Все о прямоугольном треугольнике формула

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Все о прямоугольном треугольнике формула

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Все о прямоугольном треугольнике формула

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Все о прямоугольном треугольнике формулаЕсли гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Все о прямоугольном треугольнике формула

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Все о прямоугольном треугольнике формула

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Все о прямоугольном треугольнике формула

3. Теорема Пифагора:

Все о прямоугольном треугольнике формула, где Все о прямоугольном треугольнике формула– катеты, Все о прямоугольном треугольнике формула– гипотенуза. Видеодоказательство

Все о прямоугольном треугольнике формула

4. Площадь Все о прямоугольном треугольнике формулапрямоугольного треугольника с катетами Все о прямоугольном треугольнике формула:

Все о прямоугольном треугольнике формула

5. Высота Все о прямоугольном треугольнике формулапрямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты Все о прямоугольном треугольнике формулаи гипотенузу Все о прямоугольном треугольнике формуласледующим образом:

Все о прямоугольном треугольнике формула

Все о прямоугольном треугольнике формула

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

Все о прямоугольном треугольнике формула

7. Радиус Все о прямоугольном треугольнике формулаописанной окружности есть половина гипотенузы Все о прямоугольном треугольнике формула:

Все о прямоугольном треугольнике формула

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус Все о прямоугольном треугольнике формулавписанной окружности выражается через катеты Все о прямоугольном треугольнике формулаи гипотенузу Все о прямоугольном треугольнике формуласледующим образом:

Все о прямоугольном треугольнике формула

Все о прямоугольном треугольнике формула

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Видео:Все свойства и формулы прямоугольного треугольникаСкачать

Все свойства и формулы прямоугольного треугольника

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$$30$$45$$60$
$sinα$$/$$/$$/$
$cosα$$/$$/$$/$
$tgα$$/$$1$$√3$
$ctgα$$√3$$1$$/$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

Подставим найденное значение в формулу косинуса

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A=/, AC=9$. Найдите $АВ$.

Распишем синус угла $А$ по определению:

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Все формулы прямоугольного треугольника — примеры расчетов

Все о прямоугольном треугольнике формула

Видео:Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !

Формулы

Все о прямоугольном треугольнике формула

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 :

Все о прямоугольном треугольнике формула

2. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

Все о прямоугольном треугольнике формула

3. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

Все о прямоугольном треугольнике формула

4. Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

Все о прямоугольном треугольнике формула

5. Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету:

Все о прямоугольном треугольнике формула

6. Секанс острого угла равен отношению гипотенузы к прилежащему катету:

Все о прямоугольном треугольнике формула

7. Косеканс острого угла равен отношению гипотенузы к противолежащему:

Все о прямоугольном треугольнике формула

8. Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла:

Все о прямоугольном треугольнике формула

9. Катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла:

Все о прямоугольном треугольнике формула

10. Катет, противолежащий углу, равен произведению второго катета на тангенс угла:

Все о прямоугольном треугольнике формула

Все о прямоугольном треугольнике формула

11. Катет, прилежащий углу, равен произведению второго катета на котангенс угла:

Все о прямоугольном треугольнике формула

Все о прямоугольном треугольнике формула

12. Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, и/или частному отношению катета и косинуса прилежащего угла (угла между ними):

Все о прямоугольном треугольнике формула

13. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Все о прямоугольном треугольнике формула

Все о прямоугольном треугольнике формула

Все о прямоугольном треугольнике формула

14. Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника:

Все о прямоугольном треугольнике формула

15. Медиана, проведенная к гипотенузе:

Все о прямоугольном треугольнике формула

16. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника:

Все о прямоугольном треугольнике формула

Все о прямоугольном треугольнике формула

17. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Все о прямоугольном треугольнике формула

18. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов треугольника:

🎦 Видео

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формулаСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формула

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Теорема Пифагора. 8 КЛАСС | Математика | TutorOnlineСкачать

Теорема Пифагора. 8 КЛАСС | Математика | TutorOnline

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 класс

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Прямоугольный треугольник Полное досьеСкачать

Прямоугольный треугольник Полное досье

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?Скачать

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?

Катеты и гипотенузаСкачать

Катеты и гипотенуза

ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минутСкачать

ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минут

Нахождение катета прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение катета прямоугольного треугольника

Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольникеСкачать

Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольнике

8 класс, 26 урок, Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСкачать

8 класс, 26 урок, Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Поделиться или сохранить к себе: