сама является перпендикуляром трехокружника. Что можно сказать о двух точках пересечения перпендикуляров? Они симметричны друг другу при симметрии I, определенной трехокружником A, B, C. Точки одного цвета на рисунке (пары точек пересечения окружностей) — также симметричны друг другу при I.

Есть существенное отличие геометрии трехокружника от геометрии треугольника. Перпендикуляры трехокружника Лобачевского могут не иметь общих точек. Перпендикуляры (и не только перпендикуляры) трехокружника Римана — пересекаются всегда.

В общем случае теорема о перпендикулярах трехокружника звучит кратко: три перпендикуляра трехокружника всегда лежат в одном пучке. Но мы еще не ввели понятие пучка окружностей. Поэтому сформулируем так: если два перпендикуляра трехокружника имеют общие точки, то третий перпендикуляр всегда проходит через их общие точки. Отсюда следует, что если два перпендикуляра не пересекаются, то и третий не пересекается ни с одним из них.
В геометрии окружности реализуются промежуточные случаи. Если возможно, что перпендикуляры пересекаются, и возможно, что они не имеют общих точек,то возможно и то, что они касаются.
Теорема о перпендикулярах треугольника оказывается частным случаем теоремы о перпендикулярах трехокружника.

Не так-то просто среди «птиц», получившихся из перпендикуляров риманова трехокружника, найти сами перпендикуляры и три исходные окружности.

А в случае трехокружника Лобачевского мы сразу видим трехдужник и криволинейные перпендикуляры в нем. Точнее — мы видим два симметричных трехдужника.

Маленький трехдужник, образованный тремя исходными окружностями Лобачевского очень похож на треугольник, а окружности-перпендикуляры на прямые. Это происходит от того, что все окружности на рисунке велики, а вторая точка пересечения перпендикуляров находится далеко. А чему будет симметричен этот маленький трехдужник (при симметрии, определенной исходным трехокружником)? Как, примерно, пройдет неподвижная окружность этой симметрии?

Теорема о биссектрисах (серединных окружностях) трехокружника.

Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Аналогичная теорема есть и про биссектрисы трехокружника. Поскольку у двух сторон трехокружника — две биссектрисы (всего у трехокружника 6 биссектрис), то придется немного уточнять. Теорема звучит так: возьмем две биссектрисы трехокружника, проходящие через разные его вершины. Среди двух биссектрис, проходящих через оставшуюся вершину, одна обязательно лежит в том же пучке, что и две, выбранные ранее. Определение пучка еще не дано. Переформулируем так: если две биссектрисы (выходящие из разных вершин) имеют общие точки, то одна из двух биссектрис, проходящих через оставшуюся вершину обязательно проходит через все эти точки. В трехокружнике Римана биссектрисы обязательно пересекаются.

В этом и следующем рисунке попробуйте найти исходный трехокружник и его биссектрисы. А какие области симметричны каким (при симметрии определенной исходным трехокружником)? Если ли у этой симметрии неподвижные точки?

Здесь найти симметричные области проще. Можно примерно представить, как проходит окружность точек, неподвижных при симметри, определенной трехокружником Лобачевского. В центре просматривается симпатичная рыбка. Куда она переходит при симметрии?

Как доказываются эти теоремы? Обсудим теорему о биссектрисах трехокружника, используя аналогию с доказательством теоремы про пересечение трех биссектрис треугольника. Простейшее доказательство использует определение биссектрисы как геометрического места точек, равноудаленных от двух прямых. Отсюда следует, что точка пересечения двух биссектрис треугольника равноудалена от всех трех сторон треугольника. Поэтому она лежит на третьей биссектрисе треугольника.
Биссектриса между окружностями не является геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных окружностей. В геометрии окружности вообще невозможно определить расстояние между точкой и окружностью и расстояние между двумя точками. Но можно определить аналог расстояния между парой точек и окружностью и расстояние между двумя парами точек. В общем случае это будет комплексное число. Это позволяет доказать теорему о пересечении биссектрис почти также просто, как доказывается она для треугольника. Но здесь мы не будем это делать. Мы воспользуемся другим свойством биссектрисы между двумя окружностями.
Между окружностями можно наглядно определить угол: между касающимися окружностями он — нулевой, между перпендикулярными — 90 градусов. В общем случае — углом между окружностями называют угол между касательными прямыми к ним в точке их пересечения. Мы можем считать, что угол между окружностями дан нам аксиоматически и не думать о касающихся прямых. Важно, что угол между симметричными окружностями — один и тот же, иными словами: угол между двумя окружностями не изменится, если их симметрично отобразить. Точно также не меняется и угол между прямыми после симметрии в геометрии Евклида.
Ранее мы рассматривали окружности, касающиеся две данные окружности. Это — частный случай изогональных (равноугольных) окружностей. Окружность образующая с двумя данными окружностями одинаковые углы — называется изогональной к ним. Две пересекающиеся окружности и изогональная к ним окружность, аналогичны равнобедренному треугольнику: его бедрам и основанию. Биссектриса равнобедренного треугольника перпендикулярна его основанию. Точно также биссектриса двух окружностей перпендикулярна любой окружности, изогональной к ним. Точнее говоря, изогональные окружности распадаются на два семейства, как это было в частном случае касающихся окружностей. Каждому семейству изгональных окружностей перпендикулярна одна из двух биссектрис между двумя пересекающимися окружностями. Это мы оставим без доказательства.
Теперь докажем теорему о биссектрисах трехокружника. Выберем две какие-либо его биссектрисы, проходящие через две различные вершины трехокружника. Окружности перпендикулярные обеим выбранным биссектрисам — изогональны ко всем трем сторонам трехокружника. Следовательно, они перпендикулярны и одной из биссектрис, проходящей через оставшуюся вершину трехокружника. Выберем эту биссектрису. Мы доказали, что всякая окружность, перпендикулярная первым двум биссектрисам перпендикулярная и ей. Отсюда легко следует, что если две первые биссектрисы пересекаются, то последняя — обязательно проходит через точки их пересечения, а если первые биссектрисы касаются, то последняя — также касается их в той же точке. И если две первые биссектрисы не имеют общих точек, то и третья биссектриса не имеет общих точек ни с одной из них. Что и требовалось доказать. На самом деле, сейчас была доказана именно общая формулировка теоремы о биссектрисах трехокружника, потому что пучок окружностей как раз и обладает свойством: если окружность перпендикулярна двум окружностям пучка, то она ортогональна всем его окружностям. Но мы забежали далеко вперед. В дальнейшем мы не будем пользоваться ни изогональными окружностями, ни теоремой о биссектрисах. А свойств пучка окружностей коснемся не один раз.

Мы видим, что свойства трехокружника аналогичны свойствам треугольника. Какие еще свойства треугольника удобно переносятся на трехокружник? Третья «замечательная» линия треугольника это — медиана. Можно определить и медиану трехокружника. Для этого надо осмыслить медиану треугольника в терминах симметрии. Ведь в геометрии окружности именно симметрия наш основной инструмент. Для построения медианы треугольника нам надо выбрать точку, лежащую посередине между двумя его вершинами и провести прямую через эту точку и третью вершину треугольника. Что означает «точка, лежащая посередине между двумя другими» в терминах симметрии? Точку, относительно которой две другие симметричны. Эту формулировку можно приспособить к трехокружнику. В геометрии окружности можно определить симметрию относительно пары точек, это будет сделано позже, такую симметрию мы назовем биплетной симметрией. Итак, нам надо найти такую пару точек, относительно которой симметричны две вершины (каждая из вершин — пара точек, не забываем). Такая пара точек существует и обязательно лежит на той же окружности, на которой лежат выбранные вершины. Более того, найденная пара точек обязательно лежит на одной окружности с парой точек, образующей третью вершину трехокружника. Эта окружность и называется медианой трехокружника. Про медианы трехокружника есть теорема, аналогичная теоремам о высотах и биссектрисах.
Треугольник связан с двумя окружностями: вписанной и описанной. Можно ли перенести эти понятия на трехокружник? С некоторой осторожностью — можно. Начнем с описанной окружности. Она проходит через вершины треугольника. Вершина трехокружника — пара точек. Все три вершины трехокружника (6 точек) просто по построению не лежат на одной окружности. Но, мы можем выбрать из каждой вершины трехокружника по одной точке. Всего получится 3 точки, через них можно провести единственную окружность. Выбрать три точки таким образом можно восемью способами, всего мы получаем 8 окружностей, претендующих на то, что они являются «окружностями, описанным вокруг трехокружника». Они нам пригодятся позднее. Если же мы рассматриваем не трехокружники, а трехдужники (которые мы видели на цветных рисунках) — то окружность, описанная вокруг трехдужника определяется однозначно. Проследите это по рисункам. Кстати, и биссектриса трехдужника определяется однозначно (биссектрисой трехдужника мы называем биссектрисы, проходящие через этот трехдужник).
Окружность, вписанную в трехокружник определить проще. Это такая окружность, которая касается всех сторон трехокружника. Ее проще определить, но как ее построить? И сколько таких окружностей? Об этом мы скоро расскажем.

6 биссектрис малинового трехокружника Римана группируются на 4 тройки биссектрис, пересекающихся в двух точках. Каждая точка пересечения лежит в своей непрерывной области (трехдужнике). В симметричном трехдужнике лежит вторая точка пересечения тех же биссектрис. Нам «мешали» лишние биссектрисы сформулировать теорему об их точках пересечения. Но когда мы видим сразу все биссектрисы, ясно — «лишних» биссектрис нет.

6 биссектрис трехокружника Лобачевского также группируются на тройки биссектрис. Одна тройка биссектрис не пересекается. Эти три биссектрисы лежат в одном пучке. Внутри четырехдужников лежат по две точки пересечения биссектрис, внутри трехдужников — по одной. Разумеется, на этом и предыдущем рисунке каждая биссектриса входит в несколько троек, иначе бы шести биссектрис хватило бы всего на две тройки.

Попробуйте в этом «витраже» найти три римановы окружности и 6 их биссектрис. Указать несколько симметричных фрагментов.

Тоже самое для случая Лобачевского.

Видны две пары симпатичных ног и даже торс. Голову и руки надо пририсовывать.

Древнегреческий математик Аполлоний Пергский поставил задачу о построении окружности, касающейся трех данных. Если данные окружности пересекаются между собой, то они образуют трехокружник и искомую окружность можно назвать окружностью, вписанной в трехокружник. Решим задачу, по аналогии с задачей о построении окружности, вписанной в треугольник. Чтобы найти центр такой окружности, надо провести биссектрисы треугольника, точка их пересечения и будет центром вписанной окружности. В геометрии окружности центр — неизвестное понятие. Чтобы приспособить решение к трехокружнику, мы найдем точки касания вписанной окружности со сторонами. Для этого мы опустим перпендикуляры из точки пересечения биссектрис на стороны треугольника. Точка пересечения стороны с опущенным на нее перпендикуляром — лежит на вписанной окружности, тем самым мы находим три точки искомой окружности. Окружность по трем точкам геометрия окружности строить умеет. Это рассуждение без помех переносится на трехокружник. Мы разберем случай риманова трехокружника.

Риманов трехокружник разбивает плоскость на 8 частей. В каждой из них можно постоить окружность, касающуюся сторон трехокружника. В каждой такой области на рисунке есть цветная точка. Это — точки пересечения шести биссектрис, которые были на рисунке о гармонии. Выберем какую-нибудь область из 8. Проведем биссектрисы трехокружника, проходящие через эту область. На риснуке это область, где лежит красная точка p. По теореме о биссектрисах все три выбранные биссектрисы пересекутся в двух точках p и q. Из этих точек проведем окружности перпендикулярные сторонам трехокружника А, В, С и отметим точки пересения стороны с опущенным на нее перпендикуляром (в отличие от треугольника, таких точек сейчас по две на каждой стороне)

Упростим чертеж, удалив с него биссектрисы и раскрасив каждый перпендикуляр в свой цвет, чтобы легко видеть точки его пересечения со стороной, на которую он опущен.

Мы имеем три пары точек пересечения. Выберем из каждой пары ту точку, которая лежит на границе выбранной ранее области. Через три выбранные точки проведем окружность. Она и будет искомой. Через три невыбранные точки можно также провести окружность. Она также касается трех исходных окружностей A, B, C. Эта окружность лежит в области, симметричной выбранной области (при симетрии относительно трехокружника А, В, С).

Выполним такое построение для всех областей (его нужно выполнять не 8 раз, а всего 4, т.к. каждый раз мы будем получать сразу две окружности, симметричные относительно симметрии трехокружника А, В, С). Раскрасим полученные окружности. Круги одного цвета симметричны друг другу, а белесая окружность симметрична внешней белой области.
Двухцветная раскраска хорошо показывает динамику.

Как доказать, что построение дает нужный результат? Вернемся к рисунку, где есть и три биссектрисы F, G, H, и опущенные из пары точек их пересечения p и q перпендикуляры L, M, K. F(A)=B. При симметрии относительно F, точки p и q неподвижны (т.к. лежат на F). Поэтому L, перпендикуляр на А, опущенный из p и q будет симметричен K, перпендикуляру, опущенному на B. Поэтому пара точек пересечения L и A симметрична паре точек пересечения K и B (зеленые точки симметричны оранжевым относительно F) Какая именно зеленая точка из двух симметрична какой именно оранжевой? Симметричны точки, лежащие на границе выбранной нами области.
Поэтому, всякая окружность, проходящая через выбранные зеленые и оранжевые точки перпендикулярна F (по основному свойству). Аналогичное рассуждение можно провести и для биссектрис G и H. Отсюда следует, что окружность, проходящая через три выбранные нами точки — перпендикулярна всем трем биссектрисам F, G, H. А отсюда следует, что проведенная окружность перпендикулярна и всем трем перпендикулярам K, L, M (т.к. все эти перпендикуляры проходят через p и q — точки пересечения F, G, H). А отсюда, по перпендикулярно-касательному признаку следует, что проведенная окружность касается А, В, С. Что и требовалось доказать.

Аналогичное построение действует и для случая, когда три исходные малиновые окружности A, B, C — окружности Лобачевского.

Но в этом случае есть важные отличия. Получается 8 окружностей, как и в прошлом случае, но расположены они несколько иначе. Но, как и в прошлом случае — найденные окружности симметричны друг другу при симметрии трехокружника. Сравните рисунок с чертежом всех 6 биссектрис трехокружника Лобачевского.
Самое важное отличие: мы видели, что биссектрисы трехокружника Лобачевского могут не пересекаться. И как тогда провести окружности, перпендикулярные сторонам трехокружника из отсутствующих точек пересечения? Никак не провести. Но можно провести окружность, лежащую в том же самом пучке, что и три непересекающиеся биссектрисы и перпендикулярную стороне трехокружника. Точки ее пересечения со стороной и будут искомыми точками касания. Определение пучка окружностей будет в третьей части.

Мы научились строить окружности, вписанные в трехокружник А, В, С. А если А, В С — не образуют трехокружник, не пересекаются между собой? Нужно применить тот же самый метод: провести биссектрисы, опустить перпендикуляры из точек пересечения биссектрис, выбрать из пар точек пересечения перпендикуляров со сторонами по точке и провести окружность через три выбранные точки. Она и будет искомой. В общем случае получается 8 окружностей, касающихся трех данных. Но тут есть много тонкостей. Например, если А и В не имеют общих точек, то между ними есть одна биссектриса. Есть между ними еще и симметрия, у которой нет неподвижных точек. Но как такую симметрию использовать для нашего построения? Для этого надо расширить понятия пучка и включать в пучок не только окружности, но и симметрии, при которых нет неподвижных точек. Но это мы забегаем слишком далеко вперед.
А при каком расположении А, В, С — нет ни одной окружности, касающейся их всех? А при каком — таких окружностей бесконечно много?

Три сокасающиеся окружности и три их биссектрисы.

Применим изложенный метод к интересному случаю: найдем окружность, касающуюся трех, которые сами уже касаются друг друга. Три такие окружности A, B, C строго говоря нельзя называть трехокружником, т.к. они касаются, а не пересекаются. Но мы — назовем. Что считать вершиной такого трехокружника? Вершина трехокружника это — пара точек, а здесь есть всего ода точка на эту роль, точка касания. Что такое вершина пока не ясно, а биссектрису и высоту в этом случае легко определить по аналогии. Биссектриса, как обычно — окружность, относительно которой две стороны трехокружника симметричны. Между двумя касающимися окружностями есть всего одна симметрия, меняющая их местами. Так что у такого трехокружника всего три биссектрисы, как и у треугольника. Биссектриса проходит через одну из точек касания окружностей и меняет местами две оставшиеся точки касания. Высотой такого трехокружника естественно назвать окружность, перпендикулярную одной из окружностей А, В, С, проходящую через точку касания двух других и касающуюся двух других в этой точке. Высота лежит в одном пучке с ними.

Трехокружник А, В, С напоминает равноугольный треугольник. Ведь углы между касающимися окружностями равны между собой и равны нулю. Среди трехокружников много равноугольных — например трехокружник из трех взаимоперпендикулярных окружностей тоже — равноугольный. Прежде, чем применять метод, заметим: в нашем трехокружнике высота совпадает с биссектрисой, как происходит и в равнобедренном треугольнике (и тем более в равностороннем). Это доказыается просто: биссектриса или серединная окружность к А и В перпендикулярна окружности С, касающейся одновременно их обеих. Это сильно упрощает метод. Достаточно просто провести три биссектрисы трехокружника А, В, С и взять точки их пересечения со сторонами, лежащие во внутренней области. Через три выбранные точки проведем окружность. Она и будет искомой. Окружность, проведенная через три оставшиеся точки касается трехокружника А, В, С извне. Доказательство нетрудно. Достаточно заметить, что, например, F меняет местами на только окружности А и В, но и точки пересечения этих окружностей с опущенными на А и В высотами. Отсюда следует, что проведенная малиновая окружность перпендикулярна F, G, H и потому — касается А, B, С.

Результат:

Первая медитация о тройственной симметрии.

Тройная симметрия возникает при рассмотрении симметрий, относительно биссектрис А, В, С. Каждая такая симметрия меняет местами две окружности и точки касания, а одну окружность и одну точку касания оставляет неподвижной. Что будет, если последовательно применять симметрии: вначале относительно одной биссектрисы, затем относительно другой? Точки касания будут меняться местами, их можно переставить в каком угодно порядке. Сами биссектрисы — симметричны друг относительно друга, они являются образующими в группе перестановок трех элементов. Подробней об этом — в третьей части.

Моделирование геометрий трехокружником.

Симметрия трехокружника.

Каждый не Евклидов трехокружник А, В, С определяет симметрию окружностей I. Эту симметрию можно определить, используя любые две пары точек пересечения окружностей А, В и С, т.к. две пары точек, лежащих на одной окружности, также определяют симметрию. Можно выбирать эти пары точек по разному: пары точек пересечения А с В и С или В с С и А, или С с В и А. Симметрия при этом определяется одна и таже, что гарантирует теорема о трех пересекающихся окружностях. Свойства этой симметрии определяются тем, каков исходный трехокружник. В первую очередь изучая любую симметрию, интересно узнать есть ли у нее неподвижные точки.

Образом точки v при симметрии I будет вторая точка пересечения окружностей, проходящих через v и пары точек перечения трех окружностей (вершин трехокружника). Если проведенные окружности касаются друг друга в точке v, то I(v)=v, v — неподвижная точка (точки пересечения совпадают друг с другом). Можно сформулировать добавление к теореме о трех окружностях: если две окружности, проведенные через произвольную точку v и две пары точек пересечения трех окружностей касаются друг друга, то окружность, проведенная через v и оставшуюся пару точек пересечения также касается их. Из ч. 1 легко понять, что неподвижные при I точки лежат на одной окружности. Как построить эту окружность неподвижных точек? Для этого надо найти 3 точки, лежащие на ней. В этом нам помогут окружности, построенные на точках пересечения А, В, С между собой, мы уже упоминали о таких окружностях, когда искали аналог «окружности описанной вокруг треугольника» в трехокружнике.

Bыберем из каждой пары точек пересечения по одной точке и проведем через них окружность D. Через оставшиеся точки проведем окружность E. Т.к. при симметрии трехокружника точки в паре пересечения окружностей меняются местами, то I(D)=E. Если две окружности симметричны друг другу, то точки их пересечения (или касания) — остаются неподвижны. Это — интересная лемма, попробуйте доказать ее. Отсюда следует, что точки пересечения E и D — неподвижны при симметрии I.

Двух точек найденных пересечения недостаточно, чтобы определить окружность. Поэтому мы повторим процедуру: выберем из трех пар точек пересечения другие точки, проведем одну окружность через них, а другую — через оставшиеся, обе окружности симметричны относительно I, следовательно точки их пересечения неподвижны при симметрии I. Всего можно выбрать по одной точке из каждой пары точек пересечения (всего пар 3) 8 (2х2х2) способами, каждая выборка позволяет провести окружность через выбранные точки. На чертеже эти окружности показаны пунктиром. Получившиеся окружности разбиваются на 4 пары симметричных друг другу окружностей. Заметим, что из этих четырех пар одна пара окружностей может не пересекаться. А три пары — обязательно пересекаются. Это можно доказать, рассматривая какие пары точек разделяют друг друга. Таким образом мы получаем 6 неподвижных точек. Для построения окружности неподвижных точек достаточно каких-то трех из них. То, что все полученные описанным образом 6 точек лежат на одной окружности можно сформулировать как новую теорему о трехокружнике Лобачевского. Проведенная окружность I — перпендикулярна всем трем исходным окружностям A, B,C.

На рисунке хорошо видна окружность I. А вот найти исходные окружности A, B, C — не очень просто.

Мы смогли построить окружность, перпендикулярную трем окружностям Лобачевского, причем в ходе построения мы пользовались лишь двумя приемами: находили точки пересечения окружностей и проводили окружность через три точки. В этом проявилось очень важное отличие геометрии окружности от геометрии прямых. В рамках геометрии прямых НЕВОЗМОЖНО выполнить подобное построение. Мы не можем провести прямую, перпендикулярную данной, какие бы вспомогательные прямые мы не проводили через точки пересечения других прямых. Свойство прямых «быть перпендикулярными» НЕВОЗМОЖНО описать через свойства прямых, связанные только со свойствами точек пересечения прямых (афинными свойствами). Чтобы построить перпендикулярные прямые — нам недостаточно одной линейки, нам понадобится и угольник. А, проводя одни окружности через точки пересечения других, мы только что определили перпендикулярные окружности.
Трехокружник Римана.

У симметрии, определенной трехокружником Римана не может быть неподвижных точек. Потому что любые две окружности, проходящие через пары точек пересечения риманова трехокружника (вершины трехокружника) — пересекаются. А неподвижная точка появляется, только если эти эти окружности касаются.

Поэтому любые две окружности, построенные описанным ранее способом на точках пересечения исходных А, В, С — не пересекаются. Если бы они пересеклись — точки их пересечения были бы неподвижны при симметрии I, а неподвижных точек быть не может.

Более того, если I — симметрия риманова трехокружника, то никакие две симметричные окружности не могут пересекаться между собой: X и I(X) не могут имть общих точек, какова бы ни была окружность X (за одним исключением I(X)=X). Ведь если бы такие точки нашлись, то они были бы неподвижны при I, а неподвижных точек у I нет. Есть и другое интересное свойство у симметрии риманова трехокружника: если какая-то окружность Х неподвижна под действием I (то самое исключение X=I(X)), то точки, симметричные друг другу относительно I всегда лежат по разные стороны от X. Например: каждая окружность из трех исходных A, B, C разделяет точки пересечения двух других. В случае трехокружника Лобачевского дело обстоит противоположным образом: окружность, переходящая в себя при симметрии I (перпендикулярная I окружность) никогда не разделяет пару симметричных относительно I точек. Мы сталкивались с этим при осбуждении свойств семейств окружностей и пар точек, порожденных трехокружником.
4 взаимокасающиеся и 3 взаимоперпендикулярные окружности.
Великолепная шестерка точек.

Когда видишь три окружности A, B, C, касающиеся друг друга, то рука тянется дорисовать четвертую D, касающуюся их всех. Обычно хочется поместить ее внутрь, внешнюю окружность, охватывающую их всех часто и не замечаешь. Как построить такую окружность мы уже разобрали. Теперь мы изучим свойства точек касания четырех взаимокасающихся окружностей. Сколько их: можно просто подсчитать на рисунке — 6. А можно воспользоваться комбинаторикой: любые две окружности касаются друг друга в одной точке, всего пар окружностей 4*3/2=6. Кстати, можно построить 5 взаимокасающихся сфер, точек их касания — 5*4/2=10.
Обозначим каждую точку касания двумя буквами: ab, ac, ad, bc,bd, cd. Каждая буква в названии точки означает одну из двух касающихся в этой точке окружностей. У этих шести точек много интереснейших свойств, они пронизаны двойной, тройной и четверной симметриями, они определяют соотношение, называемое в геометрии «гармоническим соотношением», их с полным основанием следует называть ВЕЛИКОЛЕПНОЙ ШЕСТЕРКОЙ ТОЧЕК. Здесь мы видим, открывающуюся в этой шестерке точек, четверку новых окружностей.

Если мы сгруппируем эти шесть точек иначе, то получим другую четверку окружностей P, Q, S, T, касающихся друг друга и проходящую через те же самые шесть точек. Докажем, например, что окружности S и P касаются друг друга. Для этого покажем, что они обе перпендикулярны окружности А. Окружность S проходит через точки касания А, В, С, следовательно она перпендикулярна им всем, в том числе и А. Окружность Р проходит через точки касания A, C, D, следовательно она тоже перпендикулярна А. По построению P и S обе проходят через точку AC, из перпендикулярно-касательного признака следует, что P и S касаются друг друга в этой точке (т.к. они перпендикулярны одной и той же окружности А). Аналогично доказывается, что и другие построенные окружности касаются друг друга. Четыре построенные взаимокасающиеся окружности P, Q, S, T называются дополнительными к исходным окружностям A, B, C, D. Легко видеть, что окружности дополнительные к дополнительным — это исходные окружности.

Вторая медитация о тройственной гармонии

Хотя мы видим тройственную гармонию, в ней участвуют четверки взаимокасающихся окружностей и потому здесь присутствует не только тройная, но и четверная симметрия. Есть и двойная симметрия — она обеспечивает переход от одной четверки взаимокасающихся окружностей к дополнительной. Как проследить эту симметрию?

Мы группируем точки великолепной шестерки еще раз и обнаруживаем, что через них можно провести 3 окружности так, чтобы на каждой окружности было по четыре точки из шести. Проведенные окружности F, G, H все обязательно перпендикулярны друг другу.
Докажем, что, например, точки ac, bd, cd, ab — лежат на одной окружности. Для это рассмотрим пару окружностей В и С. Окружности A и D — касаются их обеих. Следовательно, точки касания А и D с B и С — сами лежат на одной окружности (перпендикулярной биссектрисе А и D) по теореме о касающихся друг друга по цепочке окружностях.

Рассмотрим трехокружник F, G, H. Он определяет симметрию окружностей, при которой точки пересечения F, G, H между собой меняются местами, а сами окружности F, G, H — переходят в себя. При этом четыре исходные взаимокасающиеся окружности переходят в дополнительные к ним окружности
Как доказать, что например G и F перпендикулярны? Для этого, по основному свойству перпендикулярных окружностей, достаточно доказать, что G(ab)=bd. Воспользуемся теоремой о разбиении четырех точек на пары тремя способами (ч.1) и найдем образ точки ab при симметрии относительно G. Четыре, нужные для теоремы точки — ac, ad, cd, bc. Попробуйте проследить это, используя метод «путешествия по парам окружности» указанной теоремы.

Третья медитация о тройственной симметрии.

Великолепная шестерка точек была определена как шестерка точек касания четырех окружностей. Мы видим, что ее же можно определить через три взаимоперпендикулярные окружности. Это шесть точек пересечения их всех между собой. Для построения великолепной шестерки удобней пользоваться именно этим определением: перпендикулярные окружности построить проще, чем касающиеся. Если нам надо построить 4 взаимокасательные окружности также удобней вначале построить 3 взаимоперпендикулярные, сгруппировать нужным образом точки их пересечения и провести через них окружности, которые и будут искомыми.

Задачи на построение в геометрии окружности.

Древние греки считали задачу на построение решенной, если искомое удавалось построить с помощью циркуля и линейки. Кстати, все, что можно построить с помощью циркуля и линейки можно построить и без линейки, одним циркулем. Хотя это не всегда просто: даже найти центр данной окружности одним циркулем — не тривиальная задача. А с помощью одной линейки (разумеется, речь идет о линейке без делений, линейке, пригодной лишь для проведения прямых) — построить можно немногое. То, что можно изучать с помощью одной линейки называют «афинной геометрией». А чем пользоваться в эстетической геометрии или в геометрии окружности?
Геометрия окружности — мир поломанных линеек. Мы не отличаем окружности от прямых. Нет и циркулей — геометрия окружности не знает понятия «центр окружности». Зато мы умеем:
1. Проводить окружности через три точки.
2. Находить точки пересечения двух окружностей.
3. Осуществлять симметрию точки или окружности относительно любой окружности.
Третий пункт надо обсудить. Во-первых, если мы умеем строить симметричные относительно окружности точки, то мы легко можем строить симметричные окружности. Пусть мы хотим найти I(Q) — окружность, симметричную Q относительно I. Возьмем три точки: x, y, z, лежащие на Q, найдем три точки, симметричные им относительно I — I(x), I(y), I(z) и проведем через эти три точки окружность. Она и будет искомой I(Q).
Более того, в теореме о разбиении четырех точек на пары тремя способами указывается способ, как осуществлять симметрию точки относительно окружности умея лишь проводить окружности через три точки и находить точки пересечения окружностей. Можно и не выделять третий пункт: если мы умеем 1 и 2 то мы автоматически умеем и 3. Но тогда описание всех построений станет очень громоздким.
Итак, в геометрии окружности задача на построение считается решенной, если она сводится к последовательности действий, указанных в пунктах 1, 2, 3. Поскольку первые две операции можно выполнить с помощью «эллинских инструментов» — циркуля и линейки, а третью — с помощью первых двух, то всякое построение геометрии окружности можно, при желании выполнить «по-эллински» — циркулем и линейкой.

Построение биссектрис.

Мы использовали биссектрисы для решения самых разных задач. Но про сами биссектрисы мы пока знаем довольно мало. Как их построить? Какие у них свойства? Будем искать биссектрисы между двумя окружностями А и В. Для этого проведем окружность I, перпендикулярную А и В. Пусть она пересекает А в точках s и h, В — в точках f и g. Есть ровно два отображения пары точек (s, h) и (f, g) друг в друга. Обозначим эти отображения W и V. V(s)=f, V(f)=s, V(h)=g, V(g)=h; W(s)=g, W(h)=g, W(h)=f, W(f)=h. Из ч.1 мы знаем, что любые две пары точек, лежащих на одной окружности (в данном случае это окружность I) определяют симметрию окружностей. Следовательно, W и V определяют такие симметрии. Легко видеть, что W(I)=V(I)=I, W(A)=V(A)=B. Последнее равенство и означает, что W и V меняют местами А и В. Поэтому, если у этих отображений есть неподвижные точки, то W и V — являются биссектрисами между А и В. Если же у одного из этих отображений нет неподвижных точек (при каком условии это возможно?), то А и В не могут иметь общих точек. Сейчас мы рассматриваем случай, когда А и В пересекаются.

Мы нашли симметрии, определяемые биссектрисами. Образ каждой точки мы можем найти, использую симметрию двух пар точек. Но как провести сами биссектрисы? Две точки, через которые обе они проходят мы знаем. Это точки пересечения А и В. Поэтому нам достаточно найти еще одну точку, лежащую на биссектрисе: три точки определяют окружность однозначно. Если нам удастся построить окружность, перпендикулярную одной из биссектрис, например биссектрисе V, то мы отобразим относительно построенной окружности известную нам точку, лежащую на V (одну из точек p или q) и проведем через p, q, и новопостроенную точку окружность, она и будет искомой биссектрисой V. Окружностей, перпендикулярных V много, например, это окружности. касающиеся А и В одновременно. Но как их построить? Проще выбрать окружность, проходящую через s и f. V(s)=f, следовательно любая такая окружность перпендикулярна V. Для определенности проведем ее через p. Это окружность К на чертеже. Окружность, проходящая через p, q, K(q) и будет искомой биссектрисой V. Аналогично проведена окружность L ортогональная W и с ее помощью проведена W. W и V перпендикулярны друг другу. Это связано с теоремой о разбиении четырех точек (s, h, f, g) на пары двумя способами, ч.1. Биссектрисы между двумя прямыми также перпендикулярны друг другу.
Почему биссектрис две? Мы получили это, потому что пару точек пересечения окружности I с А, можно отобразить в пару точек пересечения I с B ровно двумя способами. Есть и другое объяснение, оно становится наглядным, если мыслить круги, границами которых являются окружности А и В. При одном отображении А в В внутренность А переходит во внутренность В и внешность А во внешность В, при другом — внутренность А переходит во внешность В и внешность А во внутренность В. Несмотря на логичность этого объяснения — оно неверно. Попробуйте разобраться с тем, как обстоит дело с внутренностью ивнешностью отображаемых окружностей самостоятельно.

Построение позволяет сформулировать интересную теорему про точки s, h, f, g. Окружность, проходящая через s, f, p всегда касается окружности, проходящей через h, g, p. Ведь они обе перпендикулярны V и все три окружности проходят через p (перпендикулярно-касательный признак). Также они касаются и W. Аналогично и окружности, проходящие через s, g, p и f, h, p касаются друг друга и V. Кроме того, мы можем построить окружности через эти четыре точки и вторую точку пересечения А и В — q, соответственные окружности также будут касаться друг друга.

Удобней формулировать эту теорему, используя окружность I, перпендикулярную А и В. Если мы выберем одну точку из пары точек пересечения I c A, одну точку из пары точек пересечения I с B и через выбранные точки и одну из точек пересечения А и В проведем окружность, то она обязательно касается окружности, проведенной через оставшиеся точки пересечения I с А и В и выбранную точку пересечения А и В.

Нужные для теоремы точки s, h, f, g можно получить не проводя окружность I, а рассматривая систему из четырех окружностей, последовательно касающихся А и В. Выберем две точки, лежащие на одной из четырех таких окружностей, и проведем окружность через них и точку пересечения А и В. Затем проведем окружность через оставшиеся две точки касания окружностей системы и выбранную точку пересечения А и В. Эти две окружности обязательно касаются.

Чертеж, содержащий все рассматриваемые окружности получается громоздкий. Но из него можно извлечь интересный рисунок. Попробуйте найти в нем какие-то элементы рассматриваемой теоремы. Окружности I, А и В были удалены, а вот все касающиеся окружности на нем есть.

Мы подробно рассмотрели построение биссектрис для случая пересекающихся А и В и даже получили интересную теорему. Если А и В не имеют общих точек, то пара точек пересечения I с A не разделяет пару точек пересечения I с В. Как разбиралось при определении симметрии двумя парами симметричных точек (ч.1), свойства симметрии зависят от того, разделяет ли одна пара симметричных точек другую. Четыре точки можно разбить на пары тремя способами, и при одном, и только одном способе — пары точек будут разделять друг друга. В данном случае эта возможность обязательно будет реализована в симметрии W или V. Такая симметрия — симметрия «обручей», у нее нет окружности неподвижных точек. Другая же симметрия имеет неподвижные точки, и ее биссектрису можно построить. Мы не пользовались во второй части биссектрисами между окружностями, не имеющими общих точек, поэтому не будем пока разбирать этот случай.
Мы пользовались биссектрисами между касающимися окружностями. В этом случае все наше построение не работает. Окружность I, перпендикулярная касающимся друг друга А и В обязательно проходит через точку их касания. Поэтому среди двух пар точек пересечения есть общая точка — точка касания А и В. Попробуйте разобрать этот случай самостоятельно.

Конец второй части. Револьт Пименов, С-Петербург, 2012, revoltp@mail.ru

Композиция.

В первой части, например при изложении теорем о разбиении 4 точек на пары мы уже пользовались композицией симметрий, сейчас мы будем делать это систематически. Композиция может быть не только у симметрий, а у любый действий, функций, операций, и означает просто их последовательное примение. Скажем композиция четырех операций: зажечь горелку, налить воду в чайник, поставить его на плиту, дождаться кипения, выключить горелку — есть новая операция, назовем ее «вскипятить воду в чайнике». Операцию «налить воду в чайник» также можно представить композицией более простых операций: открыть кран, открыть чайник, поставить чайник под струю воды, закрыть кран, закрыть чайник. В математике композиция применяется постоянно, скажем композиция «икс плюс пять» и «возведение в квадрат» есть функция «икс плюс пять возведенное в квадрат». Обратите внимание: в квадрат возводится не 5, а икс плюс 5.
Именно благодаря применению композиции симметрий относительно окружности геометрия окружности и превращается в эстетическую геометрию. Всмотритесь в мешанину стрелок. Даны окружности S, T, V, I, а изображается, как композиция симметрий относительно них действуют на оранжевые точки: a (слева), k (справа) и круг G.

Не все симметрии окружностей коммутативны. Если S и Т коммутируют, то S*T=T*S. Коммутативность произвольных операций или преобразований означает, что неважно в каком порядке их применять. Обычно важно: насыпать сахар в кофе и затем выпить, или в начале выпить кофе, а потом насыпать сахар — разницу мы сразу почувствуем. А что одеть в начале: рубашку или носки — не имеет значения. Эти две операции коммутируют. Какие симметрии коммутируют между собой? Легко видеть, что симметрии относительно двух перпендикулярных прямых — коммутируют между собой. Композиция симметрий относительно двух перпендикулярных прямых — симметрия относительно точки их пересечения. Коммутируют между собой и композиция симметрий относительно двух перпендикулярных окружностей. Ниже мы это объясним. А сейчас заметим, что если две симметрии S и T коммутируют между собой, то их композиция сама является некоторой симметрией. Ведь если S*T=T*S, то S*T*S*T=e (мы домножили справа на S*T и воспользовались тем, что S*S=T*T=e т.к. все симметрии инволютивны. Обозначим S*T=f. Т.к. S*T*S*T=e, то и (S*T)*(S*T)=e (скобки можно ставить как удобно — ассоциативность!) Мы доказали. что f*f=e, т.е. что композиция двух коммутирующих симметрий обязательно инволютивна т.е. если мы исполним эту композицию второй раз, то вернемся в исходную точку. Поэтому ее и можно назвать симметрией. Но относительно чего? Это мы узнаем позже.

Пусть нам даны две окружности S и A. S(A) — некоторая окружность. Какую симметрию она задает? Как эту симметрию выразить с помощью композиции? Чему равен образ какой-то окружности X при симметрии относительно окружности S(A)? Отразим S(A) и X относительно S. Получим окружности A и S(X). Симметричная S(X) относительно A окружность — A(S(X)). Теперь “вернем чертеж обратно” — еще раз отобразим уже три окружности: А, A(S(X) и S(X) относительно S. Мы получим окружности: S(A), S(A(S(X) и X=S(S(X)). S(X) и A(S(X)) симметричны относительно A, следовательно их образы симметричны относительно образа А. Итак, окружность S(A(S(X))) симметрична Х относительно S(A). Что и требовалось: мы выразили искомую окружность через композицию симметрий. Можно это выразить иначе: S(A)(x)=S(A(S(x))), но левая часть этого равенства выглядит не вполне ясно. Имеется в виду, что мы взяли окружность А, отразили ее от S и затем отразили x относительно полученной окружности. Но самая удобная запись — приведенная на рисунке: S(A)=S*A*S
Мы все время обозначаем симметричную X относительно A окружность как A(X). При этом возникает двусмысленность: А у нас означает и окружность А, и симметрию относительно А. Из контекста ясно, что имеется в виду. В равенстве S(A)=S*A*S в правой части у нас точно стоит некоторая симметрия и S(A) мы также понимаем как симметрию. Когда мы изучали симметрию трехокружника, или симметрию, определенную парой симметричных пар точек — мы знали симметрию и искали множество неподвижных точек. Это множество и было той окружностью, относительно которой проводится симметрия. Мы видели, что бывают симметрии окружностей, у которых нет неподвижных точек. Пусть А — такая симметрия (симметрия, порожденная каким-то римановым трехокружником). В этом случае запись S(A) лишена смысла. А — ведь не какая-то фигура на плоскости, которой может быть симметрична другая какая-то фигура. Но запись S*A*S имеет вполне понятный смысл — это композиция трех симметрий, снова какая-то симметрия.
Пусть у нас есть какая-то совокупность («корзина») преобразований чего-нибудь. Если композиция любых двух преобразований из этой совокупности снова находится в этой совокупности («лежит в той же корзине»), и для любого преобразования из корзины обратное ему преобразование также найдется в корзине — такая совокупность преобразований называется группой. Группа — одно из основных математических понятий. Скажем все числа образуют группу по сложению. Еще они же образуют группу по умножению. Какая в последней фразе неточность? Среди чисел есть ноль, а какой обратный элемент для нуля? Делить на ноль нельзя, потому в «корзине» нет обратного элемента для нуля. Чтобы числа стали группой по умножению надо выбросить ноль из корзины. Вся числа без нуля образуют группу по умножению.
Свяжем понятие группы с нашими симметриями. Положим в корзину все симметрии относительно окружностей. И все композиции симметрий. Тогда то, что лежит в корзине — образует группу. Чтобы в этом убедиться, достаточно научиться находить обратный элемент и убедиться, что он лежит в той же корзине. Что попало в корзину? Все симметрии: А, В, С, D. Симметрия обратна сама себе А*A=e. Что еще есть в корзине? Все композиции,т.е. преобразования вида f=А*B*C. *D. В этой строчке каждая буква обозначает какую-то симметрию, одна и таже буква может использоваться много раз. А вот если две одинаковые буквы стоят рядом — их обе можно выкинуть. Если мы прочитаем строчку с обратной стороны, справа налево — то как раз и получим обратный к f элемент. В самом деле, пусть композиция имеет вид f= A*B*C*A*B*D. Прочитаем справо налево, перевернем строчку и получим композицию g=D*B*A*C*B*A. g*f=(D*B*A*C*B*A)*(A*B*C*A*B*D), из-за ассоциативности мы можем раскрыть скобки, после это стоящие рядом одинаковые буквы сокращаются (из-за инволютивности симметрий). В итоге сокращается все, справа ничего не остается. Что и требовалось. Чтобы обозначать такое преобразование, когда ничего не происходит, все остаются на своих местах мы и ввели символ E или e. Итак: g*f=e, мы построили обратный к f элемент. Поэтому наша корзина, наполненная композициями симметрий является группой. Сами симметрии окружностей называются образующими этой группы. А вся группа называется группой преобразований геометрии окружности.
Мы обнаружили, как по записи элемента f построить обратное ему преобразование. Просто перевернуть запись. А какие элементы сами являются симметриями? Элемент, записанной одной буквой — всегда симметрия. Мы показали ранее, что S*A*S определяет симметрию относительно S(A). Если элемент нашей группы записывается симметрично, т.е. если запись композиции читается одинаково и слева направо и справа налево, то такой элемент сам есть симметрия. Попробуйте доказать это самостоятельно.
Именно эти, несколько абстрактные построения, позволяют уверенно войти в эстетическую геометрию и в дальнейшем понять работу Гармонической Мельницы, создающей изящные рисунки. Отметим важный факт, связанный с определенной только что группой. Пусть f — произвольное преобразование, полученное композицией симметрий и мы знаем, что у f есть три неподвижные точки. Что можно сказать про f? Оказывается, в этом случае f или тождественное преобразование, E при котором ничего не меняется, либо — симметрия относительно окружности, проходящей через эти три неподвижные точки. Другого варианта быть не может. От чего зависит, какой вариант из двух возможных реализуется? Оказывается, это определяется числом симметрий, которые участвуют в композиции f. Если это число четное, то f=e, преобразование f ничего не меняет. А если нечетное, то f — симметрия относительно окружности. проходящей через три неподвижные точки. Мы не будем здесь доказывать этот факт. Попробуйте, напротив, доказать с его помощью теоремы о разбиении четырех точек на пары. Уже на самих чертежах, иллюстрирующих теоремы, возникают композиции преобразований.
Теперь объясним, почему перпендикулярные окружности коммутируют, и как коммутирующие симметрии связаны с перпендикулярными окружностями. A(B)=B — определение перпендикулярности А и В. Но мы видели, что А(В)=А*B*A. Поэтому, если А и В перпендикулярны, то А*B*A=B, домножим это равенство справа (или слева, разницы нет) на A и получим A*B=B*A. что и требовалось. Обратно, если симметрии А и B коммутируют, то А*B=B*A. Домножим это равенство слева или справа на А, получим B=A(B). А если мы домножим равенство на B,то получим, что А=B(A). Мы показали, что если окружности A и B перпендикулярны, то симметрии относительно этих окружностей коммутируют и обратное: если симметрии относительно окружностей коммутируют, то сами окружности перпендикулярны. У нас есть такие симметрии, у которых нет неподвижных точек. Такие симметрии также могут коммутировать с симметриями относительно окружности. Но вот вывод о перпендикулярности отсюда не сделаешь, ведь перпендикулярность это свойство геометрических фигур, а такая симметрия (без неподвижных точек) не связана с какой-то одной геометрической фигурой.

Траектории и пучки окружностей.

Сейчас мы изучаем композицию симметрий относительно двух окружностей S и T. Обозначим композицию симметрий относительно них h, h=S*T. Или, не используя новый знак «*», h(x)=S(T(x)) где x — произвольная точка или окружность. Пока мы будем изучать как действует преобразование h на точки. Проведем из точки x окружность Y, перпендикулярную S и T. h(Y)=S(T(Y))=S(Y)=Y (по определению перпендикулярности T(Y)=S(Y)=Y). Поэтому точки, лежащие на Y под действием преобразования h переходят в точки, снова лежащие на Y. Что происходит, если преобразование h действует постоянно? Мы получаем последовательность точек: x, h(x), h(h(x)), h(h(h(x))). и так далее. Как устроена эта последовательность? Именно с изучения такой последовательности и открываются глубокие связи между эстетикой и геометрией окружности. Пока ясно одно: все точки последовательности лежат на одной окружности Y.
Прежде всего заметим интересное исключение. Если две исходные окружности совпадают, S=T, то h(x)=S(S(x))=x, h=e. В этом случае h — то самое ничего-не-меняющее, тождественное преобразование e. В этом случае под действием h точка x остается на месте и вся последовательность, интересующая нас, состоит только из этой одной точки x. Пусть в исходный момент S и T совпадают, а потом мы немного подвинем T. Ясно, что от этого h(x) также изменится немного, потому, если S и Т близки друг к другу,то x и h(x) — также близки друг к другу. Это — частный случай важного принципа непрерывности. В более общем случае он выглядит так: если мы немного подвинем точку x, то h(x) также подвинется немного, если мы немного изменим преобразование h, то h(x) также изменится немного. Чтобы продвинуться дальше в изучении последовательности точек x, x, h(x), h(h(x)), h(h(h(x))). и так далее, надо рассмотреть три случая: S и T пересекаются, S и T не имеют общих точек, и промежуточный между ними случай: S и T касаются.

Начнем с первого случая: S и T пересекаются. Мы рассматриваем действие преобразования h=S*T на точки a, b, c, d, k. В верхней части рисунка мы видим две точки a и k. Точка k под действием преобразования h двигается так медленно, что k и h(k) почти сливаются, а интересующая нас последовательность точек практически зарисовывает собой окружность. Окружность эта перпендикулярна S и T и, разумеется, проходит через k. Заметим, что k кружится по часовой стрелке. Удобней следить за движением точки a. Все точки изучаемой последовательности лежат на окружности W, проходящей через a и перпендикулярной S и T. Движение нескольких точек показано красными стрелками. Видно, что под действием h точки кружатся по окружности W, причем вдали от окружностей S и T они движутся быстрей, а внутри S и T — медленней. Кружатся точки по часовой стрелке. Обратим внимание: точки пересечения S и T остаются неподвижны: они остаются на месте и при симметрии относительно S и при симметрии относительно T. Если точка x лежит вблизи p (верхней точки пересечения S и T), то точки x, h(x), h(h(x)), h(h(h(x))). все кружатся по окружности маленького радиуса, внутри которой лежит точка P. Если мы удаляем x от p, то радиус «окружности кружения» увеличивается, в какой-то момент эта окружность станет прямой линией.

Теперь мы следим за движением точек b, c, d. Они кружатся, каждая по своей окружности, причем кружатся они против часовой стрелке и внутри окружности кружения (перпендикулярной S и T) теперь лежит другая точка пересечения S и T — точка q. Мы видим, что вся плоскость под действием преобразования h «расслаивается» на линии, которые прорисовывают точки x, h(x), h(h(x)), h(h(h(x))). эти линии не могут пересекаться между собой (подумайте, почему?). Эти линии движения точки х называют траекторией точки x при преобразовании h. В данном случае эти линии устроены просто — это окружности, перпендикулярные S и T одновременно.

Рассмотрим второй случай расположения окружностей S и T, когда они не имеют общих точек. Обратите внимание: хотя рисунок создан исходя из законов плоской геометрии, цветные точки кажутся расположенными объемно: они вылетают, или влетают в одну точку. Самой этой точки на чертеже нет: они бы заслоняла собой другие (или бы была заслонена ими).

На прошлом рисунке у нас были две «особые точки» — точки пересечения S и T. Эти точки оставались неподвижны при действии h, а все остальные кружились вокруг них (но p и q не были центрами этого кружения, как и Солнце не в центре планетарных орбит). Сейчас также есть две особые точки. Как и в прошлом случае, это такие точки x, которые неподвижны при действии h. То есть, это корни уравнения h(x)=x. В прошлом случае единственным решением этого уравнения были точки пересечения S и T, сейчас обе окружности не имеют общих точек, но решения указанного уравнения есть. x=h(x)=S(T(x)). Запишем в виде: S(x)=T(x). Есть много способов решить это уравнение. Можно например провести две окружности, перпендикулярные S и T. Две точки их пересечения и будут искомыми решениями, эти точки по основному свойству перпендикулярных окружностей симметричны друг другу и относительно S и относительно T. Правда, остается недоказанным, что проведенные перпендикулярные окружности пересекаются. Попробуйсте сделать это самостоятельно. Итак, у нас снова есть две неподвижные точки преобразования h. Обозначим их p и q. В одну из них все точки плоскости втягиваются, обозначим эту точку p. Любая точка плоскости x в конце концов (после многократного действия преобразования h окажется очень близко к точке p и будет продолжать приближаться к p. Из другой точки q, все точки плоскости вытягиваются. Сама точка q остается на месте, но если мы чуть-чуть сдвинемся от нее, то постепенно будем втянуты преобразованием h в точку p. Чем ближе мы к точке p, тем медленнее мы втягиваемся в нее. По какой траектории втягиваются точки? Из рисунка видно, что точки двигаются по дуге окружности, дуга начинается с исходной точки, и приближается все ближе и и ближе, но никогда не достигая — к точке p. А окружности, по дугам которых двигаются точки обязательно перпендикулярны S и T и проходят через особые точки p и q (которые мы определили как корни уравнения S(T(x))=x. Физик бы сказал, что точка p — устойчивое решение этого уравнения, а точка q — неустойчивое. Стоит чуть-чуть отойти от точки q, как нас неумолимо отнесет к точке p, а если мы отойдем от p, то нас преобразование h вскоре вернет обратно). Заметим, что мы выяснили, хотя и не доказали это строго: существует две фиксированные точки p и q, через которые проходят все окружности, перпендикулярные S и T.
Точку p мы хорошо представляем из рисунка, так как все разноцветные точки к ней приближаются. А как получить точку q? Можно отразить p относительно S или T S(p)=T(p). А можно воспользоваться отображением, обратным к h. h=S*T, обратное к h преобразование, обозначим его g, это преобразование g=T*S. Как мы уже писали, нужно прочитать с другой стороны композицию, выражающую h через симметрии и получится преобравание, обратное к h. В самом деле: g*f=(T*S)*(S*T)=T*(S*S)*T=T*T=e (скобки благодаря ассоциативности композиции можно расставлять как угодно). Что и требовалось. g — композиция симмерий относительно тех же окружностей S и T, но исполненных в другом порядке. Рассмотрим теперь последовательность точек x, g(x), g(g(x)), g(g(g(x))). Точки, уже изображенные выше: a, b, c, d, k, v теперь двигаются в другом направлении. Все стрелки надо перевернуть: g(h(a)=a g(h(h(a))=h(a) и так далее. Теперь хорошо видно: при преобразовании g (обратном к h) точки вытягиваются оттуда, куда были втянуты преобразованием h, и втягиваются туда, откуда вытягивались при h (это надо домыслить, на рисунке это не показано).

В первом рисунке у траекторий не было ни начала, ни конца. Точки кружились вокруг p и q. Во втором случае у траекторий есть конец и начало, откуда все вытягивается, и куда все втягивается. Случай, когда S и T касаются друг друга занимает промежуточное положение между случаем пересекающихся окружностей и окружностей не имеющих общих точек. Здесь нас ожидает сюрприз: у траектории есть конец, есть и начало, но они совпадают друг с другом. Замечательная точка, начало и конец всех траекторий, место, куда все втягивается и откуда все вытягивается — это точка w, в которой касаются исходные окружности S и T. Эта точка является единственной неподвижной точкой преобразования h=S*T: h(x)=x тогда и только тогда, когда x=w.

Пучки окружностей
Начнем с того, что приведем все три возможных типа пучков:

Голубые окружности образуют действительный пучок, золотые — мнимый, каждая золотая окружность перпендикулярна каждой голубой. Совместное изображение двух таких пучков напоминает искривленную шахматную доску. Оно имеет значение для электромагнетизма: если ток движется по золотым окружностям, то силовый линии магнитного поля — по голубым. Правда, там рисунок должен быть трехмерным и чуть более сложным, здесь мы видим проекцию.

Посмотрим на пучки разных типов, после небольшой их раскраски:

Как строились эти изображения? Во всех случаях, мы взяли две окружности А и В пучка (недалеко отстоящие друг от друга), и стали действовать на одну из них, например на А, композицией h=A*B. получается ряд окружностей А, h(A), h(h(A)), h(h(h(A))). и так далее, все они лежат в одном пучке. Ранее мы изучали действие h на точки, сейчас мы продемонстрировали действие h на окружности. Изучением такого действия мы займемся в следующем разделе об однолопастной гармонической мельнице.
Сейчас же мы свяжем пучки окружности со свойствами геометрии Евклида. Осуществим инверсию с центром в одном из центров пучка. Тогда действительный пучок превратится в пучок прямых (все окружности, проходящие через центр инверсии превращаются в прямые, а все окружности пучка по определению проходят через центр пучка). Итак, действительный пучок имеет те же свойства, что и пучок прямых, проходящих через одну точку. Касающийся пучок при такой инверсии превратится в пучок параллельных прямых. Мнимый пучок при инверсии с центром в одном из центров пучка превратится в совокупность концентрических окружностей. Какая точка будет центром всех этих окружностей?
Построенные выше на основании пучков фигуры имеют эстетическое значение. И сами по себе и в различных сочетаниях. Например, если мы сделаем две одинаковых черно-белых фигуры (мнимый пучок), совместим их, а затем начнем одну из них сдвигать, то увидим много интересных эффектов, сопровождающихся различными иллюзиями. Посмотрим теперь на несколько «искривленных шахматных досок»

У этой доски 10 «вертикалей, то есть в действительном пучке — 10 окружностей. Просматриваются верхняя и нижняя точки их пересечения — центры пучка. Двойственный ему пучок — мнимый пучок «горизонталей». Горизонталей в таких досках может быть любое количество, мы теряем им счет, т.к они стягиваются вокруг центров пучка. Действительный пучок построен с помощью h — композиции симметрий относительно окружностей A и B. h=A*B, причем A и B были выбраны не случайно, а так, чтобы десятикратное применение их композиции дало бы тождественное движение E. Это выражают так: «h в десятой степени тождественно» или «порядок h в группе преобразований равен 10» В этом случае действие h зацикливается, на десятом шаге все объекты возвращаются на свое место. Действие h напоминает поворот на 360:10=36 градусов.

А в этом случае порядок h был выбран равным 99. h напоминает поворот на небольшой угол (360:99). Между двумя пересекающимися окружностями можно ввести понятие угла. Между перпендикулярными окружностям он равен 90 градусам. Рассмотрим h=A*B где A и B перпендикулярны, тогда последовательность x, h(x), h(h(x)), h(h(h(x))). зацикливается уже на третьем шаге: ее третий член всегда равен первому, второй четвертому и так далее, поскольку h(h(x))=x. В этом случае порядок h равен двум. Можно определить угол между окружностями, исследуя композиции симметрий относительно пересекающихся окружностей с помощью понятия порядок элемента, а можно непосредственно: углом между окружностями называют угол между касательными к ним прямыми в точке их пересечения.

Горизонтали в этом и прошлом случае были выбраны неслучайно. В кажду «клетку» доски можно вписать окружность так, чтобы она касалась границ клетки. Теперь мы убрали границы, и оставили только вписанные окружности.

С такими «шахматными досками» связано много интересных эстетических эффектов и иллюзий. Стоит вернуться к ним и осмысливая двухлопастную гармоническую мельницу.

Гармоническая мельница.

Пусть изучаемая лопасть состоит из двух окружностей S и T. Работа лопасти состоит из последовательности тактов. Каждый такт лопасти — применение композиции симметрий относительно составляющих ее окружностей к преобразуемым объектам. Обозначим эту композицию h=T*S, тогда результат работы одного такта h(X)=T(S(X)), где X обозначает преобразуемый объект. Всякая однолопастная мельница имеет «прямой» и «обратный» ход. Перемена движения с прямого на обратное управляется порядком применения симметрий относительно S и T. Если h=T*S (симметрия сначала относительно S, а затем относительно T) — прямой ход, то обратный ход — композиция g=S*T (симметрия сначала относительно T, затем относительно S). После примения прямого и обратного хода объект X окажется таким же, каким был исходно: g*h=e или g(h(X))=X.
В ходе работы мельницы создается образ. В начальный момент в него входит только объект X. После первого такта добавляется объект h(X), после второго такта добавляется объект h(h(X)), после третьего такта добавляется h(h(h(X))). И так далее: образ итерактивно разрастается, на энном такте добавляется результат n-кратного воздействия преобразования h на X. Это напоминает процесс интегрирования. Мы можем запустить лопасть на обратный ход: действовать на X преобразованием g=S*T. Объект Х будет двигаться в противоположную сторону, а объект h(h(h. h(X)))), будет постепенно возвращаться на стартовую позицию. К образу будут дорисовываться объекты g(X), g(g(X)), g(g(g(X)))), и так далее. Если мы теперь дадим нашей мельнице прямой ход, то объект возвращается по своим следам, поэтому образ не меняется.

Приступим к последовательному изучению случая, когда двигающийся объект Х — окружность (иногда мы будем рассматривать и круги). Рассматривая действие h=T*S на точку, мы установили важную роль проходящей через нее и перпендикулярной S и T окружности. Точка под действием h движется по этой окружности, не может сойти с нее. Аналогичную роль сейчас играет окружность, перпендикулярная X, S, T одновременно. Обозначим ее W. W, перпендикулярна и S(X) и T(X), и h(X), попробуйте доказать это самостоятельно. Поэтому W перпендикулярна и h(h(X)) и g(X) и g(g(X)) и всем окружностям, которые могут получиться из X в результате работы однолопастной гармонической мельницы (прямым или обратным ходом). Это уже дает нам важную информацию про получающийся образ: все его элементы симметричны относительно W, следовательно и весь образ симметричен относительно W. Окружность X под действием h как-то двигается по W, возможно меняясь в размерах.
Заметим, что не при всяком положении X, S, T такая окружность W существует. Если X, S, T — образуют риманов трехокружник, то не существует окружности, перпендикулярной им всем. Тогда существует симметрия окружностей без неподвижных точек, относительно которой Х, S и T неподвижны и неподвижен и весь, получающейся в результате работы мельницы над X, образ. Это не так много дает нам для понимания происходящего. Существуют еще две окружности, помогающие понять работу лопасти над окружностью. Это окружности L и M, касающиеся X и перпендикулярные S и T. Т.к. L и M сами остаются неподвижны при действии h (они же неподвижны под действием S и T) то они касаются и h(X), h(h(X)) и g(X), g(g(X)) — всех окружностей, получающихся из X при прямом или обратном ходе мельницы. Вдумаемся: это означает, что все получаемые окружности лежат внутри области, образованной L и M, в той же области,где расположено X. Это уже весьма существенная информация про образующуюся картину. Если мельница совершила много тактов, то окружности L и M прорисовываются сами собой, они видны как огибающие получающегося образа. Заметим, что окружности L и M существуют тоже не всегда, но если не существует W, то L и M существуют обязательно. Разобраться с этим и найти исключения из сказанного (они не очень существенны) — интересное и не сложное исследование.
Чтобы лучше понять работу мельницы с окружностью X можно представить X состоящей из точек. И движение окружности представлять, как движение образующих ее точек. Как двигаются точки под действием h? По окружности, проходящей через точку и перпендикулярной S и T. Проведем через каждую точку X окружность, перпендикулярную S и T, получившиеся окружности зарисуют область плоскости, по которой двигается X, ограниченную L и M.
Изучая возникающие при работе мельницы картины с эстетической точки зрения мы сталкиваемся с новыми факторами. С точки зрения геометрии окружности прямая и маленькая окружность, полуплоскость и кружочек — одно и тоже. У них одни и те же свойства. Но когда мы глядим на картину — мы с этим согласиться не можем. Исследуя возникающие образы мы должны учитывать не только внутренние закономерности геометрии окружности, но и закономерности визуального восприятия. Нам становится важным, когда три точки лежат на одной прямой (в этом случае, например, компьютерная программа, проводящая окружность по трем точкам может дать ошибку), также начинают кардинально отличаться внешность окружости и внутренность ее. С точки зрения симметрии относительно окружности — они не различимы, но мы-то видим: внутри маленькая область, а вне — неограниченная. Концентрические окружности не выделяются с точки зрения симметрий относительно окружности, но визуально и эстетически — очень существенны. Поэтому случаев, разных «на глаз» больше, чем случаев, различимых с помощью геометрии окружности. Здесь нет возможности проанализировать все из них даже в простейшем случае однолопастной мельницы.
Однолопастная мельница состоит из двух окружностей. Возможны три случая расположения окружностей: они пересекаются, не имеют общих точек, касаются. Первые два случая мы рассмотрим подробней. Результат работы мельницы зависит от того, разделяет ли преобразумая окружность центры пучка, в котором лежит пара окружностей составляющих лопасть.

Крутящая лопасть.

Крутящей лопастью называется лопасть, состоящая из двух пересекающихся окружностей S и T. На рисунке мы видим результат работы нескольких тактов лопасти над окружностями A, B и зеленым кругом. Обратите внимание: ни одна окружность не разделяет точки пересечения S и T (они же — центры пучка, в котором лежат S и T). Другой случай мы рассмотрим позже.

А это желтое ожерелье сделано с помощью преобразования h двадцатого порядка, в нем ровно 20 касающихся кругов. Оно сделано на другой однолопастной мельнице.

Ранее была показана укладка синего круга по клеткам искривленной шахматной доски. Из того рисунка можно извлечь множество подобных друг другу (изоморфных) ожерелий из 99 касающихся кругов.

Теперь мы разберем случай, когда преобразумая окружность A разделяет точки пересечения S и T. Именно в этом случае не существует окружности W, перпендикулярной ей, S и T одновременно (т.к. эти три окружности образуют риманов трехокружник). Но существуют окружности L и M, перпендикулярные S и T и касающиеся A. В этом случае, все окружности, производимые крутящей лопастью из А: h(A), h(h(A)),h(h(h(A))). и так далее — касаются L и M и лежат в семействе обручей, как описано в первой части. Все окружности этого семейства пересекаются друг с другом. Сравните картину с предыдущим случаем.

Когда мельница сделает еще несколько десятков тактов, мы получим такую картину. Обратите внимание: производимые окружности располагаются не равномерно. Чтобы описать эту неравномерность надо углубляться в теорию чисел. Из-за неравномерности рисунок обогащается звездообразной структурой вокруг внутренней касающейся окружности и искривленными шахматными досками. Если совершить еще сотню-другую тактов — окружности начнут сливаться, заштриховав практически всю область между L и M, как это было и в предыдущем случае. Справа — обработка рисунка.

С точки зрения геометрии окружности этот случай ничем не отличается от предыдущего: окружность A не разделяет точки пересечения S и T. Но теперь область, по которой движется A — между небольшими окружностями L и M неограниченна, радиус производимых из А окружностей может быть сколь угодно велик, а сами они могут быть малоотличимы от прямых. Поэтому визуальные и эстетические свойства получающегося рисунка — другие. Аналогичная ситуация была в предыдущем случае, когда мы обсуждали движение зеленых кругов.

После нескольких десятков тактов лопасти получится такая картина. Мы снова видим неравномерность — но и ритмичность этой неравномерности — расположения произведенных из А окружностей. Звездовидные структуры вокруг L и M сейчас видны очень отчетливо, «шахматные доски» искривились и уже напоминают скорее лучи или мечи. Они образованы пересечениями наборов окружностей или сплетением их.

Рисунок после обработки.

Ниже — результат работы крутящей лопасти состоящей из другими окружностей, расположенных друг к другу ближе, чем S и T в прошлом примере. Но движимая окружность A расположена аналогично только что разобранному случаю: разделяя точки пересечения окружностей лопасти, касающиеся ее окружности L и M не охватывают одна другую. Поэтому производимые из А окружности часто неотличимы от прямых. Присмотритесь к рисунку. его структура очень отличается в разных местах, он воспринимается как некая поверхность, хотя и создан по законам плоской геометрии окружности.

Мы рассмотрели случаи, когда А разделяет или не разделяет точки пересечения S и T. Возможны еще два варианта: А проходит через одну из этих точек, А проходит через обе эти точки. В последнем случае А лежит в том же пучке, что и S, и T, и все производимые из А лопастью окружности также лежат в этом пучке. Как выглядят окружности, лежащие в таком пучке уже было показано в разделе о пучках. Поэтому здесь мы разберем только первый вариант. В этом случае одна из окружностей L и M (касающихся А) превращается в точку. Все окружности, произведенные из А лежат по одну сторону от второй касающейся А окружности, вне, или внутри ее. И все они, а не только A, проходят через точку пересечения S и T. Ниже показан случай, когда все окружности лежат внутри. Рисунок уже обработан.

Выше мы видим получающуюся картину в целом. Весь рисунок, состоящий из многих окружностей, расположен внутри огибающей окружности, касающейся их всех. Но если мы приблизимся к точке пересечения S и T (через которую проходят все окружности, входящие в образ), картина резко меняется, как под микроскопом. Внизу мы увеличили масштаб, перекрасили элементы рисунка и подошли ближе к точке пересечения.

Мы подошли еще ближе к точке пересечения и снова увеличили масштаб.

Стягивающая лопасть.

Работа с крутящей лопастью почти не требовала обратного хода. Не так со стягивающей лопастью: для того, чтобы проследить втягивание окружности или круга X, надо в начале прямым ходом втянуть его к одному из центров лопасти, а затем, обратным ходом — втянуть к другом центру лопасти. В результате мы получим цельную картину, наподобие той, что изображена была выше с зеленым кругом. Если отразить все, произведенное прямым и обратным ходом, относительно окружности, проходящей через центры пучка и перпендикулярную W, то все полученное будет целостным рисунком, все окружности будут касаться двух, уменьшаться с одной стороны точки пересечения этих двух окружностей, «гаснуть», появляться с другой стороны. Внизу слева мы видим непересекающиеся зеленые круги, созданные таким способом, а справа — ожерелье, бусины которого вспыхивают из двух точек. Обратите внимание: правому рисунку тоже присущ объем, нижняя и верхняя его части кажутся лежащими в разных плоскостях.

Нижний рисунок получен аналогично верхним. Но круг, произведенный из малинового круга лопастью за один такт, пересекается с исходным кругом, поэтому стягивающая лопасть в данном случае создает последовательность пересекающихся кругов. Думаю, объемность получающегося образа наглядней, чем в прошлом примере.

Какой случай расположения движимой окружности Х, не разделяющей центры стягивающей лопасти, не был рассмотрен?

Если движимая окружность Х разделяет центры стягивающей лопасти, то — интересный момент — все произведенные лопастью из нее окружности не имеют общих точек между собой, каждая из получаемых окружностей разделяет не только центры пучка, но и те окружности, которые были получены до нее, от тех, которые будут получены после. Получающийся образ напоминает геодезические линии холма. После обработки получается рисунок ниже. Был использован обратный ход, поэтому мы имеем два косоглазых холма,с вершинами в центрах лопасти. Рассматривая образ подольше, вместо холма можно увидеть воронку, впадину.

Заметим противоположность крутящей и стягивающей лопасти: если окружность Х разделяет центры крутящей лопасти, то все производимые из Х окружности пересекаются. Если X разделяет центры стягивающей лопасти, то все производимые окружности не имеют общих точек между собой.
Остались случаи, когда движимая окружность X проходит через один или оба центра лопасти. Во втором варианте лопасть производит мнимый пучок окружностей, а первый вариант дает неожиданный результат, который я предлагаю обнаружить самостоятельно.

Касающаяся лопасть.

Этот случай мы рассмотрим коротко. Он получается из предыдущего совмещением начала и конца: центры стягивающей лопасти стали приближаться друг к другу и в момент их совпадения лопасть из стягивающей стала касающейся. Эта лопасть имеет всего один центр, из которого все вытягивается и в который все втягивается: ведь в нем совпали втягивающий и вытягивающий центры стягивающей лопасти. Слева мы видим работу лопасти с синим и красными кругами. При прямом ходе эти круги втягиваются в точку касания окружностей лопасти, двигаясь при этом по часовой стрелке. При обратном ходе они втягиваются в эту же точку но, с другой стороны, двигаясь против часовой стрелки. В результате голубые круги создают ожерелье, растущее из w.
Справа мы видим окружности возникшие после многих тактов работы лопасти над небольшой окружность, охватывающей w. Если продолжить работу мельницы, то окружность, уже похожая на точку, будет втягиваться к w, при обратном ходе — она будет втягиваться с другой стороны. Мы видим «отростки» этого втягивания. Как и в прошлых случаях — прорисовываются две огибающие окружности, касающиеся всех окружностей, произведенных мельницей. В отличие от прошлых случаев, огибающие окружности сами обязательно касаются друг друга. Почему?

Увеличим и обработаем получившийся рисунок.

Еще раз увеличим масштаб и понаблюдаем, что происходит вблизи единственного центра касающейся лопасти.

Изменение скорости лопасти.

Две безымянные зеленые окружности на правом рисунке подсказывает идею: совместить действие двух лопастей. Ведь сами зеленые окружности образуют крутящую лопасть, а стягивающая была дана исходно. Что будет, если объект преобразуется одновременно двумя лопастями, крутящей и стягивающей? Будет — двухлопастная мельница, о ней речь дальше.

Двухлопастная мельница.

«Червяк» созданный на двухлопастной мельнице. Мельница работает не только с окружностями: «червяк» был создан из пятиконечной звезды. А вот и сама мельница:

Двухлопастная мельница состоит из четырех окружностей: S, T; L, M. Первая пара окружностей, S и Т, образует крутящую лопасть, а вторая пара, L и M — стягивающую лопасть мельницы. p и q, точки пересечения первой пары окружностей и центры пучка второй пары называются центрами мельницы. Окружности крутящей лопасти, S и T перпендикулярны обеим окружностям стягивающей лопасти L и M: S(L)=L, S(M)=M, T(L)=L, T(M)=M. Что происходит за один такт работы двухлопастной мельницы? Произвольный объект X преобразуется в объект T(S(M(L(X)))) и добавляется к образу. Работает пребразование h=T*S*M*L=(T*S)*(M*L)=f*g где f — преобразование крутящей лопасти из T и S, а g — преобразование стягивающей лопасти из M и L. Т.к. пара окружностей S и T перпендикулярна окружностям M и L, то соответствующие симметрии коммутируют и коммутируют преобразования f и g. h=f*g =(T*S)*(M*L)=M*T*S*L=M*L*T*S=(M*L)*(T*S)=g*f=h. Не важно, в каком порядке действуют лопасти, но важно, в каком порядке работают окружности составляющие каждую лопасть. Посмотрим, как действует двухлопастная мельница на окружность или круг.

Размер круга A был подобран так, чтобы h(A) касался А. Тогда касание обязательно происходит при каждом такте работы мельницы. Мы видим, что окружность двигается по спирали, медленно закручиваясь к нижнему центру мельницы, точке q. Затем мы даем обратный ход двухлопастной мельницы. Чтобы это сделать, надо дать обратный ход каждой лопасти: крутящей и стягивающей. Круг А будет медленно закручиваться к точке p, верхнему центру мельницы. У нас получается необычная спираль с двумя центрами. Обычно спирали имеют один центр, из которого все раскручивается, размах спирали возрастает до бесконечности. А сейчас — иначе: раскрутившись из одного центра, спираль скручивается в другом. Подобные спирали связаны с искусством барокко.
В левой части рисунка есть «локоть» или аналог прямоугольника, прорисованный зелеными и оранжевыми кругами. Он иллюстрирует коммутативность преобразований f и g. В ходе работы двухлопасной мельницы получает образ, состоящий из A, h(A), h(h(A)), h(h(h(A). и так далее. на седьмом такте мельницы появляется окружность, обозначенная B. Выразим элементы образа с помощью преобразований f и g. A, g(f(A)), g(f(g(f(A)))), g(f(g(f(g(f(A)))))). и так далее. Но g и f коммутируют, поэтому мы можем преобразовать выражения: A, g(f(A)), g(g(f(f(A)), g(g(g(f(f(f(A)))))). Чтобы получить элемент, возникающий на энном такте двухлопастной мельницы, можно применить к исходному объекту (круг А) n тактов крутящей лопасти, а к полученномму — n тактов стягивающей лопасти. Можно действовать в ином порядке: применить к исходному объекту n тактов стягивающей лопасти, а к полученному — n тактов крутящей. Результат не изменится. Именно это и демонстрирует «локоть»: применив 7 тактов крутящей лопасти мы получаем окружность B, применив к B 7 тактов стягивающей лопасти, мы получаем круг С. Также применив 7 тактов двухлопастной мельницы к А, мы получим С. Если же применить к А семь тактов стягивающей лопасти, то получим круг D. Применив к D 7 тактов крутящей лопасти мы снова получим круг С. Цвет кругов «локтя» соответствует цвету окружностей соответствующих лопастей. Оранжевые круги получаются после симметрий относительно оранжевых окружностей, зеленые круги — после симметрий относительно зеленых. А диагональная голубая дуга спирали — результат одновременного действия крутящей и стягивующей лопастей, как диагональ паралелограмма — вектор сложения сил, тянущих по соседним сторонам его.
Очень выразительно этот метод виден на искривленных шахматных досках, которые были рассмотрены в разделе о пучках. Особенно удобно для этого использовать ту доску, в создании которой участвуют крутящая лопасть 99-го порядка и показана окружность, касающаяся своих соседей. Несколько шагов по «вертикали», затем несколько по «горизонтали», затем еще и ище — в итоге и получается барочная, двухцентровая спираль.

Получившаяся спираль не очень «спиральна». В ней мало витков — они есть, но окружности становятся маленькими и витки не видны. Поэтому мы создаем новую мельницу. Стягивающую лопасть мы оставляем неизменной, а скорость кружащей — увеличиваем в два раза. Как это сделать описывалось в предущем разделе. Спираль уже более спиральна, виток хорошо виден.

Еще раз увеличиваем скорость крутящей лопасти в два раза. В результате круги разбегаются так далеко, что рисунок приходится уменьшить и повернуть. Мы видим уже два витка. Правда, спираль разрывается, один такт лопасти очень далеко уносит преобразумый объект

А сейчас преобразуеся не круг, а окружность А. Причем окружность А разделяет центры мельницы p и q. Лопасти мельницы выделены оранжевым и зеленым цветом. В этом случае мы можем быть уверены на каком-то такте работы мельницы А превратится в окружность очень большого радиуса. Как обычно, мы даем мельнице прямой ход, обрывая ее работу, когда окружности будут близки к нижнему центру мельницы, затем даем мельнице обратный ход, спираль закручивается в обратную сторону, к верхнему центру мельницы, получающиеся окружности пересекаются между собой. Пересечение окружностей не создает хаос. В нем — есть закономерности. Спиралевидная структура образуется из точек пересечения окружностей между собой и огибающих линий. На рисунке не выделена стартовая окружность А — она может любой окружностью, из имеющихся на чертеже, результат, т.е. совокупный образ от этого не меняется.

На прошлом рисунке мы видели кусок спирали в натуральную величину. Ниже та же спираль, но с «птичьего полета», уменьшенная в 10 раз. Все равно: мы видим ее не целиком, две окружности не уместились.

Мы приблизились к центру мельницы и увеличили спираль в три раза.

Так обрабатывает мельница круги. Они накладываются друг друга.

Увеличенная в три раза, у центра мельницы.

С птичьего полета, уменьшенная в 10 раз.

Уже разбирая крутящую и стягивающие лопасти, мы не рассмотрели всех случаев расположения одной-единственной окружности или круга. Разбирая двухлопастную мельницу это тем более невозможно. А ведь эстетическое значение имеют случаи, когда преобразовывается несколько разноцветных окружностей или кругов одновременно, и когда преобразуются не круги, а другие фигуры. Некоторые примеры возникающих образов есть на этом сайте, сотни примеров на сайте http://revolt33.narod.ru/oldpicture. Здесь мы покажем несколько выразительных пиктограмм разных типов образов, сделанных на двухлопастной гармонической мельнице.

Несколько приемов обработки возникающих образов.

Преобразование сфер.

Пусть у нас обе лопасти трехмерной мельницы — крутящие. В этом случае преобразование h=T*S*M*L риманово и впервые мы сталкиваемся с ситуацией, когда у преобразования гармонической мельницы — нет неподвижных точек. Нет и точек втягивания или вытягивания, впрочем, это следует из отсутствия неподвижных точек. Работа мельницы создает образ, элементы которого X, h(X), h(h(X)), h(h(h(X))). и так далее, где Х — исходный движимый объект. Если Х — точка, то все получаемые в ходе работы мельницы точки лежат на некоей кривой (траектории), а все пространство расслаивается на такие, непересекающиеся кривые (траектории). Такты работы обеих крутящих лопастей можно выбрать так,что каждая траектория — замкнется. Сделаем это, и посмотрим, что происходит, если исходная преобразуемый объект X — не точка, а сфера.

В этом примере есть 10 кратная симметрия. А ниже мы немного изменяем такты работы крутящих лопастей.

В результате траектория сохранила десятикратную симметрию, заузлилась и стала звездообразной. Обратите внимание — вся фигура делается «одним росчерком» — замкнутой непрерывной линией. Свойствами этого «звездовидного узла» можно управлять, настраивая такты одной и второй крутящей лопасти. Именно: можно указать параметр, фиксирующей число вершин (в данном случае их десять) и параметр, фиксирующий порядок обхода этих вершин. На первой картинке от одной вершины кривая переходила к следующей, на второй — от вершины кривая переходит к третьей вершине (если считать вершины по часовой стрелке).
Обратите внимание — в плоском случае гармоническая мельница могла создать только один тип замкнутых фигур (траекторий) — ожерелья, с бусинами плавно меняющимися в размерах. В объемном случае типов фигур очень много, ожерелье превращается в «звездовидные узлы», простейший из которых — трилистник. А сферы-бусины также плавно меняют размер. Но траектория движения не обязательно замыкается, создаваемое римановой мельницей может лежать на некоей торовидной поверхности. И если один такт мельницы (риманово преобразование h) не сильно преобразует объект (X и h(X) близки друг к другу) то возникающий образ постепенно и создает эту поверхность. На нижнем рисунке мы и видим тот момент, когда торовидная поверхность создана примерно наполовину.

Порядок обхода и формирование поверхности бывает весьма оригинален. Нижний рисунок напоминает ухо, сделанное из ленты Мебиуса, причем возникает подозрение, что это «ухо» доформируется до «Бутылки Клейна».

Во всех примерах соседние элементы образа (X и h(X)) пересекались. Можно увеличить скорость работы обеих крутящих лопастей мельницы, тогда X и h(X) уже не будут пересекаться. Этого же можно достичь и уменьшив сферу X. Это создает новые эстетические и и геометрические эффекты. Эстетическое и архитектурное значение имеет и случай, когда преобразуется не сфера X, а, например: куб Х, тетраэдр Х. Трехмерная гармоническая мельница порой предлагает готовые архитектурные проекты. А проекции узлов, созданных на мельнице Римана дают интереснейшие плоские орнаменты.

Три взаимоперпендикулярных окружности, биплетная симметрия и гармоническое отношение.

Биплетная симметрия и гармоническое отношение.

Удаляем лишнее. А на правом чертеже мы добавили еще точки с и k и нашли h(c) и h(k). Окружности, проходящие через p и q показаны пунктиром, все они лежат в одном действительном пучке с центрами p и q. Окружности, показанные непрерывной линией — лежат в двойственном ему мнимом пучке также с центрами в p и q, эта пара точек симметричны друг другу относительно любой непрерывной окружности.

Мы видим, что биплетную симметрию можно определить с помощью пучков. Пусть даны точки p и q, они определяют два двойственных друг другу пучка с центрами p и q. Через каждую точку плоскости x можно провести две окружности, каждая из которых лежит в одном из этих пучков. Одна из этих окружностей проходит через p и q, относительно другой p и q симметричны. Вторая точка пересечения этих окружностей и будет h(x) — биплетно симметричная x относительно пары точек p и q. Интересное свойство биплетной симметрии h: она выворачивает наизнанку каждую окружность, проходящую через p и q. Внутренность такой окружности симметрична ее внешности относительно h. Почему? Существуют ли окружности, переходящие в себя под действием h и не проходящие через p и q?
Мы определили, что такое биплетная симметрия. Теперь определим, что такое биплет. Биплетом мы называем пару точек. Точки, образующие биплет мы называем концами биплета. «Биплет w с концами a и b» означает просто «пара точек а и b». Зачем же нужно специальное понятие «биплет»? чтобы ясней обозначать биплетные симметрии. Писать (a, b)(x) неудобно, и читать такое — тоже. А w(x) — (где а и b — концы биплета w) — читается куда легче. Обе записи, разумеется обозначают одно и тоже: биплетную симметрию точки х относительно пары точек a и b. Отметим три свойства биплетной симметрии. Пусть w(c)=d. Тогда: 1. концы биплета w (точки a и b) лежат на одной окружности с d и c. 2. пара точек c и d разделяет пару точек a и b. 3. Точки a и b симметричны друг другу относительно биплета v с концами с и d. Третье свойство назовем «взаимностью» биплетной симметрии. Сформулируем его развернуто: если точки c и d симметричны друг другу относительно относительно биплета с концами а и b, то точки a и b симметричны друг другу относительно биплета с концами c и d. Это позволяет определить гармоническое отношение двух пар точек. Две пары точек находятся в гармоническом отношении, если при биплетной симметрии относительно первой пары — точки второй пары меняются местами. Из свойства взаимности следует, что при биплетной симметрии относительно второй пары, точки первой пары также поменяются местами. Отметим еще совсем простое, четвертое свойство: если при биплетной симметрии w какая-то точка x остается неподвижной — w(x)=x — то x обязательно совпадает с одним из концов биплета w. Иными словами: при биплетной симметрии остаются неподвижными только концы биплета.
Теперь мы введем понятие перпендикулярности для биплетов и свяжем его со свойством взаимности и гармоническим отношением пар точек. Биплеты w и v называются перпендикулярными, если w(v)=v. Это калька с определения перпендикулярных прямых, плоскостей или окружностей. Как и во всех тех случаях есть исключение v(v)=v, но мы же не говорим, что прямая или окружность перпендикулярна сама себе. Также и про биплеты. Каков геометрический смысл равенства w(v)=v? Биплет v однозначно задается своими концами, обозначим его концы a и b. Тогда w(v)=v равносильно тому, что w(a)=b и w(b)=a. (вариант w(a)=a, w(b)=b означает, что v=w, а этот случай мы не рассматриваем, как только что было сказано). По свойству взаимности отсюда следует, что и v(w)=w. Отсюда, как и в рассмотренном ранее случае симметрии окружностей легко получить соотношение о композиции симметрий относительно биплетов: w*v*w=v или w*v=v*w. Иными словами — перпендикулярные биплеты определяют коммутирующие биплетные симметрии. Как и в случае с окружностями мы сталкиваемся с двойственностью: v означает и биплет, т.е. пару точек a и b и биплетную симметрию относительно этих точек. Верно и обратное: если два биплетные симметрии коммутируют, то определяющие их биплеты — перпендикулярны. На основании этого можно создать целое «биплетное исчисление». На плоскости мы получим структуру комплексных чисел или более общего понятия «поля», а в пространстве (исчисление биплетов легко перенести в трехмерное пространство) — вероятно получится кватернионная структура. Здесь мы обсудим геометрические свойства биплетов.
Для двух произвольных биплетов w и v существует один и только один биплет z перпендикулярный им обоим. Проводя окружности разными хитрыми способами можно его построить, то есть — найти его концы. Интересен приближенный, итерактивный способ построения z. Обозначим h=w*v, можно показать, что корни уравнения h(x)=x (неподвижные точки преобразования h) и есть концы искомого биплета z. А как приближенно найти корни такого уравнения? Запустить преобразование h, оно притянет любую точку плоскости к одному из решений уравнения. А чтобы найти второе решение уравнения? Запустить обратное к h преобразование g=v*w, оно притянет любую точку плоскости к другому корню уравнения. Выполнив преобразования g и h много раз мы получим в хорошем приближении концы искомого биплета z. Более сторого это выглядит так: Возьмем произвольную точку y и рассмотрим последовательность точек: y, h(y), h(h(y)). она стремится к одному концу биплета z, а последовательность y, g(y), g(g(y)). стремитcя к другому концу z. Есть одно исключение. Если все концы биплетов w и v лежат на одной окружности, и концы одного биплета разделяют концы другого, то преобразование h — преобразование крутящей лопасти, у него нет предельных точек, точки в обозначенных последовательностях никуда не стягиваются, а кружатся. Тогда z перпендикулярный w и v надо искать по-другому.
Есть случай, когда такого z не существует. Так происходит, если биплеты w и v имеют общий конец. Почему? Зато совокупность биплетов с общим концом имеет другие интересные свойства. Пусть w, v, s все имеют общий конец. Тогда h=w*v*s — обязательно биплетная симметрия, причем она также имеет общий конец с исходными. Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть инверсию с центром в общем конце всех биплетов — после такой инверсии все биплетные симметрии совпадут с симметрией относительно точки, а композиция трех симметрий относительно точек сама является симметрией относительно точки. Ранее мы уже говорили, что симметрию относительно точки можно рассматривать как частный случай биплетной: вторая точка это биплета расположена бесконечно далеко.
Понятия, использованные нами при изучении геометрии окружности: биссектрисы, высоты, пучки и многие другие переносятся и на биплеты. Есть и аналоги теорем о пересечении высот, о пересечении биссектрис. Например «биссектрисой» между биплетами w и v называется биплет z, такой, что z(w)=v. В общем случае существует два таких биплета, аналогично тому, как между пересекающимися окружностями есть две биссектрисы. Но в случае биплетов очень наглядно, почему так происходит. Биплет z должен отображать концы биплета w в концы биплета v. А это можно сделать двумя способами. Это отсылает нас к способам разбивать четыре точки на пары. За одним исключением: у этих биплетов есть общий конец, тогда есть всего один способ (другие концы двух биплетов отображаются друг в друга). Но почему такой биплет z существует? Иными словами, почему для любых точек a, b, c, d существует такой биплет z, что z(a)=c, z(d)? В ч.1 рассказано, что для того. чтобы существовала симметрия между окружностями с такими свойствами — необходимо и достаточно, чтобы все четыре точки лежали на одной окружности. А биплетная симметрия z существует и если a, b, c, d — не лежат на одной окружности. Образуем два новых биплета w1 и v1 с концами (a, с) и (b, d). Искомый биплет z должен быть перпендикулярен w1 и v1. Ранее объяснялось, как строить биплет, перпендикулярный двум данным, что и решает нашу задачу о «биссектрисе». Второй биплет, относительно которого w и v симметричны определятся соотношением z(a)=d, z(b)=c. Опять-таки составим два новых биплета, концы одного указаны в первом равенстве, концы другого — во втором. Биплет, перпендикулярный двум новообразованным и будет вторым искомым биплетом, относительно которого w и v симметричны.

Мы уже разбивали в ч.1 четыре точки на пары тремя способами. Сейчас мы снова этим займемся. Каждое разбиение четырех произвольных точек m, k, n, r на пары определяет пару биплетов. Для кажой пары биплетов существует один и только один биплет, перпендикулярный им обоим. Таким образом каждое разбиение исходной четверки точек на пары определяет одни биплет. Оказывается, что полученные таким образом три биплета (по числу возможных разбиений на пары) сами перпендикулярны друг другу. Это — аналог теоремы о разбиении четырех точек на окружности тремя разными способами из ч.1. Попробуйте доказать его самостоятельно. Чертеж к этой теореме выглядит так. Не думаю, что кто-то назовет рисунок простым или красивым, но доказательства с помощью биплетного исчисления часто просты, хотя непривычны по-началу.

Попробуйте разобраться, какие биплеты, с концами в точках m, n, k, r перпендикулярны биплетам f, g, w. А чему равна композиция биплетных симметрий относительно двух перпендикулярных биплетов? Легко видеть, что такая композиция снова инволютивна, поэтому она может являться какой-то симметрией. Она — симметрия относительно биплета, перпендикулярного двум исходным. На чертеже взаимоперпендикулярны биплеты f, g, w и имеют место три соотношения: f*g=w, g*w=f, w*f=g, которые можно выразить одним тождеством f*g*w=e. Точно такие же соотношение связывают симметрии относительно трех взаимоперпендикулярных прямых. Заметим: если два биплета f и g перпендикулярны, то их концы находятся в гармоническом отношении. Концы трех взаимоперпендикулярных биплетов образуют великолепную шестерку точек, на которых можно построить четыре взаимокасательные окружности или три взаимоперпендикулярные.

Три взаимоперпендикулярные окружности.

Типы симметрий между окружностями и взаимоотношения между ними ясно видны при рассмотрении трех взаимоперпендикулярных окружностей.

Рисунок определяет следующие симметрии: 1. Три симметрии относительно окружностей S, T, V. Все эти симметрии коммутируют между собой. 2. Биплетные симметрии относительно биплетов f, g, w с концами в точках пересечения исходных окружностей. Симметрия относительно каждого биплета, есть результат композиции симметрий относительно пары исходных окружностей, пересекающихся в концах этого биплета. 3. Симметрия трехокружника со сторонами S, T, V, при которое каждая точка пересечения этих окружностей симметрична другой точке пересечения этих же окружностей. Обозначим эту симметрию H, у нее нет неподвижных точек, т.к. исходный трехокружник — риманов.
Всего мы имеем 3+3+1=7 симметрий, связанных с этим трехокружником. К ним можно добавить восьмое преобразование, E, которое ничего не меняет и мы получим небольшую группу преобразований. Каждый элемент этой группы инволютивен (обратен сам себе) композиция любых двух элементов также содержится в этой группе. Каждый элемент группы можно представить композицией не более чем трех симметрий исходных окружностей S, T, V.

Окружность, перпендикулярная трем данным окружностям, или симметрия, коммутирующая с тремя данными. Предельные свойства.

Мы искали окружность, перпендикулярную трем данным, в ч.2, когда изучали симметрию трехокружника и узнали, как построить окружность, перпендикулярную всем трем взаимопересекающимся окружностям Лобачевского. Также было показано, что не существует окружности перпендикулярной одновременно трех римановым окружностям A, B, C. Прежде всего укажем: окружности-то такой нет. Но симметрия, коммутирующая с тремя римановыми окружностями всегда существует. Это симметрия, определенная римановым трехокружником A, B, C, меняющая местами точки пересечения этих окружностей. Итак, для любых трех взаимопересекающихся окружностей существует симметрия, коммутирующая со всеми ними (точнее говоря, коммутирующая с симметриями относительно трех данных окружностей). Если эти три окружности Римановы, то это симметрия без неподвижных точек, а если это окружности Лобачевского — это симметрия относительно окружности. А что происходит, если среди трех окружностей A, B, C есть непересекающиеся?

Фракталы

Фрактал возникает постепенно. Как картинка в калейдоскопе: он возникает из отражений самого себя в своих частях. Фрактал «Мост» возникает всего из четырех окружностей A, B, C, D, показанных на первом рисунке. Мы строим их отражения друг в друга, т.е. окружности А(B), B(A), C(B) и так далее. На рисунках показаны последовательные этапы. Мы видим, как постепенно прорисовывается одна «опора» моста, затем другая, и, наконец — третья тянется им навстречу. «Опоры» возникают из мест сгущения окружностей: точек к которым они в ходе симметрий стягиваются и из точек, около которых пересекается много окружностей.

Можно описывать возникающий фрактал в терминах теории групп. Образующими «группы фрактала МОСТ» будут четыре исходные окружности A, B, C, D, элементами группы — все преобразования, которые можно получить с помощью композиции симметрий относительно образующих. На рисунках мы видим не все элементы группы. Скажем элемент A*B — преобразование, которое не рисуется, а вот элемент A*B*A=A(B) — есть симметрия относительно окружности и эта окружность нарисована, является частью фрактала. Каждый элемент «группы фрактала» выражается последовательностью четырех букв (при этом две одинаковые буквы не должны стоять рядом), а рисуются только такие элементы, которые одинаково читаются слева направо и справа налево.

А здесь мы строим фрактал, стартуя с шести красных и синих кругов. Они отражаются друг в друга. С каждым шагом круги становятся все меньше, при этом если красный круг отражается в красный — ничего видимым образом не меняется. Или если синий — в синий. Рисунок уточняется с каждым шагом, просматривается петляющая линия, которая образуется из все уменьшающихся разноцветных кругов. Но эту линию заслоняют большие круги.

Синее дерево, растующее во все стороны.

Часть предыдущего фрактала. Синий круг, «размножаясь» проростает в корнями (или ветвится) в три красных круга. С последующими итерациями рисунок мало меняется, система корней-ветвей становится все детальней, но на глаз это не видно — уточнения слишком мелки.

Возникновение витража.

Если исходные окружности пересекаются между собой, то растущий из них фрактал постепенно заполняет всю плоскость. Это происходит уже и с фракталом «Мост», но не так быстро, как здесь. Обратите внимание: исходные 12 окружностей расположены не случайным, а симметричным образом. И все симметрии, которые есть на первом рисунке присущи и образам-фракталам, возникающим на следующих итерациях.

Черное на белом или белое на черном?

За этим фракталом мы следим не с самого начала, не с первого шага итерации, а с середины. В начале мы видим черный рисунок из множества окружностей на белом фоне. Разрастаясь и уточняя детали черные окружности заполняют плоскость. на последнем рисунке мы видим уже белое на черном фоне. Если дать фракталу разрастаться далее, он просто заштрихует весь экран.

Примеры демонстрируют возникновение фракталов из геометрии окружности. Изучение точек и линий сгущения, симметрий, связанных с ними, их «площадей» и «длин» лежит на стыке многих математических дисциплин, об этом много литературы, на мой взгляд: геометрия окружности — царский путь во фрактальную геомерию.
Построение венка.

Есть и другой, может быть более простой способ строить фракталы на основе геометрии окружности. Для его объяснения даже не нужно говорить о симметрии между окружностями. Мы впервые его коснулись в «медитации о фрактале» из части 1. Здесь с помощью скриншотов программы DodecaTeach рассказывается как сплести огромный ДДУ-венок. Все построения несложно выполнить в графических редакторах. Можно начать с CorelDraw, а продолжить в Photoshop.

Видео:Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

Радикальная ось двух окружностей

Разделы: Математика

• углубить знания по темам «окружность» и «дополнительные построения», расширение математических познаний;
• совершенствовать навыки доказательств теорем;
• изучить метод решения геометрических задач с помощью свойств радикальной оси двух окружностей.

• развивать учебно-познавательную деятельность обучающихся;
• развивать логическое мышление и умения применять знания в нестандартных ситуациях.

3. Воспитательная: воспитывать аккуратность, культуру математической речи.

Оборудование: мел, доска, проектор.

Тип урока: изучение нового и первичное закрепления новых знаний.

1. Организационный момент – 2 мин.
2. Вступительное слово учителя – 1 мин.
3. Актуализация опорных знаний – 1 мин.
4. Формирование нового – 30 мин.
5. Первичное закрепление – 10 мин.
6. Рефлексия – 1 мин.

1. Организационный момент. Приветствие.

2. Вступительное слово.

Если отслеживать историю достижений учащихся на математических соревнованиях, то можно не раз заметить такую картину: до 9 класса ученик очень успешно выступает на различных олимпиадах, однако почему то в 10 классе его результаты сильно понижаются. Трудно полностью объяснить причину подобного, однако, несомненно, что это отчасти связано с существенным различием в уровне задач 9 и 10 классов. Непосвященному это трудно заметить. Например, остановимся геометрических задачах, связанных с окружностью. В большинстве случаев такие задачи можно решить методами 9 классов, однако, такое решение будет слишком громоздким и отнимет много времени на оформление, что в виду ограниченности времени на олимпиадах далеко не всегда осуществимо. Поэтому изучение методов 10 класса для решения задач является жизненной необходимостью для успешного участия на олимпиадах, хотя в истории бывали и исключения, когда некоторые умудрялись решить сложную задачу 10 класса методами 9 класса.

3. Актуализация опорных знаний.

Традиционно на олимпиадах есть хотя бы одна геометрическая задача, а среди таких задач наибольшую трудность вызывают задачи связанные с окружностями. Несмотря на то, что не существует общего метода решения всех геометрических задач, связанных с окружностью, для решения достаточно большого класса таких задач оказываются полезным свойства радикальной оси, поляр, полюсов и некоторых элементов проективной геометрии. Сегодня мы начнем изучение некоторых первичных свойств радикальной оси, однако даже эти свойства могут быть полезны для решения сложных геометрических задач, которые встречаются на международных олимпиадах. Также мы разберем решения нескольких задач российских геометрических олимпиад, заслуженно признанных одними из самых сложных по геометрии.

4. Формирование нового.

Определение 1 (см. [1], стр. 122). Пусть дана окружность ω с центром в точке О и радиусом R. Степенью точки М относительно окружности ω называется число ОМ 2 – R 2 .

Определение 2 (см. [1], стр. 122). Пусть даны две окружности ω₁ и ω₂. Радикальной осью двух окружностей называется множество всех точек плоскости, каждая из которых имеет равные степени относительно этих окружностей.

Теорема 1. Пусть даны две окружности ω₁ и ω₂, центры которых различны. Тогда для этих окружностей радикальная ось существует и является прямой линией.

1. Если две окружности ω₁ и ω₂ пересекаются в двух различных точках, то радикальная осью этих окружностей является прямая проходящая через точки их пересечения.
2. Если две окружности ω₁ и ω₂ касаются внешним или внутренним образом, то их радикальная ось совпадает с общей касательной в точке касания окружностей.
3. Если две окружности ω₁ и ω₂ лежат одна вне другой, не касаясь, то радикальная ось содержит середины общих касательных этих окружностей.

Доказательство. Вне зависимости от того как пересекаются окружности согласно теореме о том, что разность квадратов наклонных, проведенных из одной точки, равна разности квадратов из проекций на прямую, геометрическим местом точек, имеющих одинаковые степени относительно двух заданных окружностей, является прямая, перпендикулярная линии центров окружностей. Для того, чтобы однозначно знать положение прямой достаточно знать две ее точки.

I	I I	I I I

В первом случае, когда окружности пересекаются в двух точках, эти точки будут иметь равные степени относительно них, равные нулю, поэтому радикальной осью для таких окружностей будет прямая, проходящая через точки пересечения окружностей.

Во втором случае, когда окружность каются внешним или внутренним образом, также общая точка окружностей будет иметь одинаковые степени относительно них, значит, в этом случае радикальной осью будет прямая, проходящая через точку касания окружностей и перпендикулярная их линии центром.

В третьем случае, радикальная ось будет проходить через середины отрезков общих касательных, поскольку степенью точки этих точки является квадрат отрезка касательной, проведенной из точки к окружности.

Замечание 1. Теорема 1 применима и в случае, если радиус одной из окружностей равен нулю.

Пример 1 (см. [2], стр. 64, задача №3.65). На окружности S с диаметром AB взята точка C, из точки C опущен перпендикуляр CH на прямую AB. Докажите, что общая хорда окружности S и окружности S₁ с центром C и радиусом CH делит отрезок CH пополам.

Решение (см. [2], стр. 76). Пусть M – середина отрезка CH. Докажем, что точка M лежит на радикальной оси окружностей S и S₁, т.е. её степени относительно этих окружностей равны. Пусть радиусы окружностей S и S₁ равны 2R и 2r.

Тогда степень точки M относительно окружности S₁ равна CM 2 – 4r 2 = -3r 2 , а её степень относительно S равна OM 2 – 4R 2 , где O – середина отрезка AB. Ясно, что OH 2 = 4R 2 – 4r 2 , поэтому OM 2 = 4R 2 – 4r 2 + r 2 = 4R 2 – 3r 2 . Следовательно, OM 2 – 4R 2 = -3r 2 . Таким образом, точка М лежит на ED, следовательно, ED делит CH пополам.

Теорема 2 (см. [1], стр.125). Если центры трех окружностей неколлинеарные, то три радикальные оси этих окружностей, взятых попарно, имеют общую точку.

Доказательство. Пусть даны три окружности Ω₁, Ω₂, Ω₃, центры которых неколлинеарные.

Поскольку центры трех окружностей неколлинеарные, то прямые перпендикулярные O₁O₂ и O₁O₃ пересекаются, значит, не параллельны и радикальные оси к Ω₁ и Ω₂, а также к Ω₁ и Ω₃ пересекаются в некоторой точке, которую обозначим буквой Е. Отсюда, степени точки Е относительно Ω₁ и Ω₂ равны, и относительно Ω₁ и Ω₃ тоже равны. Следовательно, точки Е имеет одинаковые степени относительно Ω₂ и Ω₃, а это означает, что она лежит на радикальной оси к окружностям Ω₂ и Ω₃, т.е. все три радикальные оси пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.

Пример 2 (Турнир городов, весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс, 2012 г.). Четырехугольник ABCD без параллельных сторон вписан в окружность. Для каждой пары касающихся окружностей, одна из которых имеет хорду AB, а другая – хорду CD, отметим их точку касания X. Докажите, что все такие точки X лежат на одной окружности.

Решение (см. [3]). обозначим через Ω₁ и Ω₂ касающиеся окружности, содержащие соответственно хорды AB и СD, а через Ω – описанную окружность четырехугольника ABCD. Пусть O – точка пересечения прямых AB и СD.

Тогда согласно теореме 1 прямая AB – радикальная ось окружностей Ω₁ и Ω, CD – радикальная ось окружностей Ω₂ и Ω, а общая касательная окружностей Ω₁ и Ω₂ – их радикальная ось. Согласно теореме 2 эти три радикальные оси пересекаются в одной точке, которую обозначим буквой O.

При этом квадрат длина касательной OX равна степени точки O относительно Ω₁, то есть OA× OB, значит, что точка X лежит на окружности с центром О и радиусом .

Пример 3 (Московская устная олимпиада по геометрии, 8-9 класс, 2005). Дан шестиугольник ABCDEF, в котором AB = BC, CD = DE, EF = FA, а углы A и C – прямые. Докажите, что прямые FD и BE перпендикулярны.

Решение №1 (см. [3]). Поскольку по теореме Пифагора

BD 2 + EF 2 = BC 2 + CD 2 + EF 2 = AB 2 + DE 2 + AF 2 = BF 2 + DE 2 , то согласно критерию перпендикулярности диагоналей выпуклого четырехугольника FD и BE перпендикулярны.

Решение №2 (см. [3]). Рассмотрим окружности с центрами D и F и радиусами DC и EF соответственно. Тогда BA = BC – касательные к этим окружностям, а точка E принадлежит обеим окружностям, поэтому BE – их радикальная ось, и следовательно, она перпендикулярна линии центров FD.

5. Первичное закрепление.

(Всероссийская олимпиада по математике, 10 класс, 2011 г.) Периметр треугольника ABC равен 4. На лучах AB и AC отмечены точки X и Y так, что AX = AY = 1. Отрезки BC и XY пересекаются в точке M. Докажите, что периметр одного из треугольников ABM и ACM равен 2.

(Московская устная олимпиада по геометрии, 10-11 класс, 2011 г.) Дана неравнобокая трапеция ABCD (AB ǁ CD). Произвольная окружность, проходящая через точки A и B, пересекает боковые стороны трапеции в точках P и Q, а диагонали – в точках M и N. Докажите, что прямые PQ, MN и CD пересекаются в одной точке.

(Всероссийская олимпиада по математике, 11 класс, 2005 г.) Пусть AA₁ и BB₁ – высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. Известно, что отрезок A₁B₁ пересекает среднюю линию, параллельную AB, в точке C’. Докажите, что отрезок CC’ перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника ABC.

— Что особенно сегодня вам запомнилось?

— Полезно ли для решения некоторых геометрических задач знать свойства радикальной оси двух окружностей?

🎦 Видео

1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Деление окружности на 3, 4, 5, 6 и 7 равных частейСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать

Как разделить окружность на 3 равные части How to divide a circle into 3 equal partsСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Деление окружности на равные части. Урок 6. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Построение окружности по трём точкам.Скачать

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.Скачать

Как поделить окружность на 3 равные части. Очень просто. Уроки черчения.Скачать

Деление окружности на 3 равные частиСкачать

Деление окружности на равные части с помощью циркуляСкачать

Сопряжение окружностейСкачать